工程力学-平面弯曲变形分析
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工程力学(梁的平面弯曲)解析
FAy q M0 F M4 DE段: 8mx4<12m
0 x4 B C Dc FQ4 FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kN1•1m)
DE段: 8mx4<12m FQ4=-32kN; M4=384-32x4(kN•m)
取右边部分如何? DE段: 8mx4<12m
FQ4=-FE=-32kN M4=FE(12-x4)
3F
一般步骤
0
A
FAx
aa
FB 45 B F x0
a
M
FN x FQ
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
求解 内力
画内 力图
静力 平衡 方程
载荷 突变 处分 段。
内力 按正 向假 设。
矩心 取截 面形 心。
内 图形 力 应封 方 闭。 程
9
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN•m，
FAy q
M2
0 x2 B c FQ2
FAy q M0 M3
0 x3 B C c FQ3
SFy=FAy-4q-FQ2=0 FQ2=13kN
SMc(F )=M2+4q(x2-2)-FAyx2=0 M2=13x2+72(kN•m)
CD段: 6mx3<8m FQ3=13kN; M3=13x3+24(kN•m)
SFy=FAy-qx1-FQ1=0
FQ1=49-9x1
SMc(F )=M1+qx12/2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x12
10
例3 已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN•m，
FAy q
M0 F
梁的弯曲(工程力学课件)
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
3-3截面
M 3 q 2a a 2qa 2
4-4截面
qa 2
5qa 2
2
M 4 FB 2a M C
3qa
2
2
5-5截面
qa 2
M 5 FB 2a
2
02 弯曲的内力—弯矩与剪力
由以上计算结果可以看出：
（1）集中力作用处的两侧临近截面的弯矩相同，剪力不同，说明剪力在
后逐段画出梁的剪力图和弯矩图。
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例8 悬臂梁AB只在自由端受集中力F作用，如图（a）所示，
试作梁的剪力图和弯矩图。
解：
1-1截面： Q1＝-F M1＝0
2-2截面： Q1＝-F M1＝－Fl
04 弯矩、剪力与载荷集度之间的关系
例9 简支梁AB在C点处受集中力F作用，如图（a）所示，作此梁的剪力
（2）建立剪力方程和弯矩方程；
（3）应用函数作图法画出剪力Q（x），弯矩M（x）的图线，即为剪力
图和弯矩图
03 弯矩图和剪力图
例9.3 悬臂梁AB在自由端B处受集中载荷F作用，如图（a）所示，试作
其剪力图和弯矩图。
解 ：（1）建立剪力方程和弯矩方程
() = ( < < )
() = −( − ) ( ≤ ≤ )
方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：（1）求支反力
（2）建立剪力方程和弯矩方程
03 弯矩图和剪力图
（3）绘制剪力图、弯矩图
计算下列5个截面的弯矩值：
03 弯矩图和剪力图
二、用简便方法画剪力图、弯矩图 (从梁的左端做起)
1.无载荷作用的梁段上 剪力图为水平线。 弯矩图为斜直线（两点式画图）。
工程力学六 弯曲变形解析
当x1 x2 a时,
w1 w2 (1 2 )
w1 w2
EIw2
Pb l
x2
P( x2
a)
CB段：
EIw2
EI2
Pb l
x22 2
P
( x2
a)2 2
C2
EIw2
Pb l
x23 6
P
( x2
a)3 6
C2 x2
D2
由连续性条件，可求得
C1 C2
D1 D2
由边界条件，可求得
C1
C2
M pa
P PL
2
PL 2
x
P
qa2
2
q
M
qa
x qa 2 2
x
pa
§6.2 挠曲线近似微分方程及其积分
一、挠曲线近似微分方程的导出
力学公式 数学公式
1 M z (x)
EIz
d 2w
1
dx2
[1 ( dw)2 ]3/2
dx
纯弯曲梁变形后中性层的曲率 公式，对于横力弯曲（l>5h） 可近似使用。EIZ称为梁的抗 弯刚度。
最大转角和最大挠度分别为：
得：
ql 3 C ,
D0
24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx2 4x3 l 3 )
24 EI
w qx (2lx2 x3 l3) 24EI
max
A
B
ql 3 24EI
wmax
w
x l 2
5ql 4 384EI
例： 已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方
确定积分常数： （1）边界条件
固定端：w = 0,θ = 0
工程力学第八章 梁的平面弯曲
在中性轴上，y=0，则正应力σ为零。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
