初中数学中考平行四边形中的折叠型问题(无答案)
第60期特殊平行四边形中的折叠问题
第60期特殊平行四边形中的折叠问题上期微专题探讨了勾股定理与折叠问题的不解之缘，本期我们将一起来探究特殊平行四边形中的折叠问题。
透过现象看本质如图，在矩形ABCD中，把ΔADE沿AE折叠，点D与点F重合，且点F落在BC 边上.我们不难发现，折叠问题的本质其实就是轴对称，折叠的性质就是轴对称的性质。
性质1.图形的全等性：重合部分是全等图形，对应边、对应角相等.（由折叠性质1可得：ΔADE≌ΔAEF）性质2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.（由折叠性质2可得： AE是DF的垂直平分线）特殊平行四边形中的折叠问题，既要用到折叠的性质，又要用到特殊平行四边形本身的性质，有时还需要借助勾股定理和图形的相似等知识建立有关线段、角之间的联系。
接下来，我们通过3个例题来探究特殊平行四边形中的折叠问题。
类型一、折叠性质1的应用例1．如图，菱形纸片ABCD中，AM⊥CD于点M，将△ADM沿直线AM折叠后，点D落在点E处，AE交BC于点N，且AE⊥BC．（1）求证：△AME≌△ANB；（2）求∠CBE的度数．分析：本题的已知条件有1. △ADM沿直线AM折叠为△AME2. 菱形ABCD3. AM⊥CD, AE⊥BC那么我们便利用折叠性质和菱形的性质及垂直的特殊条件来寻找线段和角之间的关系。
解：（1）∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD，∠ABC=∠D∵AM⊥CD，AN⊥BC∴∠AMD=∠ANB∴△ADM≌△ABN由折叠得△ADM≌△AEM∴△AME≌△ANB（2）由（1）得∠EAB=∠EAM，AE=AB∵CD//AB，AM⊥CD∴∠MAB=∠AMD = 90°∴∠EAB=∠EAM = 45°∴∠ABE=∠AEB = 67.5°∵AN⊥BN∴∠ABN =90°–∠EAB = 45°∴∠CBE=∠ABE–∠ABN = 67.5°–45° = 22.5°类型二、折叠性质2的应用例2．如图，已知矩形ABCD中，E是AB边的中点，连接CE，将△BCE沿直线CE折叠后，点B落在点B?处，连接AB?并延长交CD 于点F．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若AB = 6，BC=4，求tan∠CB?F的值．情景再现：本题第（2）问并不困难，难点在第（1）问。
专题02 特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法(学生版)
特殊平行四边形中折叠和旋转问题的六种考法目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (2)类型一、菱形中的折叠问题 (2)类型二、菱形中的旋转问题 (4)类型三、矩形中的折叠问题 (5)类型四、矩形中的旋转问题 (6)类型五、正方形中折叠问题 (8)类型六、正方形中旋转问题 (9)压轴能力测评（10题） (12)解题知识必备1.菱形的性质与判定1.菱形的性质（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（3）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积12ab．（a、b是两条对角线的长度）2.菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．2.矩形的性质与判定1矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．2矩形的判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）3.正方形的性质与判定1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形．2.正方形与矩形、菱形的关系矩形邻边相等正方形菱形一个角是直角正方形3.性质定理正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质．性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等．性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．4.判定定理：判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形．点B 落在边CD 上的G 处，若EG CD ⊥，43BE DG ==，，则AE 的长为．【变式训练1】（2024·广东东莞·二模）如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若80D ∠=︒，则BCF ∠的度数是．【变式训练2】（23-24八年级下·河北邢台·期中）如图，在菱形纸片ABCD 中，60A ∠=︒．（1）C ∠=︒．（2）点E 在BC 边上，将菱形纸片ABCD 沿DE 折叠，点C 对应点为点C '，且DC '是AB 的垂直平分线，则DEC ∠的大小为︒．类型一、菱形中的折叠问题例题：（2024九年级下·江苏南京·专题练习）如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB BC ，上，沿EF 翻折后，(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若86AC BC ==，，求DG 的长．类型二、菱形中的旋转问题例题：（2024·河南·三模）如图，菱形OABC 的顶点(0,0)O ，(1,0)A -，=60B ∠︒，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90︒后得到菱形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形202420242024OA B C ，那么点2024C 的坐标是（）A．1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．1,22⎛⎫ ⎝C．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D．1,22⎛- ⎝⎭【变式训练1】（2024九年级·全国·竞赛）在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O 按顺时针方向分别旋转90180270︒︒︒、、后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为2cm．【变式训练3】（2024·云南曲靖·二模）如图，已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 作CD AB ⊥于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，BFE △是BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：DF BF =；(2)将菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转．设旋转角()0180BAE αα∠=︒≤≤︒，且6AB =，AE =60DAB GAE ∠=∠=︒．①如图②，当90α=︒时，则线段DF 的长度是多少？②连接BD ，当DFB △为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？类型三、矩形中的折叠问题例题：（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD 中，4cm AD =，10cm AB =，按如图方式折叠，使点B 落与点D 重合，折痕为EF ，则DE =cm．【变式训练1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是边BC 上一点，将ABE 沿AE 折叠，使点B 落在点F 处，连接CF ．当CEF △为直角三角形时，CE 的长是．【变式训练2】如图①，菱形ABCD 和菱形AEFG 有公共顶点A ，点E ，G 分别落在边AB ，AD 上，连接DF ，BF ．点E 是线段BC 上不与端点重合的一个动点，连接BP EP ，，将BPE 关于直线PE 对称的三角形记作FPE △，若PF 垂直于矩形的任意一边，则线段BE 的长是．【变式训练3】（2024·江苏徐州·三模）如图，矩形ABCD 中，5AD =，8AB =，点E 为射线DC 上的一个动点，把ADE V 沿AE 折叠．点D 的对应点为D ¢．(1)求点D ¢刚好落在对角线AC 上时，D C '的长；(2)求点D ¢刚好落在此矩形的对称轴上时，线段DE 的长．【变式训练2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形ABCD 中，36AB AD ==，，点P 在AD 上，且2PD =，沿顺时针方向旋转，得到矩形EFCG ，点A 、B 、D 的对应点分别是点E 、F 、G．(1)如图1，当点F 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，求线段AF 的长；(2)如图2，当点F 落在矩形ABCD 的边CD 的延长线上时，连接AE ，取AE 的中点M ，求证：12CM AE =；(3)如图3，当点F 落在矩形ABCD 的对角线BD 的延长线上时，求CDF 的面积．【变式训练1】（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()5,0-，点C 的坐标为()0,3，将长方形OABC 绕O 按顺时针方向旋转α度得到OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．