高考物理万有引力定律的应用试题(有答案和解析)

6．如图所示是一种测量重力加速度 g 的装置。在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放 置，管内小球以某一初速度自 O 点竖直上抛，经 t 时间上升到最高点，OP 间的距离为 h， 已知引力常量为 G，星球的半径为 R；求：
（1）该星球表面的重力加速度 g；
（2）该星球的质量 M；
（3）该星球的第一宇宙速度 v1。
kg
11024 kg
8．已知地球同步卫星到地面的距离为地球半径的 6 倍，地球半径为 R，地球视为均匀球 体，两极的重力加速度为 g，引力常量为 G，求：
（1）地球的质量； （2）地球同步卫星的线速度大小．
【答案】(1) M gR2 G
【解析】
(2) v gR 7
【详解】
（1）两极的物体受到的重力等于万有引力，则
GMm R2
mg
解得
M gR2 ； G
（2）地球同步卫星到地心的距离等于地球半径的 7 倍，即为 7R，则
GMm
7R2
m
v2 7R
而 GM gR2 ，解得
v gR . 7
9．一名宇航员抵达一半径为 R 的星球表面后，为了测定该星球的质量，做下实验：将一 个小球从该星球表面某位置以初速度 v 竖直向上抛出，小球在空中运动一间后又落回原抛 出位置，测得小球在空中运动的时间为 t，已知万有引力恒量为 G，不计阻力，试根据题中 所提供的条件和测量结果，求： （1）该星球表面的“重力”加速度 g 的大小； （2）该星球的质量 M； （3）如果在该星球上发射一颗围绕该星球做匀速圆周运动的卫星，则该卫星运行周期 T 为 多大？
【答案】（1）
g
2h t2
（2）
2hR2 Gt 2
（3）
2hR t
【解析】（1）由竖直上抛运动规律得：t 上=t 下=t
由自由落体运动规律： h 1 gt 2 2
g
2h t2
（2）在地表附近：
G
Mm R2
mg
gR2 2hR2 M G Gt2
（3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得：
G
Mm R2
“第一宇宙速度”大小．
【详解】
（1）月球表面附近的物体做自由落体运动 h＝ 1 g 月 t2 2
月球表面的自由落体加速度大小
g
月＝
2h t2
（2）若不考虑月球自转的影响
G
Mm R2
＝mg
月
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月球的质量
M＝
2hR2 Gt 2
质量为 m'的飞行器在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动 m′g 月＝m′ v2 R
(2)由于月球自转的影响，在“赤道”上，有
解得：
。
3．为了探测月球的详细情况，我国发射了一颗绕月球表面飞行的科学实验卫星．假设卫星
绕月球做圆 周运动，月球绕地球也做圆周运动．已知卫星绕月球运行的周期为 T0，地球表 面重力加速度为 g，地球半径为 R0，月心到地心间的距离为 r0，引力常量为 G，求： （1）月球的平均密度； （2）月球绕地球运行的周期．
（3） mg m v2 ；解得 v gR R
代入数据得： v v0 2hR x
点睛：平抛运动与万有引力联系的桥梁是重力加速度 g．运用重力等于万有引力，得到
g=GM/R2，这个式子常常称为黄金代换式，是求解天体质量常用的方法，是卡文迪许测量
地球质量的原理．
(2)
M
2hv0 2 R 2 Gx2
(3) v v0 x
2hR
【解析】（1）由平抛运动规律得：水平方向 x v0t
竖直方向 h 1 gt2 2
解得：
g
2hv02 x2
（2）星球表面上质量为
m
的物体受到万有引力近似等于它的重力，即
GMm R2
mg
得： M gR2 G
代入数据解得：
M
2hv0 2 R 2 Gx2
3 【答案】（1） GT02
（2）
T
2 r0 R0
r0 g
【解析】
【详解】
（1）月球的半径为 R，月球质量为 M，卫星质量为 m
由于在月球表面飞行，万有引力提供向心力： G
mM R2
＝m
4 2 T02
R
得 M＝4 2R3 GT02
且月球的体积 V＝ 4 πR3 3
4 2R3
根据密度的定义式
＝ M V
高考物理万有引力定律的应用试题(有答案和解析)
一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用
1．人类第一次登上月球时，宇航员在月球表面做了一个实验：将一片羽毛和一个铁锤从同
一个高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤 是从高度为 h 处下落，经
时间 t 落到月球表面．已知引力常量为 G，月球的半径为 R．
好又为 0，引力常量 G 6.671011 N m2 / kg2．试求：
（1）该星球的质量大约是多少？ （2）要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要多大速度？（计算 结果均保留二位有效数字）
【答案】（1） M 2.41024 kg （2）6.0km/s
【解析】
【详解】
（1）假设星球表面的重力加速度为 g，小物块在力 F1=20N 作用过程中，有：F1-mgsinθμmgcosθ=ma1 小物块在力 F2=-4N 作用过程中，有：F2+mgsinθ+μmgcosθ=ma2 且有 1s 末速度 v=a1t1=a2t2 联立解得：g=8m/s2．
m
v12 R
GM 2hR
v1
R
t
点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求
星球的质量。
7．宇航员在某星球表面以初速度 2.0m/s 水平抛出一小球，通过传感器得到如图所示的运 动轨迹，图中 O 为抛出点。若该星球半径为 4000km，引力常量 G=6.67×10﹣11N•m2•kg﹣ 2．试求：
mt 2 et
而 m
2 Tm
e
2 Te
解得 t 29.6 天
5．半径 R=4500km 的某星球上有一倾角为 30o 的固定斜面，一质量为 1kg 的小物块在力 F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力 F 始终与斜面平行．如果物块和斜面间的摩擦因数