③静力平衡关系
空间平行力系的简化
N=∫AσdA My=∫AzσdA Mz=∫AyσdA ∵是纯弯曲
∴∑X=0 N=∫AσdA=0 ∑My=0 My=∫AzσdA=0 又∵∫AσdA=-Ε/ρ∫AydA ∴∫AydA=0 ∫AydA=Sz是横截面对Z轴（中性轴）的静面积
A
B
Q(x) + -
M(x)
+
④在集中力偶作用处，弯矩图将发生突
变，突变值等于集中力偶矩的大小；当
集中力偶顺时针作用时，弯矩图向上跳
跃（沿x方向），当集中力偶逆时针作用
时，弯矩图向下跳跃（沿x方向）。
M
A
C
B
Q(x)
-
M/L
Mb/L
M(x)
+
Ma/L
⑤若在梁的某一截面上Q(x)=0，亦即弯
=[(ρ+|y|)dψ-ρdψ]/ ρdψ
=|y|/ρ 这表明纵向纤维的线应变与它到中性层的距离
成正比。 ∵ε与y的符号相反 ∴ε=- y/ρ
②物理关系
当应力不超过材料的比例极限时，材料 符合虎克定律，σ=E·ε，将ε代入得σ=- E y/ρ
表明，横截面上任意点处的正应力σ与该 点到中性轴的距离成正比，即沿截面高 度，正应力呈线形分布。
危险截面上下边缘处的点叫危险点。 弯曲强度条件：
σmax= Mmax/ WZ≤[σ]
对于拉压许用应力不同的材料，其强度
条件应同时满足：
σmax拉≤[σ拉]
σmax压≤[σ压]
弯矩图： 没有载荷斜直线， 均布载荷抛物线， 集中载荷有尖点， 力偶载荷有突变。
第四章 平面弯曲解析
14
4.2.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
(1)剪力方程和弯矩方程
剪力和弯矩沿着梁轴线分布的数学表达 式:
Q=Q(x) M=M(x)
(2)剪力方程和弯矩图
以x为横坐标，剪力Q为纵坐标→Q-x图。 以x为横坐标，弯矩M为纵坐标→M-x图。
15
[例4-1] 试作出如图所示简支梁的剪力图和弯矩图。
第4章 平面弯曲
平面弯曲计算 简单超静定梁的求解 压杆的稳定性简介
1
第
4.1 平面弯曲的概念和实例
4
4.2 平面弯曲的内力分析
章
4.3 平面弯曲的正应力计算
4.4 平面弯曲的变形计算
平
面 4.5 简单超静定梁的求解
弯 曲 4.6 压杆稳定性简介
目录
2
4.1 平面弯曲的概念和实例
(1)实例：
桥式起重机
A
y 2 dA
2 h
y2
bdy
b13
2
y
3
2
h
2
bh3 12
bh3
WZ
IZ ym ax
12
h
2
bh2
6
28
(2)圆形截面
D
Iz
y2dA
A
3 sin 2 dd
2
2
3d sin 2 d
D 4
0
0
64
(3)圆环形截面
Wz
Iz ymax
D4 64 D3
D 2 32
内径为d 外径为
2) 纵线(a-a,b-b)弯曲成曲线， 且梁的一侧伸长，另一侧缩 短。
纯弯曲梁的变形特点 图4-10 纯弯曲梁的变形特点
工程力学第12章弯曲变形
AC段 (0 ≤ x ≤ a) 段 BC段 (a ≤ x ≤ L) 段 Fb 2 Fb 2 F EIω1' = EIθ1 = x + C1, EIω2 ' = EIθ2 = x − (x − a)2 + C2 , 2L 2L 2 Fb 3 EIω1 = x + C1x + D , EIω2 = Fb x3 − F (x − a)3 + C2 x + D2 , 1 6L 6L 6 3、确定常数 、 边界条件： 边界条件：
θA 。
X
解：取参考坐标系Axy。 取参考坐标系 。 1、列出梁的弯矩方程 、
d 2ω M(x) 2、 、 2 = dx EIz
(0 ≤ x ≤ L)
1 2 EIω"= − qx 2 积分一次： 积分一次：EIω' = EIθ = − 1 qx3 + C（1） ） 1 46 积分二次： 积分二次： EIω = − qx + Cx + D （2） ） 24
2、积分常数的确定——边界条件和连续条件： 、积分常数的确定 边界条件和连续条件： 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的，这样的 边界条件：梁在其支承处的挠度或转角是已知的， 已知条件称为边界条件。 已知条件称为边界条件。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。 连续条件：梁的挠曲线是一条连续、光滑、平坦的曲线。因 此，在梁的同一截面上不可能有两个不同的挠度 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。 值或转角值，这样的已知条件称为连续条件。
二、分段列出梁的挠曲线近似微分方程，并对其积分两次 分段列出梁的挠曲线近似微分方程， 1、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程： 、对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程：
工程力学A 平面弯曲ppt
Pa(l x) 2 x a 2 2lx w2 6lEI
四
用叠加法求弯曲变形
叠加原理：梁的变形微小， 且梁在线弹性范
围内工作时， 梁在几项荷载（可以是集中力,
集中力偶或分布力）同时作用下的挠度和转
角， 就分别等于每一荷载单独作用下该截面
的挠度和转角的叠加。 这就是叠加原理。