当4590α︒<≤︒，且BP PQ =时，线段PQ 的长是．类型四、矩形中的旋转问题例题：（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，以点C 为旋转中心，将矩形ABCD结CF．（1）如图①，当90α=︒时，CF 的长为；（2）如图②，点M 是CF 的中点，连结BM ，在旋转过程中，线段BM 的最大值为．【变式训练3】（2024·安徽池州·三模）已知，矩形CEFG 是矩形ABCD 绕点C 旋转得到的，且点G 落在AD边上．(1)如图1，连接BG ，求证：BG 平分AGC ∠；(2)如图2，在（1）的条件下连接BE 交CG 于点H ，求证：H 是BE 的中点；(3)如图3，在旋转的过程中，若C ，D ，F 三点共线，23AG GB =，求AB BC 的值．【变式训练2】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，已知矩形,3,5ABCD AB BC ==，将矩形ABCD 绕A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒，得到矩形AEFG ，点B 的对应点是点E ，点C 的对应点是点F ，点D 的对应点是点G ，连恰好与对角线AC 上的点F 重合，连接DF ，若2BE =，则CDF 的面积是．【变式训练1】（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形ABCD 中，10AB =，E 是BC 的中点，将ABE ∆沿AE 对折至AFE ∆，延长EF 交DC 于点G ，则DG 的长是（）A ．4B ．103C ．3D ．83【变式训练2】（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，对折正方形纸片ABCD ，得到折痕EF ，将纸片展平，在AD 上取一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在正方形ABCD 内部点M 处，将纸片展平，连接,PM BM ，延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ 若正方形ABCD 的边长为6，1FQ =，则AP 的长为．【变式训练3】（22-23八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形ABCD 的边长为3，E 为CD 边上一点（不与端点重合）．将ADE V 沿AE 对折至AFE △，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG．（1）EAG ∠=；（2）如图2，若E 为CD 的中点，则CG =．类型五、正方形中折叠问题例题：（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形ABCD 的边AB 上取一点E ，连接CE ，将BCE 沿CE 翻折，点B11C D AD ⊥于点1D （1）求证：四边形111AB C D 是正方形．（2）111::BB CC DD =；【规律探究】将正方形111AB C D 绕点A 旋转得到图2，连接1BB ，1CC ，1DD （3）111::BB CC DD 的比值是否会发生变化?请说明理由．【拓展应用】如图3，在图2的基础上，2B ，2C ，2D 分别是1BB ，1CC ，1DD 的中点．（4）求证：四边形．222AB C D是正方形．类型六、正方形中旋转问题例题：（2024·江西九江·一模）【特例感知】如图1，点1C 是正方形ABCD 对角线AC 上一点，11C B AB ⊥于点1B ，【变式训练2】（23-24八年级下·江苏宿迁·期中）如图1，点O 是正方形ABCD 两对角线的交点，分别延长OD 到点G ，OC 到点E ，使2OG OD =，2OE OC =，然后以OG 、OE 为邻边作正方形OEFG ，连接AG ，DE．(1)求证：DE AG ⊥；(2)如图2，正方形ABCD 固定，将正方形OEFG 绕点O 逆时针旋转α角（0360α︒<<︒），得到正方形OE F G '''；①在旋转过程中，当OAG '∠是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD 的边长为2，在旋转过程中，AF '长的最大值为______．【变式训练1】（23-24八年级下·上海·期末）如果把正方形ABCD 绕点C 旋转得到正方形A B CD '''，点B '落在对角线AC 上，点A '落在CD 的延长线上，那么AA B ''∠=度．的长度关系及所在直线的位置关系：（1）猜想如图1中线段BG ，线段DE 的数量关系是______；线段BG ，DE 的位置关系____类比探究：（2）将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形，请你判断（1）①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；拓展应用：（3）已知5AB =，2CE =，在正方形CEFG 绕点C 旋转的过程中，当点D E G ，，在同一条直线上时，DG 的长度是多少？请直接写出答案【变式训练3】（2024·山东东营·模拟预测）如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C D ，不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE点处，记为B'，则BF的长度为（）A．113B．72C．3D．522．（2024九年级·全国·竞赛）如图，将边长为1dm正方形ABCD绕点D按顺时针方向旋转45︒后得到正方形DEFG，边EF BC、相交于点H，则四边形CDEH的面积为（）．A2B2C．)21dm D．)21dm二、填空题3．（23-24八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形ABCD中，E为AB上一点，将矩形的一角沿CE向上折叠，点B的对应点F恰好落在边AD上．若AEF△的周长为12，CDF的周长为24，则AF的长为．一、单选题1．（2023·海南三亚·二模）如图，将边长为4，锐角为60︒的菱形ABCD沿EF折叠，使顶点B恰好落在边AD的中三、解答题5．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，正方形ABCD ，8AB =．将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转角度α（090α︒<<︒），得到正方形AEFG ，EF 交CD 于点M ，延长FE 交BC 于点N．(1)求证：MN DM BN =+；(2)顺次连接D ，E ，C ，F ，得到四边形DECF ．在旋转过程中，四边形DECF 能否为矩形？若能，求出BN 的值；若不能，请说明理由．4．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ︒∠=，将菱形ABCD 绕点A 逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG ，点E 在AC 上，EF 与CD 交于点P ．（1）EF 与DC 的关系是，（2）DP 的长为．应点分别为A '、D ¢，点A '恰好落在CD 边上．①求证：四边形AEA G '为菱形；②若6AB =，3CB =，120B ∠=︒，1CA '=，则DG 的长为________．7．（23-24八年级下·安徽六安·期末）问题情境：点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，将BE 绕点B 按顺时针方向旋转90︒至BE '．延长AE 交直线CE '于点F ，连接DE．(1)如图①，若F 在线段E C '的延长线上，求证：四边形BE FE '为正方形；(2)如图②，若F 恰为线段CE '的中点，请猜想线段DA 、DE 的数量关系并加以证明；(3)解决问题：若15AB =，3CF =，请直接写出DE 的长．6．（23-24八年级下·江苏南京·期末）（1）【感知】如图①，将ABCD Y 沿过点D 的直线折叠，使点A 的对应点A '落在CD 边上的点F 处，得到折痕DE ，连接EF ．若4=AD ，则四边形AEFD 的周长为________；（2）【探究】如图②，点E 、G 分别是ABCD Y 的边AB CD 、上的点，将四边形AEGD 沿GE 折叠，点A 、D 的对(1)当E 是BC 的中点时，求DF ．(2)如图2，当BE CF =时，AF 与BC 相交于点G ，求BE 的长；(3)如图3，当AE EF =时，求ABE 的面积．8．（23-24八年级下·广东湛江·期末）综合运用如图1，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，连接AE ，把ABE 沿AE 折叠得到AB E '，点B '在矩形ABCD 的内部，延长AB '交射线DC 于点F ，连接EF ，已知58AB BC ==，．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM BM ，．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30︒的角：_______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．①如图2，当点M 在EF 上时，MBQ ∠=________°，CBQ ∠=________°；②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图3，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为10cm ，当1cm FQ =时，直接写出AP 的长．9．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)如图①，当点E 落在DC 边上时，线段DE 的长度为___________；(2)如图②，当点E 落在线段CF 上时，AE 与DC 相交于点H ，连接AC ．①求证：ACD CAE △≌△；②求线段DH 的长度．(3)如图③设点P 为边FG 的中点，连接PB ，PE ，在矩形ABCD 旋转过程中，BEP △的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．10．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在矩形ABCD 中，8AB =，3BC =，以点A 为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD ，旋转角为()0180αα︒<<︒，得到矩形AEFG ，点,,B C D 的对应点分别为点,,E F G ．。
