流体力学参考答案李玉柱(汇总)

高等学校教学用书
流体力学
习题参考答案
主讲：张明辉
高等教育出版社
李玉柱，苑明顺编.流体力学与流体机械, 北京：高等教育出版社，2008.1（2009 重印）
《流体力学》
第一章绪论
992.2kg/m 3 0.661 10 6m 2/s 6.56 10 4Pa s
1-3 一平板在油面上作水平运动，如图所示。

已知平板运动速度V = lm/s ，板与固定边 界的距离 A 5mm ,油的粘度 0.1Pa s ，求作用在平板单位面积上的粘滞阻力。

解：假设板间流体中的速度分布是线性的，则板间流体的速度梯度为
du V 1m/s 3
dy
5 10 m
1-4有一底面积为40cm X 60cm 矩形木板，质量为5kg ，以0.9m/s 的速度沿着与水平 面成30°倾角的斜面匀速下滑，木板与斜面之间的油层厚度为
1mm ，求油的动力粘度。

解：建立如下坐标系，沿斜面向下方向为 x 轴的正方向，y 轴垂直于平板表面向下。

1-1空气的密度 1.165kg/m 3，动力粘度 1.87 10 5Pa s ，求它的运动粘度
解：由v —得，v — 1.87 10 5Pa s 1.165kg/m 3
5
2
1.61 10 m /s
1-2水的密度
992.2kg/m 3，运动粘度v 0.661 10 6m 2/s ，求它的动力粘度
解：由v —得, 200s
由牛顿内摩擦定律
豈，可得作用在平板单位面积上的粘滞阻力为
du dy
0.1Pa s 200s -1
20Pa
T77^7777^77777777
越 1-3 I*
设油膜内速度为线性分布，则油膜内的速度梯度为:
由牛顿内摩擦定律知，木板下表面处流体所受的切应力为:
3
0.9 10
，Pa
0.9 1 03
0.4 0.6 5 9.8sin 30
从而可得油的动力粘度： 0.1134Pa s
1-5上下两个平行的圆盘，直径均为d ，间隙厚度为§■，间隙中的液体动力黏度系数为 [1,若下盘固定不动，上盘以角速度 3旋转，求所需力矩M 的表达式。

解：圆盘不同半径处线速度r 3不同，垂直于圆盘方向的速度梯度不同，摩擦力也不 同，但在微小圆环上可视为常量。

在半径 r 处，取增量径向dr ，微圆环面积dA ,则微面积 dA 上的摩擦力dF 为
积分上式则有
d
M 2
dT
1- 6有一自重为9N 的圆柱体，直径d = 149.5mm,高度h = 150mm ，在一内径D = 150mm 的圆管中以V = 46mm/s 的速度均匀下滑，求圆柱体和管壁间隙中油液的动力粘度。

一一鼻
一
Z / /
d
/ 1
/
2 4———►
-_7
题1-6图
解：假设油膜中的速度分布是线性的，则油膜内的速度梯度为
0.9m /s 1 10 3m
0.9 103, s
木板受到的切应力大小与
相等，方向相反，则匀速下滑时其受力平衡方程为:
dF
由dF 可求dA 上的摩擦矩dT
dz rdr
dM
rdF
r 3dr
r 3dr
d 4 32
题1-5图
由牛顿切应力定律可得圆柱体表面处流体所受的切应力为
圆柱体受到的切应力与 大小相等，指向运动反方向，圆柱体受到的总的摩擦力为 dh ，由于摩擦力与重力相平衡，故
dh G
0.1495 0.15 184
9
由此可得圆柱体和管壁间隙中油液的动力粘度为
0.694Pa s
1-7转轴直径d = 0.36m,轴承长度I = 1m ,轴与轴承间的缝隙宽 A 0.23mm ,充满动 力粘度 0.73Pa s 的油，若轴的转速n = 200 r/min ,求克服油的粘滞阻力所需的功率。

则摩擦功率P 为:
3 2
2 3.14 0.7
3 0.18 20.9
4 1
0.23 10
克服油的粘滞阻力所需的功率为 5.102kW
1-8图示一采暖设备，为了防止水温升高时体积膨胀将水管及暖气片胀裂，特在系统 顶部设置了一个膨胀水箱，使水有自由膨胀的余地，若系统内的水的总体积为10m 3，加热 前后温差为50r ，水的体膨胀系数为4.5X 10-4K -1，求膨胀水箱的容积。

du V 46mm/s
dy
0.25mm
184s
du dy
184 Pa
解：由于间隙
题1-7图
d/2，速度分布近乎线性分布，按牛顿内摩擦定律，速度梯度
du u 0 dr
，其中
2n 60 20.94
则摩擦力F 为：F
A u
°
2 rL -
则摩擦矩T 为：T
Fr
2
L
4
5.102 10 W
dV
V
VdT 4.5 10 4 10 50 0.225 m 3
膨胀水箱的容积为 V 10 0.225 10.225 m 3
10 2
p
dp 5.38 10 m /N 5 98000 Pa=0.026%
1- 10在实验室中如果采用两根内径为l cm 的玻璃管作测压管，一根装有水，一根装有 水银，实验室的室温为20r ，问两根测压管的管中液面由于毛细管作用而引起的上升和下 降高度各为多少？
解：水上升的高度为
h 1
4 cos
4 0.0728 cos0° 3
2.98 10 m
2.98mm
gd
998.2 9.8 0.01
水银下降的高度为
h 2
4 cos
4 0.46
5 cos140o 3
1.05 10 m
1.05m m
gd
13550 9.8 0.01
第二章流体静力学
2-1将盛有液体的U 形小玻璃管装在作水平加速运动的汽车上(如图示)，已知L = 30 cm ，h = 5cm ，试求汽车的加速度 a 。

