信号与系统-第五章

j0
求解常系数线性差分方程的方法一般有以下几种
逐次代入求解， 概念清楚， 比较简便， 适用于计算机， 1、迭代法 缺点是不能得出通式解答。
2、时域经典法
全响应＝齐次解 ＋ 特解 自由响应 强迫响应
3、全响应＝零输入响应＋零状态响应 零输入响应解的形式与齐次解形式相同，是满足齐次差分方程及零输入 初始状态的那部分解。 零状态响应解的形式与全响应形式相同，求解利用卷积和法求解。
这一递归关系式称为常系数差分方程， 因y(k)自k以递增方式给出，
称为前向形式的差分方程， 否则为后向形式的差分方程。
前向差分方程 y(k 2) 1 y(k 1) 1 y(k) f (k)
2
4
后向差分方程 y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
未知序列y(k)的最高序号与最低序号 之差称为差分方程式的 阶数。
4、前向差分方程的求解方法与后向差分方程类似。
5.3 离散时间系统的响应
一、常系数线性差分方程的求解
一般形式
y(k) an1y(k 1) ..... a0 y(k n) bm f (k) bm1 f (k 1) ....b0 f (k m)
简写成
n
ai
y(k
i)m bj
f
(k
j)
i0
1、常用离散信号 (1)单位冲激序列
1 k0
定义： (k) 0 k 0
(k)
1
(k 3)
1
0 12 k
0 12 3 k
(k)的性质：（1）筛选性： f (k) (k i) f (i) k
（2）加权性：f (k) (k i) f (i) (k i)
这样任意离散信号 f (k)可表示为： f (k) f (i) (k i) i
或：y(k 1) (1－T ) y(k) Tf (k)
y(k 1) (1－T ) y(k ) Tf (k )
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y(0) (1T ) y(1) Tf (1) y(1) (1T ) y(0) Tf (0) y(2) (1T ) y(1) Tf (1)
(2)单位阶跃序列
(k) 1 k 0
0 k0
(k)
1
(k 2) 1
0 12 3 k
0 12 34 5
k
显然： (k) (k) (k 1)
(k) (k) (k 1) (k i) i0
f (k)
(3)单边指数序列
f (k) ak (k)
0 1 23
k
(4)正弦序列
三. 离散时间系统的模拟
1. 基本模拟元件
f1 (k )
y(k ) f1 (k ) f2 (k )
f2 (k ) （a）加法器
a f (k )
y(k ) af (k )
（b）标量乘法器
f (k ) D y (k ) f (k 1)
（c）单位延时器
2．一阶系统的描述与模拟
描述一阶系统的前向差分方程为 y (k 1) a0 y (k ) f (k ) 可表示为：y(k 1) f (k ) a0 y(k )
■ 当正弦序列的2 不是整数时，但是有理数时，即2 N ，
m
该序列也为周期序列，周期为m 2 。
■ 当正弦序列的2 / 为无理数时，该序列为非周期序列。
f1 (k )
sin( 4
5
k),
f2 (k )
sin(
3
k),
f3 (k )
s in(2k )
判断上述正弦序列的周期性，如为周期信号，确定其周期。
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
（a）
f2 (k) 3 2 1 -3 -2 -1
0 1 23 k
（b）
序列的相加
f1(k) f2 (k) 3 2 1 -3 -2 -1
0 1 23 k
（c）
(2) 相乘
f1 (k )
1
• -1
0
1
23
k
（a）
f (k) f1(k) f2 (k)
f2 (k) 3 2 1 •
-1 0 1 2 3 k
（b）
f1(k) f2 (k)
3
2
1
• -1
0
1
23
k
（c）
(3) 差分 对离散时间信号而言，信号的差分运算表示的是相邻两
个序列值的变化率。定义为
前向差分： f (k) f (k 1) f (k) 后向差分： f (k) f (k) f (k 1)
(4) 累加 对离散时间信号而言，信号的累加定义为
k1
个零值点形成的，即时间轴 扩展了
倍。
a
1 a
1
f (k) 1
f (k) 2
1
-1 0 1 2 3 k
-1 0 1 2 3 4 5 6 k
5.2 离散时间系统
一. 离散时间系统分类
主要讨论线性时不变系统。
线性系统：
y 如果
f (k)
1
(k)
1
f (k) y (k)
2
2
c c c y c y 则 1 f1 (k ) 2 f2 (k ) 1 1 (k ) 2 2 (k )
时不变系统
如果 f (k ) y (k )
则 f (k i) y(k i)
二. 离散时间系统的数学描述—差分方程 一个离散系统可以用差分方程来描述。
差分方程的应用主要表现在两个方面：
一方面它可以描述本身就是离散系统的事件，如银行利率、股市行情、人口统计等；
另一方面它可以用来仿真连续系统，也就是用一个离散系统来近似连续系统。 在计
f (k)
f (k) Asin(k )
正弦序列的角频率
567 8
正弦序列可以从对连续正弦信号的抽样得到，0 1 2 3 4
k
f (k) sin t sin kT sin k tkT
有： T
角频率的单位是rad / s，而角频率的单位是rad，
表示相邻样值间弧度的变化量。
有关正弦序列f (k) Asin(k )的周期性。
P
（2）若用户总借款额为40万元，贷款期限为20年，银行每月利息为7.2％，试问 用户每月应还款多少？
例2：微分方程的离散化（微分方程的数值计算问题）
设某一连续系统的微分方程为：y'(t) y(t) f (t)
试求其对应的差分方程。
解：为离散化，令t＝kT，T为固定正数，k取整数：
y'(t) y(kT) f (kT) tkT
k
4 3 2 1 0 1 2 3
左移
(7) 序列的尺度变换
序列的尺度变换与连续时间信号的尺度变换不同。
y k f ak （a 1），是 f k 序列每隔 a -1点取一点形成的，即时间轴
k 压缩了 a 倍。
f (k) 1
0 123 k
f (2k) 1
..
