随机事件的关系与运算
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随机事件的关系与运算
（2）化简左式至右式
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
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5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如，在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件；
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律:
A B C AB C A BC A B C AB C A BC A B C
A B C.
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5) 差事件
A B A AB AB
A B
A
S B S
A B
A A B
A B
发生当且仅当 A 发生 B 不发生.
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
6) 互不相容（互斥）
7) 对立事件 （逆事件）
A B
A B A B S
A
A
B
S
S
BA
请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例如，在S4 中
事件 A={t|t1000} 表示 “产品是次品” 事件 B={t|t 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t1500} 表示“产品是一级品” 则 A与B是互为对立事件；
A B A B,
可推广 Ak Ak ,
k k
AB A B
A A .
k k k k
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
例1：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. （1）A 发生.
A A A
A B B A, A B B A
A B C A B A C De Morgan（德摩根）定律:
第02讲 随机事件的关系与运算
概率论与数理统计主讲：四川大学四川大学第2讲随机事件的关系与运算1第2讲随机事件的关系与运算四川大学四川大学第2讲随机事件的关系与运算3在上一讲第1 讲随机试验样本空间随机事件我们介绍了样本空间、样本点和事件的概念这一讲我们来讲事件的运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算4§1.2样本空间随机事件四川大学第2讲随机事件的关系与运算5（三）随机事件的关系与运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算6回忆事件的概念随机试验E 的样本空间S的子集A 称为E 的随机事件，简称事件。
当A 中某一个样本点出现时，就说事件A 发生了。
由一个样本点e 组成的单点集{e} 称为基本事件。
一般的事件是由基本事件复合而成的，而基本事件是不能再分解的事件。
四川大学第2讲随机事件的关系与运算7一个事件A 是样本空间S的一个子集，因此事件之间的关系以及事件的运算可以用集合之间的关系和集合运算来处理。
设试验E的样本空间为S，而A, B,（k=1, 2,…）是S的子集。
Ak四川大学第2讲随机事件的关系与运算8事件间的关系四川大学第2讲随机事件的关系与运算10第2讲随机事件的关系与运算12四川大学2. 事件的相等如果事件A 包含事件B ( )，事件B 也包含事件A ( ) ，即A 与B 有相同的样本点，则称事件A 与事件B 相等，记作A B=即A B =⇔and A B B A⊂⊂A B ⊃A B ⊂第2讲随机事件的关系与运算13四川大学例如，记A =“考试及格”，B =“考试成绩为90分”记C =“至少有50人排队”，D =“至少有30人排队”抛两颗骰子，两颗骰子出现的点数分别记为x 和y .记E =“x +y 为奇数”，F =“两次的骰子点数奇偶性不同”{|60100}A x x =≤≤C D ⇒⊂E F⇒=A B ⇒⊃{90}B ={50,51,...}C ={30,31,...}D =事件的运算四川大学第2讲随机事件的关系与运算14第2讲随机事件的关系与运算16四川大学1kk A ∞=∑1k k A ∞= 12...n A A A n 个事件A 1, A 2, …, A n 中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件，1nkk A == 12...n A A A +++1nkk A ==∑或可列个事件A 1, A 2, …A n , …中至少有一个发生的事件称为这些事件的和事件，或事件的并(和)可以推广到有限或可列个事件。
1-1随机事件的关系与运算
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT } ， ， ，
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
B= A
请注意互不相容与对立事件的区别！ 请注意互不相容与对立事件的区别！
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件Biblioteka 概率例如， 例如，在S4 中 产品是次品” 事件 A={t|t<1000} 表示 “产品是次品” < 产品是合格品” 事件 B={t|t ≥ 1000} 表示 “产品是合格品” 事件 C={t|t≥1500} 表示“产品是一级品” ≥ 表示“产品是一级品” 则 A与 B 是互为对立事件； 与 是互为对立事件； A与 C 是互不相容事件； 与 是互不相容事件；
经济、科技、教育、 概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。 军事等方面已得到广泛应用。 在生活当中，经常会接触到一 现象： 在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性； 不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 统计规律性的现象 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。 性的一门学科，是重要的一个数学分支。
概率论与数理统计笔记(重要公式)
r = A 中样本点数 / Ω 中样本点总数 n
= A 所包含的基本事件数 / 基本事件总数 条件概率:
对偶律： A B = A B , P ( AB ) 设 A, B 是两个事件， 且 P(B)>0， 称 P(A|B)= 为 贝叶斯公式: P( B) 在事件 B 发生条件下事件 A 发生的条件概率。显然， 当 P(A)>0 时，P(B|A)=
二项分布 X ~ B(n, p)： 指数分布 X ~ E(λ) 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1, …, n, 而 X 的分布律为 e x x 0 若随机变量 X 的概率密度为 f ( x) k k nk pk =P {X= xk }= Cn p q , k=0, 1, 2, …, n, x0 0
设 X 为离散型随机变量， 可能取值为 x1, x2, …, xk, … 且 P 概率密度的性质： (1) f(x)≥0 {X= xk }= pk, k=1, 2, …, 则称{pk}为 X 的分布律 表格形式: f ( x)dx =1 (2) X x1, x2, …, xk, … b P p1, p2, …, pk, … (3) P{a<X≤b}= F(b)-F(a)= f ( x)dx , a≤b a {pk}性质： (4) 设 x 为 f(x)的连续点，则 F’(x)存在，且 （1） pk≥0, k=1, 2, … F’(x)= f(x) （2） pk =1 均匀分布 X ~ U (a, b) k 1 若随机变量 X 的概率密度为 在求离散型随机变量的分布律时，首先要找出其所有可能 1 , a≤x≤b 的取值，然后再求出每个值相应的概率 ba f(x) = 在实际应用中，有时还要求“X 满足某一条件”这样事件的 概率， 求法就是把满足条件的 xk 所对应的概率 pk 相加可得 0, 其他 则称 X 服从区间[a,b]上的均匀分布，其分布函数为 其分布函数 F(x) = pk xk x 0, x≤a 0-1 分布： xa F(x) = , a<x<b 若随机变量 X 只取两个可能值 0, 1，且 ba P {X=1}=p, P{X=0}=q 1, x≥b 其中 0<p<1, q=1-p, 则称 X 服从 0-1 分布. X 的分布律为 设 X ~ U (a, b), a≤c<d≤b，即[a,b] [c,d]，则 X 0 1 d c P{c≤X≤d}= P q p ba
概率论-1-2随机事件间的关系及运算
若事件 A 的出现必然导致事件 B 不出现, B 出现也必然导致 A不出现,则称事件 A与B互不相
容, 即
A B AB .
