数学高考全国卷：函数大题必刷题型(附答案)

数学高考全国卷必刷题目：函数大题（必修1）一、解答题（共27题）1.设函数()R m m x f x x ∈•-=24)(．（Ⅰ）当1≤m 时，判断函数)(x f 在区间()1,0内的单调性，并用定义加以证明；（Ⅱ）记)(lg )(x f x g =，若)(x g 在区间()1,0上有意义，求实数m 的取值范围．2.某种海洋生物的身长)(t f （单位：米）与生长年限t （单位：年）满足如下的函数关系： 42110)(+-+=t t f ． （设该生物出生时的时刻0=t ） （1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米？（2）该生物出生后第3年和第4年各长了多少米？并据此判断，这2年中哪一年长得更快．3.函数x a k x f •=)(（k ，a 为常数，0>a 且1≠a 的图象经过点)1,0(A 和)8,3(B ，1)(1)()(+-=x f x f x g ． （Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）试判断)(x g 的奇偶性；（Ⅲ）记)2(ln g a =、))2(ln(ln g b =、)2(ln g c =，)2(ln 2g d =，试比较a ，b ，c ，d 的大小，并将a ，b ，c ，d 从大到小顺序排列．4. 已知函数22)(12+-=+x x a a x f （0a >，且1a ≠）．（Ⅰ）若41)1(=-f ， 求函数1)(g(x)+=x f 的所有零点； （Ⅱ）若函数)(x f 的最小值为7-，求实数a 的值．5. 设函数x x ka a x f -+=)(（0>a ，且1≠a ）是定义域为R 的奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若23)1(=f ． )(x f 是单调增函数．6. 我们给出如下定义：对函数)(x f y =，D x ∈，若存在常数)(R C C ∈，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 为“和谐函数”，称常数C 为函数()x f 的“和谐数”． （1）判断函数1)(+=x x f ，[]3,1-∈x 是否为“和谐函数”？答： ． （填“是”或“否”）如果是，写出它的一个“和谐数”： ．（2）证明：函数x x g lg )(=，[]100,10∈x 为“和谐函数”，23是其“和谐数”； （3）判断函数2)(x x u = ，R x ∈是否为和谐函数，并作出证明．7. 设函数122)(-+=x x a x f （a 为实数） （1）当0=a 时，若函数)(x g y =的图象与)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求函数)(x g y =的解析式；（2）当0<a 时，求关于x 的方程0)(=x f 在实数集R 上的解．8.已知关于x 的不等式06241<+-+k k x x ，（1）若不等式的解集为()3log 12，，求实数k 的值；（2）若不等式对一切()3log 12，∈x 都成立，求实数k 的取值范围；（3）若不等式的解集为()3log 12，的子集，求实数k 的取值范围．9.现有某种细胞100个，其中有占总数21的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：477.03lg =，301.02lg =）．10.已知函数()c x f x x +-=+139（其中c 是常数）．（1）若当[]1,0∈x 时，恒有0)(<x f 成立，求实数c 的取值范围；（2）若存在[]1,00∈x ，使0)(0<x f 成立，求实数c 的取值范围；（3）若方程x c x f 3)(•=在[]1,0上有唯一实数解，求实数c 的取值范围．11.对定义在[]1,0上，并且同时满足以下两个条件的函数)(x f 称为不等函数．①对任意的[]1,0∈x ，总有0)(≥x f ；②当01≥x ，02≥x ，121≤+x x 时，总有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立．已知函数3)(x x g =与a x h x -=2)(是定义在[]1,0上的函数．（1）试问函数)(x g 是否为不等函数？并说明理由；（2）若函数)(x h 是不等函数，求实数a 组成的集合．12. 已知函数ba x f x x ++-=-133)( （1）当1==b a 时，求满足x x f 3)(≥的x 的 取值范围；（2）若)(x f y =是定义域为R 的奇函数，求)(x f y =的解析式；（3）若)(x f y =的定义域为R ，判断其在R 上的单调性并加以证明．13.已知函数342)31()(+-=x ax x f ， （1）若1-=a ，求)(x f 的单调区间；（2）若)(x f 有最大值3，求a 的值．（3）若)(x f 的值域是()∞+，0，求a 的取值范围．14.已知函数x x f 2)(=（1）试求函数)2()()(x af x f x F +=，(]0,∞-∈x 的最大值；（2）若存在()0-，∞∈x ，使1)2()(>-x f x af 成立，试求a 的取值范围； （3）当0>a ，且[]15,0∈x 时，不等式[]2)2()1(a x f x f +≤+恒成立，求a 的取值范围．15.已知函数x x f )31()(=，[]1,1-∈x ，函数3)(2)()(2+-=x af x f x g （1）若1=a ，证明：函数)(x g 在区间[]0,1-上为减函数；（2）求)(x g 的最小值)(:)(x g SA AR a h >-，问题转化为02423>•-•x x ，解出即可．16.已知函数)1()(x x m x f +=的图象与)1(41)(xx x h +-=的图象关于y 轴对称． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若)(4)()(R a xa x f x g ∈+=，试讨论函数)(x g 的单调性．17.如图，已知点)0,10(A ，直线)100(<<=t t x 与函数1+=x e y 的图象交于点P ，与x 轴交于点H ，记APH ∆的面积为)(t f ．（Ⅰ）求函数)(t f 的解析式；（Ⅱ）求函数)(t f 的最大值．18.