例题: 一抗弯刚度为 EI 的简支梁受荷载如 图 所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A ,B 。 m
z
y x
（4）纯剪切应力状态
E
τ
max
三、
平面应力状态的分析 平面应力状态的普 遍形式如图所示
σy
τy
σx
a d
τx
y
σx
y
x
y
τx
τy σy
c
x
x
x
x
b
y
y
1、斜截面上的应力
y
x
y
y
n
e
x
e
x
xx
b
f
x
f b
x
y y
y
y
：从x 轴到外法线 n 逆时针转向为正，反之为负。 正应力 ：拉应力为正，压应力为负。 切应力 ：对单元体任一点的矩顺时针转为正，反之为负。
(0 x a)
1
Pb 3x 2 b 2 l 2 6lEI
2 Pbx 2 2 b w1 6lEI x l
DB
段
(a x l )
2 1 Pb 2 l 2 2 x ( x a) (b l ) 2 2lEI b 3
《平面弯曲变形》PPT课件
A截面挠度
求图示外伸梁的A截面挠 度和B截面转角。
B截面转角
B3M EIlF 3E paIl
fAw A 1B a
fA
Fpl3 3EI
Fpal a 3EI
24
目录
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
25
目录
10.7.4 梁的刚度校核
刚度条件
fw [f], []
max
max
建筑钢梁的许可挠度：
ll ~
3E
d4 Fla180
64
3E
6F 4 l1 a806 42 013021180
d4 3E 4 3201 69020.5
1111 0 3m 111mm
28
目录
10.8 用变形比较法解简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
29
目录
7-6
MA A MA A
FAy FAy
A A
A A
MA AA
MA A A
用变形比较法解简单超静定梁 F
B FC
B
C
2a
a
例6 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。
载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql4
wC1
, 8EI
C1
ql3 6EI
wC1
wC2 wB2 B22l
C2
求图示外伸梁的A截面挠 度和B截面转角。
B截面转角
B3M EIlF 3E paIl
fAw A 1B a
fA
Fpl3 3EI
Fpal a 3EI
24
目录
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
25
目录
10.7.4 梁的刚度校核
刚度条件
fw [f], []
max
max
建筑钢梁的许可挠度：
ll ~
3E
d4 Fla180
64
3E
6F 4 l1 a806 42 013021180
d4 3E 4 3201 69020.5
1111 0 3m 111mm
28
目录
10.8 用变形比较法解简单超静定梁
1.基本概念：
超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
2.求解方法：
解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
29
目录
7-6
MA A MA A
FAy FAy
A A
A A
MA AA
MA A A
用变形比较法解简单超静定梁 F
B FC
B
C
2a
a
例6 求梁的支反力，梁的抗弯 刚度为EI。
载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
ql4
wC1
, 8EI
C1
ql3 6EI
wC1
wC2 wB2 B22l
C2
平面弯曲
σ
B cmax
B MB ⋅ ycmax = 38.6M Pa = Iz D MD ⋅ ycmax = =12.1M Pa Iz
MD ⋅ y σ σ = = 21.7M Pa Iz D截面为最大拉应力截面； B截面为最大压应力截面 截面为最大拉应力截面； 截面为最大压应力截面 截面为最大拉应力截面
D tmax D cmax
③
∫
A
y ⋅ σdA = Mz = M
E
即
1
E
ρ ∫A
y2dA = M
得
ρ
Iz = M
M 从而 = ——中性层曲率公式 中性层曲率公式 ρ EIz
EIz —— 梁的弯曲刚度
HOHAI UNIVERSITY
σ=Eε =E
y ρ
1 M = EIz ρ
M·y σ = Iz
——正应力公式 正应力公式
a.公式适用条件：等直梁、线弹性、 a.公式适用条件：等直梁、线弹性、纯弯曲 公式适用条件 的符号确定， b.正应力正负号确定： 可由M与 的符号确定 b.正应力正负号确定： 可由 与y的符号确定， 正应力正负号确定 也可由弯曲变形情况确定。 也可由弯曲变形情况确定。
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M FN1= I Sz* z FN2=∫ A*σ"dA= ∫ A* (M +dM) +d FN2= S z* Iz
②
——中性轴过形心 中性轴过形心
∫Az ⋅σdA = My = 0 即
得 I yz = ∫ yzdA = 0
A
ρ∫
A
yzdA = 0 而
ρ