实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数 . “骰子出现1点”互斥 “骰子出现2点”
图示 A 与 B 互斥.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
基本事件，复合事件，必然事件， 不可能事件都是随机事件
学习了事件的运算及运算律，运算的 目的是什么？
用简单事件表示复合事件（复合事件分解 成简单事件）
(*)2. 概率论与集合
S 样本空间，必然事件
互为对立事件
二、随机事件间的关系及运算
事件是集合，就可以用集合间的关系和运 算来处理,我们结合 p4 图来学习：
设试验 E 的样本空间为S, 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 S 的子集.
二、随机事件间的关系及运算（续）
1. 包含关系 子事件 A B.
实例 “长度不合格” 必然导致 “产品不合格” 所以B=“产品不合格”包含A=“长度不合格”. 图示 B 包含 A.
(2) 三个事件都出现;
(3)三个事件至少有一个出现;
(4) 不多于一个事件出现; (5) A, B 至少有一个出现, C 不出现; (6) A, B, C 中恰好有两个出现.
解(1) ABC; (2) ABC; (3) A B C;
(4) ABC ABC ABC ABC;
(5) ( A B) C; (6) ABC ABC ABC.
复合事件—由若干个基本事件组合而成的事件.
新教材人教版高中数学必修第二册 10-1-2 事件的关系和运算 教学课件
第十八页，共二十三页。
知识点二 事件的运算 [例 2]在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝{出 现 1 点}，事件 C2＝{出现 2 点}，事件 C3＝{出现 3 点}，事件 C4＝{出现 4 点}，事件 C5＝{出现 5 点}，事件 C6＝{出现 6 点}，事件 D1＝{出现的 点数不大于 1}，事件 D2＝{出现的点数大于 3}，事件 D3＝{出现的点数 小于 5}，事件 E＝{出现的点数小于 7}，事件 F＝{出现的点数为偶数}， 事件 G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
(2)因为事件 D2＝{出现的点数大于 3}＝{出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点}，所以 D2＝C4∪C5∪C6(或 D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F ＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.
第二十页，共二十三页。
[知识小结二]
事件运算应注意的 2 个问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全 面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析． (2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系 时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得 严格按照事件之间关系的定义来推理．
第四页，共二十三页。
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中 靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不 中靶”与之互斥．
知识点二 事件的运算 [例 2]在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件 C1＝{出 现 1 点}，事件 C2＝{出现 2 点}，事件 C3＝{出现 3 点}，事件 C4＝{出现 4 点}，事件 C5＝{出现 5 点}，事件 C6＝{出现 6 点}，事件 D1＝{出现的 点数不大于 1}，事件 D2＝{出现的点数大于 3}，事件 D3＝{出现的点数 小于 5}，事件 E＝{出现的点数小于 7}，事件 F＝{出现的点数为偶数}， 事件 G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．
(2)因为事件 D2＝{出现的点数大于 3}＝{出现 4 点或出现 5 点或出现 6 点}，所以 D2＝C4∪C5∪C6(或 D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F ＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.
第二十页，共二十三页。
[知识小结二]
事件运算应注意的 2 个问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全 面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用 Venn 图或列出全部的试验结果进行分析． (2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系 时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得 严格按照事件之间关系的定义来推理．
第四页，共二十三页。
3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互
斥事件是
()
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
解析：事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中 靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不 中靶”与之互斥．
1随机事件与事件间的关系与运算介绍
四
事件间的运算法则
1）幂等律: A A A,
AA A
2）交换律: A B B A, A B B A 3）结合律: 4）分配律:
A B C A B C A B C A B C
( A B) C A C B C; C ( A B) C A C B
2
A3
( 2 ) A1 A
2
A3 A 1 A2 A3 A 1 A2 A3
(3 ) A 1 A 2 A3
(4) A1 A2 A3
(5) (3) (2)
例2：已知A表示事件“全班学生英语成绩都及格”，则
A 表示什么含义？
§1
随机事件的概率
练习：设 A, B, C 为三个随机事件，用A, B, C 的运 算关系表示下列各事件. (1) A 发生，B 与 C 都不发生.
