(完整版)圆的参数方程及应用
圆的参数方程及其应用
在计算机图形学中的应用
渲染效果
圆的参数方程在计算机图形学中 常用于制作各种渲染效果，如光 照、阴影、反射等。通过参数的 调整，可以创建出逼真的视觉效
果。
动画制作
在动画制作中，圆的参数方程可 以用来描述物体的运动轨迹，例 如旋转、缩放等。通过参数的变 化，可以轻松地实现各种动态效
果。
游戏开发
在游戏开发中，圆的参数方程常 用于物理引擎和碰撞检测。例如， 物体在碰撞时会产生圆形冲击波， 通过参数方程可以精确地描述这
同样地，也可以将参数方程转换为直角坐标方程。通过消去参数$theta$，可以得到 $x^2 + y^2 = r^2$。
参数方程的几何意义
参数方程中，$r$表示圆上点到圆心的 距离，即半径。$theta$表示圆心角， 即从圆心出发沿逆时针方向旋转的角 度。
通过参数方程，可以方便地描述圆上 任意一点的坐标和位置关系。例如， 当$theta = frac{pi}{2}$时，点位于 圆的最高点；当$theta = pi$时，点 位于圆的最低点。
05
结论
参数方程在圆的应用中的重要性
参数方程在描述圆的位置和形状时具有直观性和简洁性，能够清晰地表达圆的参数关系，方便数学和 物理问题的解决。
参数方程在解决与圆相关的实际问题时具有广泛的应用，例如在几何学、物理学、工程学等领域中， 参数方程可以帮助我们更好地理解和分析问题。
对未来研究的展望
随着数学和物理学的发展，参数方程 在圆的应用中将会得到更深入的研究 和应用，例如在解决更复杂的几何和 物理问题时，参数方程可能会发挥更 大的作用。
种效果。
在机器人路径规划中的应用
1 2 3
导航系统
机器人在移动时需要精确地计算路径，圆的参数 方程可以用来描述机器人周围的环境，帮助机器 人规划出最优路径。
圆的参数方程 课件
1．已知(x，y)在曲线 F(x，y)＝0 上，求 φ(x，y)的最值，常用曲线 F(x，y)＝0 的
参数方程：xy＝＝gftt， 化目标函数 φ(x，y)＝φ(t)的形式，然后用求函数最值的方法 求解．
2．注意化 F(x，y)＝0 为xy＝＝gftt， 要等价转化才能正确地求出最值，例如：(x－
则xy′′＝＝ccooss
θ＋sin θ，① θsin θ，②
①2－2×②，得 x′2－2y′＝1，即 x′2＝2y′＋12， ∴所求点 P 的轨迹为抛物线 x2＝2y＋12的一部分|x|≤ 2，|y|≤12.
探究三 圆的参数方程的应用
[例 3] 已知点 P(x，y)是圆 x2＋y2－6x－4y＋12＝0 上的动点，求： (1)x2＋y2 的最值； (2)x＋y 的最值． [解析] 由 x2＋y2－6x－4y＋12＝0， 得(x－3)2＋(y－2)2＝1，
3)2＋(y－2)2＝1(x≥3)⇔xy＝＝23＋＋scions
t， t
(－π2≤t≤π2)．
3．在直x＝3－ 的参数方程为
22t，
y＝ 5＋ 22t
(t 为参数)．在极坐标
系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)
中，圆 C 的方程为 ρ＝2 5sin θ. (1)求圆 C 的直角坐标方程；
即
x＝2＋5cos α， y＝1＋5sin α
(α∈R，α 为参数)．
怎样把普通方程化为参数方程 (1)普通方程化为参数方程的关键是选参数，并且利用三角等式 sin2α＋cos2α ＝1. (2)把普通方程转化为参数方程时，必须指明参数的取值范围，取值范围不同， 所表示的曲线也可能会有所不同．
【原创讲义】圆与方程(全面详细)
同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的参数方程的参数范围
圆的参数方程的参数范围
圆的参数方程
圆是一种非常基础的几何图形，它在各个领域中都有着广泛的应用。
