高中数学-二次函数的性质与图象测试题
二次函数练习题及答案
二次函数练习题及答案二次函数是高中数学中的一个重要知识点，也是数学建模和应用题中常见的内容。
在学习二次函数的过程中，练习题是必不可少的。
通过大量的练习，可以加深对二次函数的理解，提高解题能力。
本文将给出一些常见的二次函数练习题及答案，希望对读者的学习有所帮助。
题目一：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（1,3），且在x轴上的截距为4，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：3=a+b+c0=a+4b+16c解方程组得：a=2，b=-6，c=7题目二：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-2,5），且在x轴上的截距为6，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：5=4a-2b+c0=36a+6b+c解方程组得：a=-1/6，b=1/3，c=1/2题目三：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（3,2），且在x轴上的截距为5，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：2=9a+3b+c0=25a+5b+c解方程组得：a=-1/5，b=2/5，c=0题目四：已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象过点（-3,4），且在x轴上的截距为7，求a，b，c的值。
解答：由已知条件可得方程组：4=9a-3b+c0=49a+7b+c解方程组得：a=-1/7，b=2/7，c=4/7通过以上四道题目的练习，我们可以发现，已知二次函数的图象经过一个点和在x轴上的截距，可以得到一个含有三个未知数的方程组，通过解方程组可以求解出a，b，c的值。
这是二次函数的基本应用之一。
除了已知图象经过一个点和在x轴上的截距，还有其他常见的二次函数练习题类型，如已知顶点坐标、已知对称轴、已知与其他函数的关系等。
通过大量的练习，可以熟练掌握这些题型，并且在实际应用中能够灵活运用。
二次函数练习题的答案不仅仅是求出a，b，c的值，更重要的是理解解题过程。
在解题过程中，我们需要灵活运用二次函数的性质，如顶点坐标公式、对称性、判别式等。
高中数学第二章函数2.2一次函数和二次函数2.2.2二次函数的性质与图象自我小测新人教B版必修1
2.2.2 二次函数的性质与图象自我小测1．函数y＝x2－2x＋m的单调增区间为( )A.(－∞，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，1] D．[－2，＋∞)2．函数f(x)＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是( )A.4 B．－4 C．与m的取值有关 D．不存在3．已知二次函数y＝6x－2x2－m的值恒小于零，那么实数m的取值范围为( )A.92⎧⎫⎨⎬⎩⎭B.9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C．{9} D．(－∞，9)4．已知一次函数y＝ax＋c(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一平面直角坐标系中的大致图象是( )5．已知定义在R上的二次函数f(x)，对任意x∈R，有f(4－x)＝f(x)，且函数在区间(2，＋∞)上是增函数，则( )A.f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(－25)＜f(80) D．f(－25)＜f(80)＜f(11)6．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，则m的取值范围是( )A.(0,4]B.3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两个交点为A，B，顶点为C，则△ABC的面积为__________．8．设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上是减函数，且f(m)≤f(0)，则实数m 的取值范围是__________．9．若二次函数f(x)满足下列性质：(1)定义域为R，值域为[1，＋∞)；(2)图象关于x＝2对称；(3)对任意x1，x2∈(－∞，0)，若x1＜x2，都有f(x1)＞f(x2)．请写出函数f(x)的一个解析式__________(只要写出一个即可)．10．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当k＝1时，写出函数图象的对称轴方程、单调区间；(2)当实数k为何值时，图象经过原点？(3)当实数k在什么范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？11．定义在R上的函数y＝f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝－4x2＋8x－3.(1)当x＜0时，求f(x)的解析式．(2)求y＝f(x)的最大值，并写出f(x)在R上的单调区间(不必证明)．参考答案1. 解析：此二次函数的图象开口向上，且对称轴为x ＝1，所以其单调增区间为[1，＋∞)．答案：B2. 解析：∵函数f (x )的图象开口向上，且对称轴x ＝2m＞0， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， ∴f (x )min ＝f (0)＝4. 答案：A3. 解析：由题意，得Δ＝36－4×2m ＜0，则m ＞92. 答案：B 4. 答案：D5. 解析：因为对任意x ∈R ，有f (4－x )＝f (x )，所以二次函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.因为函数在(2，＋∞)上是增函数，所以抛物线开口向上．又因为11离2最近，80离2最远，所以f (11)最小，f (80)最大． 所以f (11)＜f (－25)＜f (80)． 答案：C6. 解析：函数y ＝x 2－3x －4＝32x ⎛⎫-⎪⎝⎭2－254，作出图象如图所示：由图象知对称轴为x ＝32，f (0)＝－4，f 32⎛⎫⎪⎝⎭＝－254，f (3)＝－4， 若函数在[0，m ]上有最小值－254， 所以m ≥32. 若函数在[0，m ]上有最大值－4， 因为f (0)＝f (3)＝－4，所以m≤3.综上可知，32≤m≤3.答案：C7.解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得点A(－3,0)，B(1,0)，C(－1,4)，所以|AB|＝|1－(－3)|＝4，点C到边AB的距离为4，所以S△ABC＝12×4×4＝8.答案：88.解析：二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴为x＝1.由f(x)在[0,1]上是减函数，可知a＞0，所以f(m)≤f(0)可化为am2－2am＋c≤c，即m2－2m≤0，得0≤m≤2.答案：[0,2]9.解析：二次函数的最小值为1，图象关于x＝2对称，在(－∞，0)上为减函数，所以f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)．答案：f(x)＝(x－2)2＋1(f(x)＝a(x－2)2＋1(a＞0)均可)10. 解：(1)当k＝1时，函数y＝x2－2x，函数图象的对称轴方程为x＝1，函数的单调减区间为(－∞，1]，单调增区间为[1，＋∞)．(2)当k2＋k－2＝0，即k＝－2或k＝1时，函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2的图象经过原点．(3)因为函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2图象的顶点坐标为(k，k－2)，若函数图象的顶点在第四象限内，则20kk>⎧⎨<⎩，－，解得0＜k＜2.11. 解：(1)设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝－4(－x)2＋8(－x)－3＝－4x2－8x－3，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－4x2－8x－3.(2)由(1)知f(x)＝224(1)104(1)10x xx x⎧≥⎪⎨<⎪⎩－－＋，，－＋＋，，∴y＝f(x)有最大值f(1)＝f(－1)＝1.函数y＝f(x)的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]；单调减区间是[－1,0)和[1，＋∞)．。
高中数学复习第二章 函数 2.5二次函数(人教版·数学理)广西专用
二次函数在给定区间上的最值问题 【方法点睛】
二次函数求最值的方法及常见类型 (1)求二次函数的最值问题时，首先应采用配方法，将二次函数 转化为y=a(x-m)2+n(a≠0)的形式，得到顶点坐标(m,n)和对称轴 x=m.二次函数在闭区间上的最值问题，可以归纳为以下四类： ①抛物线开口方向定、对称轴定、区间定 ②抛物线开口方向定、对称轴定、区间变
【解题指南】(1)f(x)的图象与y=x相切，转化为f(x)-x=0有相等
的实根，(2)要利用f(x)在［m,n］上的单调性，建立m,n的方程.
【规范解答】(1)∵f(x+1)是偶函数,对称轴为直线x=0， ∴f(x)的对称轴为x=1,即 =b 1.
2a
∴b=-2a,∴f(x)=ax2-2ax.
2
2k 2
∴［m,n］⊆(-∞, )1,
2
∴f(x)在［m,n］上是单调增函数.
∴解得ffm mn=0即或kknmm, =2-2k1122;
m2 m km n2 n kn
,
n=0或n=2-2k. 又m＜n,k＞1. ∴m=2-2k,n=0,∴存在区间［m,n］=［2-2k,0］满足题意.
【反思·感悟】1.解决有关二次函数的区间最值或值域问题， 应注意分类讨论思想方法的灵活运用，同时还要善于结合函数 的图象解决问题. 2.配方法是解决二次函数最值或值域问题的常用方法，但要注 意自变量范围与对称轴之间的关系.
【规范解答】方法一：利用二次函数一般式.
设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，
4a 2b c 1
由题意得
a
b
c
解1得
,
4ac
b
2
8
4a
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、下列命题中，是真命题的是（ ）A ．如果a >b ，那么ac >bcB ．如果a >b ，那么ac 2>bc 2C ．如果a >b ，那么a c >b cD ．如果a >b ，c <d ，那么a −c >b −d 答案：D分析：根据不等式的性质和特殊值法，逐项验证可得出答案.对于A ，如果c =0，那么ac =bc ，故错误；对于B ，如果c =0，那么ac 2=bc 2，故错误；对于C ，如果c <0，那么a c <b c ，故错误；对于D ，如果c <d ，那么−c >−d ，由a >b ，则a −c >b −d ，故正确.故选：D.2、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞)答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.解：由3x −1≤0得x ≤13， 因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0，当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合； 当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合，故实数a 的取值范围为[−13,+∞). 故选：C.3、对∀x ∈R ，不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．−2<a ≤2B ．−2≤a ≤2C ．a <−2或a ≥2D ．a ≤−2或a ≥2答案：A分析：对a 讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a 的取值范围.不等式(a −2)x 2+2(a −2)x −4<0对一切x ∈R 恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.4、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.5、关于x 的不等式ax 2−(a 2+1)x +a <0的解集为{x|x 1<x <x 2}，且x 2−x 1=1，则a 2+a −2=（ ）A ．3B ．32C ．2D ．23答案：A分析：根据一元二次不等式与解集之间的关系可得x 1+x 2=a +1a 、x 1x 2=1，结合(x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2计算即可.由不等式ax2−(a2+1)x+a<0的解集为{x|x1<x<x2}，得a>0，不等式对应的一元二次方程为ax2−(a2+1)x+a=0，方程的解为x1、x2，由韦达定理，得x1+x2=a2+1a =a+1a，x1x2=1，因为x2−x1=1，所以(x2−x1)2=(x1+x2)2−4x1x2=1，即(a+1a)2−4=1，整理，得a2+a−2=3.故选：A6、不等式1+x1−x≥0的解集为（）A．{x|x≥1或x≤−1}B．{x∣−1≤x≤1} C．{x|x≥1或x<−1}D．{x|−1≤x<1}答案：D分析：不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，由此求得不等式的解集．不等式等价于x+1x−1≤0，即(x+1)(x−1)≤0，且x−1≠0，解得−1≤x<1，故不等式的解集为{x|−1≤x<1}，故选：D．7、若a，b，c为实数，且a<b，c>0，则下列不等关系一定成立的是（）A．a+c<b+c B．1a <1bC．ac>bc D．b−a>c答案：A分析：由不等式的基本性质和特值法即可求解.对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则a<b⇒a+c<b+c，A选项正确；对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=−2，b=−1，则1a >1b，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>0，0<a<b⇒ac<bc，C选项错误；对于D选项，因为a<b⇒b−a>0，c>0，所以无法判断b−a与c大小，D选项错误.8、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.9、若关于x的不等式x2−6x+11−a<0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是（）A．(−2,+∞)B．(3,+∞)C．(6,+∞)D．(2,+∞)答案：D分析：设f(x)=x2−6x+11，由题意可得a>f(x)min，从而可求出实数a的取值范围设f(x)=x2−6x+11，开口向上，对称轴为直线x=3，所以要使不等式x2−6x+11−a<0在区间(2，5)内有解，只要a>f(x)min即可，即a>f(3)=2，得a>2，所以实数a的取值范围为(2,+∞)，故选：D10、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>0的解集是（）A．{x|−2<x<1}B．{x|x<−2或x>1}C．{x|−2≤x≤1}D．{x|x≤−2或x≥1}答案：A分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.由二次函数图象知：ax2+bx+c>0有−2<x<1.故选：A填空题11、已知a，b∈R，且a>b2>0，则a2+1(2a−b)b的最小值是 _____．答案：2分析：两次利用基本不等式即可得出结论.∵a>b2>0，∴a2+1(2a−b)b ≥a2+1(2a−b+b2)2=a2+1a2≥2，当且仅当a＝1＝b时取等号，其最小值是2，所以答案是：2．12、函数y=√kx2−2kx+4的定义域为R，则实数k的取值范围为______．答案：[0,4]分析：函数y=√kx2−2kx+4的定义域为R，等价于kx2−2kx+4≥0恒成立，然后分k=0和k≠0两种情况讨论求解即可得答案函数y=√kx2−2kx+4的定义域为R，等价于kx2−2kx+4≥0恒成立，当k=0时，显然成立；当k≠0时，由Δ=(−2k)2−4k×4≤0，得0<k≤4．综上，实数k的取值范围为[0,4]．所以答案是：[0,4]13、已知正数a,b满足a+3b+3a +4b=18，则a+3b的最大值是___________.答案：9+3√6分析：设t=a+3b，表达出t(18−t)，结合基本不等式求解最值，再根据二次不等式求解即可.设t=a+3b，则3a +4b=18−t，所以t(18−t)=(a+3b)(3a +4b)=15+9ba+4ab≥15+2√9ba⋅4ab=27，当且仅当2a=3b时取等号.所以t2−18t+27⩽0，解得9−3√6⩽t⩽9+3√6，即a+3b的最大值9+3√6，当且仅当2a=3b，即a=3+√6，b=2+2√63时取等号.所以答案是：9+3√614、为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为___________.答案：10≤V≤40分析：根据题意列出不等式，最后求解不等式即可.第一次操作后，利下的纯药液为V−10，第二次操作后，利下的纯药液为V−10−V−10V×8，由题意可知：V−10−V−10V×8≤V⋅60%⇒V2−45V+200≤0⇒5≤V≤40，因为V≥10，所以10≤V≤40，所以答案是：10≤V≤4015、正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________.答案：[9,+∞)分析：由题得ab ＝a ＋b ＋3≥2√ab ＋3，解不等式ab −2√ab −3≥0即得解.∵a ，b 是正数，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2√ab ＋3(当且仅当a ＝b ＝3时等号成立)，所以ab −2√ab −3≥0，所以(√ab −3)(√ab +1)≥0，所以√ab ≥3或√ab ≤−1，所以ab ≥9.所以答案是：[9,+∞)小提示：本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.解答题16、设函数y =ax 2+bx +3(a ≠0)（1）若不等式ax 2+bx +3>0的解集为(−1,3)，求a,b 的值；（2）若a +b =1,a >0,b >0，求1a +4b 的最小值 答案：（1）{a =−1,b =2；（2）9． 分析：（1）由不等式f(x)>0的解集(−1,3)．−1，3是方程f(x)=0的两根，由根与系数的关系可求a ，b 值；（2）由a +b =1，将所求变形为(a +b)(1a +4b )展开，整理为基本不等式的形式求最小值．解析：（1）∵不等式ax 2＋bx ＋3>0的解集为(－1，3)，∴－1和3是方程ax 2＋bx ＋3＝0的两个实根，从而有{a −b +3=09a +3b +3=0解得{a =−1,b =2 ． （2）∵a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴1a ＋4b ＝(1a +4b ) (a ＋b )= 5＋b a ＋4a b ≥5＋2√b a ⋅4a b ＝9，当且仅当{ba=4aba+b=1即{a=13b=23时等号成立，∴1a +4b的最小值为9．【小提示】本题考查了二次函数的图象和性质，运用基本不等式求最值，属于中档题．17、（1）已知正数a、b满足1a +2b=1，求ab的最小值；（2）已知x<1，求函数f(x)=x+1x−1的最大值．答案：（1）8；（2）－1分析：（1）运用基本不等式由1a +2b≥2√2ab，可求得ab的最小值；（2）原式可变形为f(x)=(x−1)+1x−1+1，运用基本不等式可求得f(x)=x+1x−1的最大值．（1）因为正数a，b满足1a +2b=1，所以1a +2b≥2√1a⋅2b=2√2ab，得ab≥8，当且仅当1a =2b时，即a=2,b=4时取等号，则ab的最小值为8；（2）因为x<1，所以x−1<0，所以f(x)=x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≤−2√(x−1)⋅1x−1+1=−1当且仅当x−1=1x−1，即x=0时取等号，所以f(x)=x+1x−1的最大值为－1．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．18、若a>b>0，d<c<0，求证：ac <bd．答案：证明见解析解析：要证ac <bd，只要证bd−ac>0即可，所以利用作差法证明即可解：因为d<c<0，所以−d>−c>0，dc>0因为a>b>0，所以−ad>−bc>0，所以bc−ad>0，所以bd −ac=bc−addc>0，所以ac <bd小提示：此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题19、已知关于x的不等式(a2+4a−5)x2−4(a−1)x+3>0的解集为R，求实数a的取值范围.答案：1≤a<19分析：按照两种情况讨论：①当a2+4a−5=0时，可得a=1符合；②当a2+4a−5≠0时，根据图象的开口方向和判别式列式可解得结果.根据题意，分两种情况①当a2+4a−5=0时，即a=1或a=−5时，若a=1，不等式变为3>0，成立，符合条件；若a=−5，不等式变为24x+3>0，解集为{x|x>−18}，不符合题意.②当a2+4a−5≠0时，不等式为一元二次不等式，要使解集为R，则对应二次函数的图象开口只能向上，且Δ=16(a−1)2−12(a2+4a−5)<0，即a2+4a−5>0且Δ=16(a−1)2−12(a2+4a−5)<0，则a<−5或a>1，且a2−20a+19<0，所以a<−5或a>1，且1<a<19，即1<a<19，综上，实数a的取值范围1≤a<19.小提示：本题考查了分类讨论思想，考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题.。