AB C .
(2) A ,B , C 都发生.
ABC .
(3) A ，B , C 至少有一个发生.
A B C.
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(5) A ，B , C 都不发生.
ABC .
(6) A ，B , C 不多于一个发生.
ABC
AB C A BC A B C.
(7) A ，B , C 不多于两个发生.
A B A B , 且 B A.
例：若A=“不大于7的整数”，B=“小于或者等于7 的整数”，则A=B。
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3) 和（并）事件 ：“事件A与B至少有一个发生”，称 为A与B的和事件，记为 例：某产品分为一，二，三，四 等品，其中一、二等品为合格品， 三、四等品为不合格品。若 Ai=“i 等品” (i=1，2，3 ,4）; B=“合格品”，C=“不合格品”， B A 则: B= A1+ A2 ， C= A3+ A4
随机事件的关系与运算
随机事件的关系与运算随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
在随机事件中，我们需要对其进行运算，以便得到更加准确的结果。
本文将从随机事件的关系与运算角度，对随机事件的基本概念、性质、运算规则等进行探讨。
一、随机事件的基本概念与性质随机事件是指在一定条件下具有随机性质的事件，其发生与否是由随机因素决定的。
随机事件的基本概念包括：样本空间、随机事件、必然事件和不可能事件。
样本空间是指一个试验中所有可能的结果构成的集合，记作S。
随机事件是指样本空间S中的一个子集，即一个具有一定概率的事件。
必然事件是指在样本空间中所有结果都属于该事件的事件，记作Ω。
不可能事件是指在样本空间中没有任何结果属于该事件的事件，记作∅。
随机事件具有以下性质：1. 互斥性：若两个事件A和B之间没有公共结果，则称它们互斥。
2. 相对补集：若事件A的发生导致事件B的不发生，则称事件A是事件B的补事件，记作A的补集，即A^c。
3. 包含关系：若事件A的发生导致事件B的发生，则称事件A包含事件B，记作A⊇B。
二、随机事件的运算规则在随机事件的运算中，我们需要对事件之间的关系进行分析和计算。
随机事件的运算包括并、交、差和补四种运算。
1. 并运算并运算是指将两个事件A、B的结果集合并为一个结果集的操作，用符号“∪”表示。
即：A∪B={x|x∈A或x∈B}。
并运算的性质：（1）交换律：A∪B=B∪A。
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)。
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。
2. 交运算交运算是指将两个事件A、B的公共结果构成一个新的事件的操作，用符号“∩”表示。
即：A∩B={x|x∈A且x∈B}。
交运算的性质：（1）交换律：A∩B=B∩A。
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
3. 差运算差运算是指事件A中除去事件B的结果所构成的新事件，用符号“-”表示。
事件的关系和运算-高一数学同步教学课件(人教A版2019必修第二册)
样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考用乙元件的状态 .
解：(1) 用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可用(x1，x2)
表示这个电路的状态．用1表示元件正常，用0表示元件失效，
则样本空间为： Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．
例5 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能
ഥ ={(0，0)，(1，0)}．
ഥ ∩
ഥ ={(0，0)}
(3) A∪B ={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，
ഥ ∩
ഥ 表示电路工作不正常．
A∪B表示电路工作正常，
ഥ ∩
ഥ 互为对立事件．
A∪B和
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标
号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸
10.1.2事件的关系和运算
一、复习回顾
样本点：随机试验E的每个可能的基本结果．
样本空间：全体样本点的集合．
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的
样本空间的子集来表示．
随机事件（事件）：样本空间Ω的子集．
基本事件：只包含一个样本点的事件．
事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现．
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定
的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算
含义
符合表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B或B⊇A
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
解：(1) 用x1，x2分别表示甲、乙两个元件的状态，则可用(x1，x2)
表示这个电路的状态．用1表示元件正常，用0表示元件失效，
则样本空间为： Ω={(0，0)，(1，0)，(0，1)，(1，1)}．
例5 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能
ഥ ={(0，0)，(1，0)}．
ഥ ∩
ഥ ={(0，0)}
(3) A∪B ={(1，0)，(0，1)，(1，1)}，
ഥ ∩
ഥ 表示电路工作不正常．
A∪B表示电路工作正常，
ഥ ∩
ഥ 互为对立事件．
A∪B和
例6 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标
