工程力学-平面弯曲变形分析

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四、梁弯曲时的刚度计算
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加
载，梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连 续光滑曲线称为挠曲线。
横截面形心处的铅垂位移，
称为挠度，用y表示；
变形后的横截面相对于变形
前位置绕中性轴转过的角度，
称为转角用表示；
用叠加法求梁的转角和挠度：
Mc FA FB l
（ 2 ）列弯矩方程。因截面 c 处有集中力偶作用，梁在 AC 、 BC两段内受力情况不同，须分段计算。
AC段：
Mc M x1 FA x1 x1 l
0 x1 a
BC段：
FA
M2
O
x1
M1
Mc M x2 FB (l x2 ) (l x2 ) l
M
max

Fl 2
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三、梁弯曲时的强度计算
纯弯曲
梁段CD上，只有弯矩，没有剪力－－纯弯曲
梁段AC和BD上，既有弯矩，又有剪力－－横力弯曲
变形几何关系
m a b m x n a b n

m´ n´ a´ a´ b´ b´ m n´ ´ 凹入一侧纤维缩短 突出一侧纤维伸长 中间一层纤维长度不变－－中性层 中间层与横截面的交线－－中性轴
WZ=726.33cm3≈7.26×105mm3
（3）确定许可吊重。由强度条件
M max ( F1 F2 )l max Wz 4WZ
( F2 F1 )l / 4 WZ
4WZ F2 F1 l 4 7.26105 160 3 6 . 7 10 10103 39764 N 39.764KN
a x2 l
l x2
FB
（3）画弯矩图
梁的危险截面在c处，最大 弯矩值：
M cb M max l
(b a)
（例）外伸梁在C处和D处分别受集中力2F和F作用，试作其弯
矩图。
解：（1）求支座反力。 ∑ MB（F）=0， －FAl+2F· l/2－F· l/2=0 FA=F/2
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第四单元 构件基本变形分析 模块五 平面弯曲变形分析
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一、弯曲变形实例
起重机大梁
车削工件
火车轮轴
火车轮轴简化
1.平面弯曲的概念
（1）杆件上所有载荷都作用在纵向对称面内，作用线的延长线垂直杆 的轴线。 （2）变形前后杆的轴线始终位于纵向对称平面内。 （3） 杆的轴线由直线弯成一条曲线
max
M
x
（3）设计截面尺寸。由强度条件 M max max Wz
M max 32 103 103 WZ m m3 203822 m m3 [ ] 157
由矩形截面抗弯截面模量
bh2 b(2b) 2 2 3 WZ b 6 6 3
3 203822 b m m 67.4m m 2
FA=3.64KN FB= 4.36KN
FA+FB－8kN=0
（2）求1-1截面上的弯矩
M11 FA 1000 3.641000 kN mm 3.64KN m
（3）求1-1截面上的最大正应力
bh3 75 1503 1012 4 IZ m 21.09 106 m 4 12 12
梁弯曲时的强度条件应用：
（1）校核弯曲正应力的强度。 若 max 则梁的强度足够（安全） 若 max 则梁的强度不够（不安全） （2）设计截面尺寸。 由强度条件得出： WZ （3）确定许可载荷。

M
由强度条件得出： M WZ
例简支梁由横截面为矩形的材料制成。矩形横截面高度比h/b=2，材料的
Fa l x2 l
a x2 l
x1
O
FQ1
M2
O
FA
M1
FQ 2
l x2
FB
（3）画弯矩图。
梁的危险截面在c处，最大弯矩值 ： M
max