解：将坐标原点放在U 形玻璃管底部的中心。

Z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一 致，则玻璃管装在作水平运动的汽车上时，单位质量液体的质量力和液体的加速度分量分 别为
g x 0,g y 0,g z g
a x a, a y
0,a z
0 代入压力全微分公式得dp (adx gdz)
为:
解：由膨胀系数定义
1-9水在常温下，由5个大气压增加到 10个大气压强时，密度改变了多少?
解：由于体积压缩系数
P
dV V 1 d dp
dp
dT
50 C 时，水的体积膨胀量
因为自由液面是等压面，即dp 0 ,所以自由液面的微分式为adx gdz
翹2-2图
2-2 一封闭水箱如图示，金属测压计测得的压强值为 p = 4.9kPa 相对压强)，测压计中 心比A 点高z = 0.5m ,而A 点在液面以下h = 1.5m 。

求液面的绝对压强和相对压强。

解：由P 0
gh p
gz 得相对压强为
p 0 p g(z h) 4.9 103 1000 9.8 1 4.9kPa
绝对压强 p abs P 。

P a ( 4.9 98)kPa=93.1kPa
2-3在装满水的锥台形容器盖上，加一力 F = 4kN 。

容器的尺寸如图示，D = 2m , d = l m , h = 2m 。

试求(1)A 、B 、A ' B '各点的相对压强；⑵容器底面上的总压力。

解：⑴ P 0 — ―F ^ 5.06kPa ,由 p P 0
gh 得：
A D /
/ 4
⑵容器底面上的总压力为P P A 'A 24.7kPa 77.6kN
2- 4 一封闭容器水面的绝对压强 p 0= 85kPa,中间玻璃管两端开口，当既无空气通过玻 璃管进入容器、又无水进人玻璃管时，试求玻璃管应该伸入水面下的深度 h 。

解：取玻璃管的下口端面为等压面，则 P 0
gh p a
积分的：z
— x g
c ,斜率为 a g ，即a g h L 解得a gh L
1.63m/s
p A'
p B'
p 0
P A
gh P B P 0 5.06kPa
5.06kPa+1000 9.8 2Pa 24.7kPa
3
(98 85) 10
1.33m
1000 9.8
2-5量测容器中A 点压强的真空计如2.3.3节图2-9所示，已知z = l m ，h = 2m ，当地 大气压强p a = 98kPa （绝对压强），求A 点的绝对压强、相对压强及真空度。

解：根据液体静力学基本方程p p 0
gh ，由p abs
2-8输水管道试压时，压力表 M 读数为10at ，管道直径d = Im 。

求作用在图示管端法 兰堵头上的静水总压力。

解：
2
P ghCA ( g d
p M ) ―
(1000 9.8 0.5 1 0 98000)
3.14 1
7.70 1 05N
2
4
4
h P a P 。

g
gz P a 得到绝对压强 p abs p a
gz (98000 9.8 1000 1)Pa 88200Pa=88.2kPa
相对压强P P abs P a
(88200 98000)Pa 9800Pa= 9.8kPa
真空度h v
p a
p abs
g
88200 98000 , m 1m
9.8 1000
2-6如图所示密闭容器，上层为空气，中层为密度为 0
834kg/m 3的原油，下层为密
度为G 1250kg/m 3的甘油，测压管中的甘油表面高程为
9.14m ，求压力表G 的读数。

解：取原油与甘油的接触面为等压面，则 P G 0
gh 1
G
gh 2
即： 阳 834 9.8 (7.62 3.66) 1250 9.8 (9.14 3.66)
解得：P G 34.76kPa
2-7给出图中所示AB 面上的压强分布图。

题2"图
I 补怯兰
____ ________ g 堵头
2- 9图示矩形闸门，高a =
3m ,宽b = 2m ,闸门顶在水下的
淹没深度h = 1m 。

试求(1) 作用在闸门上的静水总压力；⑵静水总压力的作用位置。

解：(1)闸门的面积A = ab = 3X 2m = 6m 2，闸门形心的淹没深度为
h e
h
a 一 3、 c
2 (1
)m=2.5m 2 由表2—2查得，惯性矩
I ba
3
xC
2 3
3 4.5m 4
12
12
于是，可算得总压力
P P c A g h e A
9.8 1000 2.5 6N=147000N 147kN
(2)总压力的作用点D 的淹没深度
1 xC
「
y D
y C
h C
I xC 4 5
2.5
m 2.8m
Y C A
h C A
2.5 6
2-10图示一铅直矩形自动泄水闸门，门高 h = 3m 。

(1)要求水面超过闸门顶H = 1m 时 泄水闸门能自动打开。

试求闸门轴 0—0的位置放在距闸门底的距离。

(2)如果将闸门轴放 在形心C 处，H 不断增大时，闸门是否能自动打开？ 解：(1)总压力的作用点D 的淹没深度
I xc 「h
h 2 y D y c
H -
y C A
2 6(2 H h)
总压力的作用点D 距闸门底的距离为 h h 2
3
3 2 6(2H h) 2 2 2H 3
水面超过闸门顶H = 1m 时泄水闸门
能自动打开，即总压力的作用点 D 位于闸
门轴0 —0上，此时闸门轴0—0的位置放在距闸门底的距离为
3
3
I
2 2 2H 3
3 3
⑵当H 增大时，1随之增大，但始终有
1
3 甘T
C 处，H 不断增大时，闸门是不能自动打开。

