2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第八章 第七节双 曲 线

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课时提升作业(五十六)
一、选择题
1.已知双曲线22
22x y 1a b
-=(a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为4y x 3=，则双曲线的离
心率为( )
()
(
)()(
55A B C D 334
2.双曲线2
2x y 1n
-=(n ＞1)的左、右两个焦点为F 1,F 2,P 在双曲线上，且满足
|PF 1|+|PF 2
|=则△PF 1F 2的面积为( )
(A) 1
2
(B)1 (C)2 (D)4
3.已知双曲线mx 2-ny 2=1(m>0,n>0)的离心率为2，则椭圆mx 2+ny 2=1的离心率为
( )
()
(
)(
)(
)
1A B C D 3333
4.已知双曲线22
22x y 1a b
-=(a>0,b>0)
的一条渐近线方程是y ，它的一个焦点在
抛物线y 2=24x 的准线上，则双曲线的方程为( )
()()()()2222
2222
x y x y A 1 B 1
36108927
x y x y C 1 D 1
10836279
-=-=-=-=
5.(2013·贵阳模拟)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线
FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
(((()
11
A B C D 22
6.(2012·浙江高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N 是双曲线的两顶点，若M,O,N 将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )
(A)3 (B)2 (D)7.设F 1,F 2分别为双曲线22
22x y 1a b
-= (a ＞0,b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支
上存在点P ，满足|PF 2|=|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
(A)3x ±4y=0 (B)3x ±5y=0 (C)4x ±3y=0 (D)5x ±4y=0
8.(能力挑战题)已知点F 1,F 2分别是双曲线22
22x y a b
-=1的左、右焦点，过F 1且垂直
于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )
()()()()
A (11
B (1
C 1)
D (,1 +∞ -∞，
，
二、填空题
9.(2013·昆明模拟)已知双曲线22
x y 19a
-=的右焦点的坐标为
)
，则该双曲线
的渐近线方程为_________.
10.(2013·威海模拟)设点P 是以F 1,F 2为左、右焦点的双曲线22
22x y 1a b
-=(a ＞0,b
＞0)左支上一点，且满足12PF PF =0,tan ∠PF 2F 1=2
,3
则此双曲线的离心率为_________.
11.(能力挑战题)过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点为M,若点M 在以AB 为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e 的取值范围为_________. 三、解答题
12.已知双曲线的中心在原点，焦点F
1，F 2且过点
(
P 4,.
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：12MF MF =0. (3)求△F 1MF 2的面积.
13.(2013·哈尔滨模拟)椭圆C 1：22
22x y 1a b +=(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，
点P 是双曲线C 2：22
22x y 1a b
-=在第一象限内的图象上一点，直线AP ，BP 与椭圆C 1
分别交于C ，D 点，若S △ACD =S △PCD . (1)求P 点的坐标.
(2)能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率；若不能，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选A.由已知得b 4,a 3
=即3b=4a,
∴9b 2
=16a 2
⇒9(c 2
-a 2
)=16a 2
⇒22c 25
,a 9
=
c 5e .a 3
∴=
=
2.【解析】选B.不妨设点P 在双曲线的右支上，则
121212PF PF PF PF PF PF -=+=∴==
又c =
∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, ∴∠F 1PF 2=90°,
12
PF F 121
S
PF PF 1.2
∴=
=
3.【解析】选B.由已知双曲线的离心率为2,得：
2,=
解得：m=3n,又m>0,n>0, ∴m>n,即11,n m
>
故由椭圆mx 2
+ny 2
=1得22
y x 1.11n m
+=
∴所求椭圆的离心率为：e =
==
【误区警示】本题极易造成误选而失分，根本原因是由于将椭圆mx 2+ny 2=1焦点
所在位置弄错，从而把a 求错造成.
4.【解析】选B.
由题意可知2
222
2c 6,a 9,a b c ,b 27,b
a
⎧
⎪=⎧=⎪⎪+=⎨⎨=⎪⎩⎪⎪=⎩解得
所以双曲线的方程为22
x y 1.927
-=
5.【解析】选D.因为焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的离心率一样，所以不妨设
双曲线方程为22
22x y 1a b
-=(a>0,b>0)，则双曲线的渐近线的斜率b k a =±，一个焦点坐
标为F(c,0)，一个虚轴的端点为B(0,b)，所以k FB =b c
-，又因为直线FB 与双曲线的一条渐近线垂直，所以FB b b b k k ()1(k a
c
a
=-=-=-显然不符合), 即b 2=ac,c 2-a 2
=ac,所以,c 2-a 2-ac=0, 即e 2-e-1=0，解得e =
负值舍去). 【变式备选】双曲线2222x y 1a b -=(a ＞0,b ＞0)的离心率为2,
则2b 1
3a
+
的最小值为
( )
((()()A B C 2 D 1
【解析】选A.因为双曲线的离心率为2，所以c
2a
=， 即c=2a ，c 2=4a 2； 又因为c 2
=a 2+b 2， 所以a 2+b 2=4a 2
，即b
=，
因此22b 13a 11a 3a 3a 3a ++==+≥=
当且仅当1a ,a 3a =
=
即. 故2b 13a +
6.【解析】选B.设双曲线的方程为22
2211x y 1a b -=(a 1＞0,b 1＞0),椭圆的方程为
22
22
22x y 1a b +=(a 2＞0,b 2＞0), 由于M,O,N 将椭圆长轴四等分， 所以a 2=2a 1,又1212
c c
e ,e a a ==，
所以
12
21
e a 2.e a == 7.【解析】选C.设PF 1的中点为M ，因为|PF 2|=|F 1F 2|， 所以F 2M ⊥PF 1，因为|F 2M|=2a ， 在直角三角形F 1F 2M 中，
1
1|FM |2b PF 4b,===，故 根据双曲线的定义得 4b-2c=2a,即2b-c=a,
因为c 2=a 2+b 2，所以(2b-a)2=a 2+b 2, 即3b 2-4ab=0,即3b=4a,
故双曲线的渐近线方程是4
y x 3
=±， 即4x 〒3y=0.