号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸
10.1.2事件的关系和运算
一、复习回顾
样本点：随机试验E的每个可能的基本结果．
样本空间：全体样本点的集合．
一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的
样本空间的子集来表示．
随机事件（事件）：样本空间Ω的子集．
基本事件：只包含一个样本点的事件．
事件A发生在每次试验中，A中某个样本点出现．
从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定
的集合是全集中由事件A所包含的结果组成的集合的补集。
事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下：
事件的关系或运算
含义
符合表示
包含
A发生导致B发生
A⊆B或B⊇A
并事件(和事件)
A与B至少一个发生
A∪B或A＋B
交事件(积事件)
A与B同时发生
A∩B或AB
第一节 随机事件的运算及关系
二、随机事件的关系及运算 它和集合的关系及运算是完全相互类比的， 摆在我们面前的问题是如何把集合论的语 言准确的换成概率论的语言。
下面我们用集合的关系与运算类比的讲述事件的
四种关系
和
三种运算
1、事件A包含于事件B:若事件A发生必有事件B发生，
集合A包含于集 合B：若对 A, 总有B， 则称集合A包含 于集合B，记成 AB。
4、称最大的子集（样本空间本身）为必然事件，
称最小的子集（空集）为不可能事件。
5、 事件可以用子集表示，也可以用准确无误的语言来表示。
也可以用数集来表示
定义：用来表示随机现象结果的变量称为随机变量， 用大写字母 X，Y，Z……表示
掷骰子
例 1 .6 任 投 一 枚 骰 子 ， 出 现 的 点 数 是 一 个 随 机 变 量 X。
事件A与B的差： 若事件C发生当且 仅当事件A发生且 事件B不发生,则 称事件C为事件A 与B的差,记成 A-B。
6、A与B互斥
事件A与B不能同时发生。
(或互不相容事件),
7、 A和 B对 立
A和 B当 且 仅 当 之 一 发 生 A B= AB=
AB=Ø
请同学思考互斥和对立
的区别与联系？
例 1 .2 一 战 士 连 续 向 以 目 标 射 击 ， 直 到 打 中 为 止 ， 令 i i= 射 击 次 数 ，
则
U 1 ，，， 2 3 ...........
例 1 .3 测 量 某 电 子 元 件 的 寿 命 ， U = x | 0 x <
例 1 .4 在 0 ， 上 任 取 一 数 ， 1
第一章
第一节
随机事件与概率
随机事件及其运算
有关随机事件关系和运算的例析
有关随机事件关系和运算的例析随机事件是概率论中的基础概念，是指在某一实验中可能发生的事件。
在实际应用中，我们常常需要对多个随机事件进行关系和运算，以求得更为准确的结果。
下面，我们将通过一些例子，来深入探究随机事件的关系和运算。
一、事件的关系1. 包含关系当事件A包含事件B时，我们可以表示为 AB。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是2。
显然，事件B包含在事件A中，即 AB。
2. 相等关系当事件A和事件B所包含的样本点完全相同时，我们可以表示为A=B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数不是偶数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点完全相同，即 A=B。
3. 互斥关系当事件A和事件B所包含的样本点没有交集时，我们可以表示为A∩B=。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是奇数。
显然，事件A和事件B所包含的样本点没有交集，即 A∩B=。
4. 独立关系当事件A和事件B的发生与否互不影响时，我们可以表示为P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数大于3。
显然，事件A和事件B的发生与否互不影响，即 P(A|B)=P(A) 或 P(B|A)=P(B)。
二、事件的运算1. 并集运算当事件A和事件B中至少有一个发生时，我们可以表示为 A∪B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是3。
显然，事件A和事件B中至少有一个发生，即 A∪B。
2. 交集运算当事件A和事件B同时发生时，我们可以表示为 A∩B。
例如：在掷一枚骰子的实验中，事件A表示掷出的点数是偶数，事件B表示掷出的点数是4。
显然，事件A和事件B同时发生，即 A∩B。
3. 补集运算当事件A不发生时，我们可以表示为 A'。
1.1_2随机事件的关系和运算法则
B .
⑻事件的运算法则
①交换律 A B B A, A B B A;
②结合律 A B C A B C , A B C A B C;
③分配律 A B C A C B C , A B C A C B C;
④对偶律
A B A B, A B A B.
性质①②④可推广到任意 n个事件的情形.
事件A B 表示“灯泡寿命超过200小时而小于300小时”
⑹互不相容事件
如果A B , 则称事件A与事件B是互不相容事件, 或 称事件A与事件B互斥.
事件A表示“灯泡寿命不超过200小时” 事件B表示“灯泡寿命至少300小时”
如果一组事件中的任意两个事件都互不相容, 那么称 该事件组是两两互不相容事件组.
来表示“城市正常供水”和“城市断水”这两个事件.
水源甲
1
3
城市
水源乙
2
水源甲 水源乙
1
3
2
城市
解 供水正常:
A1 A2 A3
城市断水:
A1 A2 A3 A1A2 A3
谢谢
随机事件之间 的关系与运算
⑴事件的包含
若事件A的发生必然导致事件B的发生, 则称事件A包含
在事件B中, 记作 A B .
事件A表示“灯泡寿命不超过200小时”
事件B表示“灯泡寿命不超过300小时” B A
⑵事件的相等
若事件A包含事件B, 而事件B也包含事件 A, 那么就称 事件A与事件B相等, 记作 A B .
试用事件之间的相互关系表示下图所描述的元件系统能
正常工作这一事件.
1
3
2
4
解: {系统能正常工作} A1 A2 A3 A4.
