多项式理论及其应用
多项式理论及多项式除法
分解因式中的两个有用的结论：
Polynomial Long Division
多项式的长除法 分解因式中的两个有用的结论：
介绍两个多项式的除法
有理函数的定义：
两个多项式的商表示的函数称为有理函数
Q P ( (x x ) ) b a 0 0 x x m n b a 1 1 x x m n 1 1 b a m n 1 1 x x a b n m
其中m、n都是非负整数；a0 ,a1,,an及 b0 ,b1 ,,bm都是实数，并且a0 0，b0 0.
3
13 3 1
4
4
4 13
12
1
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
有理函数中的假分式也可以通过长除法化为多
项式与真分式的和。
例如
x3 4x2 3x2 4x2 2x1
x 4
7 8
3 x 23
2 4x2
8 2x 1
假分式
多项式 真分式
x 7
商
48
4x2 2x1 x 3 4 x 2 3 x 2
Polynomial Long Division （1）怎样判断一个多项式是否可约？
（1）怎样判断一个多项式是否可约？ 中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。 对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的； 第讲多项式理论及多项式除法 特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0， 这个多项式称为0多项式。 特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0， 这个多项式称为0多项式。 分解因式中的两个有用的结论： 要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。 定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。
勒让德多项式及其应用
勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。
作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。
本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。
一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。
勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。
具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。
这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。
此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。
二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。
例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。
此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。
勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。
三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。
在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。
在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。
此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。
四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。
例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。
多项式的系数
多项式的系数多项式是数学中一个非常重要且常见的概念，它可以用于解决各种实际问题和推导其他数学理论。
在多项式中，系数是其中一个关键的要素，它承载着多项式的重要信息。
本文将深入探讨多项式的系数的概念、性质和应用。
一、多项式的定义和基本形式多项式是由若干个单项式相加（或相减）而得到的代数表达式。
它一般使用字母和数字的组合来表示，其中字母代表变量，而数字代表该变量的指数。
多项式的一般形式可以表示为：P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0其中P(x)表示多项式，an, an-1, ..., a2, a1, a0称为多项式的系数，x表示变量。
二、多项式系数的性质1. 多项式系数是数学中的数字，可以是整数、有理数或复数。
2. 多项式的次数等于最高次项的指数，系数为0的项不计入多项式的次数。
3. 多项式系数可以进行运算，例如加法、减法、乘法和除法等。
三、多项式系数的意义和应用1. 多项式系数的数值代表了多项式的重要性质。
例如，多项式的常数项系数a0可以表示函数的截距，一次项系数a1可以表示函数的斜率，二次项系数a2可以表示函数的曲率等。
2. 多项式系数可以用于解决实际问题。
例如，在物理学中，多项式可以用于描述运动的轨迹和速度变化；在经济学中，多项式可以用于建立市场模型和预测价格走势；在计算机科学中，多项式可以用于图像处理和数据拟合等。
3. 多项式系数也在数学中的其他分支中起到重要作用。
例如，在代数学中，多项式系数可以用于证明定理和建立理论；在数值分析中，多项式系数可以用于数值计算和逼近算法等。
四、多项式系数的求解方法1. 多项式系数可以通过观察和推导得到。
例如，已知多项式的一个解时，可以使用综合除法等方法求解其余系数。
2. 多项式系数也可以通过数学软件和计算机编程来求解。
例如，使用MATLAB、Python等编程语言可以方便地求解多项式的系数，同时还可以进行其他数值计算和数据处理。
高中数学中的多项式函数与实际问题的联系研究
高中数学中的多项式函数与实际问题的联系研究数学是一门抽象的学科，但它却与现实世界密切相关。
在高中数学中，多项式函数是一个重要的内容，它不仅有着广泛的应用，还能帮助我们解决实际问题。
本文将探讨高中数学中的多项式函数与实际问题的联系，并举例说明其应用。
多项式函数是由常数项、一次项、二次项等多个项组成的函数。
它的一般形式为：$f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0$，其中$a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0$为常数，$n$为非负整数。
多项式函数在实际问题中的应用非常广泛，例如在经济学、物理学、工程学等领域。
首先，我们来看一个经济学中的实际问题。
假设某个公司的销售额随时间的变化可以用一个二次函数来描述。
我们可以通过分析销售额与时间的关系，利用多项式函数来预测未来的销售情况。
通过对已有数据进行拟合，我们可以得到一个二次函数的模型，从而预测未来的销售额。
这个模型不仅可以帮助公司制定合理的销售目标，还可以帮助公司进行资源的合理配置，提高销售效益。
其次，多项式函数在物理学中也有着广泛的应用。
例如，当我们研究物体的运动时，可以利用多项式函数来描述物体的位置、速度和加速度与时间的关系。
通过对物体运动的观测和实验数据的分析，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测物体在未来的位置和速度。
这个模型不仅可以帮助我们理解物体的运动规律，还可以应用于工程设计和天体物理等领域。
此外，多项式函数还在工程学中有着重要的应用。
例如，在电路设计中，我们可以利用多项式函数来描述电流、电压和电阻之间的关系。
通过对电路的分析和实验数据的拟合，我们可以建立一个多项式函数的模型，从而预测电路中的电流和电压。
这个模型不仅可以帮助我们优化电路设计，还可以应用于电力系统的规划和优化。
在实际问题中，多项式函数还可以用于解决一些优化问题。
例如，在工程设计中，我们经常需要在给定的条件下，寻找最大值或最小值。
多项式理论及多项式除法
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多项式方程
多项式插值是一种通过已知数据点构造多项 式函数的方法，使得该多项式函数能够精确 通过所有数据点。它在数值分析、计算机图 形学等领域有重要应用。
多项式拟合
多项式拟合是一种通过最小二乘法等优化方 法寻找最佳拟合多项式的过程。它在数据分 析、统计学等领域有广泛应用，如回归分析 中的多项式回归模型。
数值计算问题中应用举例
多项式求根
通过求解多项式方程找到其根，这在数学、物理和工程 等领域中是一个基本问题。例如，求解二次方程、三次 方程等。
多项式积分与微分
利用多项式的性质进行积分和微分运算，这在数学分析 、物理建模和工程计算等领域有广泛应用。
优化问题中应用举例
多项式优化