≠0
——yz为形心主轴 为形心主轴
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4工程力学基础-平面弯曲
P A x Q M
QAC = −20 M AC = −20x
在CB段：(1<x<5) CB段：(1<x<5)
A
P
M
q
Q M
C 1m YC x
QBC = 35 − 20 −10(x −1) 2 MBC = 35(x −1) + 40 − 20x − 5(x−1)
QBC = 25 −10x 2 MBC = 25x − 5 x
∑M =0
RAy − P − Q = 0 1
M + P1 × ( x − a ) − RAy x = 0
∑Y = 0
Q = RAy − P 1
M = RAy x − P ( x − a ) 1
说明： 说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。 、一般情况下， 方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 、如果不求剪力， 平衡方程。 平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 、不考虑剪力时， 建立在截面的中心。 建立在截面的中心。
平面弯曲的概念
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内， 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此， 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
横向力：与杆件轴线相垂直的外力 横向力： 梁：以弯曲变形为主的杆件 根据固定情况可分为： 根据固定情况可分为：
2 梁的所有与轴线平行 的纵向纤维都是轴向 拉伸或压缩， 拉伸或压缩，变形量 与其中性轴的距离有 关。
二) 梁横截面上的正应力
ρ M dθ M y
(ρ + y)dθ − ρdθ y 1) 变形几何方程: ε = 变形几何方程: = ρdθ ρ
QAC = −20 M AC = −20x
在CB段：(1<x<5) CB段：(1<x<5)
A
P
M
q
Q M
C 1m YC x
QBC = 35 − 20 −10(x −1) 2 MBC = 35(x −1) + 40 − 20x − 5(x−1)
QBC = 25 −10x 2 MBC = 25x − 5 x
∑M =0
RAy − P − Q = 0 1
M + P1 × ( x − a ) − RAy x = 0
∑Y = 0
Q = RAy − P 1
M = RAy x − P ( x − a ) 1
说明： 说明：
1、一般情况下，x 方向的约束反力为零。 、一般情况下， 方向的约束反力为零。 2、如果不求剪力，可以不建立 y 方向的 、如果不求剪力， 平衡方程。 平衡方程。 3、不考虑剪力时，弯矩平衡方程一定要 、不考虑剪力时， 建立在截面的中心。 建立在截面的中心。
平面弯曲的概念
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在该纵向对称面内， 当外力都作用在该纵向对称面内，弯曲也 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 发生在该对称面内，我们称之为平面弯曲。 因此， 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲
横向力：与杆件轴线相垂直的外力 横向力： 梁：以弯曲变形为主的杆件 根据固定情况可分为： 根据固定情况可分为：
2 梁的所有与轴线平行 的纵向纤维都是轴向 拉伸或压缩， 拉伸或压缩，变形量 与其中性轴的距离有 关。
二) 梁横截面上的正应力
ρ M dθ M y
(ρ + y)dθ − ρdθ y 1) 变形几何方程: ε = 变形几何方程: = ρdθ ρ
《平面弯曲变形》课件
平面弯曲变形的应用实 例
桥梁和建筑结构的平面弯曲变形分析
桥梁结构：桥梁 的平面弯曲变形 分析，包括梁、 拱、索等结构
建筑结构：建筑结构 的平面弯曲变形分析， 包括框架、剪力墙、 筒体等结构
变形原因：荷载、 温度、湿度、地 震等外部因素引 起的变形
变形影响：对结构 安全性、稳定性、 耐久性的影响
变形控制：通过设 计、施工、维护等 手段控制变形，保 证结构安全
剪切应力的分布规律：剪切应力在剪切面上分布不均匀，靠近剪切面中心处应力较小， 远离剪切面中心处应力较大
剪切应力的影响因素：剪切力、剪切面形状、材料性质等
剪切应力的应用：在工程设计中，需要考虑剪切应力对结构的影响，以避免结构破坏 或失效。
平面弯曲变形的能量平 衡
弹性势能与动能之间的关系
弹性势能：物体在弹性形变过 程中储存的能量
感谢观看
汇报人：
平面弯曲变形可以分为弹性变形和塑性变形两种类型。
弹性变形是指物体在外力作用下，其形状和尺寸发生变化，但外力消失后，物体可以 恢复到原来的形状和尺寸。
塑性变形是指物体在外力作用下，其形状和尺寸发生变化，但外力消失后，物体不能 恢复到原来的形状和尺寸。
平面弯曲变形的分类
弯曲变形：物体在外力作用下发生弯曲变形 扭转变形：物体在外力作用下发生扭转变形 弯曲-扭转变形：物体在外力作用下同时发生弯曲和扭转变形 弯曲-弯曲变形：物体在外力作用下同时发生弯曲和弯曲变形
