重积分的计算方法(试题学习)

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重积分的计算及应用

y2 = x
3 解:如图所示 D = D2 \ D , 1 1 O D1 D2 D A = ∫∫ dσ − ∫∫ dσ −2 D2 D 1 −4 1 3 12−y 2−y = ∫ dy∫ 2 d x − ∫ dy ∫ 2 d x
−4
y
−2
x
y
=[
12y − 1 y2计 ∫∫ 算
1(1). 设
由
确定 ,
由
x2 + y2 + z2 ≤ R2, x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 所确定 , 则
C
上半球
(B)
∫∫∫Ω y dv = 4∫∫∫Ω
1
y dv
第一卦限部分
2
z R
xyz dv
(D)
∫∫∫Ω xyz dv = 4∫∫∫Ω
1
Ω1 Ω2
O y
2
提示: 提示利用对称性可知 , (A), (B), (D) 左边为 0 , 右边为正 , 显然不对 , 故选 ( C )
解答提示: 解答提示 P124 2 (3). 计算二重积分其中D 为圆周提示: 提示利用极坐标所围成的闭区域.
0 ≤ r ≤ Rcosθ
D:
原式
y O
− π ≤θ ≤ π 2 2
r = Rcosθ
D Rx
1 3 π 2 = R ∫ π (1− sin 3 θ ) dθ 3 −2 2 3 π 3 2 = R ∫ (1− sin θ ) d θ 0 3
∫∫D[ f
2
(x) + f ( y)]dxdy
2
a ≤ x ≤ b D: a ≤ y ≤ b
f 2 (x) dxdy = ∫∫D
b 2 f (x)dx a

重积分习题与答案

第九章重积分A1、填空题1）交换下列二次积分的积分次序（1）______________________________________________ （2）______________________________________________ （3）_______________________________________________ （4）___________________________________________ （5）______________________________________________ （6）________________________________________2）积分的值等于__________________________________3)设，试利用二重积分的性质估计的值则。