在数学中，我们可以通过参数方程来描述一个圆。
圆的参数方程可以表示为：
x = r * cos(t)
y = r * sin(t)
其中，r代表圆的半径，t代表角度。
参数范围
在使用参数方程描述一个圆时，需要确定t的取值范围。
因为t代表角度，所以它的取值范围应该是0到2π。
0 ≤ t ≤ 2π
这个范围对应了一个完整的圆周。
在这个范围内，每个角度所对应的
点都会被覆盖到。
如果我们只需要绘制出半个圆或者1/4个圆，那么我们需要调整t的取值范围。
例如：
0 ≤ t ≤ π（半个圆）
0 ≤ t ≤ π/2（1/4个圆）
这样就可以只绘制出部分圆形了。
总结
通过上述内容，我们了解了如何使用参数方程来描述一个圆，并且确定了合适的参数范围。
当我们需要使用代码或者公式来处理或者描述一个圆时，可以采用这种方式。
圆的参数方程公式
圆的参数方程公式以《圆的参数方程公式》为标题，写一篇3000字的中文文章圆是几何中最为常见的图形之一，可以说是人类最初发现并探究法则性的图形。
一个圆由圆心和半径组成，而圆的参数方程公式则是它的极角、极矢、极径和余弦定理的综合体现。
圆的参数方程可以用来描述数学中的各种圆形概念，也可以用来求解圆周长、面积以及饼图中各个扇形所占比例等问题。
圆的参数方程可以用向量形式来表示，假设圆心为原点O，半径为r，极角为θ，则圆的参数方程可以表示为：x=r*cosθ；y=r*sin θ。
从参数方程可以看出，圆是由角度θ和半径r限制而成的曲线，其两个参数θ和r对应着直角坐标系中的x轴和y轴，x轴和y轴的夹角θ即为极角。
把圆的参数方程用向量形式表示，两边同乘以r，就变成了带模的参数方程：|r| = r(cosθ,sinθ)，其中|r|是极径，它与半径r 是相等的，但有一个区别是极径表示向量。
圆自身关于参数方程的性质以及它的用途有很多，那么圆的参数方程有什么特别的性质呢？首先，圆的参数方程很容易用来求解圆的圆周长。
由圆的参数方程可以得出，圆周长L为2πr。
其次，圆内接矩形的面积也可以通过参数方程求得，其面积为2πr2。
另外，圆的参数方程也可以用来求解饼图中各个扇形所占比例。
另外，圆的参数方程还可以用来求解圆的余弦定理。
如果已知圆心、半径和任意一点，就可以用参数方程求出符合要求的点，即可求出各边长与各角度，而余弦定理就是以此为基础求解圆内角度和长度之间关系的定理。
总之，圆的参数方程是圆形问题的重要方程式，可以用来求解几何中许多圆形概念和问题，尤其是求解面积和圆周长等问题。
它的余弦定理也是几何中应用最广泛的定理之一。
所以，圆的参数方程公式在学习几何中非常重要，有助于更好地理解圆的特性。
(完整版)圆参数方程及应用
圆的参数方程及应用关于圆的一般方程 (x a)2 ( y b)2R 2 来说，圆的方程还有此外一种表达x a Rcos 形式( 为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达y b Rsin形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例 1 已知点（ x ，y ）在圆 x 2 y 2 1上，求 x 2 2xy 3y 2 的最大值和最小值。
【解】圆 x 2y 2 1的参数方程为：x cos 。
y sin则 x 2 2xy 3 y 2 = cos 2 2sin cos3sin 2= 1 cos2sin 2 31cos22 sin 2 cos2= 2 2 sin(22 2k3 （k ∈Z ）时， x 22xy 3 y 2的最大值为： 22 ；k8时， x 2 2xy3y 2 的最小值为 22 。
【评论】解某些与圆的方程相关的条件制问y题，可应用圆的参数方程转变为三角函数问题的) ，则4（ k ∈Z ）8方法解决。