平面弯曲变形的稳定性 分析
稳定性分析的基本概念
稳定性分析的目的：确定结构在受力作用下的稳定性 稳定性分析的方法：有限元分析、能量法等 稳定性分析的指标：临界载荷、临界应力等 稳定性分析的应用：结构设计、优化等
稳定性分析的方法和步骤
第七章 平面弯曲变形.ppt
P
2
Pl 4
l /2
l /2
ql
m
2
l
m 2
m 2
l
ql 2
ql 2 8
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系 q
A
B
x
lM图Pl源自1 ql2 8M图
Fs图 1
ql 2
1 ql 2
Fs图
1、无荷载分布段(q=0),FS图为水平线,M图为斜直线。
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系
1 、无荷载分布段(q=0),FS图为水平注线：,M图剪为力斜为直零线处。；
M图
Fs图
3 、集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有转折,且指向与荷载相同。
第七章 平面弯曲变形
内力与荷载集度的微分关系 1 、无荷载分布段(q=0),FS图为水平线,M图为斜直线。 2 、均布荷载段(q=常数),FS图为斜直线,M图为抛物线, 且凸向与荷载指向相同。 3 、集中力作用处,Fs图有突变,且突变量等于力值; M图有尖点,且指向与荷载相同。
Pl
M图
Fs图
第七章 平面弯曲变形
第七章 平面弯曲变形
注：内力计算可选
取控制截面结合内
力与荷载集度的微 分关系进行，并绘 制结构的内力图。
第七章 平面弯曲变形
叠加法绘制内力图 ql 2 4
注意: 是竖标相加,
不是图形的简单 拼合。
第七章 平面弯曲变形
1 ql2 16
q
l
q
l
1 ql2 16
各控制 截面弯矩为 多少。
第七章 平面弯曲变形
F1
F2
第七章 平面弯曲变形
工程力学 平面弯曲PPT课件
2
dM 0
dM / dx Q
dQ q , dx
dM Q , dx
d 2M dx 2
q
33
第33页/共48页
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（1） q = 0 时: Q =常数，Q图为一水平线； M 为 x 的一次函数，M图是一条斜直线。
（计算关键点连直线）
P
a
b
A
C
RA
x1 x2 l
解：1．确定约束力
B
Y 0, M A 0
RB
RA Pb / l, RB Pa / l
2. 分段列剪力方程和弯矩方程
AC段: Y 0 RA Q1 0
Q1 Pb / l (0 < x1 < a)
MC 0 M1 RA x1 0
M1 A
x1 RA
Q1
M1 Pbx1 / l (0 x1 a)
§7-1 概述
车削工件
1
第1页/共48页
§7-1 概述
火车轮轴
2
第2页/共48页
3
§7-1 概述
弯曲变形
第3页/共48页
4
§7-1 概述
加工变形
第4页/共48页
5
§7-1 概述
纯弯曲
第5页/共48页
§7-1 概述
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
6
第6页/共48页
§7-1 概述
常见弯曲构件截面
弯矩符号： 截面上的弯矩使
得梁呈凹形为正；反之为负。
+
_
求内力方法： 截面法
dM 0
dM / dx Q
dQ q , dx
dM Q , dx
d 2M dx 2
q
33
第33页/共48页
剪力、弯矩和载荷集度间的关系
dQ dx
q
,
dM dx
Q
,
d 2M dx2
q
（1） q = 0 时: Q =常数，Q图为一水平线； M 为 x 的一次函数，M图是一条斜直线。
（计算关键点连直线）
P
a
b
A
C
RA
x1 x2 l
解：1．确定约束力
B
Y 0, M A 0
RB
RA Pb / l, RB Pa / l
2. 分段列剪力方程和弯矩方程
AC段: Y 0 RA Q1 0
Q1 Pb / l (0 < x1 < a)
MC 0 M1 RA x1 0
M1 A
x1 RA
Q1
M1 Pbx1 / l (0 x1 a)
§7-1 概述
车削工件
1
第1页/共48页
§7-1 概述
火车轮轴
2
第2页/共48页
3
§7-1 概述
弯曲变形
第3页/共48页
4
§7-1 概述
加工变形
第4页/共48页
5
§7-1 概述
纯弯曲
第5页/共48页
§7-1 概述
弯曲特点 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
6
第6页/共48页
§7-1 概述
常见弯曲构件截面
弯矩符号： 截面上的弯矩使
得梁呈凹形为正；反之为负。
+
_
求内力方法： 截面法
工程力学六 弯曲变形解析
材料服从胡克定律 小变形
各种载荷与它所引起的变 形成线性关系。
二、第一类叠加法——载荷叠加法
当梁上同时作用有几种载荷时，可分别求出每一种载荷单独作用 下的变形，然后将各个载荷单独引起的变形叠加，得这些载荷共同作用 时的变形。
已知：q、l、EI
求：wC ,B
v
+
v
= +
v
例： 用叠加法求 wC、 A、B
比较方便。
例 求外伸梁ABC的外伸端A的挠度。
解：用逐段分析求和法。
q
（1）将AB段刚化
1 qa2