高中数学精品试题：一元二次函数
一元二次函数的性质和图象一、选择题：1. 已知一元二次函数1322++=x x y ，则它的顶点坐标为（ ）A ：)81,43(- B ：（81,23） C ：（81,43--） D ：（81,23-） 2. 已知函数,32)(2++=x ax x f 且6)1(=f ，则)(x f 的解析式中a 的值是 （ ）A ： 0B ： 1C ： 1-D ： 23. 一元二次函数22-+-=x x y 的最大值是（ ）A ：2-B ：47C ：49D ：47- 4. 已知二次函数5632++-=x x y ，则它的对称轴方程是 （ ）A ：1-=xB ：2-=xC ：2=xD ：1=x5. 函数c bx x a x f +++=22)1()(，则它一定 （ ）A ：有最大值B ：有最小值C ：无最值D ：既有最大值又有最小值6．二次函数4105)(2++-=x x x f 的单调递增区间为 （ ）A ：),1(+∞-B ：)1,(--∞C ：),1(+∞D ：)1,(-∞二、解答题：1． 求函数8542+-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴方程、和最值。
2． 已知二次函数图象的顶点坐标（1，3），并经过点P （0，27），求)(x f 的解析式。
3． 分别求函数1622-+-=x x y 在区间[]1,1-和区间]2,2[-上的最值。
函数求值及求定义域、函数的性质练习1．函数xx x y +-+=1)1(0的定义域为（ ） （A ）}1|{-≤x x （B ）}1|{-≥x x （C ）}01|{≠-≥x x x 且（D ）}01|{≠->x x x 且2．下列函数在定义域上是增函数的是（ ）（A ） 32+-=x y （B ） xy 1= （C ） 2x y = （D ） 1+=x y 3．若),()(+∞-∞=在x f y 上是偶函数，并且在),0[+∞上是减函数，则（ ）（A ） )1()2()3(f f f >->- （B ） )3()2()1(->->f f f（C ） )1()3()2(f f f >->- （D ） )2()3()1(->->f f f4．下列函数为奇函数的是（ ）（A ） 3)(2++=x x x f （B ） 22)(x x x f += （C ） )3(1)(2-≥+=x x x f （D ） x x x f 4)(3+-=5．设2)(x x f =，则=+)1(x f （ ）（A ） 2)1(+x （B ） 12+x （C ） 2)1(-x （D ） 12-x6．下列函数与函数x y =图象相同的是（ ） （A ） xx y 2= （B ） ||x y = （C ） 2)(x y = （D ） 33x y = 7．函数)51,(2≤≤∈=x N x x y 的图象是（ ）（A ） 直线 （B ） 射线 （C ） 线段 （D ）离散的点8．已知)(x f y =是正比例函数，且8)4(=f ，则)8(f =（ ）（A ） 4- （B ） 8- （C ） 16 （D ） 32-9.偶函数)(x f y =在),0[+∞上是增函数，则)1(),0(),2(f f f -的大小关系是10.已知)(x f 是奇函数，而且在在),0[+∞上是减函数，则)(x f 在)0,(-∞上是 函数11.函数12)(2-=x x x f ，则=)21(f 12.设),,(7)(35为常数c b a cx bx ax x f +++=17)7(-=-f 若，则=)7(f13.=-+=)12(,3)(x f x x f 则二次函数练习试卷1．二次函数的对称轴是直线1-=x ，且最小值为3，则此函数的一个解析式为（ ）（A ）2)1(2--=x y （B ）3)1(2++=x y （C ）3)1(2-+=x y （D ）3)1(2+-=x y 2．二次函数362-+-=m x x y 的顶点在x 轴上，则m 的值为（ ）（A ） 3 （B ） 9 （C ） 1`2 （D ） 6-3．若20<<x ，则)2(x x y -=的最大值为（ ）（A ） 1- （B ） 1 （C ） 2 （D ） 04．函数1)1(2-+--=m mx x m y 的开口向上，且与x 轴有交点，则m 的范围为（） （A ） ),1(+∞- （B ） )32,(--∞ （C ） ]2,32[ （D ）]2,1(5．设函数0)1(,2)1(,)(=--=+=f f b ax x f 若，则b a ,的值为（ ）（A ）1,1-==b a （B ）1,1-=-=b a （C ）1,1=-=b a （D ）1,1==b a6．一元二次函数622+-=x x y 的顶点坐标为（ ）（A ） （2，6） （B ） )6,2(- （C ） （1，5） （D ） )5,2(-7．一元二次函数1422+--=x x y 的对称轴为（ ）（A ） 2-=x （B ） 1-=x （C ） 2- （D ）1-8．函数2)(2-+-=x x x f 的最大值是（ ）（A ） 2- （B ） 47（C ） 49（D ） 47-9．若022>+-k x x 的解集为全体实数，则k 的取值范围为（ ）（A ） ),1[+∞ （B ） ),1(+∞ （C ） ]1,(-∞ （D ） )1,(-∞10．二次函数2)1(2++-=x m x y 的图象关于2=x 对称，则=m （ ）（A ） 1- （B ） 3 （C ） 5- （D ） 111.已知函数b ax x x f ++=2)(满足，0)2()1(==f f ，则=-)1(f12.函数32-=x y 的单调增区间为13.函数222x x y -+=的值域为14.函数322++-=x x y 它的单调递减区间是 ，递增区间是 当=x 时，y 有最 值，且最值为15.若c bx ax y ++=2的图象经过（0，0），)1,1(-，（2，1）三点，其解析式为16.322-+=x x y 配方得17.求函数432--=x x y 的顶点坐标，对称轴，单调区间和最值18.若二次函数的顶点坐标为（2，3），且经过（0，1）点，求解析式19.已知二次函数85)0(,21)(2=++=f c bx x x f 且对于任意的实数x ，都有)21()21(x f x f --=+-，求函数)(x f 的解析式20.有300米长的篱笆材料，如果利用已有的一面墙（假设长度足够用）作为一边，围成一块矩形菜地，问：矩形的长、宽各为多少时这块菜地面积最大？21．有长为20米的铝条材料，作成“日”字型的窗框（耗材不记）当窗框的长和宽各为多少的米时候，达到最大的进光量，并求出最大的进光面积？。
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
二次函数专题训练8个合集
二次函数专题训练8个合集一、引言二次函数是数学中的重要概念，它反映了变量间的一种非线性关系。
掌握二次函数的性质和应用，对于理解整个数学体系，乃至处理实际问题，都具有深远的意义。
为此，我们特地整理了8个二次函数专题训练，帮助大家深化对二次函数的理解。
二、专题训练1：二次函数的定义与图像本专题将介绍如何根据二次函数的定义绘制其图像，并理解图像中的关键点，如顶点、对称轴、开口方向等。
三、专题训练2：二次函数的性质与最值本专题将探讨二次函数的性质，如对称性、奇偶性等，并掌握如何求出二次函数的最值。
四、专题训练3：二次函数的解析式与求解本专题将学习如何根据实际问题建立二次函数解析式，并掌握求解二次函数的方法。
五、专题训练4：二次函数的实际应用本专题将通过实际案例分析，展示二次函数在解决实际问题中的应用，如投资组合问题、物体运动问题等。
六、专题训练5：二次函数的极值与最优化本专题将学习如何利用二次函数解决最优化问题，理解并掌握求取二次函数极值的方法。
七、专题训练6：二次函数的数值计算与模拟本专题将介绍如何利用数值计算方法求解二次函数问题，并进行模拟实验，加深对二次函数在实际问题中应用的理解。
八、专题训练7：二次函数的积分与微分本专题将探讨二次函数与积分、微分的关系，理解并掌握积分、微分在解决二次函数问题中的应用。
九、专题训练8：二次函数的泰勒展开与近似计算本专题将学习如何利用泰勒展开进行二次函数的近似计算，理解并掌握如何选取合适的近似表达式。
十、结语通过这8个专题训练，我们希望能帮助大家更深入地理解和掌握二次函数的性质和应用。
数学是一门实践性很强的学科，只有不断地练习和应用，才能真正掌握其精髓。
希望我们的努力能为大家的数学学习提供有益的帮助。
二次函数复习课件一、引言在数学的学习中，二次函数是初中数学的一个重要内容，它不仅在中考中占据重要地位，也为学生后续的高中数学学习奠定了基础。
为了帮助学生更好地理解和掌握二次函数的知识，我们设计了这份复习课件，以供学生复习和巩固二次函数的相关知识。
二次函数的定义练习题
二次函数的定义测试题（附答案）文章来源莲山课件w ww.5 Y K j.Co M26.1.1二次函数的定义一．选择题（共8小题）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．xy+x2=2 B．x2﹣2y+2=0 C．y= D．y2﹣x=03．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y= B．y=2（x+1）（x﹣3） C．y=3x﹣2 D．y=4．下列函数是二次函数的是（）A．y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=x2+2 D．y= x﹣25．下列函数中，属于二次函数的是（）A．y=2x﹣3 B．y=（x+1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7x D．y= ﹣6．已知函数①y=5x﹣4，②t= x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y= x2﹣1，⑤y= +2，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．47．下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2﹣（x+7）2 D．y=（x+1）（2x﹣1）8．已知函数y=（m+2）是二次函数，则m等于（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1二．填空题（共6小题）9．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为_________．10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是_________．11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为_________，成立的条件是_________，是_________函数．12．已知y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是_________．13．二次函数y=3x2+5的二次项系数是_________，一次项系数是_________．14．已知y=（k+2）是二次函数，则k的值为_________．三．解答题（共8小题）15．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数．16．已知函数y=（m﹣1）+5x﹣3是二次函数，求m的值．17．已知函数y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．18．函数y=（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y 是x的二次函数？19．已知函数y=m• ，m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减少？当x取何值时，函数有最小值？20．己知y=（m+1 ）+m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．求：（1）m的值．（2）求函数的最值．21．已知是x的二次函数，求出它的解析式．22．如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．26.1.1二次函数的定义参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A． y=x2 B．y= C．y=kx2 D． y=k2x考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．解答：解：A、是二次函数，故A符合提议；B、是分式方程，故B错误；C、k=0时，不是函数，故C错误；D、k=0是常函数，故D错误；故选：A．点评：本题考查二次函数的定义，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数．2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A． xy+x2=2 B．x2﹣2y+2=0 C．y= D． y2﹣x= 0考点：二次函数的定义．分析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、整理为y= + ，不是二次函数，故此选项错误；B、x2﹣2y+2=0变形，得y= x2+1，是二次函数，故此选项正确；C、分母中含自变量，不是二次函数，故此选项错误；D、y的指数是2，不是函数，故此选项错误．故选B．点评：本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．3．下列函数中，属于二次函数的是（）A． y= B．y=2（x+1）（x﹣3） C．y=3x﹣2 D． y=考点：二次函数的定义．分析：根据反比例函数的定义，二次函数的定义，一次函数的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、y= 是反比例函数，故本选项错误；B、y=2（x+1）（x﹣3）=2x2﹣4x﹣6，是二次函数，故本选项正确；C、y=3x﹣2是一次函数，故本选项错误；D、y= =x+ ，不是二次函数，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义．4．下列函数是二次函数的是（）A． y=2x+1 B．y=﹣2x+1 C．y=x2+2 D ． y= x﹣2考点：二次函数的定义．分析：直接根据二次函数的定义判定即可．解答：解：A、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y=﹣2x+1，是一次函数，故此选项错误；C、y=x2+2是二次函数，故此选项正确；D、y= x﹣2，是一次函数，故此选项错误．故选：C．点评：此题主要考查了二次函数的定义，根据定义直接判断是解题关键．5．下列函数中，属于二次函数的是（）A． y=2x﹣3 B．y=（x+1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7x D． y=﹣考点：二次函数的定义．分析：二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为y=ax2+bx+c（a不为0）．解答：解：A、函数y=2x﹣3是一次函数，故本选项错误；B、由原方程，得y=2x+1，属于一次函数，故本选项错误；C、函数y=2x2﹣7x符号二次函数的定义；故本选项正确；D、y=﹣不是整式；故本选项错误．故选C．点评：本题考查了二次函数的定义．二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．6．已知函数①y=5x﹣4，②t= x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y= x2﹣1，⑤y= +2，其中二次函数的个数为（）A． 1 B．2 C．3 D． 4考点：二次函数的定义．分析：首先去掉不是整式的函数，再利用二次函数的定义条件判定即可．解答：解：①y=5x﹣4，③y=2x3﹣8x2+3，⑤y= +2不符合二次函数解析式，②t= x2﹣6x，④y= x2﹣1符合二次函数解析式，有两个．故选B．点评：本题考查二次函数的定义．7．下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A． B．y=ax2+bx+c C．y=x2﹣（x+7）2 D． y=（x+1）（2x﹣1）考点：二次函数的定义．专题：推理填空题．分析：根据二次函数的定义解答．解答：解：A、未知数的最高次数不是2，故本选项错误；B、二次项系数a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，故本选项错误；C、∵y=x2﹣（x+7）2=﹣14x﹣49，即y=﹣14x﹣49，没有二次项，故本选项错误；D、由原方程得，y=2x2﹣x﹣1，符合二次函数的定义，故本选项正确．故选：D．点评：本题主要考查了二次函数的定义．二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表示为f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．8．已知函数y=（m+2）是二次函数，则m等于（）A． ±2 B．2 C．﹣2 D． ±1考点：二次函数的定义．专题：计算题．分析：根据二次函数的定义，令m2﹣2=2，且m+2≠0，即可求出m的取值范围．解答：解：∵y=（m+2）是二次函数，∴m2﹣2=2，且m+2≠0，∴m=2，故选B．点评：本题考查了二次函数的定义，要注意，二次项系数不能为0．二．填空题（共6小题）9．若y=（m+1）是二次函数，则m的值为7．分析：根据二次函数的定义列出关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：∵y=（m+1）是二次函数，∴m2﹣6m﹣5=2，∴m=7或m=﹣1（舍去）．故答案为：7．点评：此题考查了二次函数的定义，关键是根据定义列出方程，在解题时要注意m+1≠0．10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函数，那么a的取值范围是a≠﹣1．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义条件列出不等式求解即可．解答：解：根据二次函数的定义可得a+1≠0，即a≠﹣1．故a的取值范围是a≠﹣1．点评：本题考查二次函数的定义．11．已知方程ax2+bx+cy=0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为y=﹣x2﹣x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．考点：二次函数的定义．专题：压轴题．分析：函数通常情况下是用x表示y．注意分母不为0，二次项的系数不为0．