例3 设A, B,C为任意三个事件, 用事件的相互关系表示
3、事件的关系与运算
– 则C4=D2 ∩ D3
随机事件的概率
3、事件的关系与运算• 可以用集合来描述 Fra bibliotek 5）互斥事件
– 若A∩B为不可能事件、即A∩B = ，则此事件A与事件B为互斥事 件。
– 表示：在任何一次实验中，事件A、事件B都不会同时发生。 – 即，没有交集。
– 例如，在掷骰子的实验中，C1={出现1点}、C5={出现5点}，则C1与 C5互斥；G={出现的点数为偶数}、H={出现的点数为奇数，则G与H 互斥。
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 3）并事件（和事件）
– 若某事件发生、当且仅当事件A发生或事件B发生，则此 事件称为事件A与事件B的并事件（和事件）。
– 记为：A+B，或A∪B – 例如，在掷骰子的实验中，C1={出现1点}、C5={出现5
点}，则C1 ∪ C5={出现1点或5点}
– G ∩ H为“不可能事件”； G ∪ H为“必然事件”； G 与H互为 “对立事件”
– 对立事件一定是互斥事件。反之、未必！
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 1）包含关系
– 事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） – 事件A发生，则事件B一定发生。
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 2）相等关系
– 事件B等于事件A（或事件A等于事件B） – 事件A发生，则事件B一定发生，反之亦然。 – 即，若AB，且AB，则成为A=B – 记为：A=B
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 6）对立事件
– 若A∩B为不可能事件、即A∩B = ，且A∪B为必然事件、即A∪B =U（全体、必然），则称此事件A与事件B为互为对立事件。
随机事件的概率
3、事件的关系与运算• 可以用集合来描述 Fra bibliotek 5）互斥事件
– 若A∩B为不可能事件、即A∩B = ，则此事件A与事件B为互斥事 件。
– 表示：在任何一次实验中，事件A、事件B都不会同时发生。 – 即，没有交集。
– 例如，在掷骰子的实验中，C1={出现1点}、C5={出现5点}，则C1与 C5互斥；G={出现的点数为偶数}、H={出现的点数为奇数，则G与H 互斥。
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 3）并事件（和事件）
– 若某事件发生、当且仅当事件A发生或事件B发生，则此 事件称为事件A与事件B的并事件（和事件）。
– 记为：A+B，或A∪B – 例如，在掷骰子的实验中，C1={出现1点}、C5={出现5
点}，则C1 ∪ C5={出现1点或5点}
– G ∩ H为“不可能事件”； G ∪ H为“必然事件”； G 与H互为 “对立事件”
– 对立事件一定是互斥事件。反之、未必！
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 1）包含关系
– 事件B包含事件A（或事件A包含于事件B） – 事件A发生，则事件B一定发生。
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 2）相等关系
– 事件B等于事件A（或事件A等于事件B） – 事件A发生，则事件B一定发生，反之亦然。 – 即，若AB，且AB，则成为A=B – 记为：A=B
随机事件的概率
3、事件的关系与运算
• 可以用集合来描述 • 6）对立事件
– 若A∩B为不可能事件、即A∩B = ，且A∪B为必然事件、即A∪B =U（全体、必然），则称此事件A与事件B为互为对立事件。
7.1.4随机事件的运算高一数学(北师大版必修第一册)课件
偶数”事件B表示随机事件“掷出的点数大于4”则事件“掷出的
点数为6”与事件A，B有何关系？
【解析】若在一次抛掷骰子的实验中，事件A与事件B都产生， 则意味着抛出的点数既是偶数又大于4，因此“掷出的点数为6”这 个事件产生，反之，若在一次实验中“掷出的点数为6”这个事件 产生，因为6是偶数，所以事件A产生，又因为6大于4，所以事件 B产生，即事件A与事件B都产生，从集合运算的角度看， A={2,4,6},B={5,6},A∩B={6}.
课堂练习
1 (1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互
斥事件是( )
A．两次都中靶
B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶
D．只有”包含“只有一次中靶”和“两次
都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
答案：(1)A
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是
并事件(或和事件)
并事件(或和事件)：一般地，由事件 A 和事件 B 至少有一个发生(即 A 发生，或 B 发生，或 A，B 都发生)所构成的事件．记作_A__∪__B___(或 _A__＋__B___)．用 Venn 图表示：
它表示英语、高数至少有一门及格.
A
AB
B
互斥事件
在一个随机实验中,我们把一次实验下不能 同时产生的两个事件A与B称作互斥事件. 如：
【解析】（1）根据题意，事件A和事件B不可能同时产生，所以A∩B是不可能事件； A∪B表示事件“甲分的1号卡片或乙分的1号卡片”.
（2）有(1)可知事件A和事件B不可能同时产生,所以事件A与事件B是互斥事件,又因为事 件A与事件B可以都不产生（A∪B≠Ω），所以事件A与事件B不是对峙事件，A的对峙 事件 是指事件“甲未分得1号卡片”，事件B的对峙事件 是指事件“乙未分得1号卡 片”.