初中绝招数学-四边形中的折叠问题
FD四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）（1）证明：由题意可知21∠=∠，∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN ,∴四边形MNFE 是平行四边形.（2）60例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.（1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形； （2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2224(6)x x +-= 133x =NEFMD'A'B'C'ABC DNE F MD'A'B'C'ABC D 12 36-x=53Rt △ABC 中，AC=213 △FAC 的周长=263+213 △FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积=263例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =.在矩形ABCD 中，16==AB CD ，CB AD =，︒=∠=∠=∠90D C B ,∵6=CE ,∴10=-==CE CD DE EF .在Rt △CEF 中，822=-=CE EF FC .设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8.在Rt △ABF 中，222AF BF AB =+, 即222)8(16x x +=+,解得 12=x ，即12=BF （cm ）.例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明．（1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△，CD C DC DE CDE CE C E '''∴===，，∠∠． AD BC ∥，C DE CED '∴=∠∠．CDE CED ∴=∠∠．CD CE ∴=． CD C D C E CE ''∴===．∴四边形CDC E '为菱形．（2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． 证明：由（1）知CE CD =．又BC CD AD =+，BE AD ∴=．又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形．FEDCB A。
中考数学中的折叠问题精选全文
精选全中考数学中的折叠问题文完整版（可编辑修改）近年来，在各地中考数学命题时，十分重视对图形语言、文字语音、符号语言的理解运用及相互之间的关系，相互之间的转化能力以及动手操作能力的考查。
这样，图形的折叠问题就成为一个亮点，有关翻折的考题日趋增加。
翻折问题的解决方法，抓住翻折后与翻折的图形是以折痕为轴的轴对称图形这一关键，并运用代数方程，一般均可求得。
下面我们以中考题为例，谈谈翻折问题的几例类型及解法，供大家参考。
一、以矩形为母体的翻折这种类型最多，以折痕的不同位置又可分下面几种：1、沿对角线翻折例1、(2000年山西省)已知：如图1，将矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C 落在C’处，BC’交AD于E，AD=8，AB=4，求△BED的面积。
分析：因为BD是对称轴，∴∠CBD=∠C’BD，又AD∥BC，∴∠CBD=∠ADB，得：∠C’BD=∠ADB，∴ED=EB设ED=x，∴AD=8-x在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，即42+(8-x)2=x2，∴x=5，∴ED=EB=5又BD=∴S△BED==10方法2：过E作EF⊥BD，垂足F，在得到BE=5，BD=4后，在Rt△BEF中，EF=，得S△BED=BD×EF=×4×=10方法3：∵Rt△BEF∽Rt△BDC’，∴EF：DC’=BF：BC’，得EF==(以下略)2、沿一直线翻折，使一顶点落在对边上例2、(2000年山东省)已知矩形ABCD的两边AB与BC的比为4：5，E是AB 上一点，沿CE将△EBC向上翻折，若B点恰好落在边AD上的F点，如图2，则tg∠DCF=______。
A、B、C、D、分析：因为CF=CB，∴CF：CD=5：4，得CD：DF=4：3，∴tg∠DCF==，应选(A)。
例3、(1998年台州市)如图3，矩形ABCD的长、宽分别为5和3，将顶点C 折过来，使它落在AB上的C’点(DE为折痕)，那么阴影部分的面积是______。
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练习题(自
选)附答案
平行四边形中的折叠问题专项练题（自选）附答案
问题一
已知平行四边形ABCD，其边长分别为AB = 8 cm，BC = 10 cm，AD = 6 cm。
在平行四边形的内部选取一点P，使得AP = 3 cm，BP = 4 cm，CP = 5 cm，DP = x cm。
求x的值。
解答一
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。
由题意，可以得到
以下等式：
AP + CP = BP + DP
3 + 5 =
4 + x
8 = 4 + x
x = 4
所以，DP的值为4 cm。
问题二
已知平行四边形EFGH，其边长分别为EF = 6 cm，FG = 8 cm，GH = 12 cm。
在平行四边形的内部选取一点Q，使得EQ = 2 cm，FQ = 3 cm，GQ = x cm，HQ = 9 cm。
求x的值。
解答二
同样根据平行四边形的性质，由题意可以得到以下等式：
EQ + GQ = FQ + HQ
2 + x =
3 + 9
x + 2 = 12
x = 10
所以，GQ的值为10 cm。
总结
通过以上两个问题的解答，我们可以发现在平行四边形中的折叠问题中，如果在平行四边形内部选取的点与已知点之间的距离相等，那么可以利用平行四边形的性质求解未知量。
请注意，在实际折叠过程中，要确保折叠线与平行四边形的边平行，以保证折叠的正确性。
希望以上练习题对你有所帮助！。
九年级四边形中的折叠问题
巩固测试：1. 如图，矩 B
形ABCD沿BE折叠，使
点C落在AD边上的F点
处，如果ABF=60º， 则CBE等于（ ）。
A
(A)15º (B)30º
(C )45º (D)60º
C E
FD
如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，折叠 后点B落在点E上，若AD=4,AB=3.
E
D
B
C
F
C’Leabharlann （08湖北荆门）例2．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折 叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长 为________．
10
A
E
D
H
B
GF
C
C’
全等性
折
利用Rt△
轴对称 本 质 重结果 折叠问题
精 髓 方程思想
对称性
叠
利用∽
☞透过现象看本质:
A
A
D
折 实质 E叠
1、 直接说出下列线段的长度：
①BC= 4 ， DC= 3 ， 矩形对边相等
②AC= 5 ③AE= 3
， 勾股定理
A
，CE=_4___. 轴对称的性质
E
F
D
2、 求FC的长度。
B
C
将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠, 点B落 在点E处。求证：AF=CF
E
方法一：
A
E D Rt
EFA
证明：
E
∵四边形ABCD是矩形
∴AB=CD,AD=BC
∵折叠
A
F
D
∴AE=AB=CD,CE=BC=AD 又∵ED=ED
中考数学总复习知识点专题讲解17---平行四边形中折叠问题的探究
∵∠A’EF=∠CDE=90° ∴A’E∥CD ∴∠DCE=∠CEA’ 由折叠知：∠DCE=∠A’CE ∴∠CEA’=∠A’CE
图 4-3
5 / 14
∴A’C=A’E=4 又∵E 是 BC 中点 即 A’E 是 Rt △A’BC 的中线 ∴BC=2A’E=8 在 Rt△A’BC 中，由勾股定理得，A’B= 4 3 由折叠性质得：AB= A’B= 4 3 . 综上所述，AB 的长为 4 或 4 3 . 【点睛】熟练掌握中位线性质（三角形的中位线平行于第三边）及正方形判定，用勾 股定理求解. 题 5. 如图 5-1，有一块矩形纸片 ABCD，AB=4，AD=3，将纸片折叠，使得 AD 边落在 AB 边上，折痕为 AE，再将△AED 沿 DE 向右翻折，AE 与 BC 的交点为 F，则△CEF 的面积为__________.