0 123 k
yk f ak （ 0 a 1 ），是 f k 序列每两相邻序列值之间加
一个周期的正弦信号，经抽样后得到的正弦序列是否
也是周期信号呢？ 周期序列的定义：
f (k N) f (k) N为序列的周期，只能为整数。
Asin[(k N ) ] Asin[k N ]
在什么情况下等于 Asin[k＋]? N 2 即N 2 / ，对于周期序列 N必须为整数
■ 当正弦序列的2 / 为整数时，该序列为周期序列，周期为N。
可改写为 y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) f (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k)
f (k) • D
D
an1
a1 a0
若描述系统的差分方程中含有输入函数的移位项，如
y (k n) an1 y (k n 1) a0 y (k )
bm f (k m) bm1 f (k m 1) b0 f (k )
5.1 离散时间信号及基本运算
一、离散时间信号
离散时间信号，简称离散信号，信号仅在一些离散的时刻才有定义，因此它 是离散时间变量tk的函数，用f(tk)来表示离散时间信号。tk表示离散时刻。
通常离散时刻之间的间隔T是均匀的，即T= tk– tk-1为常量，故可用f(kT)来表 示离散时间信号，简写为f(k)，k的取值为整数。
q(k 1)
D•
•
q(k n 1)
an1
b1
q(k) D • b0
y(k)
a1
a0
一个系统的模拟图与描述其系统的差分方程一一对应，因此可由 系统的差分方程作出模拟图，也可由模拟图求出描述系统的差分 方程。
例2、某离散系统如图所示，写出该系统的差分方程。
f (k)
y(k)
y(k 1)
D
D
y(k 2)
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
2
4
y(k 2) 1 y(k 1) 1 y(k) f (k)
2
4
二阶差分方程（前向差分）
讨论： 1、这两个系统没有本质区别，仅输出信号的取出端 有所不同。在相同输入下，响应形式相同，但(b)图较(a) 图输出延时两位。
2、一般因果系统用后向差分方程比较方便。
3、在状态变量分析中习惯用前向形式的差分方程。
算机得到广泛普及的今天，越来越多的系统都可以利用离散系统进行仿真，从而使系 统的分析更为方便。
例1：一个实际的商业银行住房贷款问题：
（1）设P为用户的总借款额，m为贷款期限，I为银行每月的贷款利息，若用户
每月的还款数相同，设为D，试证明，用户每月应还贷款的公式为：
D
I (1 I )m (1 I )m 1
y ( k 1)
f (k)
来自百度文库
y(k) D•
a0
描述一阶系统的后向差分方程为 y (k ) a0 y (k 1) f (k ) 可表示为：y(k ) f (k ) a0 y(k 1)
y(k)
f (k) • D
a0
3．n阶系统前向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的前向差分方程
y(k n) an1 y(k n 1) a0 y(k ) f (k )
且m n 时，需引入一个辅助函数 q(k) ，使其满足
q(k n) an1q(k n 1) a0 q(k ) f (k )
就有
y(k ) bm q(k m) bm1q(k m 1) b0 q(k )
于是，其模拟图如下图所示。
一般n阶系统的模拟图
bn1
f (k ) q(k n)
k
y(k) f (n) n
即累加后产生的序列在k时刻的值是原序列在该时刻及以前所有时刻的序列值之和。
(5)序列反转 f (k)
f (k)
k
3 2 1 0 1 2
k
2 1 0 1 2 3
(6)序列平移
f (k)
f (k 1)
f (k 2)
k
3 2 1 0 1 2
k
2 1 0 1 2 3
右移
f1(k )
f2 (k)
3
2 1
1 234 k
1 234 k
离散信号
数学上离散信号用数值的序列来表示，
序列f (k)与序列的第k项两者在符号上不加以区分。
都表示为f (k)，例如，离散信号
f (k) k 2
k k为整数
其函数值是一个序列f
(k
)
,
1 2
,
0,
1 2
,
下面画有 的数值是序号k 0的数值
当T足够小时， y' (t) y[(k 1)T ] y(kT) T
y[(k1)T ] y(kT)
T
y(kT) f (kT)
f (kT) 简写f (k) y(kT) 简写y(k)
y[(k1)]y(k )
T
y(k) f (k)
y (k 1) (T 1) y (k ) Tf (k )
可改写为 y (k n) an1 y (k n 1) a0 y(k ) f (k )
可得其模拟框图，如下图所示。
y(k n)
f (k)
D•
an1
y(k 1)
y(k)
• D•
a1 a0
4、n阶系统后向差分方程的描述与模拟
对于描述一个n阶系统的后向差分方程
y(k ) an1 y(k 1) a0 y(k n) f (k )
第五章：离散时间信号与系统的时域分析
5.1 离散时间信号及基本运算 5.2 离散时间系统 5.3 离散时间系统的响应 5.4 离散时间系统的零输入响应与零状态响应
激励是离散
响应是离散
f (k) 时间信号
离散系统
y(k) 时间信号
连续时间系统 微分方程 卷积积分 拉氏变换 连续傅立叶变换
离散时间系统 差分方程 卷积和 Z变换 离散傅立叶变换