Fab l
2、简支梁AB受集中力偶Mc作用，图中各尺寸已知。求最大
弯矩，并画出梁的弯矩图。
解：（1）计算支座反力。列平衡方程可得，
许用应力[σ ]=157MPa，跨度l＝2m，集中力F=48KN。试设计截面尺寸。
b
h
解：（1）计算支座反力。 FA = F/3 = 48/3KN = 16KN
FB = －F/3 = －48/3KN = －16KN
(2)画弯矩图，判断危险截面。 最大弯矩在C、D处，故为危险截面。最大弯矩值为
M Fl 48 103 2 N m 32 103 N m 3 3
∑ Fy=0，
FA+FB－2F－F=0
FB=5F/2
（2）作弯矩图。根据以上作图规律可知，AC段、CB段和BD段 的弯矩图均为斜直线，且在C、B、D处均有转折。
A点处的弯矩：MA=0 C点处的弯矩：MC=Fl/4 B点处的弯矩：MB=－Fl/2 D点处的弯矩：MD=0 弯矩图如图。危险截面在B点处，最大弯矩
纵向对称面：
杆件横截面上的对称轴与梁的轴线组成的纵向对称面 。
梁：
以弯曲为主要变形的杆件。
2.静定梁的分类与简化
（1）简支梁 一端为固定铰支座，而另一端为可动铰支座。
（2）悬臂梁 一端为固定端，另一端为自由端的梁。
（3）外伸梁：一端或两端伸出支座之外的梁
载荷的简化 1、集中力F
作用于杆件上一点的载荷，单位是N 单位是N· m
3
h = 2b = 134.8mm
选择： b 68mm h 135mm
例某车间安装简易吊车，大梁选用32b工字钢，跨度l=10m，已知电葫芦
自重F1=6.7KN，梁的自重不计，材料的许用应力[σ ]=160MPa。试确定
该梁许可吊重F2。
（1）吊车梁可简化为中点受集中力作用的简支梁
（2）画弯矩图。最大弯矩发生在梁跨度中点处，该截面为危 险截面。最大弯矩为 Mmax=(F1+F2)l/4 查型钢表， 32b 工字钢截面抗弯截面模量为：
令W Z I Z y max
max
M WZ
WZ称为梁的抗弯截面模量，单位是mm3
简单截面的惯性矩和抗弯截面系数的计算公式
（例）矩形截面简支梁。试求1-1截面上的最大正应力 。
解：（1）求支座反力
∑ MB（F）=0，
∑ Fy=0，
－FA（1200+1000）mm+8kN×1000mm=0
∑Fy=0 FQ=FA ∑Mc（F）=0 －F AX＋M =0 M = FAX FQ（剪力）作用线通过截面形心，且平行于外力 M（弯矩) 位于纵向对称面内，使梁受弯曲作用的内力偶矩。 FA－FQ=0
剪力、弯矩符号规定：
剪力 左下右上为正 弯矩 上凹为正
下凹为负
弯矩方程和弯矩图
1、简支梁AB受集中力F作用，跨度为l，求最大弯矩，并画出 梁的弯矩图。
在多个载荷作用下，梁的任一截面的转角和挠度等于各个 载荷单独作用下的同一梁在该截面的转角和挠度的代数和。
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例
起重机大梁的自重是集度为q的均布载荷，梁的跨度为l，吊重F为 作用于跨度中间的集中力，试求大梁跨度中间的挠度。EI为常量。
均布载荷q单独作用下 5ql4 （yc） q 384 EI 集中力F单独作用下 Fl3 （yc） F 48EI 均布载荷q和集中力F共同作用下作用下
增大 WZ 合理设计截面 合理放置截面
合理设计截面
合理放置截面
WZ 左
bh2 6 hb2 6
WZ 右
选择合理的截面形状
改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 支 座 形 式
改善结构形式，减少弯矩数值
改 变 载 荷 类 型
wC 2 62.5% wC1
max
M 11 y max Iz 150 3.64 10 103 2 P a 12.94MP a 6 21.09 10
3
2.梁弯曲正应力的强度计算 梁的危险截面上的最大正应力

材料的许用应力
即
max
M max [ ] Wz
上式适用于横截面关于中性轴对称的截面。
1.纯弯曲梁横截面上的应力
1）应力情况 因为梁的各纵线受到轴向拉伸和轴 向压缩，所以纯弯曲梁横截面上只有正 应力。
2）应力分布
横截面上的正应力沿横截面高度方向线性分布。既有拉 应力，又有压应力。 距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴 上各点正应力为零 。
3）应力的大小 在弹性范围内，梁纯弯曲时横截面上任意一点的 正应力为： My IZ
yc
5ql4 Fl3 384 EI 48EI
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五、提高梁的强度 和刚度的措施
提高强度
M max max [ ] WZ
降低 Mmax 合理安排支座 合理布置载荷
合理布置支座
F
F
F
合理布置支座
合理布置载荷
F
采用变截面梁或等强度梁
提高刚度
M max max [ ] WZ
M为作用在横截面上的弯矩，单位是N· mm y为计算点到中性轴的距离，单位是mm； Iz为横截面对中性轴z的惯性矩，单位是mm4。

任一点的正应力 MP a
在中性轴上当y = 0时，σ = 0 ；当 y = ymax时，弯曲正 应力σ 达到最大值σ
max
max
Mymax IZ
最大正应力产生在离中性轴最远的边缘处
解：（1）计算支座反力。 列平衡方程，
M B( F ) 0
Fb FAl 0
Fb FA l
M A( F ) 0
FB l Fa 0
FB Fa l
（2）列弯矩方程。 AC段： BC段：
M x1 FA x1 Fb x1 l
0 x1 a
M x2
2、集中力偶矩M
位是N/m
3、均布载荷 作用于杆件上一定长度的力，称为载荷集度q，单 吊车大梁简化
均匀分布载荷
简称均布载荷
吊车大梁简化
均匀分布载荷 简称均布载荷
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二、平面弯曲时 横截面上的内力
剪力和弯矩
以简支梁为例，受集中载荷F作用，设约束反力FA、FB均已知
由平衡条件