故答案为：111°. 题 2. 如图 2-1，E为 ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，得到△FBE，点F在BD 上，且EF=DF． 若∠C=54°，则∠ABE=
图 2-1 【答案】76.5°. 【解析】由 平行四边形性质得：∠A=∠ C=54°， 由折叠性质知：∠A=∠EFB=54° 又因为EF=DF ∴∠EDF=∠DEF，∠EDF+∠DEF=∠EFB ∴∠EDF=∠DEF=27°. ∵AD∥BC，∴∠EDF=∠DBC=27° 由折叠知：∠ABE=∠EBF=（180°－27°）÷2=76.5°. 故答案为：76.5°. 题 3. 如图 3-1，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN， 再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE. 若AB的长为 4，则FM的长为
沿 AE 所在直线翻折得△AB′E，AB′与 CD 边交于点 F，则 B′F 的长度为（
关注平行四边形的折叠问题
中考园地江西省上高县第四中学（３３６４００） 黄细把 近年来中考中，出现了一类平行四边形折叠问题．解答时需注意：在折叠前后，折痕两边能够完全重合的部分是全等图形，它们的对应线段相等、对应角相等．现举例介绍如下：图１例１ 如图１，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ、Ｆ分别在边ＤＣ、ＡＢ上，ＤＥ＝ＢＦ，把平行四边形ＡＢＣＤ沿直线ＥＦ折叠，使得点Ｂ、Ｃ分别落在Ｂ′、Ｃ′处，线段ＥＣ′与线段ＡＦ交于点Ｇ，连接ＤＧ、Ｂ′Ｇ．（１）求证：ＥＧ＝ＦＧ；（２）ＤＧ＝Ｂ′Ｇ吗？为什么？分析 （１）要证明ＥＧ＝ＦＧ，只需证明∠ＧＥＦ＝∠ＧＦＥ；（２）要判断ＤＧ＝Ｂ′Ｇ是否成立，应考虑判断△ＤＥＧ≌△Ｂ′ＦＧ是否成立．解 （１）显见，四边形Ｂ′Ｃ′ＥＦ≌四边形ＢＣＥＦ，得 ∠ＧＥＦ＝∠ＣＥＦ．∵ ＡＢ∥ＣＤ，∴ ∠ＧＦＥ＝∠ＣＥＦ．∴ ∠ＧＥＦ＝∠ＧＦＥ．∴ ＥＧ＝ＦＧ．（２）ＤＧ＝Ｂ′Ｇ．理由如下：∵ ＤＥ＝ＢＦ，Ｂ′Ｆ＝ＢＦ，∴ ＤＥ＝Ｂ′Ｆ．∵ ＡＢ∥ＣＤ，Ｂ′Ｆ∥ＥＧ，∴ ∠ＤＥＧ＝∠ＥＧＦ，∠Ｂ′ＦＧ＝∠ＥＧＦ．∴ ∠ＤＥＧ＝∠Ｂ′ＦＧ．又 ＥＧ＝ＦＧ，∴ △ＤＥＧ≌△Ｂ′ＦＧ（ＳＡＳ）．∴ ＤＧ＝Ｂ′Ｇ．图２例２ 如图２，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，将其沿对角线ＡＣ所在的直线折叠，使得点Ｂ落在点Ｂ′处，连接ＢＢ′、ＣＢ′，设点Ｏ为ＣＢ′与ＡＤ的交点．（１）请直接写出图２中所有的等腰三角形（不添加字母和线段）；（２）连接ＤＢ′，请问△ＯＤＢ′是等腰三角形吗？请说明理由．分析 （１）等腰三角形是有两边相等或两角相等的三角形．由ＡＣ是折痕，点Ｂ与点Ｂ′是一对对应点，得△ＡＢ′Ｃ≌△ＡＢＣ，那么ＡＢ′＝ＡＢ，Ｂ′Ｃ＝ＢＣ，∠ＡＣＢ′＝∠ＡＣＢ．又ＡＤ∥ＢＣ，得∠ＯＡＣ＝∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＢ′．从而，图中有三个等腰三角形；（２）可以证明△ＡＢ′Ｏ≌△ＣＤＯ，得Ｂ′Ｏ＝ＤＯ，△ＯＤＢ′是等腰三角形．解 （１）图２中所有的等腰三角形有三个，它们分别是△ＡＢＢ′、△ＢＣＢ′、△ＡＯＣ．（２）△ＯＤＢ′是等腰三角形．理由如下：∵ △ＡＢ′Ｃ≌△ＡＢＣ，∴ ＡＢ′＝ＡＢ，∠ＡＢ′Ｃ＝∠ＡＢＣ．∵ 四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ ＣＤ＝ＡＢ，∠Ｄ＝∠ＡＢＣ．∴ ＡＢ′＝ＣＤ，∠ＡＢ′Ｃ＝∠Ｄ．∵ ∠ＡＯＢ′＝∠ＣＯＤ，∴ △ＡＢ′Ｏ≌△ＣＤＯ（ＡＡＳ）．∴ Ｂ′Ｏ＝ＤＯ．∴ △ＯＤＢ′是等腰三角形．（下转第３８页）·７３· 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ山东省临清市北门里街颐清园小区１９号楼７单元２楼西户（２５２６００） 刘继征 反比例函数问题，常含有几何图形背景，解法灵活多样．既要挖掘相应的几何内涵，又须利用函数图像上点满足函数解析式的值相等．现举例加以说明，供参考．一、与等边三角形相关联问题．例１ （２０１４年武汉市）如图１，若双曲线ｙ＝ｋｘ与边长为５的等边△ＡＯＢ的边ＯＡ、ＡＢ分别相交于Ｃ、Ｄ两点，且ＯＣ＝３ＢＤ，则实数ｋ的值为．图１图２ 分析 如图２，过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，过点Ｄ作ＤＦ⊥ｘ轴于点Ｆ，并设ＢＤ＝ｘ，则ＯＣ＝３ｘ．依据等边△ＡＯＢ的每个角为６０°，根据锐角三角函数分别表示出点Ｃ、Ｄ的坐标，并代入函数解析式，并根据ｋ值相等，建立关于ｘ的方程，并求出ｘ，进而可得出ｋ值．解 过点Ｃ作ＣＥ⊥ｘ轴于点Ｅ，过点Ｄ作ＤＦ⊥ｘ轴于点Ｆ，设ＯＣ＝３ｘ，则ＢＤ＝ｘ．这样，在Ｒｔ△ＯＣＥ中，∠ＣＯＥ＝６０°，则∠ＯＣＥ＝３０°，∴ ＯＥ＝１２ＯＣ＝３２ｘ，ＣＥ＝ＯＣｓｉｎ∠ＣＯＥ＝３ｘ·ｓｉｎ６０°＝槡３３２ｘ，∴ 点Ｃ坐标为（３２ｘ，槡３ ３２ｘ）．（下转第３９页檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪）（上接第３７页）图３例３ 如图３，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＡＤ上一点，先将平行四边形ＡＢＣＤ沿直线ＢＥ折叠，再沿直线ＣＥ折叠，若点Ａ和点Ｄ恰好都落在ＢＣ上的点Ｆ处．（１）求证：ＢＥ⊥ＣＥ；（２）探索ＢＥ、ＣＥ、ＥＦ之间的数量关系，并证明你的结论．分析 （１）要证明ＢＥ⊥ＣＥ，只要证明∠ＢＥＣ＝９０°；（２）由△ＢＣＥ是直角三角形及ＥＦ与ＢＣ之间的关系，容易得出ＢＥ２＋ＣＥ２＝４ＥＦ２．解 （１）依题意，△ＡＢＥ≌△ＦＢＥ，△ＣＤＥ≌△ＣＦＥ．∴ ∠ＡＥＢ＝∠ＦＥＢ，∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＣ，∴ ∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＣ＝∠ＦＥＢ＋∠ＦＥＣ＝∠ＢＥＣ．∵ ∠ＡＥＢ＋∠ＤＥＣ＋∠ＢＥＣ＝１８０°，∴ ２∠ＢＥＣ＝１８０°．∴ ∠ＢＥＣ＝９０°，ＢＥ⊥ＣＥ．（２）ＢＥ２＋ＣＥ２＝４ＥＦ２．证明如下：∵ ∠ＢＥＣ＝９０°，∴ ＢＥ２＋ＣＥ２＝ＢＣ２．∵ ＡＢ＝ＦＢ，ＤＣ＝ＦＣ，又 ＡＢ＝ＤＣ，∴ ＦＢ＝ＦＣ，ＥＦ是Ｒｔ△ＢＣＥ斜边上的中线．∴ ＥＦ＝１２ＢＣ，ＢＣ＝２ＥＦ．∴ ＢＥ２＋ＣＥ２＝４ＥＦ２．（责审 李延林）·８３· 网址：ｚｘｓｓ．ｃｂｐｔ．ｃｎｋｉ．ｎｅｔ 电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａｌ．ｎｅｔ．ｃｎ。
北师大版九年级数学上学期题型全攻略专题01 特殊平行四边形中的折叠问题全梳理(解析版)
专题01特殊平行四边形中的折叠问题全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、三角形翻折问题】 (1)【考法二、四边形翻折问题】 (16)【课后练习】 (28)【方法归纳】1.折叠的基本性质：翻折前后对应的边与角相等；2.对于翻折都不确定的情况，注意分类讨论，避免漏掉解；3.方程思想：灵活设未知数，通过勾股定理建立方程，解出答案4.综合性：把折叠性质与四边形性质相结合，建立边角之间的关系。
【考法一、矩形翻折问题】例．如图，在矩形OABC 中8AB =，4BC =，点D 为对角线OB 中点，点E 在OC 所在的直线上运动，连结DE ，把ODE 沿DE 翻折，点O 的对应点为点F ，连结BF ．(1)当点F 在OC 下方时（如图1），求证：DE BF ∥．(2)当点F 落在矩形的对称轴上时，求EF 的长．(3)是否存在点E ，使得以D ，E ，F ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求OE 的长；若不存在，请说明理由．当四边形△中，在Rt ABO222=+=OB AB AO8BC OC⊥∴∥，且D为OBDM BC中位线，DM∴为OCBOE EF BD DO ∴==，，25OE OD ∴==；如图，当四边形DEBF 为平行四边形时，DF OD BE ∴=，25BE ∴=，在Rt BEC △中，EC =826OE ∴=-=；DF OD BD DF == ，25BE OD ∴==，在Rt BCE 中，2CE BE =-在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．【初步思考】（1）若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图①）当点P与点A重合时，DEF∠=_____︒，当点E与点A重合时，DEF∠=______︒；【深入探究】（2）若点P落在矩形ABCD的内部（如图②），且点E、F分别在AD、DC边上，AP的最小值是______；【拓展延伸】（3）若点F与点C重合，点E在AD上，射线BA与射线FP交于点M（如图③）在各种不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等？若存在，请求出线段AE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）90；45（2）2（3）存在某一情况，使得线段AM与线段DE的长度相等，线段AE的长度为65或4211【分析】（1）当点P与点A重合时，画出图形可得结论；当点E与点A重合时，则EF平分DAB∠，即可得出答案；（2）当F与C重合，点P在对角线AC上时，AP有最小值，根据折叠的性质求8CD PC==，由勾股定理求10AC=，即可得出结果；（3）分两种情况根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：（1）四边形ABCD是矩形，90DAB D∴∠=∠=︒，当点P与点A重合时，EF是AD的中垂线，90DEF∴∠=︒，当点E与点A重合时，如图，则EF平分DAB∠，==，则AF=设DF PF x当A，P，F在一直线上时，当x最大为8时，AP最小值为四边形ABCD是矩形，A ADC B∴∠=∠=∠=90∠由折叠的性质得：EPM ，AM DE=∴=，AM EP四边形ABCD是矩形，∴∠=∠=∠=︒，DAM ADC B90∠=∠由折叠的性质得：EPC ADC ∴∠=∠=︒，GAM GPE90变式2．【问题情境】折纸操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘，下面是折纸过程．【动手操作】步骤1：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，展平纸片；步骤2：点M 为边AD 上任意一点（与点A ，D 不重合），ABM 沿BM 折叠得到A BM '△，折痕BM 交EF 于点N ．