B二、求轨迹OAxC例 2 在圆 x 2y 24 上有定点 A （2，0），及图 1两个动点 B 、C ，且 A 、B 、C 按逆时针方向摆列，∠BAC= ，求△ABC 的重心 G （x ， y ）的轨迹方程。
3，得∠BOC= 2 4），则 B(2cos θ,2sin【解】由∠BAC= ，设∠ABO= θ（ 0 3 3 3θ)， C(2cos(θ+ 2 )，2sin(θ+ 2))，由重心坐标公式并化简，得：3 3x 22)cos(5，知 0≤x＜ 1，333，由y2sin()33333消去θ得：( x2) 2y24（0≤x＜1＝。
39【评论】用圆的几何性质，∠ BOC=2∠BAC=120 °，再以∠ABO= θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限制。
三、求范围例 3 已知点 P（x，y）是圆x2( y 1)21上随意一点，欲使不等式x+y+c≥0 恒建立，求 c 的取值范围。
圆的标准参数方程
圆的标准参数方程圆是几何中常见的图形之一，它由平面上到定点的距离相等的点的集合组成。
圆的参数方程是描述圆的一种数学表示方法，通过参数方程可以方便地描述圆的位置、形状和大小。
本文将介绍圆的标准参数方程，并对其相关概念进行详细解释。
首先，我们来看一下圆的定义。
圆是平面上到定点距离相等的点的集合。
这个定点叫做圆心，到圆心距离等于半径的点构成圆的边界。
圆的直径是圆上任意两点间的最长距离，直径的长度是圆的半径的两倍。
圆的周长是圆的边界的长度，圆的面积是圆内部的所有点构成的面积。
接下来，我们来介绍圆的标准参数方程。
圆的标准参数方程是由参数方程表示的圆的方程。
设圆的圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的标准参数方程可以表示为：x = h + r cos(t)。
y = k + r sin(t)。
其中，t为参数，x和y分别为圆上一点的坐标。
从这个参数方程可以看出，当参数t在0到2π范围内变化时，就可以得到圆上的所有点的坐标。
圆的标准参数方程可以方便地描述圆的位置、形状和大小。
通过改变参数t的取值范围和步长，可以得到不同的圆的部分，比如弧、半圆等。
这对于计算机图形学和物理模拟等领域有着重要的应用价值。
此外，圆的标准参数方程还可以与其他图形的参数方程进行比较和分析。
比如，可以通过参数方程求解圆与直线、圆与圆的交点等问题，这对于解决许多几何问题具有重要意义。
在实际应用中，圆的标准参数方程也可以用来描述圆的运动轨迹。
比如，当圆心坐标(h, k)和半径r随时间变化时，可以得到圆在平面上的运动轨迹。
这对于描述天体运动、机械运动等问题有着广泛的应用。
综上所述，圆的标准参数方程是描述圆的一种重要方法，它可以方便地描述圆的位置、形状和大小，具有重要的理论和应用价值。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解圆的参数方程，进一步掌握相关知识，为进一步的学习和研究打下基础。
圆的参数方程的参数范围
圆的参数方程的参数范围引言圆是数学中的一个基本几何概念，也是物理学和工程学中常见的几何形状。
在平面几何中，圆可以由一个点（圆心）和一个长度（半径）来确定。
传统的表示方法是圆的一般方程，但圆的参数方程提供了一种更具灵活性和直观性的表示方式。
本文将探讨圆的参数方程中参数的范围，分析参数的物理意义以及应用场景。
圆的参数方程圆的参数方程是由参数方程的思想应用在圆的表示上得到的。
一般来说，参数方程是通过引入一个或多个参数来表示一个几何对象的方式。
对于圆来说，我们可以使用两个参数来表示任意点离圆心的距离和与水平轴的夹角。
以坐标系的原点为圆心，半径为r的圆可以用参数方程表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，x和y是圆上任意一点的坐标，t是参数，r是圆的半径。