通过优化多项式函数的系数或结构， 实现对目标函数的优化。这种方法在 机器学习、模式识别和图像处理等领 域有广泛应用。
多项式函数
多项式函数是以多项式为解析式的函数，如 $f(x) = x^2 + 2x - 3$。多项式函数具有连 续、可导等良好性质，在数学分析等领域有
广泛应用。
多项式插值
多项式方程是形如 $f(x) = 0$ 的方程，其中 $f(x)$ 是多项式。求解多项式方程是数学研 究的重要课题之一，与代数、几何等领域密
一元多项式加减法
要点一
一元多项式加法
两个一元多项式相加，只需要将它们的对应项系数相加即 可。例如，$(2x^2+3x+1)+(x^2+2x+3)=3x^2+5x+4$ 。
要点二
一元多项式减法
两个一元多项式相减，只需要将它们的对应项系数相减即 可。例如，$(2x^2+3x+1)-(x^2+2x+3)=x^2+x-2$。
第一讲-高等代数选讲之多项式理论
4、一元多项式环 所有系数在数域P中的一元多项式全体称为数域P 上的一元多项式环，记为 P x ，称P为 P x 的系数域。 5、一元多项式环的有关结论 多项式的加、减、乘运算对P x 封闭，且多项式的 加法、乘法均满足交换律与结合律，乘法对加法满足分 配率，乘法还满足消去律。 6、注意零多项式和零次多项式的区别。 零次多项式：不为零的常数 零多项式：常数零
练习：
当a, b, c取何值时，多项式 f x 与g x 相等？
2
其中f x x 5, g ( x) ax 2 bx 1 cx 2 x 2
P4 例1.2.2 1.2.3
例3设 f ( x)是非零实系数多项式， k 是一个 k f ( f ( x ) f ( x) ，则 f ( x) 为零次 正整数，且 k f ( x ) x 多项式或者 。
其中 c 为任意常数。 （10）多项式 f x 与cf x 有相同的因式与倍式； （11）两个多项式之间的整除关系不因系数域的扩大 而改变。 5、综合除法 设以 g x x a 除 f x an xn an1xn1 a1x a0 , 所得的商 q x bn1xn1 b1x b0 ，及余式 r x c0 , 则 比较 f x q x g x r x 两端同次幂的系数得 bn1 an , bn2 an1 abn1,, b0 a1 ab1, c0 a0 ab0
一元多项式的内容十分丰富，重点是整除与因式分 解的理论，最基本的结论是带余除法定理、最大公因式 存在定理、因式分解唯一性定理。在学习的过程中，如 能把握这两个重点和三大基本定理，就能够整体把握一 元多项式的理论。 对于多元多项式，则要理解 n 元多项式、对称多项 式等有关概念，掌握对称多项式表成初等对称多项式的 多项式的方法。
多项式的加减法
多项式的加减法多项式是代数学中的重要概念，它是由数和字母的乘积按照特定规则组成的代数表达式。
在代数学中，多项式的加减法是一项基本操作，掌握多项式的加减法对于解决各种数学问题具有重要意义。
本文将介绍多项式的加减法的基本原理和运算方法，以及一些实际应用。
一、多项式的加法多项式的加法是指将同类项相加得到一个新的多项式。
同类项是具有相同指数的项，例如2x^2和3x^2就是同类项。
多项式加法的基本原理是对应同类项的系数相加得到新的系数。
例如，考虑以下两个多项式的加法：3x^2 + 4x + 2 和 2x^2 + 5x + 1。
首先，对应同类项的系数相加，3x^2 + 2x^2 = 5x^2；4x + 5x = 9x；2 + 1 = 3。
将得到的系数组合在一起，得到新的多项式：5x^2 + 9x + 3。
二、多项式的减法多项式的减法是指用减去的多项式减去被减去的多项式，得到一个新的多项式。
和加法类似，多项式减法也要对应同类项的系数相减。
例如，考虑以下两个多项式的减法：4x^3 + 6x^2 + 2x - 1 和 2x^3 +3x^2 - 5x + 1。
首先，对应同类项的系数相减，4x^3 - 2x^3 = 2x^3；6x^2 - 3x^2 =3x^2；2x + 5x = 7x；-1 - 1 = -2。
将得到的系数组合在一起，得到新的多项式：2x^3 + 3x^2 + 7x - 2。
三、多项式的加减法综合运用多项式的加减法可以在解决各种数学问题中起到重要的作用，下面通过几个例子来说明。
例1：假设小明有一些苹果和橘子，表示苹果的多项式为3x + 2，表示橘子的多项式为4x - 1。
问小明共有多少水果？解：将两个多项式相加，(3x + 2) + (4x - 1) = 7x + 1。
根据新的多项式，小明共有7x + 1个水果。
例2：某高中学生参加了数学竞赛，得分规则为答对一道题得5x^2 + 3x + 2分，答错一道题扣除2x^2 - 4x - 1分。
洛朗多项式
洛朗多项式
摘要：
1.洛朗兹多项式的定义与性质
2.洛朗兹多项式的应用
3.洛朗兹多项式的发展历程
正文：
洛朗兹多项式是一种在数学领域具有重要地位的代数表达式。
它的定义来源于法国数学家亨利·洛朗兹，他在19 世纪末20 世纪初对多项式进行了系统的研究，从而创立了洛朗兹多项式理论。
1.洛朗兹多项式的定义与性质
洛朗兹多项式是一个关于变量x 的多项式，其系数为整数，且满足一定条件。
具体来说，洛朗兹多项式的形式为：
P(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) +...+ a_1x + a_0
其中，a_n, a_(n-1),..., a_1, a_0 均为整数，且a_n ≠ 0。
洛朗兹多项式的一个重要性质是，它的根（即使多项式等于0 的x 值）都是实数。
2.洛朗兹多项式的应用
洛朗兹多项式在数学领域具有广泛的应用，尤其在代数、数论、微分方程等方面有重要意义。
此外，洛朗兹多项式还在物理学、工程学等学科中发挥作用。
3.洛朗兹多项式的发展历程
洛朗兹多项式的发展历程可以追溯到19 世纪末，当时法国数学家亨利·洛
朗兹对多项式进行了系统的研究，提出了洛朗兹多项式的概念。
随着数学家们对洛朗兹多项式的深入研究，这一理论逐渐发展壮大，并成为代数学的一个重要分支。
总的来说，洛朗兹多项式作为一种重要的数学概念，不仅具有丰富的理论性质，还在多个领域中发挥着重要的应用价值。
多项式理论与基本性质
多项式理论与基本性质多项式是数学中的重要概念之一，它在代数学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式的理论基础以及其基本性质。
一、多项式的定义和表示方法多项式由一系列有限项组成，每一项由系数和指数部分构成。
在最简单的情况下，一个多项式可以表示为：P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0其中，P(x)表示多项式，a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0表示系数，x^n,x^{n-1}, ..., x^1, x^0表示指数，n表示多项式的次数。
二、多项式的运算法则1. 加法和减法：多项式的加法和减法运算都是对应项相加或相减。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的和为：P(x) + Q(x) = (a_n + b_n)x^n + (a_{n-1} + b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 + b_1)x + (a_0 + b_0)它们的差为：P(x) - Q(x) = (a_n - b_n)x^n + (a_{n-1} - b_{n-1})x^{n-1} + ... + (a_1 - b_1)x + (a_0 - b_0)2. 乘法：多项式的乘法通过每一项相乘并按指数相加的方式进行。
例如，给定两个多项式P(x)和Q(x)，它们的乘积为：P(x) * Q(x) = (a_n * b_0)x^{n+m} + (a_n * b_1 + a_{n-1} *b_0)x^{n+m-1} + ... + (a_1 * b_1)x^2 + (a_1 * b_0 + a_0 * b_1)x + a_0 * b_0其中，n和m分别为P(x)和Q(x)的次数。
3. 乘法的分配律：对于任意多项式P(x)、Q(x)和R(x)，满足以下分配律：P(x) * (Q(x) + R(x)) = P(x) * Q(x) + P(x) * R(x)三、多项式的因式分解和根的性质1. 因式分解：多项式的因式分解是将一个多项式表示为若干个因子的乘积的过程。
最小多项式的性质、求法和应用
故ｒ（ ） （ 尸 ＝０。 ｅ Ｂ ＝ｍ ｅ １
由定理３ （ ） 知ｎ 整除 ｍ（） ｘ ，同理可证 （） 整除 （） 。由于
阵 的 集 合 。 则 （ Ｆ）构 成 线 性 空 间 ， 它 的 维 数 为 ” 显 然 。
Ａ∈ （ ）。 Ｅ Ｆ ｈ于 Ｅ ， ， ， …， 这 ＋１个 向 量 必 定 线 性
＿ ） 厂 ＝０，则 称 ＿ 为 的零化 多项 式 。 （ 厂 ） （
引理 ｌ方 阵 的零化 多项 式是存 在 的 。 证明 设 为 方 阵 ， （ 表 示 域 Ｆ 上 的 所 有 力×ｎ 方 Ｆ）
证 明 设矩 阵 的最小多项式是ｍ（） ｘ ，矩阵 的最小多项
式是 ， ？ ），由 与 相似知 ：Ｐ Ｐ ，其中Ｐ 为可逆阵。
（） （） 与 都是首项系数为１ 的，故 ＝ 。 （） （）
定 理５ 设 是 一 个分 块对 角矩 阵 ，矩 阵
相 关 ， 故 存 在 一 不 全 为 零 的 实 数 ａ ， ｌａ ， ， 使 得 一组 ｏ ａ ， ２… 口 ｚ，
Ｅ＋ ＋ａ Ａ ＋・・ ， ・＋ａ ， ” ＝０
