初中数学中考平行四边形中的折叠型问题(无答案)

平行四边形中的折叠型问题

折叠型问题就是把一个图形一部分沿某条直线折叠后，所形成的问题。这类问题既是对称问题的应用，又可考查空间想象能力。此类问题可以涵盖三角形的全等、三角形的性质、勾股定理、图形变换、垂直、平行等很多知识。

一、平行四边形中的折叠问题

例1：如图1，把一张平行四边形纸片ABCD沿BD对折，使C点落在E处。BE与AD相交于点O，若∠DBC=15°,则∠BOD=________.

图1 图2

例2：如图2，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________.

二、矩形中的折叠问题

例3 ：如图3，把矩形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为（）

Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30

O

E

A

B

D

C

例4：如图4，将一张矩形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（F在BC边上，不与B、C重合）使得C点落在矩形ABCD内部的E处，FH平分∠BFE，则∠GFH的度数为_________度

图4

三、正方形中的折叠问题

例5 ：如图5，四边形ABCD为正方形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝8，则CF等于（）A．3 B．5 C．4 D．8

图5 图6

例6：如图6，已知正方形纸片ABCD，M、N分别是AD、BC的中点，把BC边向上翻折，使点C恰好落在MN上的P点处，BQ为折痕，则∠PBQ=_____度。

四、直角坐标系中关于特殊平行边形的折叠问题

例7：将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10。如图7，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；

图7

小结：

1．对称点的连线被对称轴垂直平分，连结两对称点既可以得到相等的线段，也可以构造直角三角形, 从而把折叠问题转化为轴对称问题，

2．利用三角形（或多边形）全等可以得到对应线段、对应角相等，要善于挖掘翻折前后所提供的相等线段与角度，从而将所给条件进行转移（集中在一起）。

3．利用勾股定理既可以计算线段的长度，又可以将已知、未知结合一起列出方程来求解（方程思想）。

1．把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′的位置上，EC′交AD

于点G．则△EFG为三角形．

2．如图长方形纸片ABCD中,AD=9,AB=3,将其折叠,使其点D与点B重合,点C至点C′, 折痕为EF.求AE的长.

3如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

4如图，矩形纸片ABCD中，已知AD =8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

5，如图，将一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．

（1）连接EB，求证：四边形EBFD是菱形；

（2）若AB=3，BC=9，求重叠部分三角形DEF的面积．

6．如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处．

（1）求证：△ABE≌△AGF；

（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，

2

3

EC

BC

，求AC•EF的值．

7，如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm．

（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；

（2）求BF的长；

（3）求折痕AF长．

8，对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：

第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；

第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；

第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．

（1）证明：∠ABE=30°；

（2）证明：四边形BFB′E为菱形．

9，将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图（1）；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图2，证明：四边形AEDF是菱形．

10，如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD=BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．连接CE、CF、BD，AC、BD的交点为O，若CE⊥AB，AB=7，CD=3．下列结论中：①AC=BD，②EF∥BD，③S

四边形AECF

=AC

•EF，④EF=252

7

，⑤连接F0；则F0∥AB．正确的序号是

11，如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，

（1）求证：四边形AFCE为菱形；

（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式