【问题探究】（1）如图1，当点A 的对称点A '落在EF 上时，连接AN ．求证：四边形ANA M '为菱形；（2）已知2BC AB =，继续对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合，折痕GH 与EF 交于点O ．将ABM 沿BM 折叠，连接MO ，若点A 的对称点A '恰好落在线段MO 上，此时2AM =．①尺规作图：请在图2中用直尺和圆规，作点A 的对称点A '（保留作图痕迹，不写作法）；②求AB 的长度；【拓展迁移】如图3，在矩形纸片ABCD 的边AB 上取一点P ，折叠纸片，使P ，B 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；点B '为EF 上任意一点（与点E ，F 不重合），折叠纸片使B ，B '两点重合，得到折痕l 及点P 的对应点P '，折痕l 交EF 于点K ，展平纸片，连接BP '，KP '．（3）猜想P B K ∠'与BC P '∠的数量关系，并证明．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②6AB =；（3）3P BC BP K ''∠∠＝，理由见解析【分析】（1）根据折叠可得出NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，，证明AD EF ∥，利用平行线的性质得出AMB MNA '∠=∠，则A MB MNA ''∠=∠，利用等角对等边得出MA NA ''=，即可得证；（2）①以M 为圆心，MA 为半径画弧交MO 于A '即可；②利用折叠的性质，矩形的判定与性质可得出2BH AB A B AG OG '====，证明()HL OA B OHB ' ≌，得出OA OH OG '==，在Rt MGO △中，根据勾股定理，可求出OG ，进而求出AB ；（3）连接PK ，BK ，延长BK 交P B ''于点M ，可证明EB B MBB ''≌ ，得出BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可得BK PK P K B K ''===，利用等边对等角和三线合一的性质可得出P BK BP K ''∠=∠，KBB KB B ''∠=∠，MB MP ''=，利用线段垂直平分线的性质BP BB ''=，利用三线合一性质可得出P BK KBB ''∠=∠，则P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）中BC EF ∥，可得出B BC KB B ''∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：连接AA '，∵ABM 沿BM 折叠，得到A BM '△，∴BM 垂直平分AA '，∴NA NA '=，MA MA '=，AMB A MB '∠=∠，由折叠可知：AEF BEF ∠=∠，∵180AEF BEF ∠+∠=︒，∴90BEF ∠=︒，∵四边形ABCD 为矩形，∴90DAB ∠=︒，∴90BEF DAB ∠=∠=︒，∴AD EF ∥，∴AMB MNA '∠=∠，∴A MB MNA ''∠=∠，∴MA NA ''=，∴MA NA NA MA ''===，∴四边形ANA M '为菱形；点A'即为所求，解：连接BO，由折叠可知：AB A B'=，MA 由（1）得90∠=∠=︒GHB HGA∵l为折痕，∴P B B PBB'''∠=∠，BP B P''=，l ∴KP KP'=，=，KB KB'∴KBB KB B''∠=∠，∵B B BB''=，∴BE B M '=，90FEB BMB '∠=∠=︒，由折叠可知：KP KB =，EP EB =，90FEB ∠=︒，∴KP KB '=，KP KB ''=∴P BK BP K ''∠=∠，MB MP ''=∴BP BB ''=，∴P BK BP K KBB KB B ''''∠=∠=∠=∠，由（1）可知BC EF ∥，∴B BC KB B ''∠=∠，∴3P BC BP K ''∠=∠．【点睛】本题考查了矩形与折叠，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．变式3．如图1，在矩形ABCD 中，点E 是边AB 上的一点，连接DE ．(1)若DE 平分ADC ∠，点G 是CD 上的一点，连接EC ，EG ，且EC EG =．过点C 作CQ EG⊥于Q ，CQ 延长线交ED 于H ，过点H 作HP CD ⊥于P ，如图．①填空：AED △的形状是______三角形；②求证：PHC BEC△△≌(2)将图1的矩形ABCD 画在纸上，若DE 平分ADC ∠，沿过点E 的直线折叠，点C 恰好落在AD 上的点C '处，点B 落在点B '处，得到折痕EF ，B C ''交AB 于点M ，如图．求证：MC ME '=．(3)如图，延长DE 交CB 的延长线于点K 使得AB BK =，此时恰好BE BC =，连接AC 交DK 于点J ，连接BJ ．请证明：KJ AJ BJ >+．【答案】(1)①等腰直角；②见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）①根据矩形的性质和角平分线的性质可得45AED ADE ∠=∠=︒，进而得出结果；②可证得BCE PCH ∠=∠，EC HC =，90HPC B ︒∠=∠=，进而得出结论；（2）连接C E '，可证得Rt Rt EC A C EB ''' ≌，可得C EA EC B '''∠=∠，根据等角对等边即可得出结论；（3）在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，可证KBE ABC ≌△△，得BKE BAC ∠=∠，在证KBI ABJ ≌△△，得KBI ABJ ∠=∠，90IBJ KBA ︒∠=∠=，得出IJ BJ >，进一步得出结论．【详解】（1）① 四边形ABCD 是矩形，∴90A ADC ∠=∠=︒，DE 平分ADC ∠，∴1452ADE ADC ∠=∠=︒，∴9045AED ADE ∠=︒-∠=︒，∴AED ADE ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △等腰直角三角形，故答案为：等腰直角②证明：如图，过点E 作EW CD ⊥于W ．EC EG = ，EGC ECG ∴∠=∠，CH EG ⊥ ，90HCP EGC ∴∠+∠=︒，90BCE ECG ∠︒∠+= ，BCE PCH ∴∠=∠，45EDW DEW ∠︒∠== ，45EHC EDW PCH PCH ∴∠=∠︒+∠=+∠，DEC DEW CEW ∠=∠+∠，EW BC ∥，BCE CEW PCH ∴∠=∠=∠，DEC EHC ∴∠=∠，EC HC ∴=，90HPC B ∠=∠=︒PHC BEC ∴△△≌．（2）证明：如图，连接C E '，由（1）知，AED △为等腰直角三角形，AD AE ∴=，四边形ABCD 是矩形，AD BC ∴=，90EAC B '∠=∠=︒，由折叠知，B C BC ''=，B B '∠=∠，AE B C ''∴=，EAC B ''∠=∠，又EC C E ''=，在Rt EC A '△和Rt C EB ''△中，EC C E ''=，AE B C ''=，∴Rt Rt EC A C EB ''' ≌，C EA EC B '''∴∠=∠，MC ME '∴=．（3）如图，在线段EK 上取点I ，使得KI AJ =，连接BI ，在AJB 与KIB △中，BK AB =，ABC ABK ∠=∠，BE BC =，KBE ABC ∴△△≌，BKE BAC ∴∠=∠．KI AJ = ，BK AB =，BKE BAC ∠=∠，KBI ABJ ∴△△≌，KBI ABJ ∴∠=∠，90IBJ IBA ABJ IBA KBI KBA ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，IBJ ∴△为直角三角形，IJ BJ ∴>，KJ AJ BJ ∴>+．【点睛】本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，准确添加常用辅助线，构造特殊三角形和证明全等三角形是解本题的关键。
初中数学折叠问题(全)精品
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN 交于P ．(1)连接BB’，那么BB’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y ，AB’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。
七年级折叠问题例题
七年级折叠问题例题一、折叠问题例题1。
1. 题目。
- 将一张长方形纸条ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在D'、C'的位置上，ED'与BC的交点为G，若∠EFG = 55°，求∠1和∠2的度数。
2. 解析。
- 因为AD∥BC，所以∠DEF = ∠EFG = 55°（两直线平行，内错角相等）。
- 由折叠可知，∠DEF = ∠D'EF，所以∠D'EF = 55°。
- 那么∠1 = 180° - ∠D'EF - ∠DEF = 180° - 55° - 55° = 70°。
- 又因为AD∥BC，所以∠1+∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补），所以∠2 = 180° - ∠1 = 180° - 70° = 110°。
二、折叠问题例题2。
1. 题目。
- 如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在C′处，BC′交AD 于E，已知AB = 3，BC = 4，求AE的长。
2. 解析。
- 因为四边形ABCD是矩形，所以AD = BC = 4，AB = CD = 3，∠A = ∠C = 90°。
- 由折叠可知，∠C′BD=∠CBD。
- 因为AD∥BC，所以∠ADB = ∠CBD，所以∠C′BD = ∠ADB，所以BE = DE。
- 在Rt△ABE中，根据勾股定理AB^2+AE^2=BE^2，即3^2+x^2=(4 - x)^2。
- 展开得9+x^2=16 - 8x+x^2，移项可得8x = 16 - 9 = 7，解得x=(7)/(8)，所以AE的长为(7)/(8)。
三、折叠问题例题3。
1. 题目。
- 有一张直角三角形纸片，两直角边AC = 6cm，BC = 8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长。
初中数学利用特殊四边形的性质巧解折叠问题
