第二课时-函数的最大(小)值

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规律方法 1.利用单调性求最值： 首先判断函数的单调性；然后利用单调性写出最值. 2.函数的最值与单调性的关系： (1)若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值 为f(b)； (2)若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值 为f(a).
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解 (1)当 a＝12时，f(x)＝x2＋2xx＋12＝x＋21x＋2.
任取 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·1－2x11x2， 因为x1<x2且x1>1，x2>1，所以x1－x2<0，x1x2>1，
所以 1－2x11x2>0，所以(x1－x2)1－2x11x2<0， 所以f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数. 所以函数 f(x)在[1，＋∞)上的最小值为 f(1)＝1＋12＋2＝72.
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3.2.1 单调性与最大（小）值
第二课时 函数的最大(小)值
课标要求
素养要求
1、借助函数图象，会用符号语言表达 通过图象经历函数最值的抽象过程，发
函数的最大值、最小值，理解它们的作 展学生的数学抽象、逻辑推理和数学运
用和意义. 算素养.
2、会求简单函数的最值
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一、基础自测
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四、巩固训练
1.函数f(x)＝|x|，x∈[－1，3]，则f(x)的最大值为________.
解析 根据图象可知，f(x)max＝3. 答案 3
2.函数 y＝x－1 1在[2，3]上的最小值为________.
解析 ∵y＝x－1 1在[2，3]上递减，∴ymin＝f(3)＝12.
答案
1 2
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3.函数y＝x2－2x，x∈[0，3]的值域为( )
A.[0，3]
B.[－1，0]
C.[－1，＋∞)
D.[－1，3]
解析 ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，∴当x＝1时，函数y取得最小
值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1，3]，故选D.
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三、题型探究
题型一 利用图象求函数的最值
x2－x （0≤x≤2），
【例 1】
已知函数 f(x)＝ 2 x－1
（x>2），
解 作出f(x)的图象如图：
求函数 f(x)的最大值、最小值.
由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最大值为 2；当 x＝12时，
f(x)取最小值为－14.
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(2)因为 f(x)＝x2＋2xx＋a>0 在[1，＋∞)上恒成立， 所以x2＋2x＋a>0在[1，＋∞)上恒成立. 记y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)， 所以y＝(x＋1)2＋a－1在[1，＋∞)上单调递增，故当x＝1时，y取得最小值，最小 值为3＋a. 所以当3＋a>0，即a>－3时，f(x)>0恒成立， 所以实数a的取值范围为(－3，＋∞).
答案 D
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如 图 为 函 数 y ＝ f(x) ， x ∈ [ － 4,7] 的 图 象 。
1 、 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ________ ， 单 调 递 减 区 间 为 ________．
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2、由图知函数的最大值和最小值分别是多少？
3、由图知函数值域在哪个范围内变化？
所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
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规律方法 用图象法求最值的三个步骤
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例 2 已知函数 f(x)＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞). x
(1)当 a＝12时，求函数 f(x)的最小值；
(2)若对任意的 x∈[1，＋∞)，f(x)>0 恒成立，试求实数 a 的取值范围.
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最大值
最小值
条件
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有
f(x)__≤__M
f(x)____M
∃x0∈I，使得___f_(x_0_)_=_M___
结论 几何意义
称M是函数y＝f(x)的最大值 f(x)图象上最高点的_纵__坐__标__
称M是函数y＝f(x)的最小值 f(x)图象上最低点的_纵__坐__标__
Hale Waihona Puke Baidu
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(1)证明 设 1≤x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2＋x12＝（x1－x2）x1（x2x1x2－1）. ∵1≤x1<x2，∴x1－x2<0，x1x2>1，∴x1x2－1>0，
∴（x1－x2）x1（x2x1x2－1）<0，即 f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数. (2)解 由(1)可知f(x)在[1，4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当 x＝4 时，f(x)取得最大值，最大值为 f(4)＝147. 综上所述，f(x)在[1，4]上的最大值是147，最小值是 2.
4、从函数图象上看，函数的最大值(最小值)在什么时候取得？
提示
1、增区间为：（－3，3]，（5，6]，减区间为：[-4，- 3 ]，（－3 ，5]，
（6 ，7]
2
2
2、最大值是3，最小值-2
3、[-2,3].
4、最大值在x＝3处取得，最小值在x＝- 3时取得. 2
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二 、函数的最大值与最小值 函数的最大值与最小值是一个整体概念
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跟踪训练 1、已知函数 f(x)＝x＋1. x
(1)求证f(x)在[1，＋∞)上是增函数； (2)求f(x)在[1，4]上的最大值及最小值.
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2、函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，若函数f(x)在区间[－4，－2] 上单调递减，在区间(－2，6]上单调递增，且f(－4)<f(6)，则函数 f(x)的最小值是________，最大值是________.