点数为6”与事件A，B有何关系？
【解析】若在一次抛掷骰子的实验中，事件A与事件B都产生， 则意味着抛出的点数既是偶数又大于4，因此“掷出的点数为6”这 个事件产生，反之，若在一次实验中“掷出的点数为6”这个事件 产生，因为6是偶数，所以事件A产生，又因为6大于4，所以事件 B产生，即事件A与事件B都产生，从集合运算的角度看， A={2,4,6},B={5,6},A∩B={6}.
课堂练习
1 (1)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互
斥事件是( )
A．两次都中靶
B．至少有一次中靶
C．两次都不中靶
D．只有”包含“只有一次中靶”和“两次
都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”．
答案：(1)A
(2)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是
并事件(或和事件)
并事件(或和事件)：一般地，由事件 A 和事件 B 至少有一个发生(即 A 发生，或 B 发生，或 A，B 都发生)所构成的事件．记作_A__∪__B___(或 _A__＋__B___)．用 Venn 图表示：
它表示英语、高数至少有一门及格.
A
AB
B
互斥事件
在一个随机实验中,我们把一次实验下不能 同时产生的两个事件A与B称作互斥事件. 如：
【解析】（1）根据题意，事件A和事件B不可能同时产生，所以A∩B是不可能事件； A∪B表示事件“甲分的1号卡片或乙分的1号卡片”.
（2）有(1)可知事件A和事件B不可能同时产生,所以事件A与事件B是互斥事件,又因为事 件A与事件B可以都不产生（A∪B≠Ω），所以事件A与事件B不是对峙事件，A的对峙 事件 是指事件“甲未分得1号卡片”，事件B的对峙事件 是指事件“乙未分得1号卡 片”.
随机事件及其运算
由互逆事件的定义，对任意事件A和B，不难证明以下结论成立： （1）A B A AB AB ； （2）A A ， ， ； （3）(德摩根律)A B AB ，AB A B .
随机事件及其运算
例7
解
（1）A1 A2 A3 ：只击中第一枪 ； （2）A1 A2 A3 ：至少击中一枪 ； （3）A1A2 A3 ：三枪都击中； （4）A1A2 A1A3 A2 A3 ：至少击中两枪 .
随机事件及其运算
1.3 随机事件的概率
一个随机试验有许多可能的结果，我们常常希望知道得到某得结果的可能性有多大.例如，有 1000张彩票，其中有2张一等奖，现有1000人各取一张，则每个人得到一等奖的机会有多大？ 又如， 100件产品中有90件合格品，10件次品，从中任取2件，则恰好有1件次品的机会有多大？ 对于这类 随机事件，我们通常把刻画某事件发生的可能性的大小数值用概率来表示，记作P (A).
例1
随机事件及其运算
1.2 随机事件的关系与运算
1.事件的包含与相等
设事件A={点落在小圆内}，事件B={点落在大圆内}，如图9-1所示.显然， 若所投掷的点落在小圆内，则该点必落在大圆内，也就是说，若事件A 发生， 则事件B 一定发生.
定义1
如果事件 A 发生，必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作A B . 若 A B且B A ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A B .
上两例“抓彩票”和“产品质量检测”试验有两个特征：(1)基本事件总数有限；(2)每个基本事件发 生的可能性相同.满足这两个特征的试验称为古典概型.
定义7
在古典概型中，若基本事件总数为n ，事件A包含的基本事件数为m ，则事件A
的概率P A m .概率的这种定义称为概率的古典概型 .
随机事件及其运算
例7
解
（1）A1 A2 A3 ：只击中第一枪 ； （2）A1 A2 A3 ：至少击中一枪 ； （3）A1A2 A3 ：三枪都击中； （4）A1A2 A1A3 A2 A3 ：至少击中两枪 .
随机事件及其运算
1.3 随机事件的概率
一个随机试验有许多可能的结果，我们常常希望知道得到某得结果的可能性有多大.例如，有 1000张彩票，其中有2张一等奖，现有1000人各取一张，则每个人得到一等奖的机会有多大？ 又如， 100件产品中有90件合格品，10件次品，从中任取2件，则恰好有1件次品的机会有多大？ 对于这类 随机事件，我们通常把刻画某事件发生的可能性的大小数值用概率来表示，记作P (A).
例1
随机事件及其运算
1.2 随机事件的关系与运算
1.事件的包含与相等
设事件A={点落在小圆内}，事件B={点落在大圆内}，如图9-1所示.显然， 若所投掷的点落在小圆内，则该点必落在大圆内，也就是说，若事件A 发生， 则事件B 一定发生.
定义1
如果事件 A 发生，必然导致事件 B 发生，则称事件 B 包含事件 A ，记作A B . 若 A B且B A ，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A B .
上两例“抓彩票”和“产品质量检测”试验有两个特征：(1)基本事件总数有限；(2)每个基本事件发 生的可能性相同.满足这两个特征的试验称为古典概型.
定义7
在古典概型中，若基本事件总数为n ，事件A包含的基本事件数为m ，则事件A
的概率P A m .概率的这种定义称为概率的古典概型 .
ch1-1随机事件_事件的关系与运算
, C 为事件, 则有
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
(1) 交换律
A U B = B U A, AB = BA.