初 等 因子
Ａ的最小多项式，故＿ ＝ｇ （） ｒ 厂 ） （） ＋ （） （
其中 ｒｘ ＝ （） ０或 ａｒ ） （２ ） ， （ 中ａ （）表 示 （（）＜ａ，（ ） 其 ， （ ）
引言
多项 式是代 数 学 中最基 本 的对 象 ，不 但与 高次 方 程 的讨论 有 多项式 的次数）。所以ｆ Ａ ＝ｇ （ ＋ （ ，又因 （） （ ） （ ） ） ｒ ） 关 ，且在 进一 步学 习代 数 以及 其它 数 学分 支时 也都 会 碰到 。而 最 小多 项式 是多 项式 理 论 中重要 的一 部 分 ，它在 判 断矩 阵相 似 、若 为ｍ Ａ ＝ 和－ ＝ （） ０ 厂 ） ０，故 ｒ ） ，即 也是零化多项 （ （ ＝０ （） 当标 准型 、矩 阵 函数和 矩 阵方 程和 研 究线 性变 换 的结 构 中都有 极 式。如果 ｒ ） （ 不恒等于０ ，则有 ａｒ ）＜ （ ） （（ ） ａ （），这与 ｍ ｘ ｘ （） 为重 要的 应用 ，也 是现 在研 究 最小 多项 式 的主 要方 向， 以下就 是
复系数多项式及其用法
复系数多项式及其用法
复系数多项式是指系数可以是复数的多项式。
在数学中，复系数多项式是一个非常重要的概念，它们在许多领域都有广泛的应用，包括代数学、分析学、几何学和物理学等。
复系数多项式的一个重要性质是代数基本定理，即每个非零的复系数多项式在复数域中都有根。
这个定理是复数理论的基础之一，也是代数学中的一个基本定理。
复系数多项式还可以进行因式分解，即每个复系数多项式都可以表示成一次因式的乘积。
这个性质在解决一些数学问题时非常有用，例如求解多项式方程、计算多项式的零点等。
复系数多项式在实际应用中也有很多用途。
例如，在物理学中，复系数多项式可以用来描述波动现象，如电磁波和声波的传播。
在控制理论中，复系数多项式可以用来描述线性时不变系统的传递函数，从而分析系统的稳定性和性能。
总之，复系数多项式是数学中一个非常重要的概念，它们在理论和应用方面都有着广泛的应用。
多项式理论及其应用
多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。
它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。
本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。
关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。
多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。
16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。
16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。
1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。
终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。
什么是多项式在生活中的应用
什么是多项式在生活中的应用多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。
那么你对多项式了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是多项式的内容，希望大家喜欢!什么是多项式在数学中，多项式(polynomial)是指由变量、系数以及它们之间的加、减、乘、幂运算(非负整数次方)得到的表达式。
对于比较广义的定义，1个或0个单项式的和也算多项式。
按这个定义，多项式就是整式。
实际上，还没有一个只对狭义多项式起作用，对单项式不起作用的定理。
0作为多项式时，次数定义为负无穷大(或0)。
单项式和多项式统称为整式。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
如：5X+6中的6就是常数项。
多项式的定理基本定理代数基本定理是指所有一元 n 次(复数)多项式都有 n 个(复数)根。
高斯引理两个本原多项式的乘积是本原多项式。
应用高斯引理可证，如果一个整系数多项式可以分解为两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定可以分解为两个整系数多项式的乘积。
这个结论可用来判断有理系数多项式的不可约性。
关于Q[x]中多项式的不可约性的判断，还有艾森斯坦判别法：对于整系数多项式,如果有一个素数p能整除αn-1,αn-2,…,α1,α0，但不能整除αn,且pˆ2不能整除常数项α0，那么ƒ(x)在Q上是不可约的。
由此可知，对于任一自然数n，在有理数域上xn-2是不可约的。
因而，对任一自然数n，都有n次不可约的有理系数多项式。
分解定理F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积,而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。
当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。
因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。
当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。
所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。
多个多项式互素
多个多项式互素多项式是数学中的重要概念之一，也是实际问题中常见的数学模型，如多项式拟合、最小二乘法等等。
在研究多项式时，有一个重要的概念——多项式的互素。
本文将介绍多个多项式互素的情况下的应用及其相关理论。
一、多项式的互素概念在初中数学中，我们已经学过了整数间的互质关系，即若两个整数的最大公约数为1，则它们互质。
同理，两个多项式如果它们的最大公因式为1，则称它们互素。
例如，$2x^2+1$ 和 $3x+1$ 就是互素的，因为它们的最大公因式是1.二、多项式互素的性质1、性质1：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的多项式$k(x)$，$f(x)$和$g(x)$的积$f(x)g(x)$和$k(x)f(x)+h(x)g(x)$也互素。
2、性质2：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的实数$a$和$b$，多项式$af(x)+bg(x)$也是互素的。
3、性质3：如果两个多项式$f(x)$ 和 $g(x)$ 互素，那么对于任意的实数$a$和$b$，多项式$af(x)$和$bg(x)$也互素。
三、多个多项式互素的情况及应用现在考虑多个多项式的情况。
如果有 $n$ 个多项式$f_1(x),f_2(x),\cdots,f_n(x)$，它们两两互素，即对于任意的$i,j (i\ne j)$，有$gcd(f_i(x),f_j(x))=1$，则称这$n$个多项式互素。
这个概念在实际问题中也有应用，例如公共钥密码学中常用到的RSA算法中就涉及了多项式互素的问题。
我们可以使用扩展欧几里得算法求出$n$个多项式的最大公因式。
四、多项式互素的判定1、Eisenstein准则Eisenstein准则是判定多项式是否可用某个质数的多项式系数除以整个多项式后的余数判定可约与否的方法，其内容如下：设$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$（$a_n \ne 0,0\le k<n$），若存在质数$p$，满足：i) $p$不能整除$a_n$，ii) $p|a_k(k\in\{0,1,\cdots,n-1\},k\ne n)$，iii) $p^2\not\ |\ a_0$，则$f(x)$不可约，否则$f(x)$可约。
有限域上的多项式理论
有限域上的多项式理论多项式理论是代数学中的一个重要分支，它研究的对象是多项式及其相关的性质与运算。
有限域则是指其元素个数有限的域。
本文将介绍有限域上的多项式理论，包括有限域的定义与性质、有限域上的多项式运算以及一些相关的应用。
一、有限域的定义与性质在开始介绍有限域之前，我们先来了解一下域的基本概念。
域是一个包含加法、减法、乘法和除法运算的数学结构，满足一定的运算规律。
有限域则是指其元素个数有限的域。
有限域的定义如下：设F是一个含有q个元素的域，若其中的元素个数是有限的，则称F为有限域，记作Fq。
有限域有许多独特的性质，下面列举其中一些重要的性质：1. 有限域Fq中有q个非零元素，其中0为零元素。
2. 有限域Fq中的非零元素满足乘法交换律和乘法结合律。
3. 有限域Fq中的非零元素构成一个乘法群，其中单位元为1。
4. 有限域Fq中的元素满足加法交换律、加法结合律和分配律。
5. 有限域Fq中的元素的乘法逆元和加法逆元都存在。
二、有限域上的多项式运算有限域上的多项式是一种形如f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + an-1x^n-1的表达式，其中a0, a1, ..., an-1属于有限域Fq，n为多项式的次数。