I H h y D H h
h h 2
2 6(2H h) 1.2m
-，所以将闸门轴放在形心
2
2-11图示一容器，上部为油，下部为水。

已知入 h i = 1m , h 2 = 2m ，油的密度
800kg/m 3。

求作用于容器侧壁AB 单位宽度上的作用力及其作用位置。

解：建立坐标系O-xy ，原点在0点，Ox 垂直于闸门斜向下，Oy 沿闸门斜向下，AB 单位宽度上的作用力为：
总作用力的作用位置为:
咤 2.35m
45264
2-12绘制图中AB 曲面上的水平方向压力棱柱及铅垂方向的压力体图
P A g hdA
1
丿
sin
°
gysin dy
3
sin
[
1 [ sin
°
g
w
g ysin 1 ]dy
1
°
g 2sin
2 °g — sin 1 2
w g - sin 800 9.81
°
2sin 60
800 9.81
2 sin 60°
1000 9.81
2
備
45264N
y D
1
P A yp
dA
1 1
sin
P 0
2 .
gy
sin
dy
3 sin 1 sin
o
gy
w
gy ysin
1 ]dy
°
g P 3sin 2
4 °g ・2~ sin 26 w g 3si n 2 4 w g
-~2~
sin
1 ( 800 9.8
45264(
3 sin 2 60°
4 800 9.8 26 1000 9.8
sin 2 60°
3 sin 2 60°
4 1000 9.8)
sin 2 60°
即合力作用点D 沿侧壁距离 B 点：3/sin60°
2.35 1.114(m)
IS 2-12 FH
2-13图示一圆柱，转轴0的摩擦力可忽略不计，其右半部在静水作用下受到浮力 P Z
圆柱在该浮力作用下能否形成转动力矩？为什么？
解：
45°，半径r = 4.24m
,闸门所挡水深H = 3m 求闸门每米宽所承受的静水压力及其方向。

2-15 一圆柱形滚动闸门如图所示，直径 D = 1.2m ，重量G = 500 kN ，宽B = 16m ，滚 动斜面与水平面成70°角。

试求⑴圆柱形闸门上的静水总压力 P 及其作用方向；（2）闸门启 动时，拉动闸门所需的拉力T 。

2-16水泵吸水阀的圆球式底阀如图示， 因球直径D = l 50mm ，装于直径d = 100mm 的 阀座上。

圆球材料的密度 p = 8510 kg/m 3，已知H i = 4m ，H 2= 2m ，问吸水管内液面上的真 空度应为多大才能将阀门吸起？
2-17设有一充满液体的铅垂圆管段长度为 乩，内径为D ，如图所示。

液体的密度为p 。

若已知压强水头p/g p 比A L 大几百倍，则这段圆管所受的静水压强可认为是均匀分布。

设 管壁材料的允许拉应力为0,试求管壁所需厚度 &
2-14 一扇形闸门如图所示，圆心角
at s H
图 题2-15图 题2-16图
题aps-irffl
2-18液体比重计如2. 6. 2节图2—21所示。

试依据浮力原理椎证关系式（2—34）。

2-19设直径为众的球体淹没在静水中，球体密度与水体密度相同，球体处子静止态。

若要将球体刚刚提出水面，所作的功为多少？提示：高度为H的球缺的体积
V H 2（d '2 H 3）。

2-20长10 m、半径1.5m的木质半圆柱体浮于水面上，平面朗上，最低点的淹没深度为0.9 m。

求半圆柱体木质材料的密度。

2-21 2. 6. 2节中图2—23所示混凝土沉箱。

（1）什高度由5 m增加到6 m，确定沉箱的稳定性；（2）若高度由5 m增加到6 m，但底部厚度增加到0.4 m，试求吃水深度，且检验沉箱的稳定性。

第三章流体运动学
3- 1已知某流体质点做匀速直线运动，开始时刻位于点 动到点B （4，4，4）。

试求该流体质点的轨迹方程。

解：x 3 —,y 2 -,z 1
3t
10
5 10
3- 2已知流体质点的轨迹方程为
x 1
0.01. t 5
y 2 0.01 F
z 3
试求点A （10 ,11, 3）处的加速度a 值 间单位分别为m/s 、m 和s 。

求当t = l s 时点A （1，2）处液体质点的加速度。

解：根据加速
度的定义可知：
当t = l s 时点A （1，2）处液体质点的加速度为:
Du u u u
a x
u v
t(xt 2y)
2(xt 2 yt) x 3m/s
Dt x y t
Dv v v v
a y
u v
t 2(xt 2y)
t(xt 2 yt) 2xt y 6m/s
Dt
x
y
t
u 1 y
3-4已知不可压缩流体平面流动的流速分量为 y 。

求⑴t = 0时，过（0，0）点的
v t
迹线方程；⑵t = 1时，过（0，0）点的流线方程。

解：⑴ 将u 1 y , v t 带入迹线微分方程dx
鱼dt 得
u v
理鱼dt
1 y t
解这个微分方程得迹线的参数方程：
t 2 y
I C
1
A （3，2，1），经过10秒钟后运 2 0.01. t 5 11 解得 t 15.2
a
2 2
u x ・ y ・ 2 i 2 j
t
t 2 t 2
2
t z
k 3
击 3
Ui
80
80
把t 15.2代入上式得a 0.206
U
Xt
2 2y ，其中，流速、位置坐标和时
v xt 2
yt
Du a
Dt
u u 严］u y
u
-u z z
解：由 x 1 0.01,t 5 10, y
3-3已知不可压缩流体平面流动的流速场为
将t 0时刻，点（0,0）代入可得积分常数：C 1 0
（2）将u 1 y , v t 带入流线微分方程
得
U x U y dx dy 1 y t
2
t 被看成常数，则积分上式得xt
y 于c ，剧
t=1时过（0,0）点的流线为xt y —
0 2
3-5试证明下列不可压缩均质流体运动中，哪些满足连续性方程，哪些不满足连续性 方程（连续性方程的极坐标形式可参考题 3—7）。

解：根据连续方程得定义，对于不可压缩流体 const ，
在直角坐标糸中当
u x u x
u
良0时，满足连续方程
y z
U ky
(1) v kx ，
u v w 0，
满足
C
x
y
z w
u kx
⑵v
ky ,因-
u v w 0
，
满足
C
x
y
z
w
得迹线方程为： 2a 4^
2
_
9y
3
y 2y x 0
t x -代入dx
2
(1 y)dt 得：dx
(1
y )dt
所以：x
C 2，将t 0时刻, 占 八
（0,0）代入可得积分常数：C 2
0。