某医药研究所开发一种抗甲流新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线．（1）结合图，求k 与a 的值；（2）写出服药后y 与t 之间的函数关系式)(t f y =；（3）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于5.0微克时治疗疾病有效，求服药一次治疗有效的时间范围？19.已知函数xa y =（0>a 且1≠a ）在[]2,1上的最大值与最小值之和为20，记2)(+=x xa a x f ． （1）求a 的值；（2）求)1()(x f x f -+的值；（3）求)1(...)2()1(nn f n f n f -+++的值．20.已知函数x x x f m 2)(-=， 且27)4(=f ． （1）求m 的值；（2）判定)(x f 的奇偶性；（3）判断)(x f 在()∞+，0上的单调性，并给予证明．21.已知函数x a b x f •=)(（其中b a ,为常量，且0>a ，1≠a ）的图象经过点)6,1(A ，)24,3(B ． （1）求)(x f ；（2）若不等式0)1()1(≥-+m ba x x 在(]1,∞-∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．22.已知函数)0(1)1()(2>++=-a a x g x 的图象恒过定点A ，且点A 又在函数)(log )(3a x x f +=的图象上．（1）求实数a 的值；（2）解不等式a x f 3log )(<；（3）函数2)2()(-+=x g x h 的图象与直线b y 2=有两个不同的交点时，求b 的取值范围．23.已知定义域为R 的函数122)(++-=x x a x f 是奇函数 （1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求实数k 的取值范围； （4）设关于x 的函数)2()4()(1+-+-=x x f b f x F 有零点，求实数b 的取值范围．24.已知奇函数)(x f 的定义域为[]1,1-，当[)0,1-∈x 时，()λ)21(-=x f ． （1）求函数)(x f 在[]1,0上的值域；（2）若(]1,0∈x ，1)(2)(412+-x f x f λ的最小值为2-，求实数λ的值．25.已知84=a ，3692==n m ，且b nm =+211， 试比较a 5.1与b 8.0的大小．26.已知函数)1(log )(2+=x x f ．当点),(y x 在函数)(x f y =的图象上运动时，点)2,3(y x 在函数)31)((->=x x g y 的图象上运动． （1）求函数)(x g y =的解析式；（2）求函数)()()(x g x f x F -=的零点．（3）函数)(x F 在)1,0(∈x 上是否有最大值、最小值；若有，求出最大值、最小值；若没有请说明理由．27.（2015·湖北）设函数)(x f ，)(x g 的定义域均为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，2)()(e x g x f =+，其中e 为自然对数的底数.（Ⅰ）求)(x f ，)(x g 的解析式，并证明：当0>x 时，0)(>x f ，1)(>x f ；（Ⅱ）设0≤a ，1≥b ，证明：当0>x 时，)-1()()()1()(b x bg xx f a x ag +<<-+.二.综合题（共21题）28.已知函数 ax x f x ++=)12(log )(22．（1）若)(x f 是定义在R 上的偶函数，求实数a 的值；（2）在)1(的条件下，若2)()(-=x f x g ，求函数)(x g 的零点．29.已知)1(log )1(log )(22x x x f -++=．（1）求函数)(x f 的定义域；（2）判断函数)(x f 的奇偶性，并加以说明；（3）求)22(f 的值．30.已知函数)21)(log 2(log )(42--=x x x f（1）当[]4,2∈x 时．求该函数的值域；（2）若x m x f 2log )(≥对于[]16,4∈x 恒成立，求m 的取值范围．31.已知函数12)15()(++-=m x m m x h 为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数)(21)()(x h x h x g -+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0x 的值域．32.已知函数bx axx f +=)(，且4)2(,1)1(=-=f f ． （1）求b a 、的值；（2）已知定点)0,1(A ，设点),(y x P 是函数)1)((-<=x x f y 图象上的任意一点，求AP 的最小值，并求此时点P 的坐标； （3）当[]2,1∈x 时，不等式mx x mx f -+≤)1(2)(恒成立，求实数m 的取值范围．33.定义在区间D 上的函数)(x f ，如果满足：对任意D x ∈，都存在常数0≥M ，有M x f ≤)(，则称)(x f 是区间D 上有界函数，其中M 称为)(x f 上的一个上界，已知函数x axx g --=11log )(21为奇函数． (1)求函数)(x g 在区间]53,31[上的所有上界构成的集合；(2)若0)1()1(2<-+-m g m g ，求m 的取值范围．34.已知函数 ax ax x f a22log )(+-=，)4(log )2(log )(x a a x x g a a -++=，其中0>a ，且1≠a ． (1)求)(x f 的定义域，并判断)(x f 的奇偶性；(2)已知区间]232,12[++=a a D 满足D a ∉3，设函数)()()(x g x f x h +=，)(x h 的定义域为D ，若对任意D x ∈，不等式2)(≤x h 恒成立，求实数a 的取值范围．35.已知R a ∈，当0>x 时，)1(log )(2a xx f +=．(1)若函数)(x f 过点)1,1(，求此时函数)(x f 的解析式；(2)若函数x x f x g 2log 2)()(+=只有一个零点，求实数a 的范围；(3)设0>a ，若对任意实数]1,31[∈t ，函数)(x f 在[]1,+t t 上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a 的取值范围．