压裂设计作业

人工裂缝支撑剂铺置优化设计讲义1 课程设计相关要求1.1 专业硕士课程设计目的目的：掌握水力压裂过程中支撑剂在裂缝中的铺置规律，并对压裂施工参数进行优化设计。

完成途径：理论学习、数学计算、软件应用1.2 主要任务每3人一组完成一个课题，每个课题参数不同。

主要任务：（1）计算砂粒沉降匀速、阻力速度、平衡流速、平衡时断面高度、平衡时间、平衡砂堤高度；（2）敏感性分析；（3）参数优化设计注意：计算参数由同学自行设计，可参考示例。

同一组同学参数可一样，不同组同学参数必须完全不相同，否则两组同学成绩均为零。

2 支撑剂沉降数学模型支撑剂在裂缝中的分布情况，决定了压裂后填砂裂缝的导流能力和增产效果。

而支撑剂在裂缝中的沉降受到诸多因素的影响，包括砂浓度、壁颗粒形状等因素。

2.1 支撑剂在压裂液中的自由沉降对于支撑剂在压裂液中的沉降现象，研究的起步是非常早的。

早在50年代，人们就认识到了支撑剂在输送过程中，由于液体的粘性力不可能完全的大于支撑剂颗粒自身的重力，会引起支撑剂在随着压裂液的前进过程中产生沉降现象[7]；并对这种现象进行了理论上的研究，应用于水力压裂的设计中，取得了一定的效果。

目前对于在牛顿液体中单颗粒的自由沉降或群粒的干扰沉降均有比较成熟的计算方法，对于非牛顿液体的幂律型液体中的沉降规律也有所认识、但对于带有粘弹性的冻胶压裂液中的沉降行为及其计算方法，只能说处于定性的、半定量的研究阶段，还有许多工作等待继续去做[8]。

2.1.1 单颗粒在牛顿流体中的自由沉降质量为m 的颗粒在力1F 的作用下，在液体中以速度u 沉降。

若2F 及3F 分别代表浮力及阻力，则在速度u 的方向上合力F 为：123F F F F =-- (2-1)将以上各种力的参数代入上式，则可写成下式：2(/)()2s d A u F ma ma C ρρρ=-- (2-2)式中 a ——加速度，m/s 2；ρ——压裂液净液的密度，kg/m 3； ρs ——砂粒的密度，kg/m 3；A ——垂直于沉降方向的颗粒面积，m 2； C d ——阻力系数，无因次； m ——颗粒的质量，kg ；u ——单颗粒的重力沉降速度，m/s 。

设球形颗粒在重力下沉降，则上式中的a ，A ，m 分别为：a g =，24p A d π=，36p s m d πρ=。

式中 g ——重力加速度，m/s 2；d p ——颗粒直径，m 。

又知：duF ma m dt==将上面各式分别代入(2-2)式中并进行整理，可得到：22/42s d p du u m mg mg C d dt πρρρ=-- (2-3) 2()34s d s p sdu g C u dt d ρρρρρ-=-(2-4) 颗粒在自由沉降中先是不断地加速，其受到的液体阻力也在增大，当作用力与阻力达到平衡时，砂粒以均匀的速度下沉，即0dudt=。

此时，可得到单个颗粒在牛顿流体中的沉降速度u=u p ，为：1/24()3s p p d g d u C ρρρ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(2-5)当使用(2-5)式求解颗粒的自由沉降速度时，首先应该确定阻力系数C d ，颗粒在沉降过程中，带动周围液体使之也产生运动[9]。

当液体运动速度在层流范围内时，斯托克斯在1851年给出了线性纳维尔斯托克斯方程的解。

牛顿液体的本构方程为：τμwdudr=() (2-6) 式中的τw 及du dr分别为：τπw pF d =32及du dr u d p =3 代入(2-6)解出F 3为：F d u p 33=πμ (2-7)式(2-7)的F 3与式(2-2)的F 3是恒等的，即：34222πμπρd u C d u p d p=⎛⎝⎫⎭⎪ (2-8) 所以：Re2424d p C d u N ρμ== (2-9) 式中 N Re ——雷诺数，无因次；μ——液体的粘度，mPa·s 。

上式中的阻力系数C d 只满足层流范围。

作C d 与N Re 的关系曲线图，可以看出，式(2-9)只能在N Re <1时使用。

将式(2-9)代入式(2-5)，得到斯托克斯的沉降等式：2()18s l pp g d u ρρμ-= (2-10)近年来由于压裂工艺的发展，许多学者引用了各种条件下计算单颗粒自由沉降的计算公式，其中诺沃特尼[10]建议如下：(1)当N Re ≤2时， Re24d C N =2()18s l pp g d u ρρμ-= (2-11)(2)当2<N Re <500时， 0.6Re 18.5d C N =0.71 1.440.290.4320.34()s p p d u ρρρμ-=(2-12)(3)当N Re ≥500时， 0.44d C =p u = (2-13)根据希勒与诺曼的建议[11]，当雷诺数从0.2化到500-1000时，可以用下列通用方式求阻力系数C d ：10.687Re Re 24(10.15)d C N N -=+ (2-14)由式(2-13)也可导出颗粒自由降落的阻力与雷诺数的关系：(1)1Re 24d C N -=时，F d u 3315=.πμρ(2)1Re 24d C N -=()10150687+.Re .N 时，F d u 3315=.πμρ()10150687+.Re .N (3)d C =0.44时，F d u p 3220055=.πρ (4)d C =0.10时，F d u p 32200125=.πρ2.1.2 单颗粒砂粒在幂律流体中的自由沉降目前，在水力压裂中多数情况下使用水基植物冻胶或高分子聚合物配制的压裂液，这种压裂液的性能至今还没有很全面的认识，但在一定一条件下一般把它看作幂律流体来处理[12]。