解答：解：整理得函数表达式为y=﹣x2﹣x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．故答案为：y=﹣x2﹣x；a≠0，c≠0；二次．点评：本题考查常用的用一个字母表示出另一字母的函数，注意自变量的取值，及二次项系数的取值．12．已知y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，则常数a应满足的条件是a≠﹣2．考点：二次函数的定义．分析：根据形如y=ax2+bx+c （a是不等于零的常数）是二次函数，可得答案．解答：解：由y=（a+2）x2+x﹣3是关于x的二次函数，得a+2≠0．解得a≠﹣2，故答案为：a≠﹣2．点评：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义．13．二次函数y=3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义解答即可．解答：解：二次函数y=3x2+5的二次项系数是3，一次项系数是0．故答案为：3；0．点评：本题考查二次函数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键，要注意没有一次项，所以一次项系数看做是0．14．已知y=（k+2）是二次函数，则k的值为1．分析：利用二次函数的定义列方程求解即可．解答：解：∵y=（k+2）是二次函数，∴k2+k=2且≠0，解得k=1，故答案为：1．点评：本题主要考查了二次函数的定义，熟记定义是解题的关键．三．解答题（共8小题）15．已知函数y=（m2﹣m）x2+mx﹣2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数．考点：二次函数的定义；一次函数的定义．分析：根据一次函和二次函数的定义可以解答．解答：解：（1）y是x的一次函数，则可以知道，m2﹣m=1，解之得：m=1，或m=0，又因为m≠0，所以，m=1．（2）y是x的二次函数，只须m2﹣m≠0，∴m≠1和m≠0．点评：本题考查了一元二次方程的定义，熟记概念是解答本题的关键．16．已知函数y=（m﹣1）+5x﹣3是二次函数，求m的值．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数是y=ax2+bx+c的形式，可得答案．解答：解：y=（m﹣1）+5x﹣3是二次函数，得，解得m=﹣1．点评：本题考查了二次函数，注意二次项的系数不等于零，二次项的次数是2．17．已知函数y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），求当m为何值时：（1）y是x的一次函数？（2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为﹣8的点的坐标．考点：二次函数的定义；一次函数的定义．分析：（1）根据形如y=kx（k≠0，k是常数）是一次函数，可得一次函数；（2）根据形如y=ax2（a是常数，且a≠0）是二次函数，可得答案，根据函数值，可得自变量的值，可得符合条件的点．解答：解：（1）由y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），y是x的一次函数，得，解得m= ，当m= 时，y是x的一次函数；（2）y=﹣（m+2）xm2﹣2（m为常数），是二次函数，得，解得m=2，m=﹣2（不符合题意的要舍去），当m=2时，y是x的二次函数，当y=﹣8时，﹣8=﹣4x2，解得x= ，故纵坐标为﹣8的点的坐标的坐标是（，0）．点评：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，一次函数的定义，注意二次项的系数不能为零．18．函数y=（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y 是x的二次函数？考点：二次函数的定义；二次函数的图象．分析：利用一次函数与二次函数的定义分别分析得出即可．解答：解：∵y=（kx﹣1）（x﹣3）=kx2﹣3kx﹣x+3=kx2﹣（3k+1）x+3，∴k= 0时，y是x的一次函数，k≠0时，y是x的二次函数．点评：此题主要考查了二次函数与一函数的定义，正确把握有关定义是解题关键．19．已知函数y=m• ，m2+m是不大于2的正整数，m取何值时，它的图象开口向上？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的增大而减少？当x取何值时，函数有最小值？考点：二次函数的定义；二次函数的性质．分析：根据二次函数的定义，可得m的值，根据二次函数的性质，可得函数图象的增减性，根据顶点坐标公式，可得答案．解答：解：由y=m• ，m2+m是不大于2的正整数，得当m2+m=2时．解得m=﹣2=或m=1；当m2+m=1时，解得m= ，或m= ，当m=1时，y=m• 的图象开口向上；当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减少；当x=0时，函数有最小值，y最小=0．点评：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质：a＞0时，对称轴左侧，y随x的增大而减小；对称轴的右侧，y随x的增大而增大；顶点坐标的纵坐标是函数的最小值．20．己知y=（m+1）+m是关于x的二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．求：（1）m的值．（2）求函数的最值．考点：二次函数的定义．分析：（1）根据y=（m+1）+m是关于x的二次函数，可得m2=2，再由当x＞0时，y 随x的增大而减小，可得m+1＜0，从而得出m的值；（2）根据顶点坐标即可得出函数的最值．解答：解：（1）∵y=（m+1）+m是关于x的二次函数，∴m2=2，解得m= ，∵当x＞0时，y随x的增大而减小，∴m+1＜0，m=﹣，m= （不符合题意，舍）；（2）当x=0时，y最大=m=﹣．点评：本题考查了二次函数的定义，利用了二次函数的定义，二次函数的性质．21．已知是x的二次函数，求出它的解析式．考点：二次函数的定义．分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．解答：解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，解得，m=3或m=﹣1；当m=3时，y=6x2+9；当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．点评：本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．22．如果函数y=（m﹣3）+mx+1是二次函数，求m的值．考点：二次函数的定义．专题：计算题．分析：根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，即可答题．解答：解：根据二次函数的定义：m2﹣3m+2=2，且m﹣3≠0，解得：m=0．点评：本题考查了二次函数的定义，属于基础题，比较简单，关键是对二次函数定义的掌握．文章。
二次函数的图像和性质练习题
二次函数的图像和性质练习题二次函数是高中数学中的重要内容之一，在数学学习中起着重要的作用。
理解和掌握二次函数的图像和性质对于解题和解决实际问题至关重要。
本文将为您提供一些关于二次函数图像和性质的练习题，以帮助您更好地理解和掌握相关内容。
1. 下列函数中哪个是二次函数？A. y = 3x + 2B. y = x^2 + 2x - 1C. y = √xD. y = |x|解答：答案是B。
只有函数B是含有二次项的函数，其他函数均不是二次函数。
2. 给定一个二次函数 y = ax^2 + bx + c，若 a > 0，那么这个二次函数的图像是什么样的？解答：当 a > 0 时，二次函数的图像开口向上。
这是因为二次函数的图像开口方向与二次项系数 a 的符号相关，当 a > 0 时，函数的图像开口向上，表示函数的最小值在图像的顶点处。
3. 给定一个二次函数 y = -2x^2 + 4x - 1，那么它的顶点坐标是多少？解答：二次函数的顶点坐标可通过公式 x = -b/2a 和 y = f(x) 计算得出。
对于这个二次函数，a = -2，b = 4，c = -1。
代入公式计算可得：x = -4/(2*(-2)) = -4/(-4) = 1y = -2(1)^2 + 4(1) - 1 = 1因此，这个二次函数的顶点坐标为 (1, 1)。
4. 给定一个二次函数的图像为一个开口向下的抛物线，该二次函数的开口向上对称的点是什么？解答：根据二次函数的性质，开口向下的二次函数的开口向上对称的点为顶点。
因此，开口向下的抛物线的开口向上对称的点即为顶点。
可以通过平移顶点的方法来求得这个点的坐标。
5. 给定一个二次函数 y = x^2 + 3x + 2，那么它的零点是什么？解答：二次函数的零点即为方程 y = 0 的解，也就是函数与 x 轴交点的横坐标。
对于这个二次函数，我们需要求解方程x^2 + 3x + 2 = 0。
二次函数练习题及答案(解析版)
二次函数练习题及答案(解析版)一、选择题：1 下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )2 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A (1，-4) B(-1，2) C (1，2) D(0，3)23 抛物线y=2(x-3)的顶点在( )A 第一象限B 第二象限C x轴上D y轴上4 抛物线的对称轴是( )A x=-2 Bx=2 C x=-4 D x=45 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A ab>0，c>0B ab>0，c<0C ab<0，c>0D ab<0，c<06 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )A 一B 二C 三D 四7 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交 x 轴于点A(m，0) 和点B ，且m>4，那么AB 的长是( )A 4+mB mC 2m-8D 8-2m8 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1(x1，y 1) ，P 2(x2，y 2) 是抛物线上的点，P3(x3，y 3) 是直线上的点，且-1A y110 把抛物线物线的函数关系式是( ) AC 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛B D二、填空题：11 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________12 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________13 若抛物线y=x2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________14 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，则这条抛物线的解析式为_____________15 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，且△ABC 是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________16 在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g 是常数，通常取10m/s2) 若v 0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m17 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3) 的抛物线的解析式为______________18 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y 1的值是_________三、解答题：19 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4) 和B(4，0) ，(1)求此二次函数图象上点A 关于对称轴对称的点A ′的坐标; (2)求此二次函数的解析式;20 在直角坐标平面内，点 O 为坐标原点，二次函数y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x 轴于点A(x1，0) 、B(x2，0) ，且(x1+1)(x2+1)=-8 (1)求二次函数解析式;(2)将上述二次函数图象沿x 轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y 轴的交点为C ，顶点为P ，求△POC 的面积21 已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(-1，0) ，点C(0，5) ，另抛物线经过点(1，8) ，M 为它的顶点(1)求抛物线的解析式; (2)求△MCB 的面积S △MCB22 某商店销售一种商品，每件的进价为250元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是1350元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件请你分析，销售单价多少时，可以获利最大二次函数练习题参考答案与解析一、选择题1 考点：二次函数概念选A2 考点：求二次函数的顶点坐标解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k) ，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2) ，答案选C3 考点：二次函数的图象特点，顶点坐标解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0) ，所以顶点在x 轴上，答案选C4 考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B5 考点：二次函数的`图象特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，答案选C6 考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征解析：由图象，抛物线开口方向向下，抛物线对称轴在y 轴右侧，抛物线与y 轴交点坐标为(0，c) 点，由图知，该点在x 轴上方，在第四象限，答案选D7 考点：二次函数的图象特征解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象的顶点P 的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x 轴于点D ，所以A 、B 两点关于对称轴对称，因为点A(m，0) ，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C8 考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y 轴左侧，交坐标轴于(0，0) 点答案选C9 考点：一次函数、二次函数概念图象及性质解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1-1时，由图象知，y 随x 的增大而减小，所以y 210 考点：二次函数图象的变化抛物线平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到的图象向左答案选C二、填空题11 考点：二次函数性质解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程答案x=112 考点：利用配方法变形二次函数解析式解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2答案y=(x-1)2+213 考点：二次函数与一元二次方程关系解析：二次函数y=x2-2x-3与x 轴交点A 、B 的横坐标为一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，求得x 1=-1，x 2=3，则AB=|x2-x 1|=4答案为414 考点：求二次函数解析式解析：因为抛物线经过A(-1，0) ，B(3，0) 两点，解得b=-2，c=-3，答案为y=x2-2x-315 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：需满足抛物线与x 轴交于两点，与y 轴有交点，及△ABC 是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-116 考点：二次函数的性质，求最大值解析：直接代入公式，答案：717 考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一解析：如：y=x2-4x+318 考点：二次函数的概念性质，求值三、解答题19 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)A′(3，-4)(2)由题设知：∴y=x2-3x-4为所求(3)20 考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式解析：(1)由已知x 1，x 2是x 2+(k-5)x-(k+4)=0的两根又∵(x1+1)(x2+1)=-8 ∴x 1x 2+(x1+x2)+9=0 ∴-(k+4)-(k-5)+9=0 ∴k=5 ∴y=x2-9为所求 (2)由已知平移后的函数解析式为： y=(x-2)2-9 且x=0时y=-5 ∴C(0，-5) ，P(2，-9)21 解： (1)依题意：(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x 1=5，x 2=-1 ∴B(5，0)由，得M(2，9)作ME ⊥y 轴于点E ，则可得S △MCB =1522 思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x 元，商品的售价就是(135-x)元了单个的商品的利润是(135-x-25)这时商品的销售量是(500+200x)总利润可设为y 元利用上面的等量关式，可得到y 与x 的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润解：设销售单价为降价x 元顶点坐标为(425，91125)即当每件商品降价425元，即售价为135-425=925时，可取得最大利润91125元数学速算的技巧1、“凑整”先算1.计算：(1)24+44+56 (2)53+36+47解：(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来。
高中数学二次函数的基本性质