w1 -B a - 2 3EI
A
l a - qa3l 6EI
a
B
l qa
C
（2）将BC段刚化
w2
-
qa4 8EI
A w1
B
C
qa2/2
（3）最后结果
w
w1
w2
qa4 8EI
qa3l 6EI
q
m
C
A
B
a
l
•边界条件 x1 0, wA 0,A 0; x2 a l, wB 0;
•连续条件 x1 x2 a, w1 w2 wC ;
q
a
A
l
B
•边界条件
x1 0, wA 0,;
x2
l, wB
-
ql a 2 EA
-
qla ; 2EA
内容回顾： 1.挠度和转角
y
w x
规定：向上的挠度为正 逆时针的转角为正
对于等截面直梁，有：
EI
M(x)d x C
EIw M (x)d x d x Cx D
说明：
d2w M (x) dx2 EI
工程力学弯曲变形解析
Eq2 IF 2lxb 2 2F 2(x2a)2C 2
E2 Iw F 6 lxb 2 3F 6(x2a )3 C 2x2D 2
工程力学弯曲变形解析
工程力学
利用边界条件和连续条件确定四个积分常数
AC段 CB段
EqI1 F2lbx12 C1
y
A
EI1w F 6l bx13C1x1D1
FA
Eq2 IF 2lxb 2 2F 2(x2a)2C 2
qA左qA右
工程力学弯曲变形解析
工程力学
绘制挠曲线的方法：
1.绘制M图 2.由M图的正负、零点或零值区，确定 挠曲线的凹凸或拐点或直线区，
3.由位移边界条件确定挠曲线的位置。
工程力学弯曲变形解析
工程力学
例4-5 如图等直悬臂梁自由端受集中力作用，建立该梁的转角方程和
挠曲线方程，并求自由端的转角 q B 和挠度 w B 。
w1|x1aw2|x2a
工程力学弯曲变形解析
代入上面的式子
工程力学
得到转角方程和挠度方程
AC段
EqI1F 6l (b3x12b2l2)
Ew I1F 6l b x1 3(b2l2)x1
y A
FA
a EI
x1 x2 l
q CB段 E2IF 6 l (b 3 x1 2b2 l2)3 b l(x2a )2
dx
工程力学弯曲变形解析
工程力学
略去剪力的影响，则平面假设成立，弯曲 变形是因各个横截面绕各自的中性轴转动一个 角度，而中性轴本身也要发生位移。
截面形心位移 竖向位移 y=w=f(x)
弯曲变形 截面转角
水平位移 略去
qqtgqdwf(x)
dx
工程力学弯曲变形解析
第3章 平面弯曲
x Q
M
3.2 直梁弯曲的内力分析
例3-1 在简略计算管道强度时，可把管道简化为如图所示受均布载荷作用的简支梁。 已知物料和管道的重为qN/ m，管道跨度为lm，试作管道的剪力图和弯矩图。 RB RA (1) 先求出支座反力
RA = RB =
ql 2
q
(2) 列出剪力方程和弯矩方程
A Q
B
1 ql - qx (0 < x < l) 2 1 1 M = qlx - qx 2 (0 x l) 2 2 Q=
2
3.3 平面弯曲的应力计算
五、弯曲正应力的强度条件
M max ςmax = Wz
按梁的正应力强度条件, 也可以对梁进行三个方面的强度计算：
A 设计截面
M max Wz
M max Wz
B 强度校核
C 计算许可载荷
M max Wz
3.3 平面弯曲的应力计算
例3-1 在简略计算管道强度时，可把管道简化为如图所示受均布载荷作用的简支梁。 已知物料和管道的重为qN/ m，管道跨度为lm，试作管道的剪力图和弯矩图。 RB RA (1) 先求出支座反力
RA = RB =
ql 2
q
A
B
(2) 列出剪力方程和弯矩方程
1 ql - qx (0 < x < l) RA 2 1 1 M = qlx - qx 2 (0 x l) 2 2 Q=
二、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图
AC段梁的弯矩方程为
M1 = Fb x1 l (0 x1 a)
a
1
F
b
2
A
x1
1 x2
C
2
B
M
3.2 直梁弯曲的内力分析
例3-1 在简略计算管道强度时，可把管道简化为如图所示受均布载荷作用的简支梁。 已知物料和管道的重为qN/ m，管道跨度为lm，试作管道的剪力图和弯矩图。 RB RA (1) 先求出支座反力
RA = RB =
ql 2
q
(2) 列出剪力方程和弯矩方程
A Q
B
1 ql - qx (0 < x < l) 2 1 1 M = qlx - qx 2 (0 x l) 2 2 Q=
2
3.3 平面弯曲的应力计算
五、弯曲正应力的强度条件
M max ςmax = Wz
按梁的正应力强度条件, 也可以对梁进行三个方面的强度计算：
A 设计截面
M max Wz
M max Wz
B 强度校核
C 计算许可载荷
M max Wz
3.3 平面弯曲的应力计算
例3-1 在简略计算管道强度时，可把管道简化为如图所示受均布载荷作用的简支梁。 已知物料和管道的重为qN/ m，管道跨度为lm，试作管道的剪力图和弯矩图。 RB RA (1) 先求出支座反力
RA = RB =
ql 2
q
A
B
(2) 列出剪力方程和弯矩方程
1 ql - qx (0 < x < l) RA 2 1 1 M = qlx - qx 2 (0 x l) 2 2 Q=
二、剪力和弯矩方程 剪力图和弯矩图
AC段梁的弯矩方程为
M1 = Fb x1 l (0 x1 a)
a
1
F
b
2
A
x1
1 x2
C
2
B