( 2) 结合律 ( A U B ) U C = A U ( B U C ),
( AB )C = A( BC ).
( 3) 分配律 ( A U B ) I C = ( A I C ) U ( B I C ) = AC U BC ,
三、事件的关系与运算
事件间的关系及运算
设试验 E 的样本空间为 S , 而 A, B , Ak ( k = 1,2,L) 是 S 的子集 .
出现, (1)子事件 (1)子事件 若事件 A 出现 必然导致 B 出现 , 也称A 则称事件 B 包含事件 A, 也称 是B的 子事件 的 子事件.
记为 B ⊃ A 或 A ⊂ B.
积事件也可记作
A ⋅ B 或 AB .
实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设Ｃ＝“产品合格” 与直径是否合格所决定 设Ｃ＝“产品合格” ， Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格” Ａ＝“长度合格”，Ｂ＝“直径合格”．
则 C = A I B = AB
图示事件A与 的积事件 事件. 图示事件 与B 的积事件
续）从一批产品中任取两件，观察合格 从一批产品中任取两件， 品的情况. 两件产品都是合格品}， 品的情况 记 A={两件产品都是合格品 ， 两件产品都是合格品 两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 若记 Bi ={取出的第 i 件是合格品 ，i=1,2 取出的第 件是合格品}， 表示A和 问如何用 Bi 表示 和 A ？ A=B1B2
两件产品中至少有一个是不合格品} 两件产品中至少有一个是不合格品 A={两件产品中至少有一个是不合格品 它又可写为两个互斥事件之和
随机事件及其运算关系
（4）（5）（6）为随机现象
称在大量地重复试验或观察中所呈现的
固有规律性为随机现象的统计规律性.
第一节 随机事件及其运算
一、随机事件与样本空间
在各种试验中，相同条件下可以重复进行，而不能确定其结果， 但知其所有可能结果的试验称为随机试验，随机试验记为 E 随机试验：具有以下特点： （1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性） （2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确 试验所有可能的结果；（结果的非单一性） （3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现那一 种结果。（随机性）
An
中至少有一个发生这个事件。
（三）事件的积（交）
若“两个事件A与 B 同时发 生”也 是一个事件，则称 这样的事件为A 与 B 的积 （交）。记作： A B 或 A B
x
x A且 x B
▲称
A 为n个事件 A1, A2 , An的积事件
k 1 k
n
显然有：⑴ A B A ， A BB
显然有：⑴ ⑵
A
A A
B ， B A
A A
B
⑶若 B A ，则 A
BA
特别地， A ， A A 事件的和可推广到有限多个事件和可列（数）无穷多 个事件的情形 n 事件 A 1 , A2 ,
或
, An 的和记为 i1 Ai A1 A2 A1 A2 , An 表示 A1, A2 , , An
C A 2, 4
A B 1, 2,3, 4,6
例11 事件
Ai 表示某射手第 i
次
i 1, 2,3 击中目标试用文字叙述下列事件：
（1） A1 （2） A1
A2 表示前二次中至少有一次击中目标；
事件的关系和运算
(4) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4;
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
(5) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
(6) A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 .
事件 A 的对立（互逆）事件 设 A 表示“事件 A 出现”, 则“事件 A 不出现”
称为事件 A 的对立事件或逆事件. 记作 A. 实例 “骰子出现1点”对立 “骰子不出现1点”
图示 A 与 B 的对立. A
B A
若 A 与 B 互逆,则有 A B 且 AB .
注. 1º互斥与互逆的关系
练习1 设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件 用A,B,C 表示出来.
(1) A 出现 , B, C 不出现; (2) A, B都出现, C 不出现; (3) 三个事件都出现; (4) 三个事件至少有一个出现; (5) 三个事件都不出现;
(6) 不多于一个事件出现; (7) 不多于两个事件出现;
AB A B
(2) A BA A BA ( A B)( A A) ( A B) A B
AB AB AB A(B B) AB A BA
A BA A B
例2 下列命题是否正确？
(1) AB AB
AB 事件A与B的积事件 A集合与B集合的交集
A B 事件A与事件B的差 A与B两集合的差集
AB
事件A与B互不相容
A与B 两集合中没有 相同的元素
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9. 许多服务系统，如电话通信、船舶 装卸、器维修、病人候诊、存货控制、 水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学 领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》；
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间 序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问 题要用到多变量非线性《生灭过程》；
§1 随机事件的概率
一、 随 机 试验
1) 随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样
的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
其典型的例子有：
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E1：（抛T一ai枚ls）硬出币现，的观情察况正。面H（Heads）、反面T E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。S3 : {0,1,2,3……}
E4：观察某一电子元件的寿命。
S4 : { t | t 0 }
E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : { ( x , y ) | T 0 x y T1 }
学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
§1 随 机 事 件 的 概率
一 随机试验 二 事件间的关系与运算 三 频率与概率
目 录 前一页 后一页 退 出
第一章 概率论的基本概念
数理统计Ⅱ
教材：《概率论与数理统计》 第三版 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
教 师： 杨晓霞 办公室: 理学院 203 电 话: 62338357
e-mail: yxx77@
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后.