联立方程
匚消去t
6
y 0
U r
U r
⑷ U
即，因一
u v w
0，满足
v w 0
x y
z
⑸
U 4
,因
u v
—0，满足
v w 0 x y z
⑹
U 1
,因丄 v
w 0，满足
v 2
x y
z
在圆柱坐标系中当 Ui
U r 1 U
U z
0时，满足连续方程
r
r r z
⑺
U r k/r ,因 土
U r
1
U
U z 1 k
》0 0，
满足
U 0 0
r
r r z r r r
(8)
U
r 0
，因 U
r
u r 1 U
u z
0 0 1
0 0 0 ，满足
u 0 k/r
r
r r z r
(9) U 4x
,因丄
v
w 4 0 ,不满足
v C
x y
z
(10) u 4xy 「
c ，因
u
v
—4y 0，不满足
v 0
x y z
其中，k 、a 和C 均为常数， 式(7)和(8)中k 0
. 2
3-6已知圆管过流断面上的流速分布为 U U max [1 「讥],U max 为管轴处最大流速，5 为圆管半径，r 为某点到管轴的距离。

试求断面平均流速
V 与U max 之间的关系。

udA
解：断面平均速度V —
A
3-7利用图中所示微元体证明不可压缩流体平面流动的连续性微分方程的极坐标形式 为
x 2 x
~2
2
x y
w 0
，因上
w 2xy
2xy
— T~2 172 T -
2 2J2 z (x y ) (x y )
0，满足
U max 2
2
r 。

4
类似有
U r U r 1 U 0
r r r
3-8送风管的断面面积为50x 50 cm 2,通过a 、b 、
如图示。

已知送风口断面面积均为 20x 20 cm 2，气体平
均流速为5m/s ，试求通过送风管过 流断面1 — 1、2—2和3—3的流速和流量。

1
解：由于a 、b 、c 、d 四个送风口完全相同，则Q a Q b Q c Q d 一Q 。

4
流断面1-1、2-2、3-3的流量分别为:
解: U u(r,
dm r 取扇形微元六面体，体积 dV rdrd
,z,t), dm r2 [(
(丄 r
dz , 中心点 M 密度为（r, , z,t ），速度为
r 向的净出质量dm r
为
dm r1
dr
)(U r
r 2 (U r )
r )rdrd dzdt r
葺）（「即
（且
{)(U r r 2
'、
U r ) r
)dVdt r
晋)(r 訓 dzdt
dm 0 dm^
dm 01 [(
d
尹0
勺—)]d rdzdt
2
1_( r U 0)
—dVdt dm z dm z2
dm z1
[(
专"U z
a^dVdt
-^dz) z
黔)]
dr rd dt
若流出质量dm dm r dm 0
dm ,控制体 内的质量减少量dm v 可表示为
dm v
7( dV)dt 7dVdt
按质量守恒定律不难得出
U r
(Uj
1 ( U 0)
( U z )
不可压缩流体平面流动
const , U z 0，则有
c 、
d 四个送风口向室内输送空气,
v
v
v
0，
x
解：（1）线变形速率 xx
yy
解：取控制体，由质量守恒公式Q Au const 得
两式联立解得：V 1 18.05m/s,v 2 22.25m/s
3-10求下列流动的线变形速率、角变形速率（k 为常数）
u 2y v 2x 3 Q 0
Q 2 2
4
1 1 Q c Q d
Q o Q 3 3
Q d
Q o 2
4
2
3
4A 2v 4 0.04m 5m/s=0.8m /s
断面1-1，
流量Q 1 1
3
Q 。

0.6m 3/s , 流速v 1 1
Q 1 1
2.4m/s
4
A
断面2-2, 流量Q 1 1
0.4m 3
/s , 流速w 1
Q
11
1.8m/s
2 0
A
断面3-3, 流量Q 1 1
■ 0.2m 3
/s , 流速w 1
Q
11
0.6m/s
4
A
d o = 50mm ,流速 V o = 25m/s ,蒸气密
度0 2.62kg/m 3。

分叉后的直径 d i = 45mm ,蒸气密度。

2.24kg/m 3。

支管直径 d 2 =
40mm ,蒸气密度0
2.3kg/m 3。

为了保证分叉后两管的流量相等， 试求两管末端的断面平
均流速V i 和V 2。

（应该算质量流量而不是体积流量）
0 A 0v
1
A
1v 1
2
A 2V 2，即-^°V 0
4
1
d ；
4 V 1
2 d 2
4
V 2
由于分叉后两管的流量相等得,
1 d 1
4
V 2
(1)
k ky ⑵
kx
由 A 4A 2v ,得 Q 3-9图示蒸气分流叉管。

已知干管分叉前的直径
2
变形速率和涡量。

U V
2
2
2x y 2 x 2 2y 2 4 14 7
x y
3-12试判别题3-5所列流动中、哪些是有旋流动，哪些是无旋流动
解：在直角坐标糸中当 Q w v .
i - y z
u
W
j V
u
k 0时，为无旋流 z x x y
动，否则为有旋流动。

1 1
在极坐标系中当 z '('■ (rv )
) 0时，为无旋流动。

2 r r r
(1) Q 2kk ，k 0时为无旋流动。

(2) Q 0，为无旋流动。

(3) Q 0，为无旋流动。

(4) Q a ，为有旋流动。

角变形速率
角变形速率
角变形速率
1 V
u 0
2 x
y
u
2xy
V
2xy
xx
x
2
x
y 2
2，
yy '
y
2
x
2
2
y
1
2 2
2 2
2
2
V
u
y x
y
x y
x
2
x
y
2 2 x
2
2
y 2
2
x
2
2
y
2
x
2
y
u
V
xx
x 0, yy
y
0，
1 V
u
2
—
—
2 x y
3-11已知u 2 2
x y y ,v x 2 y 2x ，试求此流场中在x = l , y = 2点处的线变形速率、角
解：由 U x x 2y y 2， v x 2
y 2x ，x 1，y 2，得
线变速率为:
xx
2xy
yy
y
2xy 4 角变速率为:
xy
1 2
2(2X y
x 2 2y)
4 1 4)
涡量为:
xy
(2)线变形速率
xy
(3)线变形速率
xy
2 (5) Q 0，为无旋流动。