4)设区域是有轴、轴与直线所围成，根据二重积分的性质，试比较积分与的大小________________________________5）设，则积分___________________________________________6)已知是由所围，按先后再的积分次序将化为累次积分，则7）设是由球面与锥面的围面，则三重积分在球面坐标系下的三次积分表达式为2、把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值1）2）3、利用极坐标计算下列各题1），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.2），其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.3），其中是由圆周及直线所围成的在第一象限的闭区域.4、选用适当的坐标计算下列各题1),其中是直线及曲线所围成的闭区域.2），其中是顶点分别为和的梯形闭区域.3），其中是圆周所围成的闭区域.4），其中是圆环形闭区域.5、设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧与直线所围成，它的面密度为，求这薄片的质量（图9-5）.6、求平面，，，以及球心在原点、半径为的上半球面所围成的在第一卦限内的立体的体积（图9-6）.7、设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量.8、计算由四个平面，，，所围成的柱体被平面及截得的立体的体积.9、求由平面，，所围成的柱体被平面及抛物面截得的立体的体积.10、计算以面上的圆周围成的闭区域为底，而以曲面为顶的曲顶柱体的体积.11、化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是1）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域.2）由曲面及所围成的闭区域.12、设有一物体，占有空间闭区域，在点处的密度为，计算该物体的质量.13、计算，其中是由曲面，与平面和所围成的闭区域.14、计算，其中为球面及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.15、算，其中是由锥面与平面所围成的闭区域.16、利用柱面坐标计算三重积分，其中是由曲面及所围成的闭区域.17、利用球面坐标计算三重积分，其中是由球面所围成的闭区域.18、选用适当的坐标计算下列三重积分1），其中为柱面及平面，，所围成的在第一卦限内的闭区域.2），其中是两个球和的公共部分.3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域.4），其中闭区域由不等式，所确定.19、利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积1）及.2）及(含有轴的部分).20、球心在原点、半径为的球体，在其上任意一点的密度大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的的质量.21、求球面含在圆柱面内部的那部分面积.22、求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.23、求由抛物线及直线所围成的均匀薄片（面密度为常数）对于直线的转动惯量.24、设薄片所占的闭区域如下，求均匀薄片的质心是半椭圆形闭区域.25、设平面薄片所占的闭区域由抛物线及直线所围成，它在点处的面密度，求该薄片的质心.25、利用三重积分计算下列由曲面所围立体的质心（设密度）1），2），,26、求半径为高为的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量（设密度）.B1、根据二重积分的性质，比较下列积分的大小1）与，其中积分区域是由圆周所围成.2）与，其中是三角形闭区域，三顶点分别为，.2、计算下列二重积分1），其中2），其中是由直线，及所围成的闭区域3），，其中3、化二重积分为而次积分（分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分），其中积分区域1）由轴及半圆周所围成的闭区域2）环形闭区域4、求由曲面及所围成的立体的体积.5、计算，其中为平面，，，所围成的四面体.6、计算下列三重积分1)，其中是两个球：和的公共部分.2)，其中是由球面所围成的闭区域.3)，其中是由平面上曲线绕轴旋转而成的曲面与平面所围成的闭区域.7、设球体占有闭区域，它在内部各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，试求这球体的球心.8、一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，所围成1）求物体的体积;2）求物体的质心;3）求物体关于轴的转动.C1、利用二重积分的性质，估计积分，其中是由圆周所围成.2、用二重积分计算立体的体积，其中由平面，，，和所围成.3、计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域.4、设在积分域上连续，更换二次积分的积分次序.5、计算二重积分，其中积分区域是由和确定.6、求二重积分的值，其中是由直线，及围成的平面区域.7、计算,其中由曲面及围成.8、计算，其中是由曲面与平面及所围成的闭区域.9、设有一半径为的球体，是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心的位置.10、设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为cm，时间单位为h），已知体积减少的速率与侧面积成正比例（比例系数），问高度为130（cm）的雪堆全部融化需多少时间？第九章重积分答案习题答案（A）1、填空题1）①②③④⑤⑥2）3)4)5)6)7)2、1）2）3、1）2）3）4、1）2）3）4）5、6、7、8、9、10、11、1）2）12、13、14、15、16、17、18、1）2）3）4）19、1）2）20、21、22、23、24、25、，26、27、（为圆柱体的质量）（B）1、 1）2）2、1）2)3)3、1），2）4、5、； 6、1）2）3）； 7、8、1）2）3）（C）1、解：令，关键是求在上的最大值和最小值，在内部，，，因此在内部无驻点，最值点一定在边界上取得，作由方程组解得驻点为，，比较可得最小值，最大值为，而的面积为，由估值定理得。

《重积分计算习题》课件

重积分的几何意义
平面区域上的重积分
表示被积函数对应的曲面在平面区域上所围成的体积。
空间区域上的重积分
表示被积函数对应的立体在空间区域上所围成的体积。
02 重积分的基本计算方法
直角坐标系下的计算方法
直角坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小矩形，然后分别对每个小矩形进行积
分，最后求和得到结果。
计算曲面的面积
重积分可以用来计算曲面的面积，如球面、锥面等。
确定空间点的位置
通过重积分可以确定空间中某点的位置，如重心、形心等。
在物理学中的应用
计算质量分布
在力学中，重积分可以用来计算分布质量对物体运动的影响。
计算引力场
在万有引力定律中，重积分可以用来计算物体之间的引力。
计算电场
在电动力学中，重积分可以用来计算电荷分布产生的电场。
如何提高重积分计算的准确性和效率
多做习题
通过大量的习题练习，提高计算准确性和效率
。
细心审题
仔细阅读题目，确保理解题意，避免因为理解
错误导致计算错误。
掌握计算技巧
掌握一些计算技巧，如换元法、分部积分法等，可以提高计算效率。
利用数学软件
对于一些复杂积分，可以利用数学软件进行计算，提高计算准确性。
对于多重积分，可以按照积分次序逐层积分，从外层到内层依次
积分。
在计算过程中，需要注意积分的上下限，以及被积函数的定义域
。
极坐标系下的计算方法
在极坐标系下，重积分可以通过将积分区域划分为若干个小圆环，然后分别对每个小圆环进行积分，最后求和得到结果。
在极坐标系下，需要注意极角和极径的范围，以及被积函数的定义域。