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
这些试验具有以下特点：
1. 可以在相同的条件下重复进行； 2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果。
称具备上面三个特点的试验为随机试验。
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第一章 概率论的基本概念
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT }
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
第一章 概率论的基本概念
3) 随 机 事 件
§1 随机事件的概率
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等；
基本事件 : 由一个样本点组成的单点集；
必然事件 : 样本空间 S 本身；
2) 样本空间(Space)
§1 随机事件的概率
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。
要求：会写出随机试验的 样本空间。
目 录 前一页 后一页 退 出
E1：（抛T一ai枚ls）硬出币现，的观情察况正。面H（Heads）、S1反: 面{TH , T }
统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大
多数在实质上只是概率的问题.”
概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。
在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学 领域的趋势还在不断发展. 在社会科学领 领域 , 特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题 , 都大量采用《概率
3. 寻求最佳生产方案要进行《实验设计》 和《数据处理》；
4. 电子系统的设计, 火箭卫星的研制及其 发射都离不开《可靠性估计》;
5. 处理通信问题, 需要研究《信息论》；
6. 探讨太阳黑子的变化规律时,《时间 序列分析》方法非常有用;
7. 研究化学反应的时变率，要以《马尔 可夫过程》 来描述;
8. 生物学中研究 群体的增长问题时， 提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问 题要用到多变量非线性《生灭过程》；
§1 随机事件的概率
一、 随 机 试验
1) 随机试验（Experiment ）
这里试验的含义十分广泛，它包括各种各样
的科学实验，也包括对事物的某一特征的观察。
其典型的例子有：
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E1：（抛T一ai枚ls）硬出币现，的观情察况正。面H（Heads）、反面T E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。 E4：观察某一电子元件的寿命。 E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。 E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况； E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
E2：抛一颗骰子，观察出现的点数。 S2 : { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
E3：观察某一时间段通过某一路口的车辆数。S3 : {0,1,2,3……}
E4：观察某一电子元件的寿命。
S4 : { t | t 0 }
E5：观察某地区一昼夜的最低温度和最高温度。
S5 : { ( x , y ) | T 0 x y T1 }
学是概率论的一种应用. 但是它们是两个并列 的数学分支学科，并无从属关系.
本学科的应用
概率统计理论与方法的应用几乎遍及 所有科学技术领域、工农业生产和国民经 济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制 及预测都与《概率论》紧密相关；
2. 产品的抽样验收，新研制的药品能 否在临床中应用，均要用到《假设检验》；
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第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率 §2 等可能概型 §3 条件概率 §4 独立性
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第一章 概率论的基本概念
§1 随 机 事 件 的 概率
一 随机试验 二 事件间的关系与运算 三 频率与概率
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第一章 概率论的基本概念
数理统计Ⅱ
教材：《概率论与数理统计》 第三版 浙江大学 盛骤等 编 高等教育出版社
教 师： 杨晓霞 办公室: 理学院 203 电 话: 62338357
e-mail: yxx77@
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现 的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量 规律的 数学分支学科.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博 中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕 斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方 法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合理 分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率 论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠 基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速 发展则在17世纪微积分学说建立以后.
第一章 概率论的基本概念
§1 随机事件的概率
这些试验具有以下特点：
1. 可以在相同的条件下重复进行； 2. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现； 3. 每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确 试验的所有可能结果。
称具备上面三个特点的试验为随机试验。
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第一章 概率论的基本概念
第二次世界大战军事上的需要以及大工业 与管理的复杂化产生了运筹学、系统论、信息 论、控制论与数理统计学等学科.
数理统计学是一门研究怎样去有效地收集、 整理和分析带有随机性的数据，以对所考察的
问题作出推断或预测，直至为采取一定的决策
和行动提供依据和建议的 数学分支学科.
统计方法的数学理论要用到很多近代数学 知识，如函数论、拓扑学、矩阵代数、组合数 学等等，但关系最密切的是概率论，故可以这 样说：概率论是数理统计学的基础，数理统计
E6: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现的情况；
S6 : {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT，TTH, TTT }
E7: 将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;
S7 : { 0, 1, 2, 3 }
第一章 概率论的基本概念
3) 随 机 事 件
§1 随机事件的概率
随机事件 : 称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的 随机事件，记作 A, B, C 等等；
基本事件 : 由一个样本点组成的单点集；
必然事件 : 样本空间 S 本身；
2) 样本空间(Space)
§1 随机事件的概率
定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间， 记为 S 。样本空间的 元素，即 E 的每个结果，称为样本点。
要求：会写出随机试验的 样本空间。
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E1：（抛T一ai枚ls）硬出币现，的观情察况正。面H（Heads）、S1反: 面{TH , T }
统计方法》. 法国数学家拉普拉斯(Laplace) 说: “ 生活中最重要的问题 , 其中绝大
多数在实质上只是概率的问题.”
概率论与数理统计 在经济、科技、教育、管理和 军事等方面已得到广泛应用。
在生活当中，经常会接触到一些现象： 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别实验中其结果呈现出不确定性； 在大量重复实验中其结果又具有统计规律性的现象。 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律 性的一门学科，是重要的一个数学分支。