利用特殊四边形的性质巧解折叠问题名师点金：四边形的折叠问题是指将四边形按照某种方式折叠，然后在平面图形内按照要求完成相应的计算和证明．折叠的本质是图形的轴对称变换，折叠后的图形与原图形全等．平行四边形的折叠问题1．在▱ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处．如果AE恰好经过BC的中点，那么▱ABCD的面积是________．2．如图，将平行四边形纸片ABCD沿对角线AC所在直线折叠，点D落在点E处，AE 恰好经过BC边的中点．若AB＝3，BC＝6，求∠B的度数．(第2题)矩形的折叠问题3．【中考·衢州】如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE 折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.(1)求证：EG＝CH；(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．(第3题)菱形的折叠问题4．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对角线交点O处，折痕为EF.若菱形的边长为2，∠A＝120°，求EF的长．(第4题)正方形的折叠问题5．【中考·德州】如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A，点D重合)．将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP，BH.(1)求证：∠APB＝∠BPH.(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．(第5题)答案1．127 点拨：如图，设AE ，BC 的交点为O ，连接BE ，已知O 是BC 的中点．(第1题)∵在△ABC 和△CDA 中，AB ＝CD ，BC ＝DA ，AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA ，则△ABC ≌△CEA ，∴∠ACB ＝∠CAE ，同时，BC ＝AE ，即在四边形ABEC 中，两条对角线相等．∵在△AOC 中，∠ACB ＝∠CAE ，∴AO ＝OC ，易得O 是AE 的中点．∴四边形ABEC 是矩形，在Rt △AEC 中，CE ＝AB ＝6，AE ＝AD ＝8，由勾股定理得AC ＝AE 2－CE 2＝82－62＝27.∴▱ABCD 的面积＝AB ·AC ＝6×27＝127.(第2题)2．解：设AE 与BC 相交于点F ，如图．∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC .∴∠1＝∠3.∵平行四边形纸片ABCD 沿对角线AC 所在直线折叠，点D 落在点E 处，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2.∴FC ＝F A .∵F 为BC 边的中点，BC ＝6，∴AF ＝CF ＝BF ＝12×6＝3. 又∵AB ＝3，∴△ABF 是等边三角形．∴∠B ＝60°.(第3题)3．(1)证明：由折叠知∠ADE ＝∠A ′DE ，AE ＝EG ，BC ＝CH .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ∥CD .∴∠A ′DE ＝∠AED .∴∠AED ＝∠ADE .∴AE ＝AD .∴EG ＝CH .(2)解：∵∠ADE ＝45°，∠FGE ＝∠A ＝90°，AF ＝2，∴DG ＝2，DF ＝2.∴AD ＝2＋ 2.如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°.∵∠1＋∠AFE ＝90°，∴∠3＝∠AFE .又∵∠A ＝∠B ＝90°，由(1)知，AE ＝BC ，∴△EF A ≌△CEB .∴AF ＝BE .∴AB ＝AE ＋BE ＝AD ＋AF ＝2＋2＋2＝2＋2 2.4．解：如图，连接BD ，AC .(第4题)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AC 平分∠BAD .∵∠BAD ＝120°，∴∠BAC ＝60°.∴∠ABO ＝90°－60°＝30°.∵∠AOB ＝90°，∴AO ＝12AB ＝12×2＝1. 由勾股定理，得BO ＝DO ＝ 3.∵点A 沿EF 折叠与点O 重合，∴EF ⊥AC ，EF 平分AO .∵AC ⊥BD ，∴EF ∥BD ，易得EF 为△ABD 的中位线，∴EF ＝12BD ＝12×(3＋3)＝ 3. 5．(1)证明：∵PE ＝BE ，∴∠EBP ＝∠EPB .又∵∠EPH ＝∠EBC ＝90°，∴∠EPH －∠EPB ＝∠EBC －∠EBP ，即∠BPH ＝∠PBC .又∵AD ∥BC ，∴∠APB ＝∠PBC ，∴∠APB ＝∠BPH .(2)解：△PDH 的周长不变且为定值8.证明如下：过B 作BQ ⊥PH ，垂足为Q .如图．(第5题)由(1)知∠APB ＝∠BPH ，又∵∠A ＝∠BQP ＝90°，BP ＝BP ，∴△ABP ≌△QBP .∴AP ＝QP ，AB ＝BQ .又∵AB ＝BC ，∴BC ＝BQ .又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH，∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.。
四边形中的折叠问题+应用题
FE DABC四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。
解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。
一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ． （1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长．例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '．（1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积．18．如图，E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，且BE ＝ED ，P 是对角线BD 上任意一点，PF ⊥BE ，PG ⊥AD ，垂足NEFMD'A'B'C'ABCDF E DC B A分别为F、G．求证：PF＋PG＝AB．分式方程和不等式应用题：1．（2011•德阳）某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表：购进数量（件）所用资金（元）第一批x 16000第二批2x 34000（1）该商场两次共购进这种电子产品多少件？（2）如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？1200135010001200B A 售价（元/件）进价（元/件）价格商品2．（2011•河池）大众服装店今年4月用4000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣，由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了20元，结果第二批衬衣进货用了5000元．（1）第一批衬衣进货时的价格是多少？（2）第一批衬衣售价为120元/件，为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元？3．（2011•防城港）上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了2000元，第二批用了5500元，第二批购进水果的重量是第一批的2.5倍，且进价比第一批每千克多1元． （1）求两批水果共购进了多少千克？（2）在这两批水果总重量正常损耗10%，其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元？二元一次方程组和不等式的应用:1．茶叶作为一种饮料不仅清香可口，而且具有独特的药用价值，特别是绿茶中含有较多的 叶酸，对人的健康很有帮助，某批发茶商第1次用39万元购进A 、B 两种品牌绿茶，销售完 后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润=单件利润×销售量）（1）该茶商第1次购进A 、B 两种绿茶各多少件？（2）该茶商第2次以原价购进A 、B 两种绿茶，购进B 种绿茶的件数不变，而购进A 种绿 茶的件数是第1次的2倍，A 种绿茶按原价销售，而B 种绿茶打折销售，若两种绿茶销售完毕， 要使得第2次经营活动获得利润不少于75000元，则B 种绿茶最低售价为每件多少元？2．（2012•包头）某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元． （1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？3． 为了防控甲型H7N9禽流感，某校积极进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶，乙种9元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？ （2）该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数是甲种瓶数的2倍，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？二次函数周长最小问题：如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （-2，0）、B （6，0）、C （0，32 ），抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）经过A 、B 、C 三点。
中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(教师版含解析)
中考专题33 中考专题几何折叠翻折类问题1.轴对称(折痕)的性质：(1)成轴对称的两个图形全等。
(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
(3)对应点到对称轴的距离相等。
(4)对应点的连线互相平行。