二次函数的图像及性质一、二次函数的解析式的三种形式1.一般式：()()20f x ax bx c a =++≠2.顶点式：()()()20f x a x h k a =-+≠，其中()()k f h ,h,k =为抛物线的顶点坐标.3.交点式（零点式）：()()()()120f x a x x x x a =--≠，)0,()0,(21x x 和为抛物线与x 轴的交点坐标.二、二次函数的图象及性质二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac ab 4422，.当0>a 时，函数在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是增函数，在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数；当0<a 时，函数在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数，在⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,2a b 上是减函数.分析二次函数的图象的要素有①开口方向②对称轴③与y 轴的交点④△⑤与x 轴的交点三、二次函数的图象的平移变换题型一：巧设函数的表达形式1.已知抛物线过点(－1，0)，(2，7)，(1，4)三点，求二次函数的解析式2.已知当12x =-时，二次函数有最大值为34-，且点(1，－3)是该函数图像上的点，求二次函数的解析式3.设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，且()0f x =两实根的平方和为10，图像过点(0，3)，求二次函数的解析式题型二：二次函数的图象的要素的运用1.若()()223,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称，则c =_________．2.若函数()()2312f x ax bx a b a x a =+++-≤≤是偶函数，则点(),a b 的坐标是________．3.已知函数2()f x x ax b =++，且(2)f x +是偶函数，则57(1),(),()22f f f 的大小关系是()A ．57()(1)(22f f f <<B ．75(1)((22f f f <<)C ．75((1)(22f f f <<D ．75()()(1)22f f f <<4.已知函数()2f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数，则实数k 的取值范围为________．5.若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是____________.6.已知二次函数()2f x ax bx =+，如果()()12f x f x =(其中12x x ≠)，则12()f x x +=____________.7.已知函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0f m <，试比较(1)f m +与0的大小关系8.将二次函数2()25f x x x =-++图像先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求二次函数的解析式.对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠.（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．答案：1.22.1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭3.A 4.4k ≤或8k ≥ 5.[]02, 6.07.(0,1)培优题：1.设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<.（1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；（2）函数()f x 的图像关于直线0x x =对称，证明：102x x <.2.已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()10,-，问是否存在常数a b c 、、，使不等式()()2112x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立？3.已知函数()2f x ax ax b =++在()0,1上有两个零点，求()()01f f 的取值范围.答案：1.【解析】(1)由题意可知12()()()f x x a x x x x -=--121210,()()0x x x a x x x x a<<<<∴--> ,∴当∴当1(0,)x x ∈时，()f x x >.又112112()()()()(1)f x x a x x x x x x x x ax ax -=--+-=--+,10x x -<且22110ax ax ax -+>->，1()f x x ∴<，综上可知，所给问题获证.（2）由题意2()(1)f x x ax b x c -=+-+，它的对称轴方程为12b x a-=-，由方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<,可得121102b x x a a -<<<<-且121122b b x x a a ---=---,∴121111222b b b x x a a a a---∴-=-<----，即1b x a -<，而02bx a=-，故102x x <.2.【解析】假设存在常数a b c 、、满足题意，∵()f x 的图象过点(1,0)-，∴(1)0f a b c -=-+=①又∵不等式21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立，∴当1x =时，211(1)(11)2f ≤≤+，即11a b c ≤++≤，∴1a b c ++=②由①②可得：11,22a c b +==，∴211()()22f x ax x a =++-，由21()(1)2x f x x ≤≤+对一切x R ∈都成立得：22111()(1)222x ax x a x ≤++-≤+恒成立，∴2211()022(21)20ax x a a x x a ⎧-+-≥⎪⎨⎪-+-≤⎩的解集为R ，∴0114()042a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩且21018(21)0a a a -<⎧⎨+-≤⎩，即20(14)0a a >⎧⎨-≤⎩且212(14)0a a ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩，∴14a =，∴14c=，∴存在常数111,,424a b c===使不等式21()(1)2x f x x≤≤+对一切x R∈都成立．。
2022版新高考数学总复习真题专题--二次函数与幂函数(解析版)
2022版新高考数学总复习--§2.3 二次函数与幂函数— 五年高考 —考点1 二次函数1.(2019浙江,16,4分)已知a ∈R ,函数f (x )=ax 3-x.若存在t ∈R ,使得|f (t +2)-f (t )|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案432.(2019上海春,10,5分)如图,正方形OABC 的边长为a (a >1),函数y =3x 2的图象交AB 于点Q ,函数y =x -12的图象交BC 于点P ,则当|AQ |+|CP |最小时,a 的值为 .答案 √33.(2018天津文,14,5分)已知a ∈R ,函数f (x )={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x ∈[-3,+∞), f (x )≤|x |恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [18,2]4.(2018天津理,14,5分)已知a >0,函数f (x )={x 2+2ax +a ,x ≤0,-x 2+2ax -2a , x >0.若关于x 的方程f (x )=ax 恰有2个互异的实数解,则a 的取值范围是 . 答案 (4,8)考点2 幂函数1.(2019上海春,13,5分)下列函数中,值域为[0,+∞)的是 ( ) A.y =2xB.y =x 12C.y =tan xD.y =cos x答案 B2.(2018上海,7,5分)已知α∈-2,-1,-12,12,1,2,3.若幂函数f (x )=x α为奇函数,且在(0,+∞)上递减,则α= .答案 -1以下为教师用书专用(2016课标Ⅲ文,7,5分)已知a =243,b =323,c =2513,则 ( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b答案 A a =243=423,c =2513=523,而函数y =x 23在(0,+∞)上单调递增,所以323<423<523,即b <a <c ,故选A . 评析 本题主要考查幂函数的性质,属中档题.— 三年模拟 — A 组 考点基础题组考点1 二次函数1.(2021江苏南京秦淮中学开学考,3)已知a ,b ,c ∈R ,函数f (x )=ax 2+bx +c.若f (0)=f (4)>f (1),则 ( ) A.a >0,4a +b =0 B.a <0,4a +b =0 C.a >0,2a +b =0 D.a <0,2a +b =0 答案 A2.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y 轴对称,且与直线y =x 相切,则满足上述条件的二次函数可以为f (x )= . 答案 x 2+14(答案不唯一)3.(2020湖南炎陵一中仿真考试)已知f (x )=√1-x2为奇函数,则g (x )=x 2+ax +b 的单调递增区间为 . 答案 (-12,+∞)考点2 幂函数1.(2021河北唐山二模,3)不等式(12)x≤√x 的解集是 ()A.[0,12]B.[12,+∞) C.[0,√22] D.[√22,+∞)答案 B2.(2020湘赣皖十五校第一次联考)设a =ln 12,b =-5-12,c =lo g 132,则 ( )A.c <b <aB.a <c <bC.c <a <bD.b <a <c 答案 B3.(2020广东揭阳三中第一次月考,7)如图的曲线是幂函数y =x n在第一象限内的图象.已知n 分别取±2,±12四个值,与曲线C 1,C 2,C 3,C 4相应的n 依次为 ( )A.2,12,-12,-2B.2,12,-2,-12 C.-12,-2,2,12 D.-2,-12,12,2 答案 A4.(2021上海松江一模,10)从以下七个函数:y =x ,y =1x ,y =x 2,y =2x,y =log 2x ,y =sin x ,y =cos x 中选取两个函数记为f (x )和g (x ),构成函数F (x )=f (x )+g (x ),若F (x )的图象如图所示,则F (x )= .答案 2x+sin xB 组 综合应用题组时间:50分钟 分值:60分一、单项选择题(每小题5分,共20分)1.(2020湖北武汉3月质量检测)已知a =0.80.4,b =0.40.8,c =log 84,则 ( )A.b <a <cB.a <c <bC.c <a <bD.b <c <a答案 D2.(2020百校联盟普通高中教育教学质量监测,7)已知函数f (x )=lo g 12(x 2-ax +a )在(12,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1]B.[-12,1]C.(-12,1]D.(-12,+∞) 答案 B3.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数.当x <0时,g (x )=-ln (1-x ),且f (x )={-x 2,x ≤0,g (x ),x >0.若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围为 ( )A.(-1,2)B.(1,2)C.(-2,-1)D.(-2,1) 答案 D4.(2021河北石家庄一模,8)若f (x )的图象上存在两点A ,B 关于原点对称,则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”).若f (x )={x 3e x,x≥0,ax 2,x <0恰有两个“友情点对”,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-1e ,0) B.(0,1e )C.(0,1)D.(-1,0) 答案 A二、多项选择题(共5分)5.(2021辽宁百校联盟质检,9)下列函数中,在区间(2,4)上是减函数的是 ( )A.y =(13)x B.y =log 2(x 2+3x )C.y =1x -2 D.y =cos x 答案 AC三、填空题(每小题5分,共10分)6.(2021上海黄浦一模,12)已知a 、b ∈R ,函数f (x )=x 2+ax +b +|x 2-ax -b |(x ∈R ),若函数f (x )的最小值为2b 2,则实数b 的取值范围是 . 答案 [0,1]7.(2020上海复兴高级中学期中,12)对于问题:当x >0时,均有[(a -1)x -1](x 2-ax -1)≥0,求实数 a 的所有可能值.几位同学提供了自己的想法.甲:解含参不等式,其解集包含正实数集; 乙:研究函数y =[(a -1)x -1](x 2-ax -1);丙:分别研究两个函数y 1=(a -1)x -1与y 2=x 2-ax -1;丁:尝试能否参变量分离研究最值问题.你可以选择其中某位同学的想法,也可以用自己的想法,可以得出正确的答案为 . 答案 32四、解答题(共25分)8.(2021江苏南通海门一中期末,21)已知函数g (x )=ax 2-2ax +1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (1)求a ,b 的值;(2)若存在x ∈[3,4],使g (x )<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立,求m 的取值范围;(3)设f (x )=g (x )x,若不等式f (2x )-k ·2x ≥0在x ∈[-1,1]上有解,求实数k 的取值范围.解析 (1)g (x )=ax 2-2ax +1+b =a (x -1)2+1+b -a. ∵a >0,∴g (x )在[2,3]上单调递增,∴{g (2)=1,g (3)=4⇒{1+b =1,9a -6a +1+b =4⇒{a =1,b =0.(2)由(1)得g (x )=x 2-2x +1,∵存在x ∈[3,4],使g (x )<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立, ∴g (x )min =g (3)=4<2m 2-tm +7对任意的t ∈[0,5]都成立,即-mt +2m 2+3>0对任意的t ∈[0,5]都成立,其中t 看作自变量,m 看作参数,所以{2m 2+3>0,-5m +2m 2+3>0,解得m ∈(-∞,1)∪(32,+∞). (3)由(1)得f (x )=g (x )x =x 2-2x+1x =x +1x -2, ∴f (2x)-k ·2x=2x+12x -2-k ·2x≥0,令2x=t (12≤t ≤2),则不等式可化为k ≤1+1t2-2t ,∵不等式f (2x)-k ·2x≥0在x ∈[-1,1]上有解,∴k ≤(1+1t 2-2t )max ,又∵1+1t 2-2t =(1t-1)2, 12≤t ≤2⇒12≤1t ≤2,∴(1+1t2-2t )max =1, ∴k ≤1,即实数k 的取值范围是(-∞,1].思路分析 (1)利用二次函数的性质,即可求出a ,b 的值;(2)题目可转化为2m 2-tm +7>g (x )min =g (3)对任意的t ∈[0,5]都成立,再利用变换主元的方法,把t 看作自变量,m 看作参数,即可求解.(3)由(1)得出了函数解析式,令2x=t (12≤t ≤2),再分离参数k ,即可求解.9.(2020山西平遥中学第一次月考,18)已知二次函数f (x )满足f (x )=f (-4-x ), f (0)=3,若x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2. (1)求f (x )的解析式;(2)若x >0,求g (x )=xf (x )的最大值. 解析 (1)∵二次函数满足f (x )=f (-4-x ), ∴f (x )的图象的对称轴为直线x =-2,∵x 1,x 2是f (x )的两个零点,且|x 1-x 2|=2, ∴{x 1=-3,x 2=-1或{x 1=-1,x 2=-3. 设f (x )=a (x +3)(x +1)(a ≠0). 由f (0)=3a =3得a =1, ∴f (x )=x 2+4x +3.(2)由(1)得g (x )=xf (x )=xx 2+4x+3=1x+3x +4(x >0),∵x >0,∴1x+3x +4≤14+2√3=1-√32,当且仅当x =3x ,即x =√3时等号成立. ∴g (x )的最大值是1-√32.— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)2020年,新型冠状病毒肺炎在全球蔓延,防控形势异常严峻,佩戴口罩成为最基础最必要的防护,正因为如此,口罩一度脱销,成了年度最紧俏商品.为了解决口罩供应问题,某地区甲、乙两个口罩生产厂家不断扩大生产规模.已知2月份甲、乙厂家均月产口罩a 万个,此后甲厂产量逐月增加,并且增加量都是m (m >0)万个,乙厂产量也是逐月增加的,并且每月增加的百分率都是x.若2020年8月份两厂的产量也相同,则关于5月份的产量,下列说法正确的是 ( )A.5月份甲厂产量高于乙厂B.5月份甲厂产量低于乙厂C.5月份甲、乙两厂产量相同D.5月甲、乙两厂产量多少不能比较 答案 A2.(多选题)(2021 5·3原创题)若函数y =x 2-4x -4在区间[0,a )上既有最大值又有最小值,则正整数a 的值可能是 ( )A.2B.3C.4D.5 答案 BC3.(2021 5·3原创题)已知函数f (x )=ax 2-12x -34(a >0),且f (12)≥-1516.(1)是否存在实数a ,使得f (x )最小值的最大值是-1?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由; (2)在(1)的条件下,证明对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x 1,x 2,使|f (x 1)-f (x 2)|≥14恒成立. 解析 (1)因为f (x )=ax2-12x -34=a (x -14a )2-(34+116a ),a >0,所以f (x )min =-34-116a ,有-34-116a ≤-1,解得a ≤14,由f (12)=a 4-14-34≥-1516,解得a ≥14,所以a =14.(2)证明:由(1)知,a =14, f (x )=14(x -1)2-1,设任意长度为2的闭区间为[t -1,t +1].当t ≥1时, f (x )=14(x -1)2-1在[t ,t +1]上单调递增,则f (t +1)=14t 2-1, f (t )=14t 2-12t -34,令x 1=t ,x 2=t +1,则|f (x 1)-f (x 2)|=f (t +1)-f (t )=12t -14≥14.当t <1时, f (x )=14(x -1)2-1在[t -1,t ]上单调递减,则f (t -1)=14t 2-t , f (t )=14t 2-12t -34,令x 1=t -1,x 2=t ,则|f (x 1)-f (x 2)|=f (t -1)-f (t )=34-12t >14.综上所述,对于任意区间长度是2的闭区间上,总存在两点x 1,x 2,使|f (x 1)-f (x 2)|≥14恒成立.。
中考数学专题复习：二次函数图象综合应用
图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。