在有限域上，多项式的加法和乘法运算定义如下：1. 多项式的加法运算：f(x) + g(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + (a2 +b2)x^2 + ... + (an-1 + bn-1)x^n-1，其中f(x) = a0 + a1x + ... + an-1x^n-1，g(x) = b0 + b1x + ... + bn-1x^n-1。
2. 多项式的乘法运算：f(x) * g(x) = c0 + c1x + ... + c2n-2x^2n-2，其中c0, c1, ..., c2n-2属于有限域Fq，c0 = a0 * b0，c1 = a0 * b1 + a1 *b0，...，c2n-2 = an-1 * bn-1。
基于多项式优化理论的全场优化算法及其应用
基于多项式优化理论的全场优化算法及其应用科技的高速发展催生了信息时代，信息技术发展特别迅速，互联网的普及和数据的爆炸式增长对算法提出了更高的要求。
尤其是在大数据时代下，如何通过算法有效地利用数据资源，提高数据的应用效果和价值，成为了很多人关注和研究的问题。
在这个背景下，基于多项式优化理论的全场优化算法已经成为了一个研究的热点。
一、多项式优化理论多项式优化理论源于20世纪的优化问题。
这是一个涉及函数和条件约束的问题。
考虑一个函数f(x)，它可以用下面的形式表示:f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn这里ci是常数，xi是变量。
同时考虑一些约束条件h(x)，这些条件定义了可行解的集合。
那么问题就在于在可行解的集合中寻找使f(x)最小的解。
这是一个经典的问题，称为线性规划问题，有一种叫做单纯形算法的方法用来解决。
但是，当函数和极端点（线性规划解的一类）的数量很大时，单纯形算法的计算复杂度会变得很高。
因此，多项式优化理论应运而生。
它不仅可以解决线性规划问题，还可以解决很多其他类型的优化问题，包括非线性优化和组合优化问题。
二、全场优化算法全场优化算法就是利用多项式优化理论来解决问题的一种方法。
这种算法的主要优点是它可以处理复杂的、具有多个局部最优解的问题。
因为全场优化算法能够在所有可能的解空间范围内寻找全局最优解。
算法基于二次规划理论，使用一个叫做半正定规划的方法来解决。
半正定规划是一种特定类型的二次规划问题，其中目标函数是二次函数，约束条件是线性的。
全场优化算法的本质是给定一个和多项式函数有关的优化问题，使用合适的系数表达出多项式，再通过理论算法得到其全局最小值或最小值的一个较好的近似值。
三、应用场景全场优化算法可以解决在现实生活中一些非常有意义的问题。
例如，在能源领域，通过找到发电和输电的最少成本方案，可以以最小的成本满足电力需求。
优化过程中可能会涉及多个因素，如风速、光照、电网输电效率等，全场优化算法可以快速计算出满足最小成本的每种条件的最优解。
多项式理论中根与系数的关系及其应用
关键词 ： 多项 式 ； 因式分解 ；解方程
中 图分 类号 ：０１７１
文 献标 识码 ：Ａ
多项式理论是高等代数 的主干部分 ，它在数 学的其他分支 （特别是初等数学 中）有广泛的应 用 ，其根 与 系数 的关 系及 相 关 推 论 的应 用 更 引 人 注 目。本文在 回顾 相关概念 、性 质、定 理 的基 础 上 ，介绍 了它们在求有理根 （因式分解）和解方程 （不等式 ）等方面的应用 。
解 我们先把它转化为求 ｆ（ ）＝６ｘ 一５ｘ ＋
５ｘ一２的有理 根 。
由定 理 １知 ： ）的 常 数 项 一２的全 部 因数
是 ：±１，±２，首项系数 ６的全部 因数是 ±１，±２， ±３，±６，因此 要 进 行 检 验 的 有 理 数 为 ±１，±２，
± ，± ，±了２ ± １但 １）＝４ ，
文章编号 ：
· 科 技 研 究 ·
维普资讯
Ｎｏ．４
Ｄｅｃ． ２ＯＯ７
多项式理论 中根 与 系 数 的关 系及 其应用
林 伟 洪
（黎 明职业大 学工 商管理 系 福建 泉 州 ３６２０００）
摘要 ：在回顾高等代数 多项式理论 中根与 系数关 系有关定理的基础上 ，证明了这些定理的相关推 论 ，并介 绍 了它们在 因式分 解和 解 方程及 解不等 式 等方 面的应 用 。
故 ±１都不是 ）的根 ，再 由定理 ２，由于
（一１—２）、ｆ １），（３＋１） ，（一１），（３＋２）
一 １），
（一３—２）、ｆ １），（１＋６）、ｆ 一１），（一６—１）
一 １），
故
一２，丁１
，
±丁２
，
±
吉都不是 ）的根。
第62讲__多项式
第2讲 多项式理论多项式理论是代数学的重要组成部分，它在理论上和方法上对现代数学都有深刻的影响，与多项式有关的问题除了出现在函数、方程、不等式等代数领域中，还涉及到几何、数论等知识，是一个综合性的工具，也是数学竞赛中的热点问题．多项式的基本理论主要包括：余数定理与因式定理；多项式恒等条件；韦达定理；插值公式等．具体如下： 1．多项式恒等：(1) 多项式恒等条件：两个多项式相等当且仅当它们同次幂的系数相等．(2)带余除恒等式：多项式f (x )除以多项式g (x )，商式为q (x )，余式为r (x )，(则r (x )的次数小于g (x )的次数），则()()()()f x q x g x r x =+．特别是多项式f (x )除以x -a ，商式为g (x )，余数为r ，则f (x )=(x -a )g (x )+r ．(3)多项式恒等定理：若有n +1个不同的x 值使n 次多项式f (x )与g (x )的值相同，则()()f x g x ≡．在数学竞赛中，经常用到先猜想后证明的思想：比如先找出一个n 次多项式f (x )符合题意，再验证f (x )与g (x )在n +1个不同的x 值处，均有f (x )=g (x )，则()()f x g x ≡． 2．余数定理与因式定理：(1)余数定理：多项式f (x )除以x -a 所得的余数等于f (a )． (2)因式定理：多项式f (x )有一个因式x -a 的充要条件是f (a )=0． (3)几个推论：①若f (x )为整系数多项式，则f (x )除以(x -a )所得的商也为整系数多项式，余数为整数．②若f (x )为整系数多项式，a 、b 为不同整数，则|()().a b f a f b -- ③f (x )除以(0)px q p -≠所的的余数为()q f p． 3．代数基本定理(1)代数基本定理：一个n 次多项式在复数范围内至少有一个根． (2)根的个数定理：一个n 次多项式在复数范围内有且仅有n 个根． 4．韦达定理与虚根成对定理(1)韦达定理：如果一元n 次多项式110()n n n n f x a x a x a --=+++的根是12,,,n x x x ，那么有112,n n n a x x x a --+++=212131,n n n na x x x x x x a --+++=131231242,n n n x n na x x x x x x x x a ----+++= 012(1).nn n a x x x a =-简写成12121(1)r r rn rj j j j j j nna x x x a -≤≤≤≤=-∑． (2)复根成对定理：若实系数多项式f (x )有一个虚根(,,0),a bi a b R b α=+∈≠那么它的共轭复数a biα=-也是f (x )的根，并且a 和α有相同重数．运用时要注意必须是实系数方程．5．拉格朗日（L agrange ）插值公式设f (x )是一个次数不超过n 的多项式，数a 1，a 2，…，a n +1两两不等，则 2311121311()()()()()()()()n n x a x a x a f x f a a a a a a a ++---=+---1312212321()()()()()()()n n x a x a x a f a a a a a a a ++------12111121()()()()()()()n n n n n n x a x a x a f a a a a a a a ++++---+---．简写成f (x )=1111111111()()()()()()()()()n i i i n i i i i i i i n f a x a x a x a x a a a a a a a a a +-++=-++--------∑．A 类例题例1 将关于x 的多项式2019321)(x x x x x x f +-+-+-= 表为关于y的多项式=)(y g ,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a ．（2005年全国联赛一试）分析 先利用等比数列的求和公式求出f (x )的表达式，然后用变量代换转化为关于y 的多项式，最后对它赋值即可．解 由题设知，)(x f 和式中的各项构成首项为1，公比为x -的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121++=----=x x x x x f令,4+=y x 得,51)4()(21+++=y y y g 取,1=y 有.615)1(2120210+==++++g a a a a说明 赋值法在解决多项式系数之和问题中经常被使用． 例2 在一次数学课上，老师让同学们解一个五次方程，明明因为上课睡觉，没有将方程抄下，到下课时，由于黑板被擦去了大半，明明仅抄到如下残缺的方程54151200x x--=，若该方程的五个根恰构成等差数列，且公差||1d ≤，试帮明明解出该方程．分析 题目已知一个五次方程的五次项系数、四次项系数和常数项，可由韦达定理确定出方程5个根的和与积，再利用其为等差数列的特点，解方程．