根据参数t的取值范围，我们可以探讨圆的参数方程的参数范围。
参数范围的物理意义圆的参数方程中的参数t可以理解为一个旋转角度，取值范围在0到2π之间。
在这个范围内，参数t对应了圆的一周。
当t取值为0时，对应圆的最右边一个点；当t取值为π/2时，对应圆的最上边一个点；当t取值为π时，对应圆的最左边一个点；当t取值为3π/2时，对应圆的最下边一个点。
通过改变参数t的取值，我们可以遍历整个圆的周长。
参数范围与圆的图形性质圆的参数方程中，参数t的取值范围不仅影响了圆的周长，还决定了圆的形状。
当参数t的取值范围在0到2π之间时，圆的参数方程所表示的图形是一个完整的圆，包括圆的内部和边界。
当参数t的取值范围在0到π之间时，圆的参数方程所表示的图形是一个上半圆，只包括圆的边界和上半部分。
当参数t的取值范围在π到2π之间时，圆的参数方程所表示的图形是一个下半圆，只包括圆的边界和下半部分。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到不同的圆的部分。
这在一些需要限定圆的范围的应用中非常有用，例如在计算机图形学中进行圆弧的绘制。
圆的参数方程的应用圆的参数方程具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学中。
圆周的参数方程
圆周的参数方程圆周是一种非常基础的几何图形，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在平面直角坐标系中，圆的方程通常是以 $x$ 和$y$ 为变量的二次方程，但是这种表达方式很难直观地描述圆周的性质和特点。
因此，人们设计了一种新的表达方式——参数方程。
本文将详细介绍圆周的参数方程及其相关知识。
一、什么是参数方程在数学中，参数方程是指用一个或多个参数来表示函数中自变量和因变量之间的关系。
通俗地说，就是将函数中自变量和因变量都表示成另外一些变量（即参数）的函数形式。
例如，一个平面曲线可以用两个参数 $t$ 和 $s$ 表示：$$\begin{cases}x=f(t,s) \\y=g(t,s)\end{cases}$$其中 $f(t,s)$ 和 $g(t,s)$ 分别表示曲线上任意一点 $(x,y)$ 的横纵坐标与 $t$ 和 $s$ 的关系。
二、圆周的标准方程在介绍圆周的参数方程之前，我们先来看看它的标准方程。
在平面直角坐标系中，圆心坐标为 $(a,b)$，半径为 $r$ 的圆的标准方程为：$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$其中 $(x,y)$ 表示圆上任意一点的坐标。
三、圆周的参数方程1. 常规参数方程对于一个圆周来说，我们可以将其表示成如下形式的参数方程：$$\begin{cases}x=a+r\cos t \\y=b+r\sin t\end{cases}$$其中 $t$ 是参数，表示圆周上任意一点与横坐标正半轴之间的夹角。
$a$ 和 $b$ 是圆心坐标，$r$ 是半径。
这个参数方程的意义是：当 $t=0$ 时，$(x,y)$ 的值为 $(a+r,b)$，即圆周上最右侧的点；当 $t=\frac{\pi}{2}$ 时，$(x,y)$ 的值为$(a,b+r)$，即圆周上最上方的点。
随着 $t$ 的不断增大，在平面直角坐标系中就可以得到整个圆周。
2. 极坐标参数方程除了常规参数方程以外，还有一种更加简洁明了的表示方式——极坐标参数方程。
圆的极坐标方程和参数方程
圆的极坐标方程和参数方程圆是最经典的几何图形之一，在日常生活中无处不在。
圆的极坐标方程和参数方程是描述圆的关键数学工具，它们具有重要的应用价值。
本文将从生动、全面和有指导意义的角度，详细介绍圆的极坐标方程和参数方程。
首先，让我们先了解一下圆的基本概念。
圆是由所有到某一点距离相等的点组成的曲线，这个点叫做圆心，距离叫做半径。