(易错题)高中数学必修一第二单元《函数》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．令[]x 表示不超过x 的最大整数，例如，[]3.54-=-，[]2.12=，若函数()[][]32f x x x =-，则函数()f x 在区间[]0,2上所有可能取值的和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数()2,125,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若存在12,x x R ∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a < B ．2a < C ．2a > D ．R3．已知函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+．设()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =（其中{}max ,p q 表示p ，q中较大值，{}min ,p q 表示p ，q 中较小值），记()1H x 的最小值为A ，()2H x 的最大值为B ，则A B -=（ ） A ．16-B ．16C ．8aD ．816a -4．对二次函数()2f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）． A ．1-是()0f x =的一个解 B ．直线1x =是()f x 的对称轴 C ．3是()f x 的最大值或最小值D ．点()2,8在()f x 的图象上5．已知的2()(1)()f x x x x ax b =+++图象关于直线1x =对称，则()f x 的值域为（ ） A ．[]4,-+∞B ．9,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．9,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]0,46．已知定义在R 上的函数()2||·x f x x e =， (a f log =， 312b f log ⎛=⎫ ⎪⎝⎭，()ln3c f = ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c b a >>7．符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-．给出下列结论：①函数{}x 的定义域是R ，值域为0,1；②方程{}12x =有无数个解；③函数{}x 是增函数；④函数{}x 为奇函数，其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0,)+∞上是减函数，如果()31f =-，则不等式()110f x -+≥的解集为（ ）A ．](2-∞，B ．[)2，+∞C ．[]24-，D ．[]14， 9．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4B ．3C ．2D ．110．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦成立，若()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]- C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,1][2,)-∞-+∞11．函数sin sin 122xxy =+的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．函数()()2212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤-B ．3a ≥-C ．5a ≥D ．3a ≥二、填空题13．函数()2f x x a =- 在区间[]1,1-上的最大值()M a 的最小值是__________．14．已知二次函数()()22,f x x ax b a b R =++∈，,M m 分别是函数()f x 在区间[]0,2的最大值和最小值，则M m -的最小值是________15．已知函数y ＝f (n)，满足f (1)＝2，且f (n+1)＝3f (n),n ∈N + .则f (3)＝____________. 16．已知函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-的定义域是________.17．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数． 期中正确命题的序号是___________．18．若函数()log (3)4,1(43)41,1a x x f x a x a x ++≥-⎧=⎨-+-<-⎩且满足对任意的实数m n ≠都有()()0f m f n m n-<-成立，则实数a 的取值范围____．19．已知函数()2()10f x x ax a =++>，若“()f x 的值域为[)0,+∞”为真命题，则()3f =________.20．已知函数22, 1()+1, 1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，若()f x 在定义域上不是单调函数，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题21．已知二次函数()2(f x ax bx c a R =++∈且2a >-），(1)1f =，且对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，且方程()42f x x =-有唯一实数解.（1）求()f x 的解析式；（2）若当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）是否存在区间[],()m n m n <，使得()f x 在区间[],m n 上的值域恰好为[]6,6m n ？若存在，请求出区间[],m n ，若不存在，请说明理由. 22．已知函数()2()01axf x a x =≠+. （1）判断函数()f x 在()1,1-上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （2）若2a =，函数满足44()55f x -≤≤，求x 的取值范围. 23．已知函数2()7f x x mx m =++-，m R ∈.（1）若()f x 在区间[2,4]上单调递增，求m 的取值范围； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最小值()g m ； 24．已知函数()222f x x ax =++，[]5,5x ∈-．（1）当1a =-时，求函数()f x 的最大值和最小值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数． （3）求函数()f x 的最小值()g a 的表达式，并求()g a 的最大值．25．已知函数()0ky x k x=+>在区间(单调递减，在区间)+∞单调递增．（1）求函数2y x x=+在区间(),0-∞的单调性；（只写出结果，不需要证明） （2）已知函数()()2131x ax f x a x ++=∈+R ，若对于任意的x N *∈，有()5f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．26．已知二次函数2()1(,)f x ax bx a b R =++∈，x ∈R .（1）若函数()f x 的最小值为(1)0f -=，求()f x 的解析式，并写出单调区间； （2）在（1）的条件下，()f x x k >+在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据[]x 表示不超过x 的最大整数，分5种情况讨论，分别求出[]x 和[2]x 的值，即可以计算()3[][2]f x x x =-的函数值，相加即可得答案． 【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，所以： 当102x <时，有021x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]0x =，此时()0f x =， 当112x <时，有122x <，则[]0x =，则3[]0x =，[2]1x =，此时()1f x =-， 当312x <时，有223x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]2x =，此时()1f x =， 当322x <时，有324x <，则[]1x =，则3[]3x =，[2]3x =，此时()0f x =， 当2x =时，24=x ，则[]2x =，则3[]6x =，[2]4x =，此时()2f x =， 函数()f x 在区间[0，2]上所有可能取值的和为011022-+++=； 故选：B ．【点睛】结论点睛：分类讨论思想的常见类型（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； （2）问题中的条件是分类给出的；（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.2．A解析：A 【分析】首先确定1x ≤时()f x 的对称轴2a x =，分别在12a <和12a≥两种情况下，结合二次函数的对称性和数形结合的方式确定不等关系求得结果. 【详解】当1x ≤时，()2f x x ax =-+是开口方向向下，对称轴为2ax =的二次函数， ①当12a<，即2a <时，由二次函数对称性知：必存在12x x ≠，使得()()12f x f x =； ②当12a≥，即2a ≥时，若存在12x x ≠，使得()()12f x f x =，则函数图象需满足下图所示：即125a a -+>-，解得：4a <，24a ∴≤<； 综上所述：4a <. 故选：A. 【点睛】思路点睛：根据()()12f x f x =可知分段函数某一段自身具有对称轴或两个分段的值域有交集，通过函数图象进行分析即可确定结果.3．A解析：A 【分析】根据()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+，由()(){1max ,H x f x =}()g x ．()()(){}2min ,H x f x g x =，得到max ()412B g x a ==-+，min ()44A f x a ==--求解.【详解】因为函数22()2(2)f x x a x a =-++，23()2(2)8g x x a x a =-+--+， 所以()()22()244,()2412f x x a a g x x a a =----=-+-+， 如图所示：当2x a =+时，()()44f x g x a ==--， 当2=-x a 时，()()412f x g x a ==-+， 因为max ()412g x a =-+，所以()()2max ()412H x g x g x a ≤≤=-+， 因为min ()44f x a =--，所以()()1min ()44H x f x f x a ≥≥=--， 所以44,412A a B a =--=-+， 所以16A B -=-， 故选：A 【点睛】方法点睛：(1)识别二次函数的图象主要从开口方向、对称轴、特殊点对应的函数值这几个方面入手．(2)用数形结合法解决与二次函数图象有关的问题时，要尽量规范作图，尤其是图象的开口方向、顶点、对称轴及与两坐标的交点要标清楚，这样在解题时才不易出错．4．A解析：A 【分析】可采取排除法，分别考虑A 、B 、C 、D 中有一个错误，通过解方程求得a ，判断a 是否为非零整数，即可得出结论. 【详解】①若A 错，则B 、C 、D 正确，直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得212434428b a ac baa b c ⎧-=⎪⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎪⎩，解得5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，合乎题意； ②若B 错，则A 、C 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=，3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得20434428a b c ac b a a b c -+=⎧⎪-⎪=⎨⎪++=⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意； ③若C 错误，则A 、B 、D 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 点()2,8在()f x 的图象上，则()2428f a b c =++=，可得012428a b c b a a b c -+=⎧⎪⎪-=⎨⎪++=⎪⎩，解得831638a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，不合乎题意；④若D 错误，则A 、B 、C 正确，1-是()0f x =的一个解，则()10f a b c -=-+=， 直线1x =是()f x 的对称轴，则12ba-=， 3是()f x 的最大值或最小值，则2434ac b a-=，可得2012434a b c b a ac b a⎧⎪-+=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得343294a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，不合乎题意. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用二次函数的基本性质求解参数，解本题的关键就是根据已知信息列出关于a 、b 、c 的方程组，解出参数的值，再逐一判断.5．B解析：B 【分析】结合函数对称性与解析式可知1,0-是零点，则2,3也是零点，由对应关系求出解析式，利用换元法和二次函数性质即可求解 【详解】因为函数()()()21f x x x x ax b =+++有两个零点1-，0，又因为其图象关于直线1x =对称，所以2，3也是函数()f x 的两个零点，即()()()()123f x x x x x =+⋅--，所以()()()22223f x x x x x =---，令()222111t x x x =-=--≥-，则()()223933124y t t t t t t ⎛⎫=-=-=--- ⎭≥⎪⎝，所以94y ≥-，即()f x 的值域为9,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，换元法的应用，函数值域的求解，解题关键在于：（1）若函数对称轴为x a =，则有()()f a x f a x +=-； （2）换元法求解函数值域必须注意新元取值范围.6．A解析：A 【分析】可看出()f x 在(0,)+∞上单调递增，且得出3(log 2)b f =，并且可得出33ln 3log log 2>，根据增函数的定义即可得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】0x >时，2()x f x x e =是增函数，且()()f x f x -=，33(log 2)(log 2)b f f ∴=-=，33330log 1log 2log log 31=<<<=，ln3ln 1e >=，∴33ln 3log log 2>>， ∴33(ln 3)(log (log 2)f f f >>，c a b ∴>>． 故选：A ． 【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7．B解析：B 【分析】根据函数性质判断[]x 是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，由此可以得到函数的性质，又定义函数{}[]x x x =-，当0x ≥时，表示x 的小数部分，由于①③是错误的，举例可判断②，根据单调性定义可判断④. 【详解】①函数{}x 的定义域是R ,但[]01x x ≤-<，其值域为)01⎡⎣，，故错误； ②由{}[]12x x x =-=，可得[]12x x =+，则 1.52.5x =，……都是方程的解，故正确； ③由②可得{}11.52=，{}12.52=……当 1.52.5x =，……时，函数{}x 的值都为12，故不是增函数，故错误； ④函数{}x 的定义域是R ,而{}[]{}x x x x -=---≠-，故函数不是奇函数，故错误；综上，故正确的是②. 故选：B. 【点睛】本题以新定义函数{}[]x x x =-的意义为载体，考查了分段函数和函数的值域、单调性等性质得综合类问题，在解答的过程中体现了分类讨论和数形结合的思想，还可以利用函数的图象进行解题．8．C解析：C 【分析】根据题意可得()f x 在[0，)+∞上为减函数，结合奇偶性以及()31f =-可得(|1|)f x f ⇒-|1|3x -，解出x 的取值范围，即可得答案．【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且函数()f x 在[0，)+∞上是减函数， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，由f （3）1=-，则不等式(1)10(1)1(1)f x f x f x f -+⇒--⇒-（3）(|1|)f x f ⇒-（3）|1|3x ⇒-， 解之可得24x -， 故不等式的解集为[2-，4]． 故选：C ． 【点睛】将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.9．B解析：B 【分析】这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．10．A解析：A 【分析】由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数，由()()2211f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，故22min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题11．D解析：D 【解析】 因为()sin()sin sin()sin 11()2222x x x xf x y f x ---=+==+=，所以函数sin sin 122xxy =+是定义在R 上的偶函数，排除A 、B 项；又sin2sin2115()222222f πππ=+=+=，排除C ，综上，函数sin sin 122xxy =+大致的图象应为D 项，故选D.12．A解析：A 【分析】分析函数()()2212f x x a x =+--的图象和性质，结合已知可得41a ≤-，解得答案.【详解】函数()()2212f x x a x =+--的图象是开口朝上，且以直线1x a =-为对称轴的抛物线，若函数()()2212f x x a x =+--在(],4-∞上是减函数，41a ∴≤-, 解得: 3a ≤-， 故选：A 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.二、填空题13．【分析】由题意函数为偶函数分和去掉绝对值然后根据单调性求出最大值再根据单调性求出的最小值【详解】解：由题意函数为偶函数①当时在上单调递增则；②当时当即时在上单调递减则；当即时在上单调递减在上单调递增 解析：12【分析】由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，分0a ≤和0a >去掉绝对值，然后根据单调性求出最大值()M a ，再根据单调性求出()M a 的最小值． 【详解】解：由题意，函数()2f x x a =-为偶函数，①当0a ≤时，()2f x x a =-，()f x 在[]0,1上单调递增，则()()()111M a f f a ==-=-；②当0a >时，()22,,x a x x f x a x x ⎧-≤≥⎪=⎨-<<⎪⎩或1即1a ≥时，()f x 在[]0,1上单调递减，则()()0M a f a ==；1<即01a <<时，()f x在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∵()0f a =，()11f a =-， 由1a a 得112a <<，此时()M a a =； 由1a a ≤-得102a <≤，此时()1M a a =-； ∴()11,21,2a a M a a a ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，∴()min 1122M a M ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故答案为：12． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，本题的关键在于分类讨论去掉绝对值，然后再根据单调性求出最值，属于中档题．14．【分析】求出函数的对称轴通过讨论的范围求出函数的单调区间求出的最小值即可【详解】由题意二次函数其对称轴为当即时在区间上为增函数当即时在区间上为减函数当即时在区间上为减函数在区间上为增函数；当即时在区 解析：2【分析】求出函数的对称轴，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出M m -的最小值即可. 【详解】由题意，二次函数()2222248a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，其对称轴为4a x =-， 当04a-≤，即0a ≥时，()f x 在区间[]0,2上为增函数， ∴()228M f a b ==++，()0m f b ==， ∴288M m a -=+≥，当24a-≥，即8a ≤-时，()f x 在区间[]0,2上为减函数， ∴()0M f b ==，()282m f a b ==++， ∴828M m a -=--≥，当014a <-≤，即40a -≤<时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()228M f a b ==++，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴()21828M m a -=+≥；当124a <-<，即84a -<<-时，()f x 在区间0,4a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，在区间,24a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴()0M f b ==，248a a m f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴228a M m -=>.