解 设该方程的5个根为2,,,,2a d a d a a d a d --++，则由韦达定理可得2215,{(2)()()(2)120.a d a d a a d a d a d a d a a d a d -+-+++++=--++=由此得3,a =及22(94)(9)40.d d --= 令2d t =，得241445410,4t t t -+==或1．于是d =或1d =±．由条件||1d ≤，可知1d =±． 因此这5个根为1，2，3，4，5．说明 韦达定理给出了如果一元n 次多项式方程的n 个根与方程的系数的之间关系，在解决方程问题时，有着极其广泛的应用．运用韦达定理时，特别要注意符号不能搞反．例3 若422()f x x px qx a=+++可被21x -整除，求f (a )．分析 由于422()f x x px qx a =+++可被21x -整除，故可以用待定系数法设出f (x )因式分解后的形式，利用多项式恒等条件确定p ,q ,a 的关系，最后求出f (a )．解 设42222()(1)().f x x px qx a x x mx n =+++=-++ 展开得422432(1).x px qx a x mx n x mx n +++=++---比较两边系数得22011,q m p n p a n a =-=⎧⎪=-∴=--⎨⎪=-⎩故4224222()(1)0f a a pa qa a a a a a =+++=-++=． 说明 多项式恒等条件即两个多项式相等当且仅当它们同幂次得系数相等，往往是解决多项式分解及恒等问题的重要依据，常通过待定系数法实现转化．()f x x =(-1)=f (1)=0．因此得由①－4)a a pa =+情景再现1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求na a a 242+++ 的值为 （ ）(2005年浙江省数学竞赛) A ．n3B ．23-nC ．213-nD ．213+n2．设235293212x a bx x x x -=+-+--是关于变量x 的一个恒等式，则ab 的值为 ( )A ． -246B ． -210C ． 29D ． 210 3．四次多项式432182001984x x kx x -++-的四个根中有两个根的积为-32，求实数k ．B 类例题例4 已知123,,x x x 是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个零点，试求一个以222123,,x x x 为零点的三次多项式g (x )．分析 由于原多项式和所求多项式的零点之间存在着平方关系，利用韦达定理就能构造出满足题意的多项式g (x )．解 设32()g x x mx nx p=+++，则由韦达定理知222123222222122323222123(), ,.m x x x n x x x x x x p x x x ⎧=-++⎪=++⎨⎪=-⎩故22123122323()2()2,m x x x x x x x x x b a =-+++++=-222222122323n x x x x x x =++22122323123123 ()2() 2,x x x x x x x x x x x x b ac =++-++=-22222123123()p x x x x x x c =-=--=-．因此32222()(2)(2)g x x b a x b ac x c=+-+--．说明利用韦达定理构造出满足题意的多项式g(x)是本题的关键．例5 设a，b，c，d是4个不同实数，p(x)是实系数多项式，已知①p(x)除以(x-a)的余数为a；②p(x)除以(x-b)的余数为b；③p(x)除以(x-c)的余数为c；④p(x)除以(x-d)的余数为d．求多项式p(x) 除以(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)的余数．（1990年意大利数学奥赛题)分析首先利用余数定理将条件转化，再通过构造一个新函数F(x)，使得它能被(x-a) (x-b) (x-c) (x-d)整除，再确定出F(x)与p(x)的关系．解法一根据余数定理，p(x)除以(x-a)的余数为p(a)，故p(a)=a．同理，p(b)=b，p(c)=c，p(d)=d．考察多项式F(x)= p(x)-x，则有F(a )=0，F(b )=0，F(c )=0，F(d )=0．由因式定理可知，F(x )含有因式(x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )，而p (x ) = F(x )＋x ，故多项式p (x ) 除以(x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )的余数为x ．解法二 利用待定系数法 设p (x )= (x -a ) (x -b ) (x -c ) (x -d )q (x )+r (x )，其中32().r x mx nx lx t =+++由题设得p (a )=a ，p (b )=b ，p (c )=c ，p (d )=d 知a ，b ，c ，d 是320mx nx lx t +++=的4个互不相同的根，但该方程是个三次方程，故m =n =l -1=t =0，即m =n =t =0，l =1．故所求余式为x ．说明 灵活运用因式定理和余数定理，并巧妙构造多项式函数是解决本题的关键，而这些都可以通过仔细观察题目条件的特点后能自然得出．本题还可以用待定系数法解决，一题多解，有利于拓宽视野，把问题看的更加透彻．()n x a -例6 设1210012100,,,;,,,a a a b b b 为互不相同的两组实数，将它们按如下法则填入100×100的方格表内，即在位于第i 行第j 列处的方格处填入.i j a b +现知任何一列数的乘积为1，求证：任一行数的积为-1．分析 注意到100×100的方格表内，位于第i 行第j 列处的方格处填入的数为(,1,2,,100)i j a b i j +=，且任何一列的乘积为1，故可以构造两个恒等的多项式解之．解 考察多项式12100()()()() 1.p x x a x a x a =+++-由于任何一列的乘积为1，故知12100,,,b b b 是p (x )的根， 故有12100()()()().p x x b x b x b =---由多项式恒等可知1210012100()()()1()()().x a x a x a x b x b x b +++-=---取i x a =-，代入上式可得：100121001(1)()()()(1,2,100).i i i a b a b a b i -=-+++=即12100()()() 1.i i i a b a b a b +++=-故知任何一行数的乘积为-1．说明 本题的关键是巧妙地构造两个恒等的多项式，是一利用多项式恒等定理解决问题的精妙之作．11)())(n n x a a a ++--12)())(n n x a a a ++--21)())(n n x a a a a +--11111111)()()()())()()()i i n i i i i i n x a x a x a x a a a a a a a a -++-++--------．存在性：令11111111()()()()().()()()()i i n i i i i i i i n x a x a x a x a l x a a a a a a a a -++-++----=----的特点，可知()1,()0().i i i j l a l a j i ==≠故()()().i i i i f a l a f a = 故该多项式满足题目条件．是一个满足题意的n 次多项式，则,1).n +故惟一性得证．拉格朗日插值公式在数学的许多领域都有着广泛的应用，拉格朗日插值多项式的构造是十分巧妙，值得好好领会和应用，以下一例就是拉格朗日插值公式的简单应用．例7 已知函数2()f x ax c =-满足4(1)1,1(2)5,f f -≤≤--≤≤则f (3)的取值范围是 ( ) A ．7(3)26f ≤≤ B ．4(3)15f -≤≤ C ．1(3)20f -≤≤D ．2825(3)33f -≤≤分析 由于所给函数为偶函数，故有(1)(1)f f -=，再运用拉格朗日插值公式将f (3)表示为关于f (-1)、f (1)和f (2)的关系式即可．解 选C ．由拉格朗日插值公式，得(1)(2)(1)(2)(1)(1)()(1)(1)(2).(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x f f f --+-+-=-++----+-+-2241(1)(1),()(1)(2).33x x f f f x f f ---=∴=+从而58(3)(1)(2).f f f =-+故1(3)20f -≤≤．例8 是否存在二元多项式(,)p x y ，满足条件 (1)对任意的,,(,)0;x y p x y >(2)对于任意的c >0，存在x ，y ，使得(,).p x y c =分析 本题是关于二元多项式问题，关键是消去一元转化成一元多项式问题．解 存在．取22(,)(1)21,p x y y x xy =+++将y 看成常数，则关于x 的二次三项式的判别式40,∆=-<∴对所有的x ，y 均有(,)0.p x y >又将p (x ，y )看成x 的函数(y 固定)，则p (x ，y )的值域为21[,).1y +∞+ 因为当21,01y y →∞→+时． 