无论是轮子、钟表还是饼干，圆形都是它们的基本形状。
而圆的极坐标方程和参数方程则可以描述圆的位置、形状和大小。
首先介绍圆的极坐标方程。
在极坐标系中，我们用极径（r）和极角（θ）来表示一个点的位置。
对于圆，我们可以将圆心O放在极坐标系的原点，半径r作为极径，极角θ从0度到360度作为参数。
那么，圆的极坐标方程可以表示为r=a，其中a为常数，表示圆的半径。
接下来是圆的参数方程。
参数方程是将变量表示为一个或多个参数的函数。
对于圆，我们可以将极坐标方程转化为参数方程。
设圆心为（x0,y0），半径为r，圆上的点为（x,y）。
根据三角函数的关系，我们可以写出以下参数方程：x = x0 + r*cosθy = y0 + r*sinθ其中θ为参数，它的取值范围是0到2π。
圆的极坐标方程和参数方程之间可以相互转化。
我们可以将极坐标方程转化为参数方程，也可以将参数方程转化为极坐标方程。
这两种表达方式在不同的问题中具有不同的应用价值。
例如，在计算机图形学中，参数方程更容易表示和计算圆上的离散点，而极坐标方程则更适用于描述圆的性质和变换。
圆的极坐标方程和参数方程在数学和物理中有许多应用。
在物理上，圆的极坐标方程可以用于描述物体的运动轨迹。
例如，地球绕太阳的运动可以被描述为一个圆。
在工程中，圆的参数方程可以用于计算圆形零件的制造和加工。
在计算机图形学中，圆的参数方程常用于绘制图形和计算机动画。
在日常生活中，圆更多地体现了美感和和谐的概念。
无论是园林景观、艺术作品还是时尚设计，圆形都被广泛运用。
圆的极坐标方程和参数方程为我们更深入地理解和体会圆提供了数学工具。
复变函数中圆的参数方程
复变函数中圆的参数方程
复变函数是数学中的一个重要分支，它描述了在复平面中的函数。
而在复变函数中，圆是一个基础的形状，我们可以使用参数方程来描述圆。
一、复平面简介
在复平面上，我们将实数轴称为x轴，把虚数轴称为y轴。
复数可以用x+iy的形式表示。
在复平面中，我们可以看到每个复数都对应着平面中的一个点。
二、圆的参数方程
一个圆的参数方程是如下所示：
x = r*cos(theta)
y = r*sin(theta)
其中，r是圆的半径，theta是从x轴开始的角度，其单位是弧度。
三、关于圆的参数方程的一些细节
在圆的参数方程中，我们使用cos和sin这两个三角函数，来表示平面中一个点的坐标。
其中，cos表示点在x轴上的投影，sin表示点在y轴上的投影。
而theta表示点位于圆心的的方向角度，其大小可以通过弧度来表示。
四、圆的参数方程的应用
圆的参数方程在数学和物理中都有广泛的应用。
在数学中，它可以用来评估圆的性质，比如半径和中心。
在物理中，它可以描述在圆周运动中的物体速度和加速度，也可以用来描绘电场和磁场之间的关系。
五、总结
圆是复变函数中一个基本形状，我们可以使用参数方程来描述圆。
通过圆的参数方程，我们可以了解到圆的一些重要性质，以及在物理
中使用这种形状的一些应用。
掌握圆的参数方程可以帮助我们更好地理解复变函数的概念和应用。
人教版高中数学选修4-4第二讲第二节5圆的参数方程(共18张ppt)
思考：圆心为C（a,b),半径为r的圆的参数 方程是什么？
y b
v O
P r y
C
(x,y)
a
x
x
探究点1 圆的参数方程
圆心为C（a,b)， 半径为r 的圆的参数方程 x a r cos (为参数) y b r sin
y b
v O
P(x,y) r y
C
a
x
∴该圆的圆心为(-1,3),半径为2. x 1 2 cos (θ为参数) ∴参数方程为 y 3 2 sin
练习：已知圆方程为 x2+y2=2x，写出它的参数方程.
x 1 cos 解： (为参数） y sin
比较圆的标准方程与参数方程，思考用参数 方程表达圆时有什么优点？
x f (t ), y g (t ).