重积分计算的典型题型

二、重积分计算的典型题型1、请计算：∫dx ∫e −y 2dy 2x 20(1990真题) 解：把X 型区域转换为Y 型区域因为∫e −y 2dy 2x 不可以使用初等函数的方式来表达，所以需要把X 型变为Y 型因为区域D={ y =x y =2,x =0 → { 0<x <2x <y <2 变为Y 型区域→ { 0<y <20<x <y所以原式=∫dy ∫e −y 2dx y020 → ∫e −y 2ydy 20 → −12∫e −y 2d(−20y 2) → −12(e −y 2)|20= 12−12e 42、设区域D={(x,y)|x 2+y 2≤1,x ≥0},计算二重积分I=∬1+xy 1+x +y dxdyD（2006年真题）解：使用极坐标的方法首先明确D 这个区域，是一个半径=1，圆心在（0，0）处，在坐标轴右半部分的半圆设{ x =ρcos θy =ρsin θ → { 0<ρ<1−π2<θ<π2 在经过极坐标的转换过后，原式如下原式= ∫∫1+ρ2sin θcos θ1+ρsin θ+ρcos θρdρdθ10π2−π2→ ∫∫1+ρ2sin θcos θ1+ρρdρdθ10π2−π2 →∫∫1+12ρ2sin 2θ1+ρ2ρdρdθ10π2−π2→ ∫[∫1+12ρ2sin 2θ1+ρ2ρdρ10]π2−π2dθ→∫[12∫11+ρ2+12ρ2sin 2θ1+ρ2dρ210]π2−π2dθ→∫[12∫11+ρ2dρ2+1π2−π2∫12ρ2sin 2θ1+ρ10dρ2]dθ→∫[12∫11+ρ2dρ2+∫12ρ2sin 2θ1+ρ210dρ210]π2−π2dθ 在对中括号部分进行计算化简的步骤比较简单所以由下图代替所以最终的化简结果是原式=∫(12π2−π2ln 2+14sin 2θ(1−ln 2))dθ = 12πln 2注意后半部分由于cosx 函数根据y 轴对称，所以为03、设平面区域为y=√3(1−x 2) 与直线y=√3x 及y 轴围成，求∬x 2dxdy D（2018 真题16题）解：使用重积分换元的方法首先明确D 这个区域。