综上所述：M m -的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，最值问题，分类讨论思想，转化思想，属于中档题．15．18【分析】根据递推关系式依次求f(2)f(3)【详解】因为f(n+1)＝3f(n)所以【点睛】本题考查根据递推关系求函数值考查基本求解能力解析：18 【分析】根据递推关系式依次求f (2) ，f (3). 【详解】因为f (n+1)＝3f (n)，所以(2)3(1)6,(3)3(2)18.f f f f ==== 【点睛】本题考查根据递推关系求函数值，考查基本求解能力.16．【分析】根据题意得到函数满足即可求解【详解】由题意函数的定义域为则函数满足即解得即函数的定义域为故答案为：【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的 解析：()0,2【分析】根据题意，得到函数()g x 满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即可求解. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(1,1)-，则函数()()(1)2xg x f f x =+-满足112111x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，即2202x x -<<⎧⎨<<⎩，解得02x <<， 即函数()g x 的定义域为()0,2. 故答案为：()0,2. 【点睛】本题主要考查了抽象函数的定义域的求解，其中解答中熟记抽象函数的定义域的求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.17．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③ 【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】命题①：对于函数4()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,a a ，则()()12f a f a ==，根据单函数定义，可得12a a ==，又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确； 命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.18．【分析】根据对任意实数都有成立得出在R 上单调递减从而得出解出a 的范围即可【详解】函数对任意的实数都有成立得在R 上单调递减∴故答案为：【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减利用分段解析：324a ≤<. 【分析】根据对任意实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得出()f x 在R 上单调递减，从而得出()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩，解出a 的范围即可．【详解】函数()f x 对任意的实数m n ≠，都有()()0f m f n m n-<-成立，得()f x 在R 上单调递减，∴()()()4300143141log 134a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⋅-+-≥-++⎩3430142a a a a ⎧<⎪⎪⎪⇒<<⇒≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩.故答案为：324a ≤<. 【点睛】关键点点睛：依函数单调性的定义得函数在R 上单调递减，利用分段函数的单调性求解.19．16【分析】二次函数的值域为得到求得值得解【详解】因为的值域为所以则又所以故答案为：16【点睛】二次函数的值域为得到是解题关键解析：16 【分析】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到240a ∆=-=求得a 值得解 【详解】因为()2()10f x x ax a =++>的值域为[0,)+∞，所以240a ∆=-=，则2a =±.又0a >，所以2,a =.22()21,(3)323116f x x x f ∴=++∴=+⨯+=故答案为：16 【点睛】二次函数()f x 的值域为[)0,+∞得到0∆=是解题关键.20．【分析】结合二次函数的图象与性质按照分类再由分段函数的单调性即可得解【详解】因为函数的图象开口朝下对称轴为且所以当时函数在上不单调符合题意；当时函数在上均单调递增若要使在定义域上不是单调函数则解得故 解析：(),1(2,)-∞+∞【分析】结合二次函数的图象与性质，按照1a <、1a ≥分类，再由分段函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数22y x ax =-+的图象开口朝下，对称轴为x a =，且22,?1()+1,?1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨>⎩，所以当1a <时，函数()f x 在(],1-∞上不单调，符合题意； 当1a ≥时，函数()f x 在(],1-∞，()1,+∞上均单调递增， 若要使()f x 在定义域上不是单调函数，则2121a a -+>+，解得2a >，故2a >符合题意； 综上，实数a 的取值范围是(),1(,)2-∞⋃+∞. 故答案为：(),1(,)2-∞⋃+∞. 【点睛】解决本题的关键是将分段函数不单调转化为两种情况，分类求解.三、解答题21．（1）()22f x x x =-+；（2）()12-∞，；（3）存在，所求区间为：[]4,0-. 【分析】（1）根据题意，用待定系数法，列方程组，求出解析式；（2）恒成立问题用分离参数法转化为求函数的最值，即可求实数k 的取值范围； （3）对于存在性问题，可先假设存在区间[],m n ，再利用二次函数的单调性，求出m 、n 的值，如果出现矛盾，说明假设不成立，即不存在. 【详解】（1）对于()2f x ax bx c =++，由(1)1f =得到：0a b c ++=①；∵对任意的x ∈R ，(5)(3)f x f x -+=-均成立，取x =3，得：(2)(0)f f = 即42=a b c c ++②又方程()42f x x =-有唯一实数解，得：()()2=2440b a c ∆+--=③①②③联立，解得：1,2,0a b c =-==（其中259a =-舍去） 所以()22f x x x =-+.（2）不等式不等式()2160f x kx k +--<可化为：不等式()22216k x x x -<-+∴当(10,)x ∈+∞时，不等式()2160f x kx k +--<恒成立，∴26()2161=22,21,20x x k x x x x -+<-++--∈+∞记()1622,2(10,)g x x x x -++=∈+∞-，只需()min k g x < 对于()16222g x x x =-++-在(10,)+∞上单调递增，∴()()min =10=12g x g ∴12k <，即k 的取值范围为()12-∞，. （3）假设存在区间[],()m n m n <符合题意。
高中数学-二次函数
二次函数专题专题必要性：高考中的很多题，往往最后都能转化为二次函数、一元二次方程和一元二次不等式问题，因此二次函数贯穿整个高考中，需深度掌握。
基础知识回顾1.给出函数表达式()2f x ax bx c =++，首先需要考虑a 是否等于0，若0a =，则函数不是二次函数. 2.二次函数的三种表现形式1）一般式：2(0)y ax bx c a =++¹2）顶点式：2()(0),)y a x h k a h k =-+¹此时二次函数的顶点坐标为此时二次函数的顶点坐标为((；3）分解式：12()()y a x x x x =-- 其中1x 、2x 是二次函数的与x 轴的两个交点的横坐标，此时二次函数的对称轴为直线122x x x +=. 3.二次函数的图像与性质①开口方向：当0a >，函数开口方向向上；当0a <，函数开口方向向下；，函数开口方向向下； ②对称轴：2bx a=-； ③顶点坐标：（2b a -，244ac b a-）；若图象与x 轴有两个交点，分别为11(,0)M x ，22(,0)M x ，则12M M =12x x -=a D. ④增减性④增减性⑤最值()x R Î：当0a >时，函数有最小值，并且当2b x a =-，min y =244ac b a-；当0a <时，函数有最大值，并且当2bx a =-时，2max 44ac b y a-=；⑥与x 轴的交点个数：当24b ac D =->0时，函数与x 轴有两个不同的交点；D <0时，函数x 轴没有交点；D =0时，函数与x 轴有一个交点. 4.二次函数根的由来——配方法二次函数根的由来——配方法对20(0)ax bx c a ++=¹进行配方，变换为2b c xx++=，由于完全平方是：()2222a ab b a b ++=+即2222()x ax a x a ++=+，所以要变换为22222044b b b cx x a a aa ++-+=，变换的关键点：一次项系数除以2再整体平方.∴222224()244b b c b ac x a a a a -+=-=.从而得到，在240b ac -³时有解，242b b a c x a-±-=；若240b ac -£，此时无解. 5.有关一元二次方程判别式24b ac D =-，联系韦达定理1）D >0有两个不等实根；D =0表示有两个相等实根，D <0表示没有实数根，实际就是()2,0x a p p +=<的情况. 2）a 、c 异号，此方程一定有两个解，且一根为正一根为负. 3）a 、b 异号时，两根相加为正数，表明两根在数轴上的中点大于0. 4）a 、b 同号时，两根相加为负数，表明两根在数轴上的中点小于0. 6.对于2y x =的特点和图象（幂函数的一种）1)开口朝上的抛物线图形，从原点（0,0）开始，1x <时，曲线变化缓慢，比y x =要小（分数或小数相乘，越乘结果越小），当过（1,1）点之后，图象加速上升，越向上越陡峭，斜率随x 的绝对值增大而增加. 2)图象关于y 轴对称. 3)(0,0)是图象的拐点，(,0]-¥上是减函数，(0,)+¥上是增函数. 4)图象与x 轴只有一个交点（0,0）。
2019年初升高数学衔接辅导之二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(含答案)
04二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．典型考题【典型例题】二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【变式训练】下列说法错误的是( )A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【能力提升】抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y ＝a (x ＋h )2＋k 与y ＝ax 2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y ＝2(x ＋1)2＋1与y ＝2x 2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y ＝2x 2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y ＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．典型考题【典型例题】如图，已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+4，将抛物线C 1沿x 轴翻折，得到抛物线C 2（1）求出抛物线C 2的函数表达式；（2）现将抛物线C 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线C 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E ．在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.(1)求点的坐标；(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.【能力提升】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．专题验收测试题1．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的有多少个①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x=；④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．A．2 B．3 C．4 D．52．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．﹣23．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞2x时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（）A．①②④B．②③④C．②④D．③④4．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x 的图象大致是（）A．B．C．D．5．若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y 3的大小关系为( ). A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 16．下列函数是二次函数的是( ). A ．y ＝2x B ．y =1x+x C ．y ＝x +5D ．y ＝(x +1)(x ﹣3)7．下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是（ ） A ．经过原点 B ．对称轴是y 轴 C ．开口向下D ．在对称右侧部分是向下的8．已知函数y ＝（x ﹣a ）（x ﹣b ）（其中a ＞b ）的图象如图所示，则函数y ＝ax +b 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a +b ＞0；②a +c ＜0；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣5a 2＞2a c ．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③④10．二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a )，下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a (x +5)(x ﹣1)＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11．如图，与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为______．12．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝5的一个根是2，且二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝2，则抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为_____．13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ．下面三个结论：①2a +b ＝0；②a +b +c ＞0；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_____．（只填你认为正确结论的序号）15．把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数____的图象．16．已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2﹣k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为___．17．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接B D．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0），与直线y＝32x﹣3交于点C（0，﹣3），直线y＝32x﹣3与x轴交于点D．（1）求该抛物线的解析式（2）点P是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC，PD，当△PCD的面积最大时，求点P的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l，点E是直线l上一点，连接OE，BE，若直线l上存在使sin∠BEO最大的点E，请直接写出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y＝mx+12交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A点，已知﹣1＜h＜1，请求出m的取值范围．22．如图，在直角坐标系中，直线y＝13x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．专题04二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质高中必备知识点1：二次函数图像的伸缩变换问题函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出y ＝2x 2，y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，通过这些函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系，推导出函数y ＝ax 2与y ＝x 2的图象之间所存在的关系． 先画出函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象． 先列表：再描点、连线，就分别得到了函数y ＝x 2，y ＝2x 2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y ＝2x 2的图象可以由函数y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y ＝12x 2，y ＝－2x 2的图象，并研究这两个函数图象与函数y ＝x 2的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．典型考题【典型例题】二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论个数是A．1个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】C【解析】由图象可得，，，故错误，当时，，故正确，当时，，由得，，则，得，故正确，，得，故正确，故选：C．【变式训练】下列说法错误的是( )A．二次函数y=－2x2中，当x=0时，y有最大值是0B．二次函数y=4x2中，当x>0时，y随x的增大而增大C．在三条抛物线y=2x2，y=－0.5x2，y=－x2中，y=2x2的图象开口最大，y=－x2的图象开口最小D．不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=-2＜0，抛物线开口向下，当x=0时，y有最大值是0，故该选项正确；B、二次函数y=4x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|＞|-1|＞|-0.5|，所以，y=2x2的图象开口最小，y=-0.5x2的图象开口最大，故该选错误；D、不论a是正数还是负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确．