仿射坐标系

因为 0，所以不妨设a1 0.
取
b1 a1
,即b1
a1
a1 b1
a2 b2
0 a1b2 a2b1 0
a1b2 a2a1 0 b2 a2
同理可由 a1 b1
a3 b3
0推出b3
a3 .
于是 ，所以 // .
解析几何 第一章 向量代数
推论1.3 设[O;e1 ,e2]是平面 上的一个平面仿射
解析几何 第一章 向量代数
解析几何 第一章 向量代数
五、小结
仿射坐标系
标架、点、向量、坐标
轴、面、卦限
注意直角坐标系是它的特例。
解析几何 第一章 向量代数
思考题
在空间仿射坐标系中，指出下列各 点在哪个卦限？
A(1,2,3), B(2,3,4), C(2,3,4), D(2,3,1) .
解析几何 第一章 向量代数
思考题解答 A:IV; B: V; C: Ⅷ; D:III;
第一章 向量代数
第二节 仿射坐标系
一、仿射标架 二、仿射坐标 三、直角坐标系 四、应用 五、小结
解析几何 第一章 向量代数
一、仿射标架
[1]空间仿射标架 向量集合=所有空间向量 三元有序数组的集合=所有(x,y,z)
例 (1,2,3)(2,1,3)
空间点集=所有空间点
假设e1 ,e2 ,e3是三个不共面的向量，则对于任意一
uuur 对于空间中任意一点A,向量OA称为点A的定位向量。
uuur 向量OA对e1 ,e2 ,e3分解所得的三元有序数组称为点 A在仿射标架[O; e1 ,e2 ,e3]下的仿射坐标。
解析几何 第一章 向量代数
仿射标架[O;e1 ,e2 ,e3]三要素:
[1] 原点
[2]三个不共面的向量 [3]三个向量的顺序
[2]平面直角坐标系（共面向量集合、平面、
二元有序数组）
y 纵轴
三要素：
原点O （0,0)
两个互相垂直不共线 的单位向量
定点 o •
横轴 x
右手从x轴以九十度角握向y轴时，
大拇指指向纸面外面
[3]实数轴（共线向量集合、直线、实数）
解析几何 第一章 向量代数
四、几何应用
推论1.1 设在一个仿射坐标系中，向量 和的坐
向量集合一一对应 空间点集
解析几何 第一章 向量代数
空间点集 一一对应 三元有序数组的集合
A [O ;e1 ,e2,e3](x, y,z)
定义1.3 空间中一点O和三个不共面向量e1 ,e2 ,e3一
起构成空间的一个仿射标架，记作[O; e1 ,e2 ,e3]。称 O为它的原点，e1 ,e2 ,e3为它的坐标向量。
向量的坐标：它对e1 ,e2 ,e3的分解系数组成的一个
uuur 三元有序数组
OA
uuur
点A的坐标：它的定位向量OA的坐标
例：向量e1的坐标为（1，0，0）；
零向量r 的uu坐ur 标uu为ur （0，0，0）； 因为0 OO,OO可看作原点O的定位向量， 所以原点O的坐标为（0，0，0）。
解析几何 第一章 向量代数
定理1.2 取定一个空间仿射坐标系[O;e1 ,e2 ,e3].
设向量、的坐标分别为（a1 ,a2 ,a3）和（b1 ,b2 ,b3）,则
(1) 的坐标为（a1 b1 ,a2 b2 ,a3 b3） (2)对任何实数，的坐标为（a1 ,a2 ,a3)
推论1.1 设点uAu、ur B的坐标分别为（a1 ,a2 ,a3）和 （b1 ,b2 ,b3）,则AB的坐标为（b1 - a1,b2 - a2,b3 - a3）。
uuur
思考：向量的坐标和向量 AB的坐标的关系。
解析几何 第一章 向量代数
二、直角坐标系
[1] 空间直角坐标系(向量集合、 z 竖轴 空间、三元有序数组）
三要素：
原点O （0,0,0)
定点 o •
y 纵轴
三个两两垂直不共面
的单位向量
横轴 x
三个坐标轴的正方向
空间直角坐标系
符合右手系：
解析几何 第一章 向量代数
[1]轴：x轴、y轴、z轴
x轴是经过原点O、平行于e1、和e1方向相同 的数轴; y轴对应e2 , z轴对应e3 .
[2]坐标平面：xoy，zox,zoy
[3]卦限：空间仿射坐标系共有八个卦限
解析几何 第一章 向量代数
Ⅲ
yoz面
Байду номын сангаас
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
e3
z
zox 面
e1
e2
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间仿射坐标系共有八个卦限
坐标系， 上的三点A、B、C的坐标分别是（a1 ,a2）,
(b1 ,b2)和（c1 ,c2）,则
a1 a2 1
A, B,C共线 b1 b2 1 0
c1 c2 1
证明： a1 b1 c1
a2 b2 c2
1
1 0 a1 c1
1
b1 c1
a2 c2 0 b2 c2
uuur uuur CA // CB A, B,C共线。
个向量，存在唯一实数组（x, y,z),使得 xe1 ye2 ze3
解析几何 第一章 向量代数
对（e1 ,e2 ,e3）分解（x, y,z)
向量集合一一对应 三元有序数组的集合
取定空间中的一个点O,对任意一个向量，以O
uuur
为起点作向量，则存在唯一的点A,使得 OA
以固定点O为起点作 A
标分别为（a1 ,a2 ,a3）和（b1 ,b2 ,b3）,则
//
a1 a2 a2 a3 a1 a3 0 b1 b2 b2 b3 b1 b3
证明：如果和都为零，则“ ”的左右两边始
终成立。不妨设 0.
// 存在实数，使得 ,
即 bi ai , i 1, 2, 3.L L
解析几何 第一章 向量代数
解析几何 第一章 向量代数
[2]平面仿射标架 向量集合=所有平行于某一平面的向量
二元有序数组集合=所有的(x,y)
平面点集=所有该平面上的点
平面仿射标架： [O ; e1 ,e2]
思考题：怎样建立直线上的仿射标架。
解析几何 第一章 向量代数
三、仿射坐标
给定仿射坐标系[O; e1 ,e2 ,e3]