(6) Q 0，为无旋流动。

(7) z 0，为无旋流动。

(8)0，为无旋流动
u d
xy
dy ，v d
yx
dx
(9^ -u — 4 C 0 ,不满足连续方程。

x y
(10) — — 4y ，不满足连续方程。

x y
3-13对于例3— 6中柱状强迫涡，⑴计算任一封闭流线的速度环量；(2)算出半径r 和 r+dr 两圆周线的速度环量差d r ；⑶利用式(3—40)和 d r 求出涡量Q Z 0
解：(1)任一封闭流线为半径r 的圆周线，则速度环量为
⑵ 半径r 和r+dr 两圆周线的速度环量差d r 为
2 2
d 2 0 r dr 2
r 4 0rdr
为常数。

3-15针对下列各情形，分别写出3.4.1节图3—15中速度u d 的分解式：
(1)矩形abdc 在dt = 1.0时段内绕过O 点的z 向轴逆时针旋转
4 ;
⑵矩形abdc 在dt = 1.0时段内变成平行四边形，ab 边绕过O 点的z 向轴逆时针转
动.8，ac 边绕过O 点的z 向轴顺时针转动/8，但对角线倾角和各边边长都保持不变。

解：在三维流场，速度的分解式为：
u d u z
dy y
dz
xx
dx
xy
dy xz
dz
v d
v
x
dz
z dx
yy
dy
yz dz yx
dx W d w y
dx
x
dy zz
dz
zx dx
zy
dy
(1)矩形abdc 在xy 平面内只有旋转运动，旋转角速度为
z 4
. 4rad /s
dt
u d
z
dy ，V d
z
dx
1 d +d
⑵ 矩形abdc 在xy 平面内角变形运动，
X y
y X -------------------------
rad/s 2
dt 8
2(udx vdy)
V
— dxdy x y
A
2 o dxdy 2
°
r 2
式(3—40)为
?c (udx vdy)
u dxdy
y
A Z dxdy
3-14求流场的当地加速度a r 、a
(1) U r
0, u
Cr ⑵ u r 0， u
C/r o 其中，C
解：在圆柱坐标系中a
罟十
u U r
r
，当地加速
度
3-16流向沿水平方向的剪切流的流速u y,v w 0,在t = 0时刻流场中有一长为
x 2，宽为y 1的矩形，长度沿x向。

1）求角变形速率和角速率；（2）绘图表示在t= 0.125和t= 0.25时刻矩形受到剪切变形后的形状。

解：⑴角变速率为
•xy
1v u2(0) rad/s,
2x y22
1 w v 1 “c c 1w u 1
yz(00)0> zx(0 0) 0
2 y z22x z 2
角速率为：
1
x
二
(W-)0，y j(u w、 c )0 , 2y z 2 z x
1 v u1
z (-)(0)rad/s
2 x y22
第四章流体动力学基础
4-1设固定平行平板间液体的断面流速分布为u
U max B/2 y
B/2
1/7
总流的动能修正系数为何值？
解：v A
A ud A 1
7
u max dy
7
8 u max
因为 1.0 d A u v所以
「0A d A 1.0 dy 1.05
4-2如图示一股水流自狭长的缝中水平射出，其厚度0.03m，平均流速设此射流受重力作用而向下弯曲，但其水平分速保持不变。

试求(1)在倾斜角均流速V; (2)该处的水股厚度。

V0 = 8m/s,假45。

处的平
解：（1 ）由题意可知：在45度水流处，其水平分速度仍为8m/s,由勾股定理可得：V= —8=11.31m/s
sin 45
（2）水股厚度由流量守恒可得：0V0D0 VD ,由于缝狭长，所以两处厚度近似相
等，所以卫00.021 m
V 11.31
4- 3如图所示管路，出口接一收缩管嘴，水流射人大气的速度V2=20m/s,管径d1 = 0.1m, 管嘴出口直径d2= 0.05m，压力表断面至出口断面高差H = 5m,两断面间的水头损失为0.5（y2/2g）。

试求此时压力表的读数。

解：由伯努利方程知:
所以
V1
2g
_P L
g
V22
2g
P 2
g
P1
V12
2g
Z2 Z1 h w)g ，
由流量守恒可得1处流速为5m/s ,所以上式结果为：2.48Pa
4-4水轮机的圆锥形尾水管如图示。

已知 A —A 断面的直径d A =0.6m ,流速V A = 6m /s , B —B 断面的直径d B = 0.9m ，由A 到B 水头损失h w O.15（vf/2g ）。

求⑴当z = 5m 时A — A 断面处的真空度；（2）当A —A 断面处的允许真空度为5m 水柱高度时，A —A 断面的最高位 置 Z max o
解：（1）由伯努利方程
2
2
V A
P A V B
Z A
2g
g 2g
可得
由流量守恒可得B 处流速为2.67m/s,,所以A-A 断面处真空度为6.42m 。

（2）由伯努利方程
2 2
V
A
P A Z V
B P B
2g g A 2g g
可得:
2 2
P A P B V B V A
g g 2g 2g
3.80m
4-5水箱中的水从一扩散短管流到大气中，如图示。

若直径 P abs 0.5at ，而直径d 2=l50mm ,求作用水头H （水头损失可以忽略不计）
P B g
Z B h w
P A g
P B g
2 2 (
V A V B
(
2g
Z A Z B h w ),
Z A Z B
d 仁100 m m ,该处绝对压强
解：根据连续方程：一d12
V.1 d? V2
44
根据伯努利方程：P a V2u P abs
H
V12P2 V22
g2g g2g g 2g 因为：V=0,P2二P a
所以，可得：V1 =9
V2 4.96 m/s H 1.23m
V242g
4-6 一大水箱中的水通过一铅垂管与收缩管嘴流人大气中，如图。