36.已知t 为实数，函数)22(log 2)(-+=t x x f a ，x x g a log )(=，其中10<<a ． (1)若函数kx a g y x -+=)1(是偶函数，求实数k 的值；(2)当]4,1[∈x 时，)(x f 的图象始终在)(x g 的图象的下方，求t 的取值范围； (3)设4=t ，当],[n m x ∈时，函数)(x f y =的值域为]2,0[，若m n -的最小值为 61，求实数a 的值．37.已知函数)0(1)(≠-+=x xkx x f ，R k ∈． (1)当3=k 时，试判断)(x f 在），（0-∞上的单调性，并用定义证明； (2)若对任意R x ∈，不等式0)2(>x f 恒成立，求实数k 的取值范围； (3)当R k ∈时，试讨论)(x f 的零点个数．38.重庆某重点中学高一新生小王家在县城A 地，现在主城B 地上学．周六小王的父母从早上8点从家出发，驾车3小时到达主城B 地，期间由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s （单位：km ）与离家的时间t （单位：h ）的函数关系为)13(5)(--=t t t s ．达到主城B 地后，小王父母把车停在B 地，在学校陪小王玩到16点，然后开车从B 地以h km /60的速度沿原路返回．(1)求这天小王父母的车所走路程s （单位：km ）与离家时间t （单位：h ）的函数解析式； (2)在距离小王家km 60处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间．39.已知二次函数)(x g y =的导函数的图象与直线x y 2=平行，且)(x g y =在1-=x 处取得最小值)0(1≠-m m ．设xx g x f )()(=． (1)求二次函数)(x g y =的解析式（假设m 为已知常数）；(2)若曲线)(x f y =上的点P 到点)2,0(Q 的距离的最小值为2，求m 的值； (3))(R k k ∈如何取值时，函数kx x f y -=)(存在零点，并求出零点．40.已知函数 xxa b y 22++=（b a 、是常数且10≠>a a ，）在区间]0,23[-上有3max =y ，25min=y ; (1)试求a 和b 的值．(2)又已知函数)12lg()(2++=x ax x f ①若)(x f 的定义域是R ，求实数a 的取值范围及)(x f 的值域；②若)(x f 的值域是R ，求实数a 的取值范围及)(x f 的定义域．41.已知函数)(1ln 12)(R m x mx x f ∈-+=的两个零点为1x ，)(212x x x <． (1)求实数m 的取值范围； (2)求证：e 22111>⨯+⨯．42.设函数))(lg()(R m m x x f ∈+=；(1)当2=m 时，解不等式 1)1(>xf ；(2)若1)0(=f ，且λλ+=)21()(x f 在闭区间]3,2[上有实数解，求实数λ的范围； (3)如果函数)(x f 的图像过点)2,98(，且不等式2lg )]2[cos(<x f n 对任意N n ∈均成立，求实数x 的取值集合．43.函数)10)(3(log )(≠>-=a a ax x f a ， (1)当3=a 时，求函数)(x f 的定义域；(2)若)3(log )()(ax x f x g a +-=，请判定)(x g 的奇偶性；(3)是否存在实数a ，使函数)(x f 在]3,2[递增，并且最大值为1，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．44.已知幂函数)()()1)(2(Z k x x f k k ∈=+-，且)(x f 在），（∞+0上单调递增． (1)求实数k 的值，并写出相应的函数)(x f 的解析式；(2)试判断是否存在正数q ，使函数x q x qf x g )12()(1)(-+-=在区间]2,1[-上的值域为]178,4[-．若存在，求出q 的值；若不存在，请说明理由．45.已知幂函数352)1()(----=m x m m x f 在），（∞+0上是增函数，又)1(11log )(>--=a x mxx g a ． (1)求函数)(x g 的解析式；(2)当),(a t x ∈时，)(x g 的值域为），（∞+1，试求a 与t 的值．46.已知x x f 21log )(=，当点),(y x M 在)(x f y =的图象上运动时，点),2(my x N -在函数)(x g y n =的图象上运动)(*N n ∈．(1)求)(x g y n =的表达式；(2)若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围； (3)设 )(2)(x g n Q x H =，函数)0)(()()(11b x a x g x H x F ≤≤<+=的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22log ,22log 4252a b ，求实数a ，b 的值．47.已知22log )(-+=x mxx f a是奇函数（其中1>a ） (1)求m 的值；(2)判断)(x f 在()∞+，2上的单调性并证明； (3)当()2,-∈a r x 时，)(x f 的取值范围恰为()∞+，1，求a 与r 的值．48.如图，在半径为3，圆心角为︒60的扇形的弧上任取一点P ，作扇形的内接矩形PNMQ ，使点Q 在OA 上，点N ，M 在OB 上，设矩形PNMQ 的面积为y ，θ=∠POB ．(1)将y 表示成θ的函数关系式，并写出定义域； (2)求矩形PNMQ 的面积取得最大值时 ON OP •的值； (3)求矩形PNMQ 的面积236-≥y 的概率．答案解析部分一.解答题1.【答案】解：（Ⅰ）当m≤1时，函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数．设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=-m·﹣（-m·）=（-）﹣m（-）=（-）（+﹣m）．由于0＜x1＜x2＜1，则1＜＜＜2，又m≤1，则+﹣m＞0，则（-）（+﹣m）＜0，即有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数；（Ⅱ）由于g（x）在区间（0，1）上有意义，则f（x）＞0，即4x﹣m•2x＞0在（0，1）上恒成立，即m＜2x在（0，1）上恒成立，由于2x∈（1，2），则有m≤1．