所以对于任意的c >0，存在0201,.1y c y >+使得 从而存在000,(,).x p x y c =使得情景再现4．若3x px q ++可被21x mx +-整除，则m ，p ，q 应符合的条件是( )A ．0,1q m p ===-B ．1,0m p q +=-=C ．2,1q m m p =+=-D ．,|m q p m =±5．求次数小于3的多项式f (x )，使f (1)=1，f (-1)=3，f (2)=3． 6．求所有的值a ，使多项式326x x ax a -++的根123,,x x x 满足333123(3)(3)(3)0.x x x -+-+-=（奥地利数学竞赛题）C 类例题例9 已知数列)0(,,,0210≠a a a a 满足),,3,2,1(211 ==++-i a a a i i i 求证：对于任何自然数n ，01101()(1)(1)n n n n p x a C x a C x x -=-+-+2222(1)n n a C x x --+111(1)n n n n n n n a C x x a C x ---+-+是x 的一次多项式或零次多项式．（1986年全国联赛一试题）分析 由112i i i a a a -++=知{}n a 是等差数列，则),,2,1(01 =+=+=-i id a d a a i i 从而可将)(x p 表示成da 和0的表达式，再化简即可．解 因为),3,2,1(211 ==++-i a a a i i i ，所以数列}{n a 为等差数列，设其公差为d 有),3,2,1(0 =+=i id a a i ，从而011222000()(1)()(1)(2)(1)n n n n n n P x a C x a d C x x a d C x x --=-++-++-0()n nn a nd C x+++011112220[(1)(1)][1(1)2(1)n n n n n n n n n n n a C x C x x C x d C x x C x x ---=-+-+++⋅-+-],n nn nC x ++由二项定理，知,1])1[()1()1()1(222110=+-=++-+-+---n n n n n n n n n n x x x C x x C x x C x C 又因为,)]!1()1[()!1()!1()!(!!11--=-----⋅=-⋅=k n k n nC k n k n n k n k n k kC 从而nn n n n n n x nC x x C x x C ++-+--- 22211)1(2)1(])1()1[(12111----++-+-=n n n n x x x C x nx .])1[(1nx x x nx n =+-=- 所以.)(0ndx a x P +=当0d ≠式，P (x )为x 的一次多项式，当d =0时，P (x )为零次多项式．例10 求一切实数p ，使得三次方程55171116632x p x p x p -++-+=()()的三个根均为自然数．(1995年全国联赛二试题)分析 容易看出x =1是原三次方程的一个自然数根，原方程可用综合除法降次为2556610.x px p -+-=① 当且仅当二次方程①的两个根均为自然数时，原三次方程的三个根才均为自然数．设方程①的两个正整数根为u ，v ，则由韦达定理得,1(661).5u v p uv p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩从而p 为正整数．因此本题相当于解不定方程,5661,u v p uv p +=⎧⎨=-⎩消去p 得66(u +v )=5uv +1，由该不定方程解出u ，v ，再求出p =u +v 即可．解 容易看出x =1是原三次方程的一个自然数根，由综合除法，原三次方程可降次为二次方程2556610.x px p -+-=①当且仅当二次方程①的两个根均为自然数时，原三次方程的三个根才均为自然数．设方程①的两个正整数根为,(0),u v u v <≤由韦达定理则得,1(661).5u v p uv p +=⎧⎪⎨=-⎪⎩故p 为正整数．消去p 得66(u +v )=5uv +1②， 由②得v (5u -66)=66u -1>0，从而5v -66>0．对方程②两边乘5后，移项、分解得(5u -66)(5v -66)=19×229，其中19，229均为素数，于是56619,566229;u v -=⎧⎨-=⎩或5661,5664351;u v -=⎧⎨-=⎩（无解） 从而得到不定方程②的唯一自然数解，u =17，v =59，这样p =u +v =17+59=76．所以当且仅当p =76时方程①有三个自然数根1，17，59． 说明 由于我们对三次方程的求根公式（卡当公式）不很熟悉，因此在遇到此类问题时，我们一般先用观察法找到它的一个根，通常是整数根，再将原三次方程降次为二次方程，降次的一般用综合除法．然后再设法处理我们熟悉的二次函数问题．情景再现7．求证：2004log x 不能表示成()()f xg x 的形式，其中(),()f x g x 为实系数多项式，且(),()f x g x 互质．习题1．已知多项式2012n n a a x a x a x ++++是195819571959(2)x x ++的展开式，则5124032222a a a a a a --+--+等于( )A ．1B ．-1C ．0D ． 22．满足条件22()()(())f x f x f f x ==的二次函数f (x )有（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．无穷多个3．设一个二次三项式的完全平方展开式是43267,x x x ax b -+++那么这个二次三项式是________________________．4．已知实数,αβ均不为0，多项式32()f x x x x ααββ=-++的三个根为123,,x x x ，则123123111()()x x x x x x ++++= ． （德国高中数学竞赛题）5．若f (x )、g (x )为两个实系数多项式，并且33()()f x xg x +可被21x x ++整除，则(1)f =，(1)g =．6．当310a a --=时,2a 是某个整系数多项式的根，求满足上述条件的次数最低的首项系数为1的多项式．（1997年日本数学竞赛题）7．设432(),f x x ax bx cx d =++++若(1)10,(2)20,(3)30,f f f ===则(10)f +(6)f -的值为 ( ) A ．8014 B ．40 C ．160 D ．82708．以有理数a ，b ，c 为根的三次多项式32()f x x ax bx c =+++有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个9．多项式742()1f x x x x =+++在实数范围内有多少个零点?10．设(),(),()()p x q x r x s x 及都是多项式，且5525432()()()(1)(),p x xq x x r x x x x x s x ++=++++求证：x -1是(),(),(),()p x q x r x s x 的公因式．11．设p (x )是2n 次多项式,满足(0)(2)(2)0,p p p n ====(1)(3)(21)2,p p p n ===-=(21)30,().p n n p x +=-及求及12．任给实多项式：()2212111nn n f x x a x a x --=++++．其中n为正整数，系数1221,,,n a a a -用下面方法来确定：甲，乙两人，从甲开始，依次轮流给出一个系数的值，最后一个系数由甲给出后，如果所得的多项式()f x 没有实根，则甲胜；若所得的多项式()f x 有实根，则乙胜．试问不管甲如何选取系数，乙必胜吗？(2004年江苏省数学夏令营一级教练员测试题十)本节“情景再现”解答：1．C2．A 解 将该恒等式变形成多项式恒等，则有3529()(2),x a b x a b -=+-+比较两边系数得35,229a b a b +=+=． 解得6,41a b =-=．因此246ab =-．3．86 解 设多项式432182001984x x kx x -++-的四个根为1234,,,.x x x x 则由韦达定理，得 1234121314232434123124134234123418, ,200, 1984.x x x x x x x x x x x x x x x x k x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++++=⎪⎨+++=-⎪⎪=-⎩ 设123432,62,x x x x =-=则故123462()32()200.x x x x +-+=-又121234344,18,14.x x x x x x x x +=⎧+++=∴⎨+=⎩ 故12341234()()86.k x x x x x x x x =++++=4．C 解3232(1)()()(1),x px q x mx x q x m q x qm x q ++=+--=+--++20,(1),, 1.m q p qm m q p m ∴-==-+=+=-即5．21x x -+ 解 由拉格朗日插值公式得2(1)(2)3(1)(2)3(1)(1)()1(11)(12)(11)(12)(21)(21)x x x x x x f x x x +----+=++=-++------+． 