直管直径d4=100 mm, 管嘴出口直径d B=50 mm，若不计水头损失，求直管中A点的相对压强P A。

解：根据连续方程：一d A2V A d B2V B
4 4
2 2
根据伯努利方程：H仏旦h仏
2g 2g 2g
解：设通风机内的压强为P
P 水 gH P a
V i 47.7 m/s
可得：V
B
1 __________
4， V
B 2gH
13.28m/s , V A 3.32 m/s ,
P A 4-7离心式通风机用集流器C 从大气中吸入空气，如图示。

在直径 道部分接一根玻璃管，管的下端插入水槽中。

若玻璃管中的水面升高 4.44 m H 2O
d=200 mm 的圆截面管
H=150 mm ,求每秒 钟所吸取的空气量Q 。

空气的密度
1.29kg/m
根据伯努利方程: P
vj
空气
g 2g
V 2 2g
水
H Vj
空气2g
Q AV, 1.5m3/s
4-8水平管路的过水流量Q=2.5L/s，如图示。

管路收缩段由直径d1 = 50 mm收缩成d2=25 mm。

相对压强p1=0.1 at,两断面间水头损失可忽略不计。

问收缩断面上的水管能将容器内的水吸出多大的高度h?
解：根据连续方程：Q A^V 1 =AV 2
2.5L /s
解：对升坎前后的截面列伯努利方程：监
H 磴 h h w
2g
2g
可得：V 1.273m/s , V 2 4V i 5.09m/s
可求得：P 2=-2352Pa 。

由 P 2
gh ，所以 h =0.24m 。

4-9图示一矩形断面渠道，宽度 B=2.7 m 。

河床某处有一高度0.3m 的铅直升坎，升坎上、 下游段均为平底。

若升坎前的水深为 1.8 m ,过升坎后水面降低0.12 m ,水头损失Hw 为 尾渠（即图中出口段）流速水头的一半，试求渠道所通过的流量 Q
对截面1和截面2列伯努利方程:
P V 12 P 2 V 22
g 2g g 2g
其中：h w咗1
2g 2
根据连续方程：BHV i=BhV2
其中：H=1.8m , h 1.68m
V10.77V 2
所以解得：V2=1.6m/s,V1 1.23m/s
3
Q=BHV i 5.98m /s
4-10图示抽水机功率为P=14.7kW，效率为75%，将密度o 900kg/m3的油从油库送入密闭油箱。

已知管道直径d=150 mm，油的流量Q=0.14m3/s，抽水机进口B处真空表指示为-3 m水柱高，假定自抽水机至油箱的水头损失为h=2.3 m油柱高，问此时油箱内A点的压强为多少？
解：根据连续方程Q=1d2V V 7.92m/s
4
对A截面和B截面列伯努利方程：
2 2
V A P A H h V B P B p 0.75
2g 0g 2g 0g gQ
所以可得：P A 11610Pa
4-11如图所示虹吸管，由河道A向渠道B引水，已知管径d=100 mm,虹吸管断面中心点
2高出河道水位z=2 m，点1至点2的水头损失为h W1.2 10(V /2g)，点2至点3的水头损
失h W2-3 2(V2/2g)，V表示管道的断面平均流速。

若点2的真空度限制在h v=7 m以内，试问(1)虹吸管的最大流量有无限制？如有，应为多大？(2)出水口到河道水面的高差h有无限制？
如有，应为多大？
解:
(1)对截面1 — 1和截面2— 2列伯努利方程：
2 2
V A P A V
P 2 Z + h Z + h w1 2
2g
g 2g
g
V 2
10V 2
其
V A 0
2 7 , V 3m/s
2g
2g
Q 1
d 2V
23.5L/S
4
(2) 对A 截面和 B 截面列伯努利方程：仏
巴h
Vi 旦h
h
h h wi 2
h w2 3
2g g
2g
g 其中：V A 0, V B 0
h 5.51m
4-12图示分流叉管，断面1—1处的过流断面积A i =0.1 m 2,高程z i =75m ,流速V i = 3 m/s , 压强 p i = 98 kPa ；断面 2—2 处 A 2 = 0.05 m 2, z i =72 m ；断面 3—3 处 A i =0.08 m 2, z i = 60 m , p 3= 196 kPa ；断面1 — 1至2— 2和3—3的水头损失分别为 h wl -2=3 m 和h wl -3=5 m 。

试求(1) 断面2—2和3 — 3处的流速V 2和V 3； (2)断面2—2处的压强p 2。

h w1 2 h w2 3
6V 2
2g
解：（1）对断面1 —1和断面2—2列伯努利方
程：
V12p1 z V32P3 h
Z3 h w1 3
2g g2g g
V3 3m/s
根据A1V1 A2V2A3V3
得: V 1.2m/s
（2）对断面1—1和断面2—2列伯努利方程：百P1 Z1_P L Z2 h w1 2
2g g2g g
P2 1.018 105Pa
4-13定性绘制图示管道的总水头线和测管水头线。

4-14试证明均匀流的任意流束在两断面之间的水头损失等于两断面的测管水头差
其中R 为气体常数。

试推求P a (Z )和a (Z )随Z 变化的函数关系。

解：
4-i6锅炉排烟风道如图所示。

已知烟气密度为
s
0.8kg/m 3，空气密度为a i.2kg/m 3，
烟囱高H=30 m ,烟囱出口烟气的流速为10m/s 。

(1)若自锅炉至烟囱出口的压强损失为产
p w =200 Pa 求风机的全压。

(2)若不安装风机，而是完全依靠烟囱的抽吸作用排烟， 压强损 失应减小到多大？
证明：对两断面列伯努利方程:
V i 2 P i 2g g
Z 1
V 2
2
P 2
_
Z 2 h w1 2
2g g
Q V i V 2
V i 2 P i 2g g
H P2
4-15 当海拔高程 z 的变幅较大时, 大气可近似成理想气体，状态方程为 P a (Z )
a
RT ，
解：
4-17管道泄水针阀全开，位置如图所示。

