多项式理论及其应用

多项式理论及其应用

许洋

巢湖学院 数学系 安徽 巢湖 238000

摘 要

多项式是代数学中最基本的对象之一。它不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其他数学分支时也会碰到。本文将介绍一些有关多项式的基本理论以及多项式在矩阵问题，行列式问题和初等数学中的运用。 关键词：多项式；矩阵；行列式

Abstract

Abstract:polymial is the most basic object of algebra one.It does not but with high times equation,and discussion about the further study algebra and other branches of mathematic may encounter.This paper will intraduce the basic theory of some relevant polynomial in matrix,determinants and polynomial in the application,elementary algebra

Keywords:polynomial;matrix;determinants

引言：多项式理论是古典代数的主要内容。多项式的研究源于“代数方程求解”，是最古老的数学问题之一。16世纪以前，人们对一般的一元二次方程已经有了公式解法，但对于一般的一元二次方程，数学家却束手无策。16世纪的欧洲数学家们都致力于寻求一般的一元三次方程的求根公式。1799年，高斯（Garss,1777-1855）在他的博士论文中第一次严格证明了代数基本定理：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。经过多年，数学家仍找不到用根式求解五次多项式的一般解法。终于在1824年阿贝尔（Galois,1811-1832）引入了群的概念，证明不存在用根式求解五次或以上的多项式的一般方法，这理论被引申为伽罗华理论。以下本文将介绍多项式的有关理论及其应用。 一,多项式的有关理论 （一）多项式的有关概念

定义1：f(x)= 110...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）称为关于x 的一元n 次多项式，n 称为f(x)的次数，记作：deg f(x)=n 。

定义2：如果在多项式f(x)与g(x)中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f(x)与g(x)就称为相等，记为f(x)=g （x ）.系数全为零的多项式称为零多项式。 性质：设f(x)≠0与g(x)≠0是两个多项式，且f(x)±g(x) ≠0，则 deg[f(x)±g(x)]

≤max{deg f （x ）,deg g(x)};deg[f(x)·g(x)]=deg f(x)+ deg g(x) . （二）多项式的整除法

定理1（带余除法定理）：设f(x)与g(x)是两个多项式，且g(x)≠0，那么存在唯一的一对多项式 q(x)与r(x)，使得f(x)= g(x)q(x)+ r(x)；其中r(x)=0或deg r(x)

定理2（余数定理）：多项式f(x)除以 x-a 所得的余式为f(a)； 推论1（因式定理）：多项式f(x)有因式x-a 的充要条件是f(a)=0 。 推论2：如果f(x)∈Z[x],a 与b 为不相等的整数，则(a-b)丨[f(a)-f(b)] 。 （三）最大公因式

定义3：设f(x) ，g(x)是F[x]中的两个多项式。P[x]中多项式d(x)称为f(x) ，g(x)的一个最大公因式。那么它满足 下面两个条件： 1. d(x)是f(x) ，g(x)的公因式；

2. f(x) ，g(x)的公因式全是d(x)的公因式。

引理：如果有等式f(x)=g(x)q(x)+ r(x)成立，那么，f(x)，g(x)和g(x)，r(x)有相同的公因式。

定理3：设多项式f(x)与g(x)的最大公因式为d(x)，那么存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x) .

定理4：两个多项式f(x)与g(x)互素的充要条件为：存在两个多项式u(x)和v(x)，使f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. （四）因式分解定理

定理5：（复数范围内的唯一分解定理）

如果不考虑因式的顺序，复系数n （n ≥1）次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式的乘积f(x)=0a ，其中1n + 2n +…+ k n =n 。

定理6：如果不考虑因式的顺序，实系数n(n ≥1)次多项式f(x)可以唯一地分解为一次因式和有非零共轭复根的二次因式的乘积。f(x)=a

21

1

()[()]k m

i

i

i

i i x x x a b ==--+∏∏,其中

i a ,i b ,i x ∈R,且i b >0,k+2m=n 。

推论3：实系数n(n ≥1)次多项式的虚根成对出现。 推论4：任何奇次数实系数多项式至少有一个实根。 （五）多项式的根 定理7（代数基本定理）

在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式至少有一个根。 定理8：在复数域中，任何n(n ≥1)次多项式恰有 n 个根。

定理9：若f(x)= 1

10...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，

而既约分数q/p 是它的一个根，则p 丨n a ，q 丨0a 。

定理10：如果整系数多项式的首项是1，那么他的有理根只能是整数，且是常数项的约数。

定理11（爱森斯坦因判别法）：

设f(x)= 1

10...n n x x x -++++n n-1a a a a （0≠n a ，n N ∈）是一个整系数多项式，如果有

一个系数为p ，且满足： 1. p 不整除n a ；

2. p 整除120,,...,n n a a a --；

3. 2p 不整除0a ；

那么f(x)在有理数集上是不可约的。 （六）本原多项式

定义4：如果一个非零整系数多项式的系数是互素的，则称这个多项式是本原多项式。 定理12（高斯引理）：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。 二．多项式理论的应用

（一）多项式理论在初等代数中的应用 1.多项式理论在因式分解中的应用

在高等代数里已经证明任意一个多项式分解成若干个不可约多项式的积的形式。这种分解除各因式的次序和非零数值因式外是唯一确定的。并且,我们只能对于给定的数域

来谈论多项式的可约或不可约。例如：4x -4在有理数范围内分解为（2x -2）（2x +2），在实

数范围内可分解为（）)(2

x +2),在复数范围内分解为（）（）（i ）

（）。

例1，能否将有理系数多项式4x +4kx+1(k 为整数)进行分解？

解：（1）.待定系数法

就是按已知条件把原式假设为若干个因式的乘积使这些因式的乘积与原式组成恒等式然后利用多项式恒等关系求各待定系数值观察所求值是否是有理数

令f(x)= 4x +4kx+1 (k 为 整数)，显然f (±1) ≠0,所以f(x)无一次因式。若f(x)可约，只能是2个二次有理因式的积，由于f(x)是整系数多项式，因此f(x)可化为两个整系数多项式的积。即f(x)=（2x +ax+1）(2x +bx+1),其中a,b 是整数，则4x +4kx+1=4x +（a+b ）

3x +(2+ab)2x +(a+b)x+1,得a+b=0,2+ab=4k,得2a =2 使a 为整数是不可约的。因此f(x)不可约。即

有理系数多项式4x +4kx+1 (k 为整数) 不可因式分解。 （2）爱森斯坦因判别法

设f （x ）=0a +1a x+…+n a n

x 是整系数多项式，若能找到一个系数p ，使得p 丨i a （i=0,1,..,n-1）,p 不能整除n a 且2

p 不能整除0a ，则f(x)在有理数域不可约。把f(x)变形，令x=y+1.这样得

g(y)=f(y+1)= 4

y +43

y +62

y +(4k+4)y+4k+2 由爱森斯坦因判别法，取p=2 即可证 g(y)不可约。

即4x +4kx+1 (k 为整数) 在有理数域上不可因式分解。

以上，用两种方法解决了初等代数中判断某一多项式能否因式分解的问题！