工程力学 第十三章弯曲变形13-1
在细长梁条件下（L/H﹥5），可忽略剪力对变形的影响， 上式可近似应用于横力弯曲中。
形式如下：
1
M (x )
(x ) EI
1 M( x)
( x )
EI
ds (x)d ,且 ds dx 1 d d 2 y
(x) dx dx2
1 d d 2 y (x) dx dx2
y ''
d2y dx 2
2、转角
梁任一横截面绕其
中性轴转动的角度称为
该截面的转角。
物理意义：表示横截面
ρ
方位的变化。
比如，C 截面的转角为 θC
3、挠度与转角间的关系
tg dy ,
dx
dy
dx
tg
挠度对坐标 的一阶导等 于转角
梁的挠曲线近似微分方程
在纯弯曲情况下：
纯弯曲 1 M
EI
P243 式12-10
(c)
4
6
EIy ql x3 q x4 Cx D (d ) 12 24
边界条件代入（d），解得
D 0 , C ql3 24
（4）确定转角方程和 挠度方程
将积分常数C，D代入 式（c）和（d）得
y'
1 ql
EI
4
x2
q 6
x3
ql 3 24
q 24EI
l 3 6lx2 4x3
本章讨论的变形问题只限于平面弯曲。 忽略剪力的影响。
1、挠度
曲线AB＇为挠曲线
梁轴线上的一点在垂直于
梁变形前轴线方向上发生的线
位移称为该点的挠度 ，用y表
示。
物理意义：表示横截面位置的
ρ
变化。
比如，C 截面的挠度为 yC
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yc
5ql4 Fl3 384 EI 48EI
洛 阳 职 业 技 术 学 院
五、提高梁的强度 和刚度的措施
提高强度
M max max [ ] WZ
降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷
合理布置支座
F
F
F
合理布置支座
合理布置载荷
F
采用变截面梁或等强度梁
提高刚度
M max max [ ] WZ
max
M 11 y max Iz 150 3.64 10 103 2 P a 12.94MP a 6 21.09 10
3
2.梁弯曲正应力的强度计算 梁的危险截面上的最大正应力
材料的许用应力
即
max
M max [ ] Wz
上式适用于横截面关于中性轴对称的截面。
∑Fy=0 FQ=FA ∑Mc（F）=0 －F AX＋M =0 M = FAX FQ（剪力）作用线通过截面形心，且平行于外力 M（弯矩) 位于纵向对称面内，使梁受弯曲作用的内力偶矩。 FA－FQ=0
剪力、弯矩符号规定：
剪力 左下右上为正 弯矩 上凹为正
下凹为负
弯矩方程和弯矩图
1、简支梁AB受集中力F作用，跨度为l，求最大弯矩，并画出 梁的弯矩图。
max
M
x
（3）设计截面尺寸。由强度条件 M max max Wz
M max 32 103 103 WZ m m3 203822 m m3 [ ] 157
由矩形截面抗弯截面模量
bh2 b(2b) 2 2 3 WZ b 6 6 3
3 203822 b m m 67.4m m 2
M为作用在横截面上的弯矩，单位是N· mm y为计算点到中性轴的距离，单位是mm； Iz为横截面对中性轴z的惯性矩，单位是mm4。
任一点的正应力 MP a
在中性轴上当y = 0时，σ = 0 ；当 y = ymax时，弯曲正 应力σ 达到最大值σ
max
max
Mymax IZ
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处
FA=3.64KN FB= 4.36KN
FA+FB－8kN=0
（2）求1-1截面上的弯矩
M11 FA 1000 3.641000 kN mm 3.64KN m
（3）求1-1截面上的最大正应力
bh3 75 1503 1012 4 IZ m 21.09 106 m 4 12 12
洛 阳 职 业 技 术 学 院
四、梁弯曲时的刚度计算
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加
载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连 续光滑曲线称为挠曲线。
横截面形心处的铅垂位移，
称为挠度，用y表示；
变形后的横截面相对于变形
前位置绕中性轴转过的角度，
称为转角用表示；
用叠加法求梁的转角和挠度：
Fa l x2 l
a x2 l
x1
O
FQ1
M2
O
FA
M1
FQ 2
l x2
FB
（3）画弯矩图。
梁的危险截面在c处，最大弯矩值 ： M
max
Fab l
2、简支梁AB受集中力偶Mc作用，图中各尺寸已知。求最大
弯矩，并画出梁的弯矩图。
解：（1）计算支座反力。列平衡方程可得，
Mc FA FB l
（ 2 ）列弯矩方程。因截面 c 处有集中力偶作用，梁在 AC 、 BC两段内受力情况不同，须分段计算。
AC段：
Mc M x1 FA x1 x1 l
0 x1 a
BC段：
FA
M2
O
x1
M1
Mc M x2 FB (l x2 ) (l x2 ) l
∑ Fy=0，
FA+FB－2F－F=0
FB=5F/2
（2）作弯矩图。根据以上作图规律可知，AC段、CB段和BD段 的弯矩图均为斜直线，且在C、B、D处均有转折。
A点处的弯矩：MA=0 C点处的弯矩：MC=Fl/4 B点处的弯矩：MB=－Fl/2 D点处的弯矩：MD=0 弯矩图如图。危险截面在B点处，最大弯矩