已知管道直径d i=350 mm，出口直径d2=150 mm，流速V2=30 m/s,测得针阀拉杆受力F=490 N,若不计能量损失，试求连接管道出口段的螺栓所受到的水平作用力。

解：根据伯努利方程：
4-18嵌入支座内的一段输水管，其直径由 d i =1.5m 变化到d 2=l m ，如图示。

当支座前的压 强p i =4 at （相对压强），流量为Q=1.8m 2 3 4/s 时，试确定渐变段支座所受的轴向力 R （不计水头 损失）。

分流流量Q i 和Q 2以及射流对平板的作用力F 。

假定水头损失可忽略不计，喷嘴轴线沿水 平方
2
Q(V 2 V 1) R —d 1
4
解：根据伯努利方程: V 12 R 2g g V 22 2g
P L
根据连续方程:
d 12V 1
4
d |v 2
4
V 1.02m/s ，
V 2 2.29m/s
向。

解：以平板法线方向为x轴方向，向右为正，根据动量定理得:
R mvsin 60°Qvsin60°
即：R Qvsi n60°
因为：Q -d2v
4
v 68m/s
所以，R 1967N
射流对平板的作用力R' R 1967N ,方向沿x轴负向。

列y方向的动量定理：
Q M Q?v2Qv cos60°0
因为v1v2
所以Q Q2
1 -Q 2
又因为Q1 Q2Q
3 i
所以，Q1 -Q 25.05L/S，Q2 -Q 8.35L/S
4 4
4-20 一平板垂直于自由水射流的轴线放置（如图示），截去射流流量的一部分Q l，并引起剩余部分Q2偏转一角度9o已知射流流量Q=36L/s，射流流速V=30 m/s,且Qu 12L/s，试求射流对平板的作用力R以及射流偏转角0（不计摩擦力和重力）o
解：以平板法线方向为x 轴方向，向右为正，根据动量定理得：F y m2v2 sin
即：Q1v1Q2v2 sin ,又因为Q2 Q Q1 24L/s
所以：v12v2 sin
Q v1v2v
300
F x m2v2cos mv
F x mv m2v2 cos
(Qv Q2v2 cos )
456.5N
射流对平板的作用力：F=456.5N,方向水平向右。

4-21 水流通过图示圆截面收缩弯管。

若已知弯管直径d A=250 mm，d B=200 Q=0.12m3/s。

断面A—A的相对压强多P A=1.8 at,管道中心线均在同一水平面上此弯管所需的力F x与F y（可不计水头损失）。

m1v1 0
mm，流量求固定
下。

解：取水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向
根据连续方程：一d
4
2
A V A
d
4
2
B v B
Q
根据伯努利方程：V A2P A V B2P B
2g g2g g
所以：V A 2.4m/s，V
B 3.8m/s , P B 1.76at
在水平方向根据动量定理得：
F x P A —d A2 P B—d B2cos60°mv B cos60°mv A
4 4
所以：F x=6023.23N
在竖直方向根据动量定理得：
2 o o
F y PB —d B sin 60 mv B sin 60
4
所以：F y=4382.8N
所以，固定此弯管所需要的力为：F x=6023.23N，方向水平向左；F y =4382.8N，方向水平向
4-22试求出题4—5图中所示短管出流的容器支座受到的水平作用力解：根据动量定理：
2 2
F x R—d j R—d2 m(v2 w) Q(v2 w)
4 4
F x=426.2N
所以：支座受到的水平作用力F x=426.2N，方向水平向左。

4-23浅水中一艘喷水船以水泵作为动力装置向右方航行，如图示。

若水泵的流量Q=80 L/s, 船前吸水的相对速度w i=0.5m/s,船尾出水的相对速度w2=12m/s。

试求喷水船的推进力R。

解：根据动量定理：
R mw2 mw1 Q(w2 w1) 920N
4-24图示一水平放置的具有对称臂的洒水器，旋臂半径R=0.25m,喷嘴直径d=IO mm ,喷嘴倾角a=45。

，若总流量Q=0.56L/s，求⑴不计摩擦时的最大旋转角速度①；(2)沪5 rad/s 时为克服摩擦应施加多大的扭矩M 及所作功率P。

解：(1 )
4-25图示一水射流垂直冲击平板ab,在点c处形成滞点。

已知射流流量Q=5L/s，喷口直径
d=10 mm。

若不计粘性影响，喷口断面流速分布均匀，试求滞点c处的压强。

解：Q
d 2v
4
所以v 63.66 m/s
V 1 v 2 v 63.66 m/s
解得：P c =206.78 mH 2O
4-26已知圆柱绕流的流速分量为
2
a
u r U 1 — cos
r
其中，a 为圆柱的半径，极坐标(r,0)的原点位于圆柱中心上。

(1)求流函数©，并画出流谱 ⑵ 若无穷远处来流的压强为p 。

，求r=a 处即圆柱表面上的压强分布。

4-27已知两平行板间的流速场为u C[(h/2)2 y 2],v 0，其中，C 250(s m) 1 , h=0.2m 。

当取y=- h/2时 忙0。

求(1)流函数 咲2)单宽流量q 。

解：(1)
d vdx udy
udy
C[(h/2)2 y 2]dy
根据伯努利方程：—— 2g g 2 V c
2g
V c 0
,u
2
a sin
r
C(h/2)2dy Cy2dy
所以，Cy(h/2)2 Cy3 C'
因为：当h=0.2m, y=-0.1m 时,
=0,代入上式得：C'=1/6
5 250 3 1
所以：y y
2 3 6
(2)
q (0.1) ( 0.1) 0.333 0 0.333m2 /s
4-28设有一上端开口、盛有液体的直立圆筒如图示，绕其中心铅直轴作等速运动，角速度为3。