【考点】函数单调性的性质，指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（Ⅰ）当m≤1时，函数f（x）在区间（0，1）内为单调增函数．运用单调性的定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（Ⅱ）由于g（x）在区间（0，1）上有意义，则f（x）＞0，即4x﹣m•2x＞0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和指数函数的单调性求出值域，即可得到m的范围．2.【答案】解：（1）设f（t）=≥8，即，解得t≥6，即该生物6年后身长可超过8米．（2）由于f（3）﹣f（2）=-=，f（4）﹣f（3）=-=，∴第3年长了米，第4年长了米，∴>，∴第4年长得快．【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（1）根据函数表达式直接解不等式即可，（2）计算f（2）和f（3）的值，然后比较大小即可．3.【答案】解：（Ⅰ）代入A（0，1）和B（3，8）中得k•a0=1，且k•a3=8，解得k=1，a=2，即有f（x）=2x；（Ⅱ）∵g（x）=，∴g(-x)==-g(x)，又2x+1≠0，x∈R，∴g（x）是定义在R上的奇函数．（Ⅲ）∵g(x)==1-∴g（x）是定义在R上的增函数，又∵ln<ln2<lne，∴<ln2<1，ln2<<ln2，又ln（ln2）＜0，∴ln2>>ln>ln(ln2)．g(ln2)>g()>g(ln)>g(ln(ln2))，即a＞d＞c＞b．【考点】函数解析式的求解及常用方法，函数奇偶性的判断，指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（Ⅰ）将A，B的坐标代入f（x），解方程可得a，k，进而得到函数f（x）的解析式；（Ⅱ）运用奇偶性的定义，求出定义域，求得g（﹣x）是否等于±g（x），进而判断g（x）的奇偶性；（Ⅲ）判断g（x）是定义在R上的增函数，运用对数函数的单调性，即可得到a，b，c，d的大小．4.【答案】解：（1）∵f（﹣1）=a﹣2﹣2a0+2=，∴a﹣2=，解得a=2，所以，f（x）=22x﹣4•2x+2，令g（x）=f（x）+1=22x﹣4•2x+3=0，解得，2x=1或2x=3，所以，x=0或x=log23，即g（x）的零点为：x=0或x=log23；（2）f（x）=a2x﹣2a•a x+2=（a x﹣a）2+2﹣a2，当a x=a时，即x=1，函数f（x）取得最小值，f（x）min=f（1）=2﹣a2=﹣7，即a2=9，解得a=±3，由于a＞0且a≠1，所以，a=3．【考点】指数型复合函数的性质及应用，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）先根据f（﹣1）=求出a，再求g（x）=f（x）+1的零点；（2）先将函数配方为f（x）=a2x﹣2a•a x+2=（a x﹣a）2+2﹣a2，再根据二次函数性质求最小值．5.【答案】解：（1）∵函数f（x）=a x+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，∴f（﹣x）+f（x）=a﹣x+ka x+a x+ka﹣x=（k+1）（a x+a﹣x）=0对于任意实数都成立．∴k=﹣1．（2）由（1）可知：f（x）=a x﹣a﹣x，∵f（1）=a﹣a﹣1=，又a＞0，解得a=2．∴f（x）=2x﹣2﹣x．任取实数x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=﹣﹣（﹣）=（-）（1+），∵x 1＜x2，∴＜，又＞0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）是单调增函数【考点】指数型复合函数的性质及应用【解析】【分析】（1）由于函数f（x）=a x+ka﹣x（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，得f（﹣x）+f （x）=0对于任意实数都成立．即可得出k．（2）由（1）可知：f（x）=a x﹣a﹣x，利用f（1）=a﹣a﹣1=．又a＞0，解得a=2，可得f（x）=2x﹣2﹣x．任取实数x1＜x2，只要证明f（x1）﹣f（x2）＜0即可6.【答案】解：（1）∵对任意x1∈[﹣1，3]，令=2 ，得x2=2﹣x1，∴x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2 ，故正确答案为是； 2（2）证明：①对任意x1∈[10，100]，令，即，得．∵x1∈[10，100]，∴∈[10,100]．即对任意x1∈[10，100]，存在唯一的∈[10,100] ，使得．∴g（x）=lgx为“和谐函数”，其“和谐数”为．参照上述证明过程证明：函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”；②对任意x1∈（1，3），令，即，得，．∵x1∈（1，3），∴∈（2,8），∈（1,3）．即对任意x1∈（1，3），存在唯一的∈（1,3），使得．∴h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”，5是其“和谐数”（3）解：函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”，证明如下：对任意的常数C，①若C≤0，则对于x1=1，显然不存在x2∈R，使得==C成立，所以C（C≤0）不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数；②若C＞0，则对于，由=得，x22=﹣2C＜0，即不存在x2∈R，使=C成立．所以C（C＞0）也不是函数u（x）=x2，x∈R的和谐数．