03 线性变换及其矩阵(西北工业大学版)

R(T ) 和 N (T ) 均为 Vn 的子空间。 设 A 为 m n 阶矩阵，称
R( A) Ax | x Rn or x Cn 为矩阵 A 的值域； N( A) x | x Rn or x Cn, Ax 0 为 A 的核。
dim R(T)、dim N(T) 称为T 的秩和零度； dim R(A) 、dim N(A)称为 A 的秩和零度。 2. 定理：（1）dim R(T) dim N(T) dimVn
2
,,
xn
2
n
1
1
Tx
T
(
x1
,
x2
,,
x
n
)
2
x1
,
x
2
,,
xn
A
2
n
n
对比可知：
5
1 1
2
A 2
n n
即：
1
x
2
n
1
Tx
A 2
n
1. 定义：把 A 称为T 在基x1 , x2 ,, xn 下的矩阵。
2. 定理：设 x1 , x2 ,, xn 是 Vn 的一个基，T1 、T2 在该基下的矩阵分
（1）T(O) T(0x) 0(Tx) O
2
（2）T(x) (1)(Tx) (Tx)
（3）元素组 x1 , x2 ,, xm 线性相关，即存在一组不全为零的数
k1 , k2 ,, km 使
m
ki xi 0
i 1
m
m
则
T( ki xi ) ki (Txi ) T (0) 0
i 1
别为 A 、 B 。则有
（1） (T1 T2 )x1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn ( A B) （2） kT1x1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn (kA) （3） (T1T2 )x1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn ( AB) （4）T 1 x1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn A1
f (A) a0I a1 A a2 A2 an An
推论 2. 设线性变换T 在 Vn 的基x1 , x2 ,, xn下的矩阵为 A ，元素
6
x 在该基下的坐标为 (1 ,2 ,,n ) ，则Tx 在该基下的坐标
(1 ,2 ,,n ) 满足
1 1
2
A
2
n n
3.相似矩阵
i 1
Txi 线性相关。
[得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性 无关的，变换后的情况与元素组和线性变换有关。若线性变换 T 将 所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性 变换，其变换矩阵为满秩矩阵。 3. 线性变换的运算 （1）恒等变换Te ：x V ,Te x x （2）零变换T0 ： x V ,T0 x 0 （3）变换的相等： T1 、 T2 是V 的两个线性变换， x V ，均有 T1x T2 x ，则称T1 T2 （4）线性变换的和T1 T2 ： x V ， (T1 T2 )x T1x Tx2 （5）线性变换的数乘 kT ：x V ，(kT )x k(Tx) 负变换： (T )x (Tx) （6）线性变换的乘积T1T2 ： x V ， (T1T2 )x T1(T2 x)
f , g Pn ， k,l R D(kf lg) k(Df ) l(Dg)
D 是 Pn 上的线性变换。 2. 性质
（1） 线性变换把零元素仍变为零元素
（2） 负元素的象为原来元素的象的负元素
（3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组
[证明] 线性变换T(kx ly) k(Tx) l(Ty)
x1 , x2 ,, xn AP
7
x1'
,
x
' 2
,,
xn'
P 1 AP
x1'
,
x
' 2
,,
xn'
B
A 和 B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。
充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。
三、线性变换及矩阵的值域和核 1. 定义：设T 是线性空间 Vn 的线性变换，称
R(T ) Tx | x Vn 为T 的值域； N(T ) x | x Vn,Tx 0 称为T 的核。
T x1' , x2' ,, xn'
x1'
,
x2'
,,
x
' n
B
Tx1 , x2 ,, xn C x1 , x2 ,, xn CB
x1 , x2 ,, xn AC x1 , x2 ,, xn CB
AC CB 即 B C 1AC
定理：n 阶方阵 A 和 B 相似的充要条件是 A 和 B 为同一线性变换在不
3
（7）逆变换T 1 ： x V ，若存在线性变换 S 使得 (ST )x x ，则
称 S 为T 的逆变换 S T 1
（8） 线性变换的多项式：
T n TTT ，并规定T 0 Te