也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.2.折叠或者翻折试题解决哪些问题(1)求角度大小；(2)求线段长度；(3)求面积；(4)其他综合问题。
3.解决折叠问题的思维方法(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。
(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。
(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。
这对解决问题有很大帮助。
(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。
(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。
一般试题考查点圆最值问题。
(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。
【经典例题1】(2020年•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )A．10°B．20°C．30°D．40°【标准答案】A【答案剖析】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，∴∠C＝40°，∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，∴∠AB'B＝∠B＝50°，∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°。
2022年中考数学专题复习 折叠题(含解析)
2022年中考数学专题复习：折叠题1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF 折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有以下四个结论：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF=3S△DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是〔〕A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM⊥BE，CF⊥BC，∵BF平分∠EBC，∴CF=MF，∴DF=CF；故①正确；∵∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∴∠BFM=∠BFC，∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，∴∠BFE=∠BFN，∵∠BFE+∠BFN=180°，∴∠BFE=90°，即BF⊥EN，故②正确；∵在△DEF和△CNF中，，∴△DEF≌△CNF〔ASA〕，∴EF=FN，∴BE=BN，但无法求得△BEN各角的度数，∴△BEN不一定是等边三角形；故③错误；∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，∴BM=BC=AD=2DE=2EM，∴BE=3EM，∴S△BEF=3S△EMF=3S△DEF；故④正确．应选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，假设EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．以下结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④△BEG和△HEG的面积相等；⑤假设，那么．以上命题，正确的有〔〕A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∵EB为∠AEG的平分线，∴∠AEB=∠GEB，∵∠AED=180°，∴∠BEF=90°，故正确；②可证△EDF∽△HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证△EDF∽△BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证△GEB，△GEH是等腰三角形，那么G是BH边的中线，∴△BEG和△HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK⊥BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，那么有y2+〔2y﹣2x〕2=〔2y﹣x〕2，解得x1=y〔不合题意舍去〕，x2=y．那么，故正确．故正确的有3个．应选B．点评：此题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答此题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD 于F点，假设CF=1，FD=2，那么BC的长为〔〕A．3B．2C．2D．2解答：解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∵∠EMB=90°，∴四边形ABME是矩形，∴AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∴EG=BM，∵∠ENG=∠BNM，∴△ENG≌△BNM〔AAS〕，∴NG=NM，∴CM=DE，∵E是AD的中点，∴AE=ED=BM=CM，∵EM∥CD，∴BN：NF=BM：CM，∴BN=NF，∴NM=CF=，∴NG=，∵BG=AB=CD=CF+DF=3，∴BN=BG﹣NG=3﹣=，∴BF=2BN=5，∴BC===2．应选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN⊥BE于N．那么以下结论：①BG=DE且BG⊥DE；②△ADG 和△ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的选项是〔〕A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④解答：解：由两个正方形的性质易证△AED≌△AGB，∴BG=DE，∠ADE=∠ABG，∴可得BG与DE相交的角为90°，∴BG⊥DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∴四边形ADQG是平行四边形；作CW⊥BE于点W，FJ⊥BE于点J，∴四边形CWJF是直角梯形；∵AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∴△ABE≌△DAQ，∴∠ABE=∠DAQ，∴∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∴△ABH是直角三角形．易证：△CWB≌△BHA，△EJF≌△AHE；∴WB=AH，AH=EJ，∴WB=EJ，又WN=NJ，∴WN﹣WB=NJ﹣EJ，∴BN=NE，③正确；∵MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∴MN=〔CW+FJ〕=WC=〔BH+HE〕=BE；易证：△ABE≌△DAQ〔SAS〕，∴AK=AQ=BE，∴MN∥AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S△ABE=S△ADQ=S△ADG=S▱ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；应选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，MN∥AB，MC=6，NC=，那么四边形MABN的面积是〔〕A．B．C．D．解答：解：连接CD，交MN于E，∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∴MN⊥CD，且CE=DE，∴CD=2CE，∵MN∥AB，∴CD⊥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∴S△CMN=CM•CN=×6×2=6，∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．应选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是△ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，那么∠A′的大小是〔〕A．40°B．36°C．32°D．30°解答：解：连接C'D，∵AB=AC，BD=BC，∴∠ABC=∠ACB=∠BDC，∵△BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∴∠BCD=∠BC'D，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∵四边形BCDC'的内角和为360°，∴∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．应选B．点评：此题考查了折叠的性质，解答此题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意此题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB 与AC重合，得△AB′D，那么△ABC与△AB′D重叠局部的面积为〔〕A．B．C．3﹣D．解答：解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∴AC=BC，∴AF=AB=，∴AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∴∠CDB′=90°，∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=〔2﹣2〕×=3﹣，∴DE===，∴S阴影=AC•DE=×2×=．应选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．如图，△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得△AED，那么BD的长度为〔〕A．B．C．D．解答：解：作CF⊥AB于点F．∵∠CAB=∠B∴AC=BC，∴BF=AB=，在直角△BCF中，BC==2，在△CDE中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∴∠CDE=90°，设BD=x，那么CD=DE=2﹣x，在直角△CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．应选B．点评：此题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是〔〕A．1 B．C．D．解答：解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴AB==2，∴∠BAC=30°∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴BC∥DE，∴∠CBF=∠BED=30°，在Rt△BCF中，CF==，BF=2CF=，∴EF=2﹣，在Rt△DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∴S△ABE=S△ABD+S△BED+S△ADE=2S△ABD+S△ADE=2×BC•AD+AD•ED=2××1×〔﹣1〕+×〔﹣1〕〔﹣1〕=1．应选A．点评：此题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。