故选C．【能力提升】抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【答案】A【解析】∵二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大，又∵，∴抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是y=x2，故选A．高中必备知识点2：二次函数图像的平移变换函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x ＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．类似地，还可以通过画函数y ＝－3x 2，y ＝－3(x －1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a＋224b a )＋c －24b a224()24b b aca x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2ba-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2ba；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2ba-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．典型考题【典型例题】如图，已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+4，将抛物线C 1沿x 轴翻折，得到抛物线C 2（1）求出抛物线C 2的函数表达式；（2）现将抛物线C 1向左平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A ，B ；将抛物线C 2向右也平移m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N ，与x 轴交点从左到右依次为D ，E ．在平移过程中，是否存在以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣4（2）当m ＝3时，以点A ，N ，E ，M 为顶点的四边形是矩形 【解析】（1）∵抛物线C 1的顶点为（0，4）， ∴沿x 轴翻折后顶点的坐标为（0．﹣4），∴抛物线C 2的函数表达式为y ＝x 2﹣4；（2）存在连接AN ，NE ，EM ，MA ，依题意可得：M （﹣m ，4），N （m ，﹣4），∴M，N关于原点O对称OM＝ON，原C1、C2抛物线与x轴的两个交点分别（﹣2，0），（2，0），∴A（﹣2﹣m，0），E（2+m，0），∴A，E关于原点O对称，∴OA＝OE∴四边形ANEM为平行四边形，∴AM2＝22+42＝20，ME2＝（2+m+m）2+42＝4m2+8m+20，AE2＝（2+m+2+m）2＝4m2+16m+16，若AM2+ME2＝AE2，∴20+4m2+8m+20＝4m2+16m+16，解得m＝3，此时△AME是直角三角形，且∠AME＝90，∴当m＝3时，以点A，N，E，M为顶点的四边形是矩形．【变式训练】如图，抛物线轴的负半轴相交于点，将抛物线平移得到抛物线相交于点，直线于点，且.(1)求点的坐标；(2)写出一种将抛物线平移到抛物线的方法；(3)在轴上找点，使得的值最小，求点的坐标.【答案】(1)A(-2，0)，B(3，5)，C(8，10)；(2)先将向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到；(3)P(0，).【解析】（1）M1：y=x2-4与x轴的负半轴相交于点A，∴A（-2，0），∵AB=BC，C（8，m），∴，设AB直线解析式为y=kx+b，∵y=x2-4与相交于点A和B，∴m=10，∴B（3，5），C（8，10）；（2）∵抛物线M1平移得到抛物线M2，∴a=1，∵B（3，5），C（8，10）在抛物线y=x2+bx+c上，∴y=x2-10+26=（x-5）2+1，由M1平移得到抛物线M2先向右平移5个单位长度，再向上平移5个单位长度；（3）作点B关于y轴的对称点B'，连接CB'与y轴的交点即为P，∴B'（-3，5），设直线B'C的直线解析式为y=mx+n，.【能力提升】已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的函数表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点（﹣2，﹣1），试确定平移的方向和平移的距离．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）将抛物线向上平移4个单位．【解析】（1）把B（﹣1，0）和点C（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c得，解得，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）把x＝﹣2代入y＝﹣x2+2x+3得y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，点（﹣2，﹣5）向上平移4个单位得到点（﹣2，﹣1），所以需将抛物线向上平移4个单位．专题验收测试题1．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：从上表可知，下列说法正确的有多少个①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；②抛物线与y轴的交点为（0，6）；③抛物线的对称轴是直线x=；④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】的对称性，逐一判断．【详解】根据图表，抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0），∴①正确；根据图表，抛物线与y轴交与（0，6），②正确；∵抛物线经过点（0，6）和（1，6），∴对称轴为x=，∴③正确；设抛物线经过点（x，0），∴x=解得：x=3∴抛物线一定经过（3，0），④正确；在对称轴左侧，y随x增大而增大，∴⑤错误，故选C.2．如图，一条抛物线与x轴相交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点B在点A的右侧），其顶点P在线段MN上移动，M、N的坐标分别为（﹣1，2）、（1，2），x1的最小值为﹣4，则x2的最大值为（）A．6 B．4 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】由题意可知，当P在M点时，x1有最小值﹣4，∵M的坐标分别为（﹣1，2），∴x2＝2；∴x2与对称轴的距离是3；当P在N点时，x2有最大值，∵N的坐标分别为（1，2），∴x2的最大值为4.故选B．3．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b2﹣4c＞0；②3b+c+6＝0；③当x2+bx+c＞2x时，x＞2；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0，其中正确的序号是（）A．①②④B．②③④C．②④D．③④【答案】C【解析】∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；∴b2﹣4c＜0故①不正确；当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，即3b+c+6＝0；故②正确；把（1，1）（3，3）代入y＝x2+bx+c，得抛物线的解析式为y＝x2﹣3x+3，当x＝2时，y＝x2﹣3x+3＝1，y＝2x＝1，抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．4．定义运算“※”为：a※b=，如：1※（﹣2）=﹣1×（﹣2）2=﹣4．则函数y=2※x 的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解:y=2※x=，当x>0时,图象是y=对称轴右侧的部分;当x＜0时,图象是y=对称轴左侧的部分，所以C选项是正确的.5．若抛物线y＝ax2+2ax+4a(a＞0)上有A(32，y1)、B(2，y2)、C(32，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系为( ).A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴是x＝﹣1，开口向上，且与x轴无交点，∴与对称轴距离越近的点对应的纵坐标越小．A、B、C三点与对称轴距离按从小到大顺序是A、C、B，∴y1＜y3＜y2，故选：B．6．下列函数是二次函数的是( ).A ．y ＝2xB ．y =1x +xC ．y ＝x +5D ．y ＝(x +1)(x ﹣3)【答案】D【解析】解：A 、y ＝2x ，是一次函数，故此选项错误；B 、y ＝1x +x ，不是整式，故此选项错误；C 、y ＝x +5，是一次函数，故此选项错误；D 、y ＝(x +1)(x ﹣3)，是二次函数，故此选项正确．故选：D ．7．下列对二次函数2y x x =-的图象的描述，正确的是（）A ．经过原点B ．对称轴是y 轴C ．开口向下D ．在对称右侧部分是向下的【答案】A【解析】解：A 、当x ＝0时，y ＝x 2﹣x ＝0，∴抛物线经过原点，选项A 正确；B 、∵122ba -=, ∴抛物线的对称轴为直线12x =，选项B 不正确；C 、∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项C 不正确；D 、∵a ＞0，抛物线的对称轴为直线12x =， ∴当12x >时，y 随x 值的增大而增大，选项D 不正确．故选：A ．8．已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：∵y＝（x﹣a）（x﹣b）＝x2﹣（a+b）x+ab，∵抛物线的开口向上知二次项系数＞0，与y轴的交点为在y轴负半轴上，∴ab＜0，∵对称轴在y轴的右侧，二次项系数大于0，∴﹣（a+b）＞0．∴a+b＜0，∵a＞b，∴a＞0，b＜0，∴y＝ax+b的图象是C选项，故选：C．9．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)，以下结论：①2a+b＞0；②a+c＜0；③4a+2b+c ＞0；④b2﹣5a2＞2a c．其中正确的是( )A ．①②B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】B【解析】 解：由图象可知a ＜0，0＜﹣2b a ＜1， ∴b ＜﹣2a ，∴2a +b ＜0，所以①错误； ∵﹣2b a＞0，a ＜0， ∴b ＞0，当x ＝﹣1时，y 1＝a ﹣b +c ＝0，∴a +c ＝b ＞0，所以②错误；∵当x ＝2时，y ＞0，∴4a +2b +c ＞0﹣﹣﹣﹣②，所以③正确；∵过(﹣1，0)，代入得a ﹣b +c ＝0，∴b 2﹣2ac ﹣5a 2＝(a +c )2﹣2ac ﹣5a 2＝c 2﹣4a 2＝(c +2a )(c ﹣2a )又∵4a +2b +c ＞04a +2(a +c )+c ＞0即2a +c ＞0①∵a ＜0，∴c ＞0则c ﹣2a ＞0②由①②知(c +2a )(c ﹣2a )＞0，所以b 2﹣2ac ﹣5a 2＞0，即b 2﹣5a 2＞2ac ，所以④正确． 故选：B ．10．二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a )，下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a (x +5)(x ﹣1)＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1；⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】A【解析】 解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标(﹣2，﹣9a )， ∴﹣b 2a -＝﹣2，244ac b a-＝﹣9a ， ∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以②结论正确，5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0，故③结论错误，∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于(﹣5，0)，(1，0)，∴若方程a (x +5)(x ﹣1)＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则122x x +＝﹣2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 3，x 4，则342x x +＝﹣2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ．11．如图，与抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为______．【答案】y ＝(x ﹣3)2﹣4【解析】解：y ＝x 2﹣2x ﹣3的顶点是（1，﹣4），（1，﹣4）关于x ＝2的对称点是（3，﹣4），y ＝x 2﹣2x ﹣3关于直线x ＝2成轴对称的函数表达式为y ＝（x ﹣3）2﹣4，故答案为：y ＝（x ﹣3）2﹣4．12．已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝5的一个根是2，且二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝2，则抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为_____．【答案】（2，5）【解析】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的对称轴是直线x ＝2，方程ax 2+bx +c ＝5的一个根是2，∴当x ＝2时，y ＝ax 2+bx +c ＝5，∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．故答案为：（2，5）．13．二次函数21212y x x =-+ 中，二次项系数为____，一次项是____，常数项是___ 【答案】12 -2x , 1 【解析】∵y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数且a ≠0）．在一般形式中ax 2叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项∴21212y x x =-+ 中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是1. 故答案是：12; -2x;1. 14．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ．下面三个结论：①2a +b ＝0；②a +b +c ＞0；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_____．（只填你认为正确结论的序号）【答案】①③【解析】解：①∵图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为﹣1，3，∴AB ＝4，∴对称轴x ＝﹣b 2a ＝1， 即2a +b ＝0．故选项正确；②由抛物线的开口方向向上可推出a ＞0，而﹣b 2a＝1， ∴b ＜0，∵对称轴x ＝1，∴当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0．故选项错误；③要使△ABD 为等腰直角三角形，必须保证D 到x 轴的距离等于AB 长的一半； D 到x 轴的距离就是当x ＝1时y 的值的绝对值．当x ＝1时，y ＝a +b +c ，即|a +b +c |＝2，∵当x＝1时y＜0，∴a+b+c＝﹣2，又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，∴当x＝﹣1时y＝0，即a﹣b+c＝0，x＝3时y＝0，即9a+3b+c＝0，解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝12，c＝﹣32，故选项正确．故答案为：①③．15．把二次函数y=x2+2x+3的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，就得到二次函数____的图象．【答案】y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．【解析】∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2，∴抛物线y=x2+2x+3先向左平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后的函数关系式是：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．故答案为：y=（x+2）2+1或y=x2+2x+5．16．已知当2≤x≤3时，关于x的多项式x2﹣2kx+k2﹣k﹣1（k为大于2的常数）有最小值﹣2，则常数k的值为___．【答案】4．【解析】解：x2﹣2kx+k2﹣k﹣1＝（x﹣k）2﹣k﹣1（k＞2），①当2＜k≤3时，当x＝k时取最小值，∴﹣k﹣1＝﹣2，∴k＝2，不合题意；②当k＞3时，当x＝3时取最小值，∴9﹣6k+k2﹣k﹣1＝﹣2，∴k＝4或2.5，∵k＞3，∴k＝4；综上，k＝4；故答案为：4．17．已知二次函数y=a（x-m）2-a（x-m）（a，m为常数，且a≠0）．（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=25，求m的值；（3）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，且△ABC的面积为1，求a的值．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为-4或3；（3）a的值是±8．【解析】（1）证明：令y=0，a（x-m）2-a（x-m）=0，△=（-a）2-4a×0=a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）解：y=0，则a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m）（x-m-1）=0，解得x1=m，x2=m+1，∵x12+x22=25，∴m2+（m+1）2=25，解得m1=-4，m2=3．故m的值为-4或3；（3）解：∵x1=m，x2=m+1，∴AB=（m+1）-m=1，y=a（x-m）2-a（x-m）=a（x-m-12）2-4a，△ABC的面积=12×1×|-4a|=1，解得a=±8．故a的值是±8．18．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线对称轴DE交x轴于点E，连接B D．（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；（2）点P是线段BD上一点，当PE＝PC时，求点P的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）点P的坐标为（2，2）．【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩，解得23bc=⎧⎨=⎩，∴所求的抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图，连接PC，PE．抛物线的对称轴为x＝222(1)ba-=-⨯-＝1．当x＝1时，y＝4，∴点D的坐标为（1，4）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，则4 30 k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩．∴直线BD的解析式为：y＝2x+6，设点P的坐标为（x，﹣2x+6），又C（0，3），E（1，0），则PC2＝x2+（3+2x﹣6）2，PE2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，∵PC＝PE，∴x2+（3+2x﹣6）2＝（x﹣1）2+（﹣2x+6）2，解得，x＝2，则y ＝﹣2×2+6＝2， ∴点P 的坐标为（2，2）．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0），B （4，0），与直线y ＝32x ﹣3交于点C （0，﹣3），直线y ＝32x ﹣3与x 轴交于点D ． （1）求该抛物线的解析式（2）点P 是抛物线上第四象限上的一个动点连接PC ，PD ，当△PCD 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l 上存在使sin ∠BEO 最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣815）；（3）点E 的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣. 【解析】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x +2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38， 则函数的表达式为：233384y x x =--；（2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），连接OP ，设点P （x ，233384x x --）， S △PCD ＝S △PDO +S △PCO ﹣S △OCD ＝22133113272(3)323(3)2842288x x x x ⨯-+++⨯⨯-⨯⨯=--+， ∵﹣38＜0，∴S △PCD 有最大值， 此时点P （3，﹣815）； （3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，过圆心F 作HF ⊥x 轴于点H ，则OH ＝12OB ＝2＝OA ，OF ＝EF ＝4，∴HF ＝，过点E 的坐标为（﹣2，﹣；同样当点E 在x 轴的上方时，其坐标为（﹣2，；故点E 的坐标为（﹣2，2，﹣）．20．已知抛物线y ＝ax 2+bx +2经过A （﹣1，0），B （2，0），C 三点．直线y ＝mx +12交抛物线于A ，Q 两点，点P 是抛物线上直线AQ 上方的一个动点，作PF ⊥x 轴，垂足为F ，交AQ 于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；（3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）点P的坐标为（12，94）；（3）在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），∴将点A和点B的坐标代入得：204220a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得a＝﹣1，b＝1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．（2）直线y＝mx+12交抛物线与A、Q两点，把A（﹣1，0）代入解析式得：m＝12，∴直线AQ的解析式为y＝12x+12．设点P的横坐标为n，则P（n，﹣n2+n+2），N（n，12n+12），F（n，0），∴PN＝﹣n2+n+2﹣（12n+12）＝﹣n2+12n+32，NF＝12n+12．∵PN＝2NF，即﹣n2+12n+32＝2×（12n+12），解得：n＝﹣1或12．当n＝﹣1时，点P与点A重合，不符合题意舍去．∴点P的坐标为（12，94）．（3）∵y＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣12）2+94，∴M（12，94）．如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小．设直线AM的函数解析式为y＝kx+b，且过A（﹣1，0），M（12，94）．根据题意得：1924k bk b-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得3232kb⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线AM的函数解析式为y＝32x+32．∵D为AC的中点，∴D（﹣12，1）．设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点A的坐标代入得：﹣k+2＝0，解得k＝2，∴AC的解析式为y＝2x+2．设直线DE的解析式为y＝﹣12x+c，将点D的坐标代入得：14+c＝1，解得c＝34，∴直线DE的解析式为y＝﹣12x+34．将y＝﹣12x+34与y＝32x+32联立，解得：x＝﹣38，y＝1516．∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G（﹣38，1516）．21．现有一次函数y＝mx+n和二次函数y＝mx2+nx+1，其中m≠0，（1）若二次函数y＝mx2+nx+1经过点（2，0），（3，1），试分别求出两个函数的解析式．（2）若一次函数y＝mx+n经过点（2，0），且图象经过第一、三象限．二次函数y＝mx2+nx+1经过点（a，y1）和（a+1，y2），且y1＞y2，请求出a的取值范围．（3）若二次函数y＝mx2+nx+1的顶点坐标为A（h，k）（h≠0），同时二次函数y＝x2+x+1也经过A 点，已知﹣1＜h ＜1，请求出m 的取值范围． 【答案】（1）y ＝x ﹣2，y =12-x 2+32+1；（2）a ＜12；（3）m ＜﹣2或m ＞0． 【解析】（1）将点（2，0），（3，1），代入一次函数y ＝mx +n 中，0213m nm n =+⎧⎨=+⎩， 解得12m n =⎧⎨=-⎩，∴一次函数的解析式是y ＝x ﹣2，再将点（2，0），（3，1），代入二次函数y ＝mx 2+nx +1，04211931m n m n =++⎧⎨=++⎩， 解得1232m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴二次函数的解析式是213122y x =-++． （2）∵一次函数y ＝mx +n 经过点（2，0）， ∴n ＝﹣2m ，∵二次函数y ＝mx 2+nx +1的对称轴是x ＝n 2m-， ∴对称轴为x ＝1，又∵一次函数y ＝mx +n 图象经过第一、三象限， ∴m ＞0， ∵y 1＞y 2， ∴1﹣a ＞1+a ﹣1， ∴a ＜12． （3）∵y ＝mx 2+nx +1的顶点坐标为A （h ，k ）， ∴k ＝mh 2+nh +1，且h ＝n 2m-，又∵二次函数y＝x2+x+1也经过A点，∴k＝h2+h+1，∴mh2+nh+1＝h2+h+1，∴11 hm=-+，又∵﹣1＜h＜1，∴m＜﹣2或m＞0．22．如图，在直角坐标系中，直线y＝13x+1与x轴、y轴的交点分别为A、B，以x＝﹣1为对称轴的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴l与x轴交于一点D，连接PD，交AB于E，求出当以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似时点P的坐标；（3）若点Q在第二象限内，且tan∠AQD＝2，线段CQ是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点P的坐标是（﹣1，4）或（﹣2，3）；（3）存在，CQ【解析】解：（1）∵直线y＝13x+1与x轴交点为A，∴点A的坐标为（﹣3，0），∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴点C的坐标为（1，0），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、C，。
课堂实录-------二次函数及其图像
二次函数图象及其性质课堂演练一心理测试拉近距离教师：出示幻灯片后，一道心理测试题：在函数的大家庭里面，你最喜欢哪一个？请选择：A、一次函数B、正比例函数C、反比例函数D、二次函数学生：经过一分钟的思考，作出决定，选择其中一个；教师：让四个同学把事先准备的卡片发给学生,学生自己对照所描述的性格特点是否符合自己的事实．学生：把所列优缺点逐一对照，反映热烈，大部分同学觉得推测与自己相似．教师：希望同学们按卡片中的优缺点去发挥或克服．点评：先不论这个心理测试的科学性，但其中有一点可以肯定的是，经过几分钟的心理测试活动，拉近了老师与学生的心理距离，在这种借班上课的特殊情况下，是完全可以行得通的．另外采用这样的方式把数学知识变成日常生活的语言，使数学变得幽默．二 顺水推舟 引入课题教师：提问选择喜欢二次函数的学生，既然你最喜欢二次函数，那你必定了解二次函数，能讲一下喜欢的原因吗？学生：因为它的图象太美啦！教师：能否具体一点？补充发言：图象是对称的抛物线；教师：假设你是二次函数，你能作一下自我介绍吗？学生甲：大家好，我是二次函数；学生乙：我有两种不同的形式一般式： y=ax 2+bx+c (a ，b ，c 是常数,a ≠0)顶点式： y=a(x-h)2+k (a ，h ，k 是常数,a ≠0)；学生丙：我有漂亮的外表（光滑的抛物线）；补充发言：我有时会屁股朝上（抛物线开口向下的形象说法），（学生哄堂大笑）． 点评：教师能顺水推舟，让喜欢二次函数的学生来扮演二次函数作一个自我介绍，这需要学生很全面了解二次函数的图象及其性质，并把它拟人化地表达出来，只不过在引导过程中，教师放得太开，气氛虽好，但对于基础知识的整理可能有负面的影响．三 合作探究 提炼方法教师：让学生思考一题1．已知二次函数322-+-=x x y ，请解决如下问题：⑴函数图像的开口方向是 ，对称轴是 ，顶点坐标是__________．学生：很快求了三个对应的答案，反映扎实的基础；教师：继续思考⑵函数有无最大（最小）值？如果有最大（最小）值是多少？你是怎么得到的？变化（变式题）：如果二次函数x x y 422-=或者422-=x y ，上面问题的解答又是怎样的？学生：回答与上面是一样的，都用配方法求出来；教师：要求学生进行小组探究，并找出差异；学生：经过短时间的讨论与思考，很快发现原来y=2x 2-4不用配方，可直接写出结果．教师：不用配方的二次函数有什么特点；学生：缺少一次项；教师：继续思考第2小题2．写出一个二次函数，使它的开口方向向下，并且图象经过点（1，5）：_________________．学生：很快写出两种结果，但大多数是y=－（x －1）2+5教师：有没有更简单的结果；学生：有y=－x 2+6，先确定a=－1，开口向下，再加上6，使图象过点（1，5） 教师：你们的两种结果，正好提供了解这一题的两种思路，你们能否总结一下； 学生甲：先设点（1，5）是要求的二次函数的顶点，再确定开口方向取a 为负值；学生乙：先确定要求的二次函数的开口方向，再在后面加上一个数，使图象经过点（1，5）；其它学生：原来看来是最简单的方法，哪知道还有更简单的！点评：教师精心设计两道具有开放性的思考题，来让学生自主学习思考，并进行合作探究，通过对比，总结出方法，既突破了复习的重点，又符合“数学程标准”的要求，让学生多动脑，教师只作适当的引领．四变做题为讲题教师：出示例题：科研测试题，不要求学生做，只要求讲出解题的方法；学生：通过读题后很快思考出就是通过配方找出顶点，然后列表，描点，画图；教师：出示课堂测评题，先让学生在短时间之内算一算，然后要求学生讲怎样解决；学生：差不多，也是用配方法找出顶点，然后列表，描点，画图；教师：能不能变一变移动的方式也就是说变向上为向左或者向右，变了之后怎么做？学生：如果变了，就不能在后面加或减一个数，要在括号内加或减；教师：好，看来你们对平移的规律掌握的很好！还有你们刚才说了，这两道题差不多，难道真的没有什么区别？学生经过思考后：有，第二题要提“－”号，才能配方；学生补充：第二题要用到平移规律，第一题没有，还有第二题要求在同一坐系中画出两个二次函数的图象，这也比第一题要难；教师：很好，你们能通过这两题的比较掌握配方法，并且清楚地看到了考题与科研测试题之间的关系，同时也了解到高考对我们学习提出的要求．复习课与新课要有一定的区别的，新课是从无到有，从薄到厚，复习课是从知到深，从厚到薄，复习课更要注重以下几个方面（1）知识内容系统化（2）习题作业类型化（3）解题步骤规范化（4）复习技术习题化这一节课的主要特点是：数学教学活动化，促进学生学习的积极参与，体现了复习课的特点，促进知识的优点，高密度的边讲边问，小步多练，快进的教学节奏，启发式教学对讲授法的改进．存在问题：（1）、总结面可以放开点（2）、可以沟通各表达式之间的联系。
2020届高中数学：二次函数的图象与性质
2020届高中数学：二次函数的图象与性质1、(1)一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )解：若a >0，则一次函数y ＝ax ＋b 为增函数，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，故可排除A ；若a ＜0，同理可排除D.对于选项B ，由直线可知a >0，b >0，从而－b 2a<0，而二次函数的对称轴在y 轴的右侧，故应排除B.故选C .【点拨】本题巧妙地利用二次函数与一次函数图象经过特殊点，结合排除法解答．在遇到此类问题时，要牢记在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 的正负决定抛物线开口的方向，c 确定抛物线在y 轴上的截距，b 与a 确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≤1，ax 2＋x ，x ＞1在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－2，－1)C ．(－∞，－2] D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 解：由函数f (x )＝x 2＋ax 在(－∞，1]上单调递减，得－a 2≥1，即a ≤－2；由函数f (x )＝ax 2＋x 在(1，＋∞)上单调递减，得a <0且－12a ≤1，即a ≤－12.而12＋a ×1＝a ×12＋1，综上可知，a ≤－2.故选C .【点拨】对于分段二次函数的单调性，先确定各段的单调性，再确定分界点的函数值，从而确定函数在整个定义域上的单调性．(3)若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则a 的取值集合为( )A ．[－3，3]B ．[－1，3]C ．{－3，3}D ．{－1，－3，3}解：函数f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，其图象的对称轴方程为x ＝1.因为f (x )在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，令x 2－2x ＋1＝4⇒x ＝－1或3.令a ＋2＝－1或a ＝3，得a ＝－3或3，故a 的取值集合为{－3，3}．故选C .【点拨】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论．2、 (1)(2016·杭州模拟)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2＞4ac ； ②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0； ④5a ＜b .其中正确的是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解：因为图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac ＞0，即b 2＞4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b 2a＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y ＞0，即a －b ＋c ＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确．故选B .(2)函数f (x )＝x 2＋2ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)解：－a ≤1⇒a ≥－1.故选D .(3)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a (x ∈[0，1])有最大值2，则a ＝________.解：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a . 当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1.当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)． 当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.故填－1或2.。
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高中数学-二次函数的性质与图象测试题
选择题：
1．抛物线y ＝x2＋2x －2的顶点坐标是（ ）
A.（2，－2）
B.（1，－2）
C.（1，－3）
D.（－1，－3）
2．若一次函数y ax b =+的图象经过二、三、四象限，则二次函数
2y ax bx =+的图象只可能是（ ）
A B C D
3．已知二次函数y=a 2
x +bx+c,且a ＜0,a-b+c ＞0,则一定有（ ）
Ａ 24b ac - ＞0 Ｂ24b ac -＝０ Ｃ24b ac -＜０ Ｄ24b ac -≤０ 4．将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向上平移3个单位得到的抛物线,其解析式是( )
A y=2(x+1)2+3
B y=2(x －1)2－3
C y=2(x+1)2－3
D y=2(x －1)2+3
5.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c 的图象大致为（ ）
6、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 交于点(-2,0)、(1x ，0),且1<1x <2,与y 轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方，下列结论：①a<b<0②2a+c>0③4a+c<0④2a-b+1>0其中正确结论的个数是（ ）
Ａ 1个 Ｂ 2个 Ｃ3个 Ｄ 4个
x y O x y O x y O x
y O
7、已知抛物线和直线ι在同一直角坐标系中的图象如图所示
抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1,y1)，P2(x2,y2)是抛物线上的点，P3(x3,y3) 是直线ι上的点，且-1<x1<x2，x3<-1则y1,y2,y3的大小关系为( )
A. y1<y2<y3
B. y3<y1<y2
C. y3<y2<y1
D. y2<y1<y3
二、填空题：
8、函数
)0(1232≥++=x x x y 的最小值为___________________. 9、二次函数
],2[,86)(2a x x x x f ∈+-=且)(x f 的最小值为)(a f ，则a 的取值范围是____________________________.
10、抛物线
322+--=x x y 与x 轴的两个交点为A 、B ，顶点为C ，则ABC ∆的面积为_________________________.
三、解答题：
11、已知函数43321)(2--=
x x x f
（1）、已知841)2
7(-=f ，求)25(f （2）、不计算函数值，比较
)415(),41(f f -的大小
12、设不等式
)1(122->-x m x 对满足2||≤m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围。
参考答案：
选择题
1。
D ；
2。
C ；
3．A
4．A
5．B
6。
D ；
7。
D ；
二、填空题：
8．1
9．23a <≤
10．8
三、解答题：
11．2121()(3)24f x x =
--， 对称轴为3x =
(1)、5741()()2
28f f ==- 125(2).()()44f f -= ，又函数在[3,)+∞上递增，2515115()(),()()4444f f f f ∴>->即 12
．
11(
,)22x ∈。