圆筒内液体也随作等速运动，液体质点间无相对运动，速度分布为
y,v x,w 0。

试用欧拉方程求解动压强p的分布规律及自由液面的形状
解:
X2X,Y2y ,Z g
故液体的平衡微分方程为：
dp(4xdx2ydy gdz)
P 2 2
[2r g(z N)] C
当r 0, z z时，p 0
2 2
r
所以：p
[ g(z z o)]
2
解：u r—20L/> 1.4 103m/s,u
2 r 2 75
方向由a点指向孔口中心。

P a 6mH2O p
所以：p a= 4mH2O
4-30完全自流井汲水时产生的渗流场可以用平面点汇流动求解。

图示自流并位于铅直不透
水墙附近，渗流场为图示两个点汇的叠加，两者以不适水墙为对称面。

求汲水流量Q=1 m3/s 时，流动的势函数以及沿壁面上的流速分布。

解：
4 2
一，、，r「、、" - 、、，r
在自由液面处p 0，所以，自由液面方程为g (z z0)
2
液面的形状为绕z轴的回转抛物面。

4-29图示一平面孔口流动(即狭长缝隙流动)，因孔口尺寸较小，孔口附近的流场可以用平面点汇表示，点汇位于孔口中心。

已知孔口的作用水头H=5 m,单宽出流流量q=20 L/s, 求图中a点的流速大小、方向和压强。

4-31图示一盛水圆桶底中心有一小孔口，孔口出流时桶内水体的运动可以由兰金涡近似，其流速分布如图所示：中心部分(r < r o)为有旋流动u(r)=wr，外部(r> r o)为有势流动u(r) = u o r o/r，其中u o= u(r = r o)。

设孔口尺寸很小，r o也很小，圆桶壁面上的流速U R= u(r = R)〜o,流动是恒定的。

(1)求速度环量r的径向分布；(2)求水面的形状。

解：(1)当r r o 时， 2 r2
当r r°时, 2 r o U o
(2)g(z Z o) 0
2g
4-32偶极子是等强度源和汇的组合，如图a所示：点源位于x+=(-泛，0)点源强度为Q>0;点汇位于x- = (+ 5/2, 0),强度为-Q V0。

点源与点汇叠加后，当偶极子强度M = Q 为有限值而取尸0时，就得到式(4—75)中偶极子的势函数和流函数。

试利用偶极子与均匀平行流叠加的方法(图b)，导出圆柱绕流的流速分布(可参见习题4—26)。

2 a
解：U r U (1 2)COS
r
2
u U (1 ^^)sin r
4-33在圆柱绕流流场上再叠加上一个位于原点的顺时针点涡，得到有环量的圆柱绕流，如图示。

(1)当匸4naU r圆柱表面上的两个滞留点重合。

求过滞留点的两条流线的方程；⑵采用圆柱表面压强积分的方法，试推导出升力公式；⑶设r>4 naU J试确定滞留
点的位置。

解：
4-34设水平放置的90。

弯管如图所示，内、外壁位于半径分别为门=200 mm和能= 400 mm的同心圆上。

若周向流速u(r)的断面分布与自由涡相同，轴线流速u(r°) = 2 m/s，(1)求水流通过时弯管内、外壁的压差；(2)验证流体的总机械能在弯管内、外壁处相等。

第五章层流、紊流及其能量损失
5— 1⑴某水管的直径d = 100 mm ,通过流量Q = 4 L/s ,水温T = 20C ； (2)条件与以上 相同，但管道中流过的是重燃油，其运动粘度 150 10 6m 2/s 。

试判别以上两种情况下
的流态。

解：(1) 20°C 时，水的运动粘性系数 水的雷诺数Re 为：
5— 2温度为0C 的空气，以4 m/s 的速度在直径为100 mm 的圆管中流动，试确定其 流态(空气的运动粘度为 1.37 10 5m 2/s ) o 若管中的流体换成运动粘度为
1.792 10 6m 2/s 的水，问水在管中呈何流态？
解：空气的雷诺数 Re 为：Re 四 4
恥 宾 29197
2000，紊流
v 1.37 10 m /s
水的雷诺数 Re 为：Re
织号 223 214 2000，紊流
v 1.792 10 m 2/s
5— 3 (1)一梯形断面排水沟，底宽0.5m ,边坡系数cot 9= 1.5(9为坡角)，水温为20C, 水深0.4m ,流速为0.1m /s ,试判别其流态；(2)如果水温保持不变，流速减小到多大时变 为层流？
解：200C 时，水的运动粘性系数 V 1.007X 10-6m 2/s
7水力直径为 R △(°
5 2
°6
°5)°
4/2
0.23m
0.5 0.72 2
R uR 0.
1m/
s 。

严丁 2.24 1 04 , 2.24 1 04 2 0 00，湍流 R
1.007 10-6m 2/s
水流为层流时 坐 Re 500 (明渠流)，故
5—4由若干水管组装成的冷凝器，利用水流经过水管不断散热而起到冷凝作用。

由 于紊流比层流的散热效果好，因此要求管中的水流处于紊流流态。

若水温 10C ，通过单根 水管的流量为0.03L/S ，试确定冷却管的直径。

解：10°C 时，水的运动粘性系数 v 1.31X 10-6m 2/s
管中的水流处于紊流流态，则Re 翌 竺 2000
v v d
v 1.007 X 0-6
m 2
/s , u
4Q
Re
ud v
4Q v d
4 4 L/s 10-3 -6 2
1.007 106m 2/s 3.14 0.1m 50600 2000，紊流
⑵石油：Re
ud v
4Q v d
4 4 L/s 10-3
-6 2
150 10 m /s 3.14 0.1m
339.7 2000，层流
Re u
R
500 1.007 10
0.23
3
2.2 10 m/s
4Q
v Re
4 0.03 L/s 10-3
-6 2
1.31 10 m /s 3.14 2000 14.6mm ，选用 d=14 mm。