平行四边形中的折叠问题
平行四边形中的折叠问题
问题描述
给定一个平行四边形，我们要找到一种折叠方式，使得折叠后的形状尽可能接近原始外形。
折叠是指将平行四边形的不同边折叠到一起，形成一个新的图形。
我们的目标是使得折叠后的图形尽可能接近原始外形，而且要保持对称。
解决方案
为了解决这个问题，我们可以采用以下步骤：
1. 首先，我们需要确定要折叠的边和折叠的方向。
我们可以选择折叠平行四边形的相邻边，保持对称的同时，最大限度地保持外形的相似性。
2. 然后，我们需要确定每个边折叠的比例。
我们可以根据需要将每个边的长度按比例减小，以适应折叠后的形状。
这样可以确保折叠后的图形更接近原始外形。
3. 接下来，我们可以开始折叠。
根据先前确定的折叠方向和比例，将平行四边形的边折叠到一起。
在折叠过程中要小心，确保折叠后的图形保持对称。
4. 最后，我们可以调整折叠后的图形，使其尽可能接近原始外形。
我们可以微调每个边的位置和角度，以使整个图形更接近原始形状。
总结
通过以上步骤，我们可以解决平行四边形中的折叠问题。
通过选择合适的折叠方向和比例，并进行适当的微调，我们可以使折叠后的图形尽可能接近原始外形。
这个问题涉及了几何学中的对称性和相似性概念，同时也考察了我们的折叠技巧。
希望这个文档对你理解和解决平行四边形中的折叠问题有所帮助！
参考文献：。
初中数学中考平行四边形中的折叠型问题(无答案)
例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数为_________度图4三、正方形中的折叠问题例5 ：如图5，四边形ABCD为正方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝8，则CF等于（）A．3 B．5 C．4 D．8图5 图6例6：如图6，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度。
四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题例7：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。
如图7，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；图7小结：1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题，2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。
3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。
1．把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD于点G．则△EFG为三角形．2．如图长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′, 折痕为EF.求AE的长.3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )A.3B.4C.5D.65，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．（1）求证：△ABE≌△AGF；（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，23ECBC，求AC•EF的值．7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；（2）求BF的长；（3）求折痕AF长．8，对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．（1）证明：∠ABE=30°；（2）证明：四边形BFB′E为菱形．9，将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．10，如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD，②EF∥BD，③S=AC四边形AECF11，如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，（1）求证：四边形AFCE为菱形；（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式。
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平行四边形中的折叠型问题
折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题。
这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。
此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。
一、平行四边形中的折叠问题
例1：如图1，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处。
BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°,则∠BOD=________.
图1 图2
例2：如图2，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________.
二、矩形中的折叠问题
例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）
Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30
O
E
A
B
D
C
例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数为_________度
图4
三、正方形中的折叠问题
例5 ：如图5，四边形ABCD为正方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝8，则CF等于（）A．3 B．5 C．4 D．8
图5 图6
例6：如图6，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度。
四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题
例7：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。
如图7，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；
图7
小结：
1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题，
2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。
3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。
1．把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD
于点G．则△EFG为三角形．
2．如图长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′, 折痕为EF.求AE的长.
3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
4如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
5，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．
（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；
（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．
6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．
（1）求证：△ABE≌△AGF；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，
2
3
EC
BC
，求AC•EF的值．
7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．
（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）求BF的长；
（3）求折痕AF长．
8，对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．
（1）证明：∠ABE=30°；
（2）证明：四边形BFB′E为菱形．
9，将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．
10，如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD，②EF∥BD，③S
四边形AECF
=AC
•EF，④EF=252
7
，⑤连接F0；则F0∥AB．正确的序号是
11，如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式。