n个
N
N
f (T ) anT n f (T )x anT n x
n0
n0
需要说明的是：
1）Te 也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵 I ； 2）T0 对应的矩阵表示为零矩阵； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律；
4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换，
ST Te ； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存
在）均为线性变换。
二、线性变换的矩阵表示
线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形
式。
设T 是线性空间 Vn 的一个线性变换，且 x1 , x2 ,, xn 是 Vn 的一
第三讲 线性变换及其矩阵
一、线性变换及其运算
定义：设V 是数域 K 上的线性空间，T 是V 到自身的一个映射，使得 对于V 中的任意元素 x 均存在唯一的 y V 与之对应，则称T 为
V 的一个变换或算子，记为
Tx y
称 y 为 x 在变换T 下的象， x 为 y 的原象。
若变化T 还满足
T(kx ly) k(Tx) l(Ty) x, y V, k, l K
称 T 为线性变换。
[例
1]
二维实向量空间 R2
1 2
i
R
，将其绕原点旋转
角的
操作就是一个线性变换。
[证明]
x
1 2
y
Tx
1 2
12
1 1
cos sin
2 2
sin cos
1 2
cos sin
sin cos
1 2
R
2
y
2
2
o
1
1 x
可见该操作为变换，下面证明其为线性变换
1
x
x1 x2
z
z1 z2
R2
，
k,
l
R
kx
lz=
kx1
kx2
lz1
lz2
kx1
kx2
lz1 lz2
T
(kx
lz)
cos sin
sin kx1 lz1
cos
kx2
lz2
cos
k
sin
sin cos
源自文库
x1 x2
l
cos sin
k(Tx) l(Tz)
sin z1
cos
z2
T 是线性变换。
[例 2] 次数不超过 n 的全体实多项式 Pn 构成实数域上的一个 n 1 维
的线性空间，其基可选为
1,
x,
x2
,,
xn ，微分算子
D
d dx
是
Pn
上的
一个线性变换。
[证明] 显然 D 对 Pn 而言是变换， 要证明 D 满足线性变换的条件
设 T 在 Vn 的两个基 x1 , x2 ,, xn 及
x1'
,
x
' 2
,,
x
' n
的矩阵分别为 A
和 B ，且 x1' , x2' ,, xn' x1 , x2 ,, xn C ，则
B C1AC
即 A 和 B 为相似矩阵。
[证明]
Tx1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn A
m
推论 1. 设 f (t) ait i 为纯量 t 的 m 次多项式，T 为线性空间 Vn i0 的一个线性变换，且在 Vn 的基 x1 , x2 ,, xn 下的矩阵为
A ，则
f (T )x1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn f ( A)
其中 f (T ) a0Te a1T a2T 2 anT n
Txi
x1 , x2 ,, xn
a
i
2
ain
a11 a21 an1
T
x1 , x2 ,, xn
x1 , x2 ,, xn
a12
a22
a
n
2
x1 , x2 ,, xn
A
a1n a2n ann
对于任意元素 x ，在该基下，变换后Tx 的坐标表示为
同时
1
Tx
x1
,
x
个基，x Vn ，存在唯一的坐标表示
1
x
x1 , x2 ,, xn
2
1
x1
2
x2
n
x n
n
4
Tx
T(1 x1
2 x2
n
x n
)
1
Tx
1
,
Tx
2
,
,
Tx
n
2
n
1
T
(
x1
,
x
2
,
,
x
n
)
2
n
因此，要确定线性变换T ，只需确定基元素在该变换下的象就可
以了。
ai1
同基下的矩阵。
[证明] 必要性：已知 A 和 B 相似，即存在可逆矩阵 P 使 B P1AP
选取一个基 x1 , x2 ,, xn ，定义
Tx1 , x2 ,, xn x1 , x2 ,, xn A
考虑
x1'
,
x
' 2
,,
x
' n
x1 , x2 ,, xn P 可作为基，且
T x1' , x2' ,, xn' T x1 , x2 ,, xn P
（2）dim R( A) rank( A) （3）dim R( A) dim N( A) n ， n 为 A 的列数。 若 A 是线性变换T 的矩阵，则 dim R(T ) dim R( A)，dim N(T ) dim N( A)
作业：P77－78，1、26、7
8