8.【解析】选A.如图，设A(-c,y 0)(y 0＞0),
因为点A 在双曲线22
22x y 1a b
-=上，
代入得2
20
22y c 1,a b
-=
解得242
2
2
022c b b y b (1),y .a a a
=-==
因为△ABF 2为锐角三角形， 所以0°＜∠AF 2F 1＜45°,
从而|AF 1|＜|F 1F 2|，即2
b a
＜2c,b 2＜2ac,
化简得c 2-2ac-a 2＜0. 两边同除以a 2,得e 2-2e-1＜0,
解得
1e 1＜
又e ＞1,所以1＜e ＜
9.【解析】∵右焦点坐标是), ∴9+a=13,即a=4,
∴双曲线方程为22
x y 1,94
-=
∴渐近线方程为x y 0,32
±=即2x 〒3y=0. 答案:2x 〒3y=0
10.【解析】由已知得|PF 2|-|PF 1|=2a ① 又12PF PF 0=， ∴12PF PF ⊥，
因此在以P 为直角顶点的Rt △PF 1F 2中，
由tan ∠PF 2F 1=2
3得，12PF 2PF 3
= ②
由①②解得|PF 1|=4a,|PF 2|=6a. 又|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2， 即(4a)2+(6a)2=(2c)2.
即13a 2
=c 2
,∴离心率2
2
2c e 13.a
==
∴
答案:
11.【思路点拨】设出双曲线方程，表示出点F,A,B 的坐标，由点M 在圆内部列不等式求解.
【解析】设双曲线的方程为22
22x y 1a b -=(a>0,b>0)，右焦点F 坐标为F(c,0)，令
22
b b A(c,),B(c,)a a
-，
所以以AB 为直径的圆的方程为()4
2
2
2b x c y .a -+=
又点M(-a,0)在圆的内部，所以有()4
2
2b a c 0,a
--+<
即2
222b a c a ac c a ,a
+<⇒+<-
⇒e 2-e-2>0c (e )a
=,解得:e>2或e<-1.
又e>1,∴e>2. 答案:(2,+∞)
12.【解析】(1)∵
∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). ∵过点
P (4,,∴16-10=λ,即λ=6. ∴双曲线方程为x 2-y 2=6.
(2)方法一：由(1)可知，双曲线中
(
)(
)
1
212MF MF c F ,F .k k ∴=∴-∴==
12
22MF MF m m k k .9123
==-- ∵点M(3,m)在双曲线上， ∴9-m 2=6,m 2=3.
故1
2
MF MF k k 1,=-∴MF 1⊥MF 2.
12MF MF 0.∴
=
方法二：∵1MF =(
)3m ---,
()
2MF 3,m ,=-
∴12MF MF
=((2233m 3m .+⨯-+=-+ ∵M(3,m)在双曲线上， ∴9-m 2=6，即m 2-3=0.
12MF MF 0.∴=
(3)△F
1MF 2的底|F 1F 2|= △F 1MF
2的边F 1F 2上的高12
F MF S
6.∴=
13.【思路点拨】(1)由S △ACD =S △PCD ⇒AC=PC,即C 为AP 中点且在椭圆上，据此可求出P 点坐标.
(2)只需将F 2(c,0)代入直线CD 的方程，设法求a,c 的比值即可. 【解析】(1)设P(x,y)在双曲线上，则有b 2x 2-a 2y 2=a 2b 2 ①， ∵A(-a,0),B(a,0), ∴PA 的中点为x a y
C(
,),22
- 点C 在椭圆上，代入椭圆方程，化简得
b 2x 2+a 2y 2-2ab 2x=3a 2b 2 ② ①+②：2b 2x 2-2ab 2x=4a 2b 2, ∴x 2-ax-2a 2=0,(x+a)(x-2a)=0.
∵P 在双曲线右支上，∴x+a ≠0，则x=2a. 代入①：a 2y 2=3a 2b 2,P 在第一象限,
()
y 0,y P .∴=＞得
(2)由)及B(a,0)得PB: )y x a .=
- 代入椭圆方程：()22
2
2
2
22223b b x a x 2ax a a b ,a
+-+=
∴4b 2x 2-6ab 2x+2a 2b 2=0. 2x 2-3ax+a 2=0,(2x-a)(x-a)=0. ∵x ＜a,∴x=a
,2
从而a y )2=-=
得a D(,2
同理可得a C(2
圆学子梦想 铸金字品牌
- 11 - C ，D 横坐标相同，知CD ⊥x 轴. 如CD 过椭圆右焦点F 2(c,0),∴c=a ,2即a=2c, 从而22223b a c a .4=-=设双曲线半焦距为c ′,
则22227
c a b a ,e 4'=+=∴'= 于是直线CD 可通过椭圆C 1的右焦点，此时双曲线C 2
的离心率为e 2'=
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