3 ，力 F 随时间变化的规律如图所示（取沿斜面向上方向为正），2s 末物块速度恰 3
t=1s g 行=4m/s2； (2)第一宇宙速度是近地卫星的运行速度，在星球表面重力与万有引力相等，据万有引力提 供向心力有：
可得第一宇宙速度为：
G
mM R2
＝mg行＝m
v2 R
(3)据 可得：
v＝ g行R 4 4000103 m/s 4.0km/s
G
mM R2
＝mg行
M
g行 R2 G
4 (4000103)2 6.67 1011
得
＝
GT02 4 R3
＝ 3 GT02
3
（2）地球质量为 M0，月球质量为 M，月球绕地球运转周期为 T
由万有引力提供向心力
GM 0 M r02
＝M
4 2 T2
r0
根据黄金代换 GM0＝gR02
得 T 2r0 r0 R0 g
4．2019 年 3 月 3 日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收 官，我国对月球的探索将进人新的征程。若近似认为月球绕地球作匀速圆周运动，地球绕 太阳也作匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。 (1)已知地球表面处的重力加速度为 g，地球半径为 R，月心地心间的距离为 r，求月球绕地 球一周的时间 Tm； (2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一 周的时间 Tm＝27.4d，地球绕太阳运动的周期 Te＝365d，求地球上的观察者相继两次看到 满月满月的时间间隔 t。
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
本题考查考虑天体自转时，天体两极处和赤道处重力加速度间差异与天体自转的关系。
【详解】
(1)科学家在“两极”处竖直上抛物体时，由匀变速直线运动的公式
解得月球“两极”处的重力加速度
同理可得月球“赤道”处的重力加速度
在“两极”没有月球自转的影响下，万有引力等于重力，
解得月球的质量
（1）求月球表面的自由落体加速度大小 g 月； （2）若不考虑月球自转的影响，求月球的质量 M 和月球的“第一宇宙速度”大小 v．
【答案】（1）
g月
2h t2
（2） M
2hR2 Gt 2
；v
2hR t
【解析】
【分析】
（1）根据自由落体的位移时间规律可以直接求出月球表面的重力加速度；
（2）根据月球表面重力和万有引力相等，利用求出的重力加速度和月球半径可以求出月球 的质量 M； 飞行器近月飞行时，飞行器所受月球万有引力提供月球的向心力，从而求出
【答案】（1） g 2v （2） M 2vR2 （3）T 2 Rt
t
Gt
2v
【解析】
【详解】
（1）由运动学公式得： t＝ 2v g
解得该星球表面的“重力”加速度的大小 g＝ 2v t
（2）质量为 m 的物体在该星球表面上受到的万有引力近似等于物体受到的重力，则对该
星球表面上的物体，由牛顿第二定律和万有引力定律得：mg＝
(1)该行星表面处的重力加速度的大小 g 行； (2)该行星的第一宇宙速度的大小 v； (3)该行星的质量 M 的大小（保留 1 位有效数字）。 【答案】(1)4m/s2(2)4km/s(3)1×1024kg 【解析】
【详解】
(1)由平抛运动的分位移公式，有：
联立解得：
x=v0t
y= 1 g 行 t2 2
月球的“第一宇宙速度”大小 v＝
g月R＝
2hR t
【点睛】 结合自由落体运动规律求月球表面的重力加速度，根据万有引力与重力相等和万有引力提 供圆周运动向心力求解中心天体质量和近月飞行的速度 v．
2．在不久的将来，我国科学家乘坐“嫦娥 N 号”飞上月球(可认为是均匀球体)，为了研究月 球，科学家在月球的“赤道”上以大小为 v0 的初速度竖直上抛一物体，经过时间 t1，物体回 到抛出点；在月球的“两极”处仍以大小为 v0 的初速度竖直上抛同一物体，经过时间 t2，物 体回到抛出点。已知月球的半径为 R，求： (1)月球的质量； (2)月球的自转周期。
10．在某一星球上，宇航员在距离地面 h 高度处以初速度 v0 沿水平方向抛出一个小球，小 球落到星球表面时与抛出点的水平距离为 x，已知该星球的半径为 R，引力常量为 G，求：
(1)该星球表面的重力加速度 g；
(2)该星球的质量 M ；
(3)该星球的第一宇宙速度 v。
【答案】(1)
g
2hv02 x2
由
G
Mm R2
=mg
解得 M=gR2/G．代入数据得 M=2.4×1024kg
（2）要使抛出的物体不再落回到星球，物体的最小速度 v1 要满足 mg=m v12 R
解得 v1= gR =6.0×103ms=6.0km/s
即要从该星球上平抛出一个物体，使该物体不再落回星球，至少需要 6.0km/s 的速度． 【点睛】 本题是万有引力定律与牛顿定律的综合应用，重力加速度是联系这两个问题的桥梁；第二 题，由重力或万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度．
G
mM R2
解得该星球的质量为 M 2vR2 Gt
（3）当某个质量为 m′的卫星做匀速圆周运动的半径等于该星球的半径 R 时，该卫星运行
的周期
T
最小，则由牛顿第二定律和万有引力定律
G
mM R2
＝
4 2mR T2
解得该卫星运行的最小周期 T＝2 Rt 2v
【点睛】重力加速度 g 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．本题 要求学生掌握两种等式：一是物体所受重力等于其吸引力；二是物体做匀速圆周运动其向 心力由万有引力提供．
【答案】(1) Tm 2
r3 (2)29.6 gR2
【解析】
【详解】
（1）设地球的质量为 M，月球的质量为 m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力， 则
G
Mm r2
mr
2 Tm
2
地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则
GMm0 R2
m0 g
解得
Tm 2
r3 gR2
（2）相继两次满月有，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多 2 ，即