令W Z I Z y max
max
M WZ
WZ称为梁的抗弯截面模量，单位是mm3
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数的计算公式
（例）矩形截面简支梁。试求1-1截面上的最大正应力 。
解：（1）求支座反力
∑ MB（F）=0，
∑ Fy=0，
－FA（1200+1000）mm+8kN×1000mm=0
纵向对称面：
杆件横截面上的对称轴与梁的轴线组成的纵向对称面 。
梁：
以弯曲为主要变形的杆件。
2.静定梁的分类与简化
（1）简支梁 一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座。
（2）悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端的梁。
（3）外伸梁：一端或两端伸出支座之外的梁
载荷的简化 1、集中力F
作用于杆件上一点的载荷，单位是N 单位是N· m
WZ=726.33cm3≈7.26×105mm3
（3）确定许可吊重。由强度条件
M max ( F1 F2 )l max Wz 4WZ
( F2 F1 )l / 4 WZ
4WZ F2 F1 l 4 7.26105 160 3 6 . 7 10 10103 39764 N 39.764KN
a x2 l
l x2
FB
（3）画弯矩图
梁的危险截面在c处，最大 弯矩值：
M cb M max l
(b a)
（例）外伸梁在C处和D处分别受集中力2F和F作用，试作其弯
矩图。
解：（1）求支座反力。 ∑ MB（F）=0， －FAl+2F· l/2－F· l/2=0 FA=F/2
2、集中力偶矩M
位是N/m
3、均布载荷 作用于杆件上一定长度的力，称为载荷集度q，单 吊车大梁简化
均匀分布载荷
简称均布载荷
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
洛 阳 职 业 技 术 学 院
二、平面弯曲时 横截面上的内力
剪力和弯矩
以简支梁为例，受集中载荷F作用，设约束反力FA、FB均已知
由平衡条件
许用应力[σ ]=157MPa，跨度l＝2m，集中力F=48KN。试设计截面尺寸。
b
h
解：（1）计算支座反力。 FA = F/3 = 48/3KN = 16KN
FB = －F/3 = －48/3KN = －16KN
(2)画弯矩图，判断危险截面。 最大弯矩在C、D处，故为危险截面。最大弯矩值为
M Fl 48 103 2 N m 32 103 N m 3 3
增大 WZ 合理设计截面 合理放置截面
合理设计截面
合理放置截面
WZ 左
bh2 6 hb2 6
WZ 右
选择合理的截面形状
改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 支 座 形 式
改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 载 荷 类 型
wC 2 62.5% wC1
M
max
Fl 2
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三、梁弯曲时的强度计算
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
变形几关系
m a b m x n a b n
m´ n´ a´ a´ b´ b´ m n´ ´ 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不变－－中性层 中间层与横截面的交线－－中性轴
梁弯曲时的强度条件应用：
（1）校核弯曲正应力的强度。 若 max 则梁的强度足够（安全） 若 max 则梁的强度不够（不安全） （2）设计截面尺寸。 由强度条件得出： WZ （3）确定许可载荷。
M
由强度条件得出： M WZ
例简支梁由横截面为矩形的材料制成。矩形横截面高度比h/b=2，材料的
解：（1）计算支座反力。 列平衡方程，
M B( F ) 0
Fb FAl 0
Fb FA l
M A( F ) 0
FB l Fa 0
FB Fa l
（2）列弯矩方程。 AC段： BC段：
M x1 FA x1 Fb x1 l
0 x1 a
M x2
洛 阳 职 业 技 术 学 院
洛 阳 职 业 技 术 学 院
第四单元 构件基本变形分析 模块五 平面弯曲变形分析
洛 阳 职 业 技 术 学 院
一、弯曲变形实例
起重机大梁
车削工件
火车轮轴
火车轮轴简化
1.平面弯曲的概念
（1）杆件上所有载荷都作用在纵向对称面内，作用线的延长线垂直杆 的轴线。 （2）变形前后杆的轴线始终位于纵向对称平面内。 （3） 杆的轴线由直线弯成一条曲线
在多个载荷作用下，梁的任一截面的转角和挠度等于各个 载荷单独作用下的同一梁在该截面的转角和挠度的代数和。
例
起重机大梁的自重是集度为q的均布载荷，梁的跨度为l，吊重F为 作用于跨度中间的集中力，试求大梁跨度中间的挠度。EI为常量。
均布载荷q单独作用下 5ql4 （yc） q 384 EI 集中力F单独作用下 Fl3 （yc） F 48EI 均布载荷q和集中力F共同作用下作用下
1.纯弯曲梁横截面上的应力
1）应力情况 因为梁的各纵线受到轴向拉伸和轴 向压缩，所以纯弯曲梁横截面上只有正 应力。