并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线 的参数方程，联系变数 x, y 的变数 t 叫做参数. 2、求曲线的参数方程的步骤有哪些?
(1)建系；(2)设点;(3)选参;(4)列式;(5)证明.
x 2 cos (为参数) 2： y 2 sin _____________
x 5 cos 1 练习2 : 若圆的参数方程为 (为参数), y 5 sin 1 2+(y+1)2=25 ( x 1) 则其标准方程为_____________
答案： [1,3]
课堂训练
x 2 cos 1、P( x, y )是曲线 (为参数）上一点，则 y sin ( x 5) 2 ( y 4) 2的最大值为（ A ）
单位圆的参数方程
单位圆的参数方程单位圆是指半径为1的圆，其圆心位于原点(0,0)。
单位圆的参数方程可以用三角函数来表示，其中角度为参数。
我们知道，单位圆的坐标满足x^2+y^2=1为了找到单位圆上的任意一点的坐标，我们可以使用三角函数来定义角度，并将其应用到单位圆上。
具体来说，我们可以使用正弦函数sin和余弦函数cos来分别表示点在单位圆上的纵坐标和横坐标。
在单位圆上，我们将角度α馈入三角函数，然后将结果作为坐标。
具体来说，对于任意角度α，单位圆上的点的坐标为(x,y)，其中：x = cos(α)y = sin(α)下面我们将详细解释为什么这个参数方程定义了单位圆。
首先，我们看x坐标。
单位圆的半径为1，根据直角三角形的定义，我们可以知道x坐标是直角三角形的斜边与斜边对应的角度的余弦值。
而斜边就是单位圆的半径1，所以x = cos(α)。
接下来，我们看y坐标。
根据直角三角形的定义，y坐标是直角三角形的斜边与斜边对应的角度的正弦值。
而斜边就是单位圆的半径1，所以y = sin(α)。
因此，通过上述参数方程，我们可以确定任意角度α对应的单位圆上的点的坐标。
举例来说，如果我们令α为30度，则有：y = sin(30°) ≈ 0.5同样地，我们可以取其他角度，得到对应点的坐标。
总结起来，单位圆的参数方程为：x = cos(α)y = sin(α)其中α是单位圆上的角度，x和y分别是对应角度α在单位圆上的点的横坐标和纵坐标。
这就是单位圆的参数方程的详细解释。
通过使用三角函数的正弦和余弦，我们可以将角度映射到单位圆上的点的坐标。
这个参数方程在数学和物理领域中有广泛的应用，特别是在探索周期性现象和振动方程中。
单位圆的参数方程
单位圆的参数方程单位圆（Unit Circle）是一个半径为1的圆，其圆心位于坐标原点（0,0）。
单位圆的参数方程可以用来描述单位圆上的每一个点的坐标。
参数方程的形式如下：x = cos(t)y = sin(t)其中，t是单位圆上的点对应的角度（弧度制）。
根据三角函数的性质，单位圆上每一个点的横坐标等于其对应角度的余弦值，纵坐标等于其对应角度的正弦值。
这就是单位圆的参数方程。
参数方程的参数t通常取值范围为[0，2π]，因为一个圆形一周的角度是360度或2π弧度。
当t等于0时，对应的点在单位圆的右侧，即（1,0）。
当t等于π/2时，对应的点在单位圆的上方，即（0,1）。
当t等于π时，对应的点在单位圆的左侧，即（-1,0）。
当t等于3π/2时，对应的点在单位圆的下方，即（0，-1）。
当t等于2π时，对应的点又回到了起始点（1,0）。
x²+y²=1对单位圆上的每一个点（x，y）应用三角函数的性质，可以得到cos²(t) + sin²(t) = 1由于辅助角公式sin²(t) + cos²(t) = 1，可得出sin²(t) = 1 - cos²(t)所以y²=1-x²对该等式开根号，可以得到y=±√(1-x²)根据单位圆的定义，y都大于等于0，所以y = √(1 - x²)。
结合x = cos(t)，可以得到y = √(1 - cos²(t)) = sin(t)所以，单位圆的参数方程为x = cos(t)，y = sin(t)。
单位圆的参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
它是三角函数的图像之一，也是圆与直角坐标系之间的桥梁。
在计算机图形学中，单位圆的参数方程被用来绘制圆形。
在物理学中，单位圆的参数方程被用来描述旋转和振动等周期性的现象。
总结起来，单位圆的参数方程是x = cos(t)，y = sin(t)，其中t 是单位圆上的点对应的角度。
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆的方程及应用
的距离为
解（Ⅰ）b 1， 1， 2 b 2 a r
解（Ⅱ） 1， 1， 2 b 2 b a r
综上所述：所求圆的方 程为 （x 1 2 y 1 2 2 ）（ ） 或（x 1 2 y 1 2 2 ）（ ）
（二）、求最值问题
例4、在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y-12=0的距离最小 的点的坐标是( A ) (A)(8/5，6/5) (C)(-8/5，6/5 ) (B)(8/5，-6/5) (D)(-8/5，-6/5)