综上所述，函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）根据题目対“和谐函数”的定义，对任意x1∈[﹣1，3]，令=2，得x2=2﹣x1，而x2∈[﹣1，3]，即对任意的x1∈[﹣1，3]，存在唯一的x2=2﹣x1∈[﹣1，3]，使得=2 ，即可得正确结果（2）参照上述证明过程，对任意x1∈（1，3），令，得，∈（1,3）∈（1，3），即可证明函数h（x）=2x，x∈（1，3）为“和谐函数”（3）分c＜0和c≥0两种情况讨论，对任意的x1∈R，不存在唯一的x2∈R，使=C成立，所以函数u（x）=x2，x∈R不是“和谐函数”7.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=2x﹣1设y=g（x）图象上任意一点P（x、y），则P关于x=1的对称点为P′（2﹣x，y）由题意P′（2﹣x，y）在f（x）图象上，∴y=22﹣x﹣1，即g（x）=22﹣x﹣1；（2）f（x）=0，即2x+﹣1=0 ，整理，得：（2x）2﹣2x+a=0∴，又a＜0，所以＞1∴，从而．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）利用函数关于直线对称，通过点的对称关系求y=g（x）的解析式．（2）由f（x）=0，解指数方程即可．8.【答案】解：（1）关于x的不等式k4x﹣2x+1+6k＜0可以化为k（2x）2﹣2×2x+6k＜0，令2x=t，∵1＜x＜log23，∴2＜t＜3，则不等式可化为kt2﹣2t+6k＜0，∵关于x的不等式k4x﹣2x+1+6k＜0的解集为（1，log23），∴（2，3）是不等式kt2﹣2t+6k＜0的解集，∴2，3是方程kt2﹣2t+6k=0的两个实数根，且k＜0．解得k=；（2）∵不等式对一切x∈（1，log23）都成立，由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt2﹣2t+6k＜0恒成立，等价于：k<[]min，t∈（2，3）．令g(t)=，t∈（2，3）．则，令g′（t）=0，解得t=，当2<t<时，g′（t）＞0，函数g（t）在(2,)上单调递增；当时<t<3，g′（t）＜0，函数g（t）在(,3)上单调递减；而函数g（t）在t=2，3处有意义，且g（2）=，g（3）=．故k≤；（3）因为不等式的解集为（1，log23）的子集，由（1）可知：即对于2＜t＜3，不等式kt2﹣2t+6k＜0的解集A⊆（2，3），令f（t）=kt2﹣2t+6k，△=4﹣24k2，则，或解得k≥或≤k<，即k≥．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】（1）通过换元，利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出；（2）把此问题可以转化为恒成立问题解决即可；（3）把问题转化为利用二次函数的图象与性质研究一元二次不等式的解集即可解决．9.【答案】解：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为+=；2小时后，细胞总数为+=；3小时后，细胞总数为+=；4小时后，细胞总数为+=；可见，细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×，x∈N*由100×＞1010，得>108，两边取以10为底的对数，得xlg＞8，∴x＞，∵=，∴x＞45.45．答：经过46小时，细胞总数超过1010个．【考点】指数式与对数式的互化【解析】【分析】由细胞开始时为100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×，x∈N*，再建立不等式求解即可．10.【答案】解：（1）f（x）=9x﹣3x+1+c=（3x）2﹣3•3x+c，令3x=t，当x∈[0，1]时，t∈[1，3]．问题转化为当t∈[1，3]时，g（t）=t2﹣3•t+c＜0恒成立．于是，只需g（t）在[1，3]上的最大值g（3）＜0，即9﹣9+c＜0，解得c＜0．∴实数c的取值范围是（﹣∞，0）；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t2﹣3•t+c＜0．于是，只需g（t）在[1，3]上的最小值g（）=（）2﹣3•+c＜0，解得c＜；∴实数c的取值范围是（﹣∞，）；（3）若方程f（x）=c•3x在[0，1]上有唯一实数解，则方程t2﹣（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一实数解．因△=（3+c）2﹣4c＞0，故t2﹣（3+c）t+c=0在[1，3]上不可能有两个相等的实数解．令h（t）=t2﹣（3+c）t+c．因h（1）=﹣2＜0，故只需h（3）=﹣2c≥0，解得c≤0．∴实数c的取值范围是（﹣∞，0]．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）换元法化为当t∈[1，3]时，g（t）=t2﹣3•t+c＜0恒成立，再化恒成立问题为最值问题；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0，则存在t∈[1，3]，使g（t）=t2﹣3•t+c＜0．从而化为最值问题；（3）若方程f（x）=c•3x在[0，1]上有唯一实数解，则方程t2﹣（3+c）t+c=0在[1，3]上有唯一实数解．从而由单调性及零点判定定理判断．11.【答案】解：（1）当x∈[0，1]时，总有g（x）=x3≥0，满足①；当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3•x2+3x1•≥+=g（x1）+g（x2），满足②，所以函数g（x）是不等函数．（2）h（x）=2x﹣a（x∈[0，1]）为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣a≥0，所以a≤1．由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），得﹣a≥﹣a+﹣a，即a≥+﹣=1﹣（﹣1）（﹣1）．因为x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，所以0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1与x2不同时等于1，所以0≤（﹣1）（﹣1）＜1，所以0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1．