圆锥曲线中的定点定值问题

第四讲 圆锥曲线中的定点定值问题

、直线恒过定点问题

例1.已知动点E 在直线l : y 2上，过点E 分别作曲线C : x 2 4y 的切线EA, EB ，

直线10过P 点与直线I 垂直，点M （ -1 , 0）关于直线10的对称点为 N 直线PN 恒

过一定点G 求点G 的坐标。

x °

(y y °) 2y °(x 沧)，即 2y °x x °y ^y 。2

2

解：设 E(a, 2), AX,竺)，B%,^),

4 4

2

x y

4

1

y

1 X

2

2

过点A 的抛物线切线方程为y x1

4 1 X 1(X

2

xj, 切线过E

点,

切点为A 、B ,求证：直线 AB 恒过一定点，并求出该定点的坐标;

2 X

i

1 2

x 1(a x 1),整理得：x 1 2ax 1 8 0

2

4

同理可得：

2

x 2 2ax 2 8 0

2ax 8

0的两根 X 1

2 a, X 1 x 2 8

可得AB 中点为（a,

4

），又k AB 上

y X 1 x 2

2 X

1

X 1

X | X 2

a 4

2

2

直线AB 的方程为y e

2)

評a ）

，即y 即2 AB 过定点（0,2 ）.

例1改为：已知A 、B 是抛物线y 2 定点（2p,0）.

2 px （ p 0）上两点，且OA OB ,证明：直线AB 过

x 2

例2、已知点P （x 0,y °）是椭圆E : 一

2

1上任意一点，直线 x °x

的方程为2

解：直线l 0的方程为 x 1, x 2是方程x 2

设M( 1,0)关于直线I 。的对称点

N 的坐标为N (m, n)

2y o

x o 2y o

1 X °n

2x 。3 3x o 2 4x o 4

解得

直线 x °y °

x o 2 4 2x o 4 4x 。3 4x o 2 8x o

2

2y o (4 x o )

PN 的斜率为

y o x o

4

x o

4x 03 2x 02 8x 0 8

3 2

2y o ( x o 3x o

4)

从而直线

PN 的方程为:

y o

x 04 4x 03 2x 02

8 x 0 8

(x x o

)

3

2

2y o ( X o 3x o 4)

2y o ( X 。3 3x o 2 4) X o 4 4x o 3 2x o 2 8x 。8 从而直线PN 恒过定点G(1,0)

二、恒为定值问题 例3、已知椭圆两焦点 F |、F 2在y 轴上，短轴长为2 2，离心率为 一， 2

P 是椭圆在第

UJU UULU 象限弧上一点，且 PF 1 PF 2 1，过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线 PA PB 分别交椭

圆于A 、B 两点。 (1) 求P 点坐标;

(2) 求证直线 AB 的斜率为定值;

解：(1)

2

设椭圆方程为占 a

2

x _

1，由题意可得

b

2

a 2,b

■

2, c 2 2

，所以椭圆的方程为

2

y

4 则 F 1(0, 2),F 2(0, 2)，设 P(x o ,y o )(x o

o, y o

0)

uju r UULT l U UUT

则 PF 1 (心」2 y o ), PF 2 x o , y o ),

UU LU

UUU UUUU … … PF 1 PF 2 x 2 (2 y 2) 1 2

Q 点P(X o , y o )在曲线上，则' 2

2

y

o

4

1.

2 X

o

2 y

o

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4 2

从而土卫(2 y：) 1，得y0,2，则点P的坐标为(1^2)

2 。

(2)由(1 )知PF i // x轴，直线PA PB斜率互为相反数,

2px(p 0)的焦点F作一直线叫抛物线于A、B两点，求一亠

| AF | 的值.

2 2

例5、已知动直线y k(x 1)与椭圆C：- y

5 5

31相交于A、B两点，已知

点

M (

uuur UULT ,求证：MA MB为定值•

解：将y k(x

2 2

1)代入-¥1中得(1

5 5

3

2 2 2

3k )x 6k x3k2 5 0

4 2 2

36k 4(3k 1)(3k 5)2

48k 20 0 ,

设PB斜率为k(k 0)，则PB的直线方程为：y k(x 1)

k(x 1)

得(2 k2)x22k(、2 k)x (J2 k)2 4

设B(x B,y B),则x B

2k(k ,2) d

2 I

2 k2

k22、2k 2

k2

同理可得x A 22k 2

，则X

A X B

4.2 k

2 k2

Y A Y B k(x A 1) k(x B 1)

所以直线AB的斜率k AB Y A Y B

X A X B

8k

2 k2

2为定

值。

例4过抛物线y2