归纳总结：
一、求圆的方程
二、求与圆有关的最值问题
巩固练习
1 .已知圆的半径为 ,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长 为 ,求圆的方程.
2.若实数x，y满足方程x2+y2-2x+4y=0，试求x-2y的最大值 和最小值．
3.
已知与曲线 C： 2 y 2 2 x 2 y 1 0 相切的直线 l x 练习 分别交x 轴、y轴于 A、B 两点，O 为坐标原点， y | OA | a ，OB | b (a 2，b 2) . | B
黄杏芳2006年10月直线与直线方程直线与圆圆与圆的位置关系圆与圆方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两直线的位置关系线性规划及应用圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程一知识框架eydx圆的标准方程圆的一般方程圆的参数方程1圆的方程为参数2直线与圆的位置关系相交相切相离方程组两解方程组一解无解eydxa
所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为 圆心,2为半径的圆.
x 6 2 cos y 2 sin
例4、若实数x、y满足x2+y2-2x+4y+2=0, 求x－y的最大值和最小值。
解析几何中的圆与曲线方程
解析几何中的圆与曲线方程在解析几何中，圆与曲线方程是研究图形性质和解题的基础。
本文将详细介绍圆与曲线方程的定义、性质以及应用，以帮助读者更好地理解和应用解析几何中的相关知识。
一、圆的方程圆是平面上所有离圆心距离都相等的点的集合。
在解析几何中，圆的方程可以用不同的形式表示，如一般式、标准式和参数方程等。
1. 一般式圆的一般式方程为：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径长度。
这种形式的方程可以描述任意位置和大小的圆。
2. 标准式圆的标准式方程为：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0其中，D、E、F为常数，且满足D^2 + E^2 - 4F > 0。
这种形式的方程适用于求解圆心在坐标原点的情况，常用于圆与其他图形的交点求解。
3. 参数方程圆的参数方程描述了圆上所有点的坐标变化关系。
以极坐标为例，圆的参数方程为：x = a + r*cosθy = b + r*sinθ其中，(a, b)为圆心坐标，r为半径长度，θ为角度。
这种形式的方程常用于描述圆的运动轨迹。
二、曲线方程解析几何中的曲线方程可分为二次曲线、三次曲线等不同类型。
下面将以二次曲线为例介绍曲线方程的常见形式。
1. 椭圆方程椭圆是平面上所有到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
椭圆的标准方程为：(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1其中，(0, 0)为椭圆中心的坐标，a、b为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
该方程描述的是以坐标原点为中心的椭圆。
2. 双曲线方程双曲线是平面上所有到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
双曲线的标准方程为：(x/a)^2 - (y/b)^2 = 1或(x/a)^2 - (y/b)^2 = -1其中，a、b为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
该方程描述的是以坐标原点为中心的双曲线。
3. 抛物线方程抛物线是平面上所有到一个给定点的距离等于到一条给定直线距离的点的集合。
圆参数方程的应用
科目 数学主备人时间课题 4.4. 3.1圆参数方程的应用课时2教学 目标1．利用圆的几何性质求最值（数形结合）. 2．能选取适当的参数，求圆的参数方程教学重、难点选择圆的参数方程求最值问题。
教学过程设计（教法、学法、课练、作业）个人主页一：复习引入1.圆心在原点的圆的参数方程圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x (θ为参数)θ 有意义：旋转角0到2π（x 轴到连心线） 2.圆心不在原点的圆的参数方程 问：怎样得到圆心在),(1b a O ,半径为r 的圆的参数方程呢?可将圆心在原点、半径为r 的圆按向量),(b a v =平行移动后得到,所以圆心在),(1b a O ,半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x (θ 为参数)二例题讲解 一、最值问题1.已知P （x,y ）圆C ：x 2+y 2－6x －4y+12=0上的点。