当x1=x2=0时，[1﹣（﹣1）（﹣1）]max=1，所以a≥1．综合上述，a∈{1}．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）根据不等函数的定义和条件进行判断即可；（2）根据h（x）是不等函数，验证两个条件即可．12.【答案】解：（1）由题意知，≥3x；化简得，3（3x）2+23x﹣1≤0，解得，﹣1≤3x≤；故x≤﹣1；（2）由题意，f（0）==0，故a=1；再由f（1）+f（﹣1）=0得，b=3；经验证f（x）=是奇函数，（3）证明：∵y=f（x）的定义域为R，∴b≥0；任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（3a+b），∵x1＜x2，∴＞0；故当3a+b＞0时，f（x）在R上单调递减，当3a+b＜0时，f（x）在R上单调递增，当3a+b=0时，f（x）在R上不具有单调性．【考点】函数奇偶性的性质，指数函数综合题【解析】【分析】（1）由题意知，≥3x；从而解不等式；（2）由题意知f（0）==0，再由f（1）+f（﹣1）=0解出a．b；从而验证即可；（3）由单调性的定义去证明．13.【答案】解：（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，而y=t在R上单调递减，所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增，即函数f（x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值﹣1，因此=﹣1，解得a=1．即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，因此只能有a=0．因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．故a的取值范围是{0}．【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）当a=﹣1时，f（x）=，令g（x）=﹣x2﹣4x+3，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得f（x）的单调区间；（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=h（x），由于f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值﹣1，进而可得a 的值．（3）由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，进而可得a的取值范围．14.【答案】解：（1）F（x）=f（x）+af（2x），x∈（﹣∞，0]=2x+a•4x，令2x=t，（0＜t≤1），即有F（x）=at2+t，a=0，即有最大值为1；a≠0时，对称轴为t=﹣，讨论对称轴和区间的关系，即可得到，（2）令2x=t，则存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1所以存在t∈（0，1）使得t2﹣at＞1或t2﹣at＜﹣1即存在t∈（0，1）使得a<或a>∴a＜0或a＞2；（3）由f（x+1）≤f[（2x+a）2]得x+1≤（2x+a）2恒成立因为a＞0，且x∈[0，15]，所以问题即为恒成立∴设m（x）=-2x+令=t,则x=-1,t∈[1,4]∴m(t)=-2(-1)+t=-2(t-)2+所以，当t=1时，m（x）max=1，∴a≥1【考点】指数函数综合题【解析】【分析】（1）把f（x）代入到F（x）中化简得到F（x）的解析式求出F（x）的最大值即可；（2）可设2x=t，存在t∈（0，1）使得|t2﹣at|＞1，讨论求出解集，让a大于其最小，小于其最大即可得到a的取值范围；（3）不等式f（x+1）≤f[（2x+a）2]恒成立即为恒成立即要，根据二次函数求最值的方法求出最值即可列出关于a的不等式，求出解集即可．15.【答案】解：（1）a=1时，g（x）=﹣2•（）x+3，设x1，x2∈[﹣1，0]，且x1＜x2，则g（x1）﹣g（x2）=﹣2•+3﹣+2•﹣3，=（+）（﹣）﹣2（﹣），=（﹣）（+﹣2），∵x1，x2∈[﹣1，0]，且x1＜x2，∴﹣＞0，+﹣2＞0∴g（x1）﹣g（x2）＞0，∴g（x1）＞g（x2），∴函数g（x）在区间[﹣1，0]上为减函数；（2）∵g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3，且函数f（x）=,x∈[-1,1] ，∴g（x）=﹣2a•（）x+3=[（）x﹣a]2+3﹣a2，∵f（x）定义域为[﹣1，1]，∴g（x）定义域也为[﹣1，1]，令t=（）x，由﹣1≤x≤1，∴≤t≤3，∴g（x）=ϕ（t）=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a，①当a≥3时，函数ϕ（t），在[，3]上是单调递减函数，∴当t=3时，函数ϕ（t）取得最小值为ϕ（3）=12﹣6a，∴h（a）=12﹣6a；②当a≤时，函数ϕ（t）在[，3]上是单调递增函数，∴当t=时，函数ϕ（t）取得最小值为ϕ（）=﹣，∴h（a）=﹣；③当＜a＜3时，函数ϕ（t）在对称轴t=a处取得最小值为ϕ（a）=3﹣a2，∴h（a）=3﹣a2．综上所述，h（a）=【考点】指数函数的图像与性质【解析】【分析】（1）根据指数函数的性质，利用单调性的定义即可证明．（2）根据g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3，得到函数g（x）的解析式以及定义域，利用换元法将函数转化为二次函数求最值，利用二次函数的性质，分类讨论即可求得g（x）的最小值h（a）．16.【答案】解：（I）函数h（x）=（x+）的图象关于y轴对称的图象对应的解析式为：y=（-x+）=（x+）故m=1（II）由（I）中f（x）=（x+）故g（x）=f（x）+=（x+）+=+∴g′（x）=﹣=当a+1≤0，即a≤﹣1时，g′（x）≥0恒成立此时g（x）在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上为增函数；当a+1＞0，即a＞﹣1时，若x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，g′（x）＞0；若x∈（﹣，）时，g′（x）＜0；此时g（x）在区间（﹣∞，﹣）和（，+∞）上为增函数；在区间（﹣，）上为减函数；【考点】指数函数的图像变换【解析】【分析】（I）根据函数对称变换法则，求出函数h（x）=（x+）的图象关于y轴对称的图象对应的解析式，进而可得m的值；（II）根据（I）中函数的解析式可得函数g（x）=f（x）+的解析式，求出其导函数，分类讨论可得函数的单调性．