6．－97．解 (反证法)假设有2004()log ,()f x xg x =且(),()f x g x 互质． 22200420042()2log log ()f x x x g x ==，又20042()2log ()f x x g x =， 22()()2()().f x g x f x g x ∴=又222((),())1,()|2().f x g x f x f x =∴但当f (x )的次数1≥时，恒有2()f x 的次数大于2()f x 的次数， ()f x ∴为常数．同理g (x )也为常数，故2004log x 为常数，矛盾．故原命题得证．本节“习题”解答：1．A 2．B 3．23 1.x x -- 4．－1 5．0， 0 6．6432()821310 1.f x x x x x x =--+--解 记x a =则a x =代入方程,得3((10,x x --=即3251)0.x x -+-=32511).x x x ∴+-=+两边平方，得624342*********(961).x x x x x x x +++--=++故所求的多项式为6432()821310 1.f x x x x x x =--+--7． A 解 设()()10g x f x x =-，则(1)0,(2)0,(3)0g g g ===，故()(1)(2)(3)(),g x x x x x r =----于是(10)(6)(10)(6)40987(10)789(6)40f f g g r r +-=+-+=⨯⨯⨯-+⨯⨯++78916408014.=⨯⨯⨯+=8． C 解 由韦达定理知,,a b c a ab bc ca b abc c ++=-++==-．如果a =0(或b =0)得c =0，b =0．如果0,0,0,1, 2.a b c a b ≠≠===-但得如果a ，b ，c 均不为零，得1,1a b c ===-．故满足题设的多项式为332,2,x x x x +-321x x x +--．9．1 解 显然，x =0不是f (x )=0的根．令1y x=，则 74277531()1()(1)0,f x x x x y y y y=+++=+++= 75310.y y y ∴+++=又753()1f y y y y =+++单调递增，且当y →-∞时，();,()f y y f y →-∞→+∞→+∞，因此，恰有一个根．10．解 设432() 1.f x x x x x =++++取1的5次虚单位根234,,,,()0(1,2,3,4).k f k εεεεε==则所以2()(1)(1)(1)0(1,2,3,4).k k r q p k εε++==即方程2(1)(1)(1)04(1,2,3,4).k x r xq p k ε++==有个不同根故(1)(1)(1)0.r q p ===再把x =1代入所设等式，得s (1)=0．命题得证．11．解 令1()()1,()(1),0,1,2,,2.k f x p x f k k n +=-=-=则又 201112001112()()()()()()(),()()()()()n k k n k k k k k k k k n x x x x x x x x x x f x f k x x x x x x x x x x -+=-+-----=-----∑ 其中(0,1,2,,2).k x k k n == 将x =2n +1代入上式,得21221221210(21)(2)(22)(2)21(21)(1)(1)1(1)(2)[(2)](21)(2)(22) (1)! 12.n k k n n k n k n n k n n n k n k f n k k n k n n n k k C +=+=++=--+-⨯+=--⨯⨯-⨯---+-+=-=-=-∑∑∑ 21(21)30,(21)31,3112 2.n p n f n n ++=-+=--=-=由有故，解得 这表明p (x )是四次多项式, 由(0)(2)(4)0,(1)(3)2,p p p p p =====得432(2)(3)(4)(1)(2)(4)()221(1)(2)(3)321(1)2164032 .3333x x x x x x x x p x x x x x ------=+⨯-⨯-⨯-⨯⨯⨯-=-+-+12．解 乙有必胜策略．证明如下．在选取过程中，不管甲取了那个系数，接下去，乙必取余下的一个偶数次项的系数，如果已经没有偶数次项的系数，乙才取奇数次项的系数．因此当最后留下两个系数，必由乙先取．注意到乙的选系数方式以及偶项系数的总数，恰好比偶项系数的总数少一个，所以最后两个系数只能是两个奇数项系数或者一个奇数项系数，一个偶数项系数，它们可设为2121t t a x ++，s s a x ．这里21s t ≠+，s 可奇，也可偶．于是()()2121s t s t f x g x a x a x ++=++．其中()g x 是已经确定的多项式．接下来由乙来取s a ，我们希望不管最后甲取的21t a +的值是什么，都不影响()f x 必有实根，为此，我们给出如何选取sa 的值的方法，并证明最终所得的多项式()f x 有实根．任取2m <-，则()()2111s t f g a a +=++，()()2121s t s t f m g m a m a m ++=++．为了不管21t a +如何选取，这意味着从上两式中消去21t m +，于是有： ()()()()21212111t t t s s s m f f m m g a m g m a m +++-=+-- ()()()21211t t s s m g g m a m m ++=-+-．注意到等式右边和21t a +无关，所以()()211t m f f m +-和21t a +无关，又由2m <-，所以21t s m m +≠．令()()21211t s t s g m m g a m m++-=-，则有 ()()211t m f f m +=． 我们来证明()f x 必有实根．显然()0f ±∞>．如果()10f ≤，则在[)1,+∞必有实根．如果()10f >，由于2m <-，所以210t m +<，因此()0f m <，这证明了(),m +∞中必有实根．总之，()f x 必有实根．这证明了乙必胜．。
切比雪夫多项式的基础理论和实际应用
切比雪夫多项式的基础理论和实际应用切比雪夫多项式是数学中的一类特殊多项式，以俄罗斯数学家彼得·切比雪夫的名字命名。
它在数值分析和物理学中有着广泛的应用。
本文将介绍切比雪夫多项式的基础理论和实际应用。
一、切比雪夫多项式的定义和基本性质切比雪夫多项式可以定义为一个区间内的最大偏差最小的多项式。
它的形式可以写成如下的表达式：T_n(x)=cos(n\arccos x)其中，n是多项式的次数，x是自变量。
切比雪夫多项式具有如下的基本性质：1. 切比雪夫多项式的系数是实数。
2. 切比雪夫多项式的根在闭区间[-1,1]内。
3. 切比雪夫多项式T_n(x)满足如下的正交性质：\int_{-1}^1\frac{T_m(x)T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\begin{cases}0 & m\neq n \\\pi & m=n=0 \\\pi/2 & m=n\neq 0\end{cases}4. 切比雪夫多项式的最大绝对值为1，即|T_n(x)|\leq 1。
二、切比雪夫多项式的应用1. 逼近函数切比雪夫多项式可以用于逼近一定范围内的函数，即用一个切比雪夫多项式去拟合一个函数。
这种逼近方式有很多优点，比如逼近误差收敛速度很快，逼近效果非常好。
在计算机图形学中，切比雪夫多项式也常用于逼近和重构图像。
2. 数值计算切比雪夫多项式还可以用于数值计算中的数值积分和数值微分。
例如，对于比较复杂的函数，它的积分很难算出来，但是可以用一个切比雪夫多项式去逼近它，然后对这个多项式进行积分。
类似的，在数值微分中，可以用切比雪夫多项式逼近函数，然后对多项式进行微分。
3. 物理应用切比雪夫多项式在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在震动理论中，可以用切比雪夫多项式表示一个振动系统中的位移函数。
在量子力学中，切比雪夫多项式也可用于描述一维势场中电子的波函数。
三、总结切比雪夫多项式是数学中一类非常有用的特殊多项式，具有很好的正交性质和逼近性质，可以被广泛应用于数值计算、物理学和工程学中。
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多项式理论及其应用许洋巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000摘 要多项式是代数学中最基本的对象之一。
它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。
本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。
关键词：多项式；矩阵；行列式AbstractAbstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebraKeywords:polynomial;matrix;determinants引言：多项式理论是古典代数的主要内容。
多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。