（1）求xy的最小值与最大值（2）求x －y 的最大值与最小值2.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值是；2/.圆(x-1)2+(y+2)2=4上的点到直线2x-y+1=0的最短距离是_______；3. 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；4．若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为；二、参数法求轨迹1)一动点在圆x2＋y2=1上移动,求它与定点(3,0)连线的中点的轨迹方程的平分线2)已知点A(2,0),P是x2+y2=1上任一点,AOP交PA于Q点,求Q点的轨迹.C.参数法解题思想：将要求点的坐标x,y分别用同一个参数来表示例题：1)点P(m,n)在圆x2+y2=1上运动,求点Q(m+n,2mn)的轨迹方程2)方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0.若该方程表示一个圆,求m的取值范围和圆心的轨迹方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
圆的参数方程及应用
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达
形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数）
，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值
例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
【解】圆221x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩。
则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++
=
1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++⨯2sin 2cos2θθ=+-=22sin(2)4π
θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8
k π
θπ=-（k ∈Z ）
时，2223x xy y ++的最小值为22-。
【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。
二、求轨迹
例2 在圆2
2
4x y +=上有定点A （2，0），及
两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列，
∠BAC=
3
π
，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。
【解】由∠BAC=3
π
，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403πθ<<），则B(2cos θ,2sin
θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23π
))，由重心坐标公式并化简，得：
C
x
y O
A
B 图1
22cos()333
2sin()
33x y πθπθ⎧=++⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， 消去θ得：2224
()39
x y -+= （0≤x ＜1＝。
【点评】用圆的几何性质，∠BOC=2∠BAC=120°，再以∠ABO=θ为参数，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x 的范围的限定。
三、求范围
例3 已知点P （x ，y ）是圆22(1)1x y +-=上任意一点，欲使不等式x+y+c ≥0恒成立，求c 的取值范围。
【解】圆22(1)1x y +-=的参数方程为：cos 1sin x y θ
θ=⎧⎨=+⎩，则有：x+y=1+sin θ+cos
θ=1+2sin()4πθ+，－（x+y ）=－1－2sin()4π
θ+，－（x+y ）的最大值为：－
1+2，由于 x+y+c ≥0，所以，c ≥－（x+y ）恒成立，即c ≥－1+2。
【点评】将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方程求最值简洁易算。
四、求斜率 例4 求函数sin 1
()cos 2
f θθθ-=-的最大值和最小
值。
【解】函数sin 1
()cos 2f θθθ-=-的值，是以原点
为圆心的单位圆上的点（cos θ，sin θ）与点（2，1）所连线的斜率，最值在切线处取得，容易求
得最大值为：4
3
，最小值为：0。
O
x
y
(2,1)
图2。