17.【答案】解：（I）由已知AH=10﹣t，PH=e t+1所以△APH的面积为f（t）=（10-t）,0<t<10．（II）解：，令f'（t）=0，解得得t=5，函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况下表：所以当t=5时，函数f（t）取得最大值t=．【考点】指数函数的图像变换【解析】【分析】（I）由题意设点P坐标，来表示AH，PH的大小，计算出△APH的面积f（t）=•AH•PH；（II）求f（t）的导函数f，（t），令f'（t）=0，求得f'（t）＞0、＜0的t的取值范围，从而求得f（t）的最大值．18.【答案】解：（1）由题意，当0≤t≤1时，函数图象是一个线段，由于过原点与点（1，4），所以k=4，其解析式为y=4t，0≤t≤1；当t≥1时，函数的解析式为y=，此时M（1，4）在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得4=，解得a=3；（2）由（1）知，f（t）=；（3）由（2）知，令f（t）≥0.5，即∴．答：（1）k=4，a=3；（2）函数关系式为f（t）=；（3）服药一次治疗有效的时间范围为．【考点】指数函数的实际应用【解析】【分析】（1）由函数图象我们不难得到这是一个分段函数，第一段是正比例函数的一段，第二段是指数型函数的一段，由于两段函数均过M（1，4），故我们可将M点代入函数的解析式，即可求出参数值；（2）利用（1）的结论，即可得到函数的解析式．（3）构造不等式f（t）≥0.25，可以求出每毫升血液中含药量不少于0.25微克的起始时刻和结束时刻，即服药一次治疗有效的时间范围．19.【答案】解：（1）∵函数y=a x（a＞0且a≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，且y=a x单调，∴a+a2=20，得a=4，或a=﹣5（舍去）；（2）由（1）知f（x）=，∴f（x）+f（1-x）=+=+=+=+=1；（3）由（2）知f（x）+f（1﹣x）=1，得n为奇数时，f（）+f（）+…+f（）=×1=；n为偶数时，f（）+f（）+…+f（）=×1+f（）=+=；综上，，f（）+f（）+…+f（）=．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【分析】（1）由y=a x单调得a+a2=20，由此可求a；（2）写出f（x），代入运算可得；（3）借助（2）问结论分n为奇数、偶数讨论可求.20.【答案】解：（1）因为f（4）=，所以，所以m=1．（2）因为f（x）的定义域为{x|x≠0}，又，所以f（x）是奇函数．（3）任取x1＞x2＞0，则，因为x1＞x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，+∞）上为单调增函数．【考点】函数单调性的判断与证明，指数函数的定义、解析式、定义域和值域【解析】【分析】（1）欲求m的值，只须根据f（4）=的值，当x=4时代入f（x）解一个指数方程即可；（2）求出函数的定义域x|x≠0}，利用奇偶性的定义判断f（x）与f（﹣x）的关系，即可得到答案；（3）利用单调性的定义证明即可．任取0＜x1＜x2，只要证明f（x1）＞f（x2），即可．21.【答案】解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得结合a＞0且a≠1，解得：∴f（x）=3•2x．（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．∴只需m≤即可．【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，指数函数单调性的应用【解析】【分析】（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．22.【答案】解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，当x﹣2=0时，即x=2，y=2，∴A点的坐标为（2，2），又A点在f（x）上，∴f（2）==a，解得a=1，（2）f（x）＜，∴＜=0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴不等式的解集为（﹣1，0），（3）由（1）知g（x）=g（x）=2x﹣2+1，∴h（x）=|g（x+2）﹣2|=|2x﹣1|=2b，分别画出y=h（x）与y=2b的图象，如图所示：由图象可知：0＜2b＜1，故b的取值范围为(0,)【考点】指数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】（1）运用a0=1，令x﹣2=0，则x=2，求得g（2）=2，代入f（x），即可求得a=1；（2）运用对数函数的单调性，当a＞1时，f（x）在x＞0上递增，解不等式即可得到；（3）求出h（x），分别画出y=h（x）与y=2b的图象，由图象可知：0＜2b＜1，即可求出b的范围．23.【答案】解：（1）由题设，需f(0)==0，∴a=1，∴f(x)=，经验证，f（x）为奇函数，∴a=1．（2）减函数证明：任取x1，x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x 1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0，（1+）（1+）＞0∴f（x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3）由f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0 得f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f（x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2），由（2）知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2，即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立，∴△=4+12k＜0，得k<即为所求．