16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。
16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。
1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。
终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。
以下本文将介绍多项式的有关理论及其应用。
一,多项式的有关理论 （一）多项式的有关概念定义1：f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）称为关于x 的一元n 次多项式，n 称为f(x)的次数，记作：deg f(x)=n 。
定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)=g （x ）.系数全为零的多项式称为零多项式。
性质：设f(x)≠0与g(x)≠0是两个多项式，且f(x)±g(x) ≠0，则 deg[f(x)±g(x)]≤max{deg f （x ）,deg g(x)};deg[f(x)·g(x)]=deg f(x)+ deg g(x) . （二）多项式的整除法定理1（带余除法定理）：设f(x)与g(x)是两个多项式，且g(x)≠0，那么存在唯一的一对多项式 q(x)与r(x)，使得f(x)= g(x)q(x)+ r(x)；其中r(x)=0或deg r(x)<deg g(x) 。
定理2（余数定理）：多项式f(x)除以 x-a 所得的余式为f(a)； 推论1（因式定理）：多项式f(x)有因式x-a 的充要条件是f(a)=0 。
推论2：如果f(x)∈Z[x],a 与b 为不相等的整数，则(a-b)丨[f(a)-f(b)] 。
（三）最大公因式定义3：设f(x) ，g(x)是F[x]中的两个多项式。
P[x]中多项式d(x)称为f(x) ，g(x)的一个最大公因式。
那么它满足 下面两个条件： 1. d(x)是f(x) ，g(x)的公因式；2. f(x) ，g(x)的公因式全是d(x)的公因式。
引理：如果有等式f(x)=g(x)q(x)+ r(x)成立，那么，f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式。
定理3：设多项式f(x)与g(x)的最大公因式为d(x)，那么存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) .定理4：两个多项式f(x)与g(x)互素的充要条件为：存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. （四）因式分解定理定理5：（复数范围内的唯一分解定理）如果不考虑因式的顺序，复系数n （n ≥1）次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式的乘积f(x)=0a ，其中1n + 2n +…+ k n =n 。
定理6：如果不考虑因式的顺序，实系数n(n ≥1)次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式和有非零共轭复根的二次因式的乘积。
f(x)=a211()[()]k miiii i x x x a b ==--+∏∏,其中i a ,i b ,i x ∈R,且i b >0,k+2m=n 。
推论3：实系数n(n ≥1)次多项式的虚根成对出现。
推论4：任何奇次数实系数多项式至少有一个实根。
（五）多项式的根 定理7（代数基本定理）在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。
定理8：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式恰有 n 个根。
定理9：若f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，而既约分数q/p 是它的一个根，则p 丨n a ，q 丨0a 。
定理10：如果整系数多项式的首项是1，那么他的有理根只能是整数，且是常数项的约数。
定理11（爱森斯坦因判别法）：设f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，如果有一个系数为p ，且满足： 1. p 不整除n a ；2. p 整除120,,...,n n a a a --；3. 2p 不整除0a ；那么f(x)在有理数集上是不可约的。
（六）本原多项式定义4：如果一个非零整系数多项式的系数是互素的，则称这个多项式是本原多项式。
定理12（高斯引理）：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。
二．多项式理论的应用（一）多项式理论在初等代数中的应用 1.多项式理论在因式分解中的应用在高等代数里已经证明任意一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式。
这种分解除各因式的次序和非零数值因式外是唯一确定的。
并且,我们只能对于给定的数域来谈论多项式的可约或不可约。
例如：4x -4在有理数范围内分解为（2x -2）（2x +2），在实数范围内可分解为（）)(2x +2),在复数范围内分解为（）（）（i ）（）。
例1，能否将有理系数多项式4x +4kx+1(k 为整数)进行分解？解：（1）.待定系数法就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积使这些因式的乘积与原式组成恒等式然后利用多项式恒等关系求各待定系数值观察所求值是否是有理数令f(x)= 4x +4kx+1 (k 为 整数)，显然f (±1) ≠0,所以f(x)无一次因式。
若f(x)可约，只能是2个二次有理因式的积，由于f(x)是整系数多项式，因此f(x)可化为两个整系数多项式的积。
即f(x)=（2x +ax+1）(2x +bx+1),其中a,b 是整数，则4x +4kx+1=4x +（a+b ）3x +(2+ab)2x +(a+b)x+1,得a+b=0,2+ab=4k,得2a =2 使a 为整数是不可约的。
因此f(x)不可约。
即有理系数多项式4x +4kx+1 (k 为整数) 不可因式分解。
（2）爱森斯坦因判别法设f （x ）=0a +1a x+…+n a nx 是整系数多项式，若能找到一个系数p ，使得p 丨i a （i=0,1,..,n-1）,p 不能整除n a 且2p 不能整除0a ，则f(x)在有理数域不可约。
把f(x)变形，令x=y+1.这样得g(y)=f(y+1)= 4y +43y +62y +(4k+4)y+4k+2 由爱森斯坦因判别法，取p=2 即可证 g(y)不可约。
即4x +4kx+1 (k 为整数) 在有理数域上不可因式分解。
以上，用两种方法解决了初等代数中判断某一多项式能否因式分解的问题！2.用多项式理论分解因式初中代数已经介绍了提取公因式法，公式法，分组分解法和十字相乘法等基本方法。
这里根据多项式的理论再讨论两种因式分解的方法以便解决高次方程的因式分解问题。
例2 在 有理数域上分解因式5x -103x -202x -15x-4 解： 分离重因式法 因为1f -（x ）=54x -302x -40x-15 用辗转相除法，得d(x)=[f(x), 1f-(x)]= 3x +32x +3x+1 。
h(x)=()()f x d x =2x -3x-4=(x+1)(x-4), 因此，f(x)的所有不可约因式为x-4,x+1，其中x-4 在f(x)中是单因式，x+1是f(x)的四重因式，于是，f(x)=(x-4)4(1)x +.即5x -103x -202x -15x-4=(x-4)4(1)x +（二）多项式理论在解高次方程中的运用对于某些特殊的一元高次方程,在中学代数教材中仅介绍了因式分解法和换元法，但在许多实际问题中仅掌握这两种方法是远远不够的,这里,利用多项式理论中的韦达定理和实系数多项式的非实复根两两成对的理论,通过例子求一些高次方程的解. 例3 已知方程25x -74x +83x -22x +6x+5=0有两个根是2-i ，i 。
解此方程。
解：由于实系数方程的虚根成对出现，故2+i ,-i 也是方程所给的根，由代数基本定理可知此方程有5个根。
设此方程第五个根是∂，由韦达定理得（2+i ）+（2-i ）+i-i+∂=7/2; 得∂=-1/2故此方程的根是2±i, ±i ，-1/2 。
例4 已知实系数方程3x +22x +qx+r 有一个根是i ，试求q,r ；并解此方程。
解：设方程的三个根是-1±i ，∂ 。
则由韦达定理，可知（i ）i)+ ∂=-2 得∂=0 由韦达定理可进一步推知：q=3;r=0 例5 解方程34x +53x +2x +5x+2=0解：易知，-2.1/3是f(x)= 34x +53x +2x +5x+2=0的两个根。
令g(x)=(x+2)(x-1/3)=2x +5x/3+2/3,由带余除法，得f(x)=g(x)(32x +3),求32x +3=0的解，±i 是它的根。
经验算原方程的根是-2，±i ，1/3.二．多项式理论在矩阵问题中的应用（一）.利用多项式互素理论求抽象矩阵的逆矩阵命题1 设f(λ)是复系数多项式，n 阶方阵A 的特征值不是f(λ)的零点，则f(A)可逆，且f(A)的逆矩阵可表示为A 的多项式。