对于牛顿液体来说，作用在粒子上的剪切速率并不影响支撑剂的沉降速度，这是由于牛顿液体的粘度相对于剪切速率来说是常数。

然而对于幂律流体而言，由于液体比不流动时的剪切力大，支撑剂的沉降就较快。

剪切速率对支撑剂的影响可用综合的剪切速率来表示如果幂律流体的流变指数与稠度系数分别为n 和k ，则其雷诺数N Re 可表示如下：Re p pad u N ρμ=(2-15) 式中 N Re ——幂律流体的雷诺数，无因次；ρ——压裂液的密度，kg/m 3；d p ——支撑剂粒径，m ；u p ——支撑剂在幂律流体中的沉降速度，m/s ； μa ——幂律流体的视粘度，Pa·s ；丹尼什[13]取颗粒在匀速沉降时的剪切速率为3ppu d γ=，则对于幂律流体而言，其视粘度为：1n a a K μγ-=(2-16)其中21()3na n K K n+= 式中 K a ——幂律流体在裂缝中流动时的稠度系数，Pa·s n ；γ——压裂液流动剪切速率，s -1；n ——压裂液的流变指数(反映偏离牛顿流体的程度)，无因次。

将式(2-16)代入式(2-15)得：2Re 13n np p n ad u N K ρ--=(2-17)式中 K ——压裂液的稠度系数，Pa·s n ；利用当Re N <1时，Re 24d C N =，1/24()3s p p d g d u C ρρρ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦及式(2-17)得到：11n1()18(3)n nS p p n gd u K ρρ+-⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2-18) 因为在裂缝中流动时：21()3na n K K n+= 代入式(2-18)，整理后有：1(21)()90006000np s p p a n d d u n K ρρ+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2-19)式中各变量如以上各式。

诺沃尼特采用的剪切速率不同于丹尼什，D u d p p⋅=，此时斯托克斯定律为：1()18np s p p nd g u d K ρρ-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(2-20)比较式(2-5)与(2-19)或式(2-20)可以看出，砂粒在牛顿液体中的沉降速度与粒径的平方成正比，而在幂律液体中与粒径的(1+n)/n成比例。

当n=1时，二者相同，液体的非牛顿性愈强，差别也愈大。

上述计算砂粒在幂律液体中沉降的方法，只考虑到由于砂粒下降时在液体上所产生的剪切作用。

除此之外在流动的液体中，液体的流变性质还与流动所产生剪切速率有关。

因此诺沃特尼认为在流动的幂律液体中由于颗粒的沉降所引起的总剪切速率，应该是二者之代数和，即：D==(2-21) 式中D ——总剪切速率，s-1。

1D ——液体的流变性质所产生的剪切速率，s-1。

2D ——液体流动所产生的剪切速率，s-1。

在层流范围内(斯托克斯定律)，砂粒的沉降匀速p u应为22211()()()181818p s p s p s np n n nad g d g d gu DK D Kρρρρρρμ-----===(2-22) 将式(2-21)代入式(2-22)：122222()18np s pp npd g uu DK dρρ-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=+⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(2-23)上式要用试算法求解，式中的D 与液体在缝中的流速分布有关。

对幂律液体在缝中的流速分布为：12111/nnn yu un W Z+⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦(2-24)式中y——缝中心线至壁面的任意距离，cm；W——缝宽，cm；ū——缝中的平均流速，cm/s。

式(2-24)对y求导数，1221()1/ndu u n ydy W n W z+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭(2-25)所以：12221()()1/ndu u n yDdy W n W z+⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭(2-26)在缝的中心线上(y=0)， D2=0，液体没有受到剪切如同在静止的液体中一样，砂粒在此处沉降得慢。

在壁面附近，由于剪切速率的增加粘度降低，沉降速度应快一些。

2.2 颗粒沉降速度的影响因素压裂施工中，压裂液和支撑剂是按照一定的砂比注入裂缝的，支撑剂在这种条件下的沉降与单颗粒的自由沉降是不同的。

多颗粒在沉降时会相互干扰，并且支撑剂在沉降过程中还受到裂缝壁面的影响[14]。

这些影响因素必然会影响支撑剂的沉降速度。

2.2.1 砂浓度对沉降速度的影响压裂液中多颗粒沉降时，由于粒间相互的干扰作用，使得支撑剂的沉降速度低于单粒的自由沉降速度。

这种相互干扰作用包括以下两个方面：(1)单颗粒的沉降引起周围液体的向上流动，阻碍了周围流体的下沉，砂比越高，阻尼作用越大；(2)混有支撑剂的液体混合物在比重、粘度上都有所增加，其结果是增加了支撑剂的浮力和沉降的阻力，这都使沉降速度变慢。

通常以浓度校正系数f c 反映干扰沉降的影响，f c 的表达式如下：(1)m c p f f =- (2-27)式中 f c ——砂浓度校正系数，无因次；f p ——混砂液中支撑剂所占的体积百分数，无因次； m ——与雷诺数相关的经验常数，无因次。