（4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b）+f（﹣2x+1）=0由（3）知，4x﹣b=2x+1，即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x）2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴当b∈[﹣1，+∞）时函数存在零点．【考点】奇偶性与单调性的综合，指数函数的单调性与特殊点【解析】【分析】（1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明，即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论；（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小，列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．24.【答案】解：（1）设x∈（0，1]，则﹣x∈[﹣1，0）时，所以f（﹣x）=﹣=﹣2x．又因为f（x）为奇函数，所以有f（﹣x）=﹣f（x），所以当x∈（0，1]时，f（x）=﹣f（﹣x）=2x，所以f（x）∈（1，2]，又f（0）=0．所以，当x∈[0，1]时函数f（x）的值域为（1，2]∪{0}．（2）由（1）知当x∈（0，1]时，f（x）∈（1，2]，所以f（x）∈（，1]．令t=f（x），则＜t≤1，g（t）=f2（x）﹣f（x）+1=t2﹣λt+1=+1﹣，①当≤，即λ≤1时，g（t）＞g（），无最小值，②当＜≤1，即1＜λ≤2时，g（t）min=g（）=1﹣=﹣2，解得λ=±2（舍去）．③当＞1，即λ＞2时，g（t）min=g（1）=﹣2，解得λ=4，综上所述，λ=4．【考点】函数的值域，二次函数在闭区间上的最值，指数函数单调性的应用【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f（x）在[0，1]上的值域．（2）根据f（x）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．25.【答案】解：∵4a=8∴22a=23，又∵f（x）=2x为单调递增的函数∵a=，∵2m=9n=36，∴m=log236，n=log936又∵，∴∵y=1.5x在R上单调递增，y=0.8x在R上单调递减，∴,即1.5a＞0.8b【考点】指数函数单调性的应用，指数式与对数式的互化【解析】【分析】4a=8转化为22a=23，由f（x）=2x为单调递增的函数，可得a=，由2m=9n=36，可解得m=log236，n=log936代入，解得b，然后通过y=1.5x在R上单调递增，y=0.8x在R上单调递减，可知，从而得到结论．26.【答案】解：（1）由点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动，得y=log2（x+1），由点（x3，y2）在函数y=g（x）（x>-13）的图象上运动，得y2=gx3，∴gx3=12log2（x+1），令t=x3，∴x=3t，∴g（t）=12log23t+1，即g（x）=12log23x+1；（2）函数F（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣12log23x+1，令F（x）=0，有log2（x+1）=12log23x+1=log23x+1，∴x+1>03x+1>0x+1=3x+1，解得x=0或x=1，∴函数F（x）的零点是x=0或x=1；（3）函数F（x）=f（x）﹣g（x）=log2（x+1）﹣12log23x+1=log2x+13x+1=12log2x+123x+1，设t=x+123x+1=19·3x+323x+1=19·3x+12+43x+1+43x+1=193x+1+43x+1+4，设m=3x+1，由x∈（0，1）得m∈（1，4），函数m+4π在（1，2]上递减，在[2，4）上递增，当m=2时m+4π有最小值4，无最大值，∴t有最小值89，无最大值．∴函数F（x）在x∈（0，1）内有最小值12log289，无最大值．【考点】复合函数的单调性，对数函数图象与性质的综合应用【解析】【分析】（1）把两动点坐标分别代入两函数解析式，然后利用换元法可求得g（x）；（2）表示出F（x），问题转化为求方程F（x）=0的根，注意函数定义域；（3）可化为F（x）=log2x+13x+1=12log2x+123x+1 ，设t=x+123x+1，变形后进行换元，然后利用基本不等式可求得t的最值，从而可得F（x）的最值情况；27.【答案】见解答【考点】函数单调性的性质，幂函数的单调性、奇偶性及其应用，正弦函数的奇偶性，余弦函数的奇偶性，正切函数的奇偶性与对称性【解析】【解答】（Ⅰ）由，的奇偶性及，①得：②联立①②解得，.证明：当时，，，故③又由基本不等式，有，即④（Ⅱ）由（Ⅰ）得⑥当时，等价于⑦等价于⑧于是设函数，由⑤⑥，有.当时，（1）若，由③④，得，故在上为增函数，从而，即，故⑦成立.（2）若，由③④，得，故在上为减函数，从而，即，故⑧成立.综合⑦⑧，得.【分析】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.二.综合题28.【答案】（1）解：∵f（x）是定义在R上的偶函数．∴f（﹣1）=f（1），即，故．函数f（x）= ，f（﹣x）= = =f（x）．所以a=1满足题意（2）解：依题意= ．则由22x+1=2x+2，得（2x）2﹣4（2x）+1=0，令2x=t（t＞0），则t2﹣4t+1=0，解得．即．∴函数g（x）有两个零点，分别为和【考点】根的存在性及根的个数判断，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可求出 a =− 1，进而得到f（x）的解析式。