重积分(解题方法归纳)Word版

第十章重积分解题方法归纳一、重积分的概念、性质重积分的定义是一个黎曼和的形式，对于一些和式的极限问题，有时可根据定义，将其转化为重积分，再利用重积分的计算方法求解. 另外很多考试在选择题或填空题中，直接考查重积分的性质，常考的性质一般有：比较性质、对称性质、中值定理等.例1 （2010年考研数一、数二）2211lim ()()→∞==++∑∑nnn i j nn i n j =（） 11211()()(1)(1)(1)(1)++++⎰⎰⎰⎰xxA dx dyB dx dy x y x y11112000011()()(1)(1)(1)(1)++++⎰⎰⎰⎰C dx dyD dx dy x y x y解由于 222211111()()=====++++∑∑∑∑nnnni j i j n nn i n j n i n j而 10111111lim lim 11→∞→∞====+++∑∑⎰nn n n i i dx i n in x n12220211111lim lim 11()→∞→∞====+++∑∑⎰nn n n j j n dy j n j n y n 因此 1122200111lim ()()(1)(1)→∞===++++∑∑⎰⎰nnn i j n dx dy n i n j x y 故选()D .『方法技巧』当遇到黎曼和的形式时，经常考查积分的定义式，在积分中，积分变量的符号是任意的，可根据题目的要求选取.例2 设(,,)f x y z 在{}2222(,,)Ω=++≤R x y z x y z R 上连续，又(0,0,0)0≠f ，则0→R 时，(,,)Ω⎰⎰⎰Rf x y z dv 是R 的阶无穷小.解由题意要确定 0(,,)lim0Ω→=≠⎰⎰⎰RnR f x y z dva R 中的n .由积分中值定理知，存在000(,,)∈ΩR x y z ，使得30004(,,)(,,)3πΩ=⎰⎰⎰Rf x y z dv f x y z R 因此 30003300(,,)(,,)4lim lim (0,0,0)03πΩ→→==≠⎰⎰⎰RR R f x y z dvf x y z R f R R故 3=n ，即(,,)Ω⎰⎰⎰Rf x y z dv 是R 的3阶无穷小.『方法技巧』要将被积函数从积分号内取出时，常会用到积分中值定理，尤其在证明题中经常遇到.二、重积分的计算方法当给定被积函数和积分区域时，重积分是一个确定的数值.对于简单的函数，用性质或几何意义即可求得积分值；对一般函数，需要化为累次积分计算.1.重积分的计算方法归纳如下：(1) 利用重积分的性质计算重积分.(2) 利用重积分的几何意义（针对二重积分）计算重积分. (3) 直角坐标系下计算重积分.(4) 极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，计算重积分. (5) 利用换元法计算重积分.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分区域D 关于x （或y ）轴对称，则10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰（或10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)σσ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y ）其中1D 是D 在x （或y ）轴上（或右）方的部分. （2）若积分区域D 关于直线y x =对称，则10 (,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y d f x y d f x y f x y σσ=-⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰其中1D 是D 在直线y x =上方的部分.（3）若积分区域Ω关于xOy （或,yOz zOx ）面对称，则10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z （或10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z ， 10 (,,)(,,)(,,)2(,,)(,,)(,,)ΩΩ-=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z ）其中1Ω是Ω在xOy （或,yOz zOx ）面上（或前，右）方的部分.（4）若积分区域D 是X （或Y ）型域，即12:()()a x b D x y x ϕϕ≤≤⎧⎨≤≤⎩（或12:()()c y d D y x y ψψ≤≤⎧⎨≤≤⎩），则二重积分 21()()(,)(,)ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰bx a x Df x y d dx f x y dy （或21()()(,)(,)ψψσ=⎰⎰⎰⎰dy cy Df x y d dy f x y dx ）（5）若极点O 在积分区域D 内或边界上，即02:0()D θπρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则二重积分2()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d πϕθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（6）若极点O 在积分区域D 外，即12:()()D αθβϕθρϕθ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则二重积分21()()(,)(cos ,sin )(cos ,sin )DDf x y d f d d d f d βϕθαϕθσρθρθρρθθρθρθρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰（7）若积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈xy x y z z x y z z x y x y D （或{}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈yz x y z x y z x x y z y z D ， {}12(,,)(,)(,),(,)Ω=≤≤∈zx x y z y z x y y z x z x D ）则三重积分（投影法）21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyz x y z x y D f x y z dv dxdy f x y z dz （或21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰yzx y z x y z D f x y z dv dydz f x y z dx21(,)(,)(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰zxy z x y z x D f x y z dv dzdx f x y z dy ）（8）若积分区域{}(,,),(,)Ω=≤≤∈z x y z a z b x y D （或{}(,,),(,)Ω=≤≤∈x x y z c x d y z D ，{}(,,),(,)Ω=≤≤∈y x y z m y n z x D ）则三重积分（截痕法）(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰zbaD f x y z dv dz f x y z dxdy （或(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdcD f x y z dv dx f x y z dydz ，(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ynmD f x y z dv dy f x y z dzdx ）（9）若积分区域{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O z z z z D （或{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O x x x x D ，{}12(,,)(,)(,),(,)ρρθρθρθρθΩ=≤≤∈O y y y y D ）则三重积分（柱面坐标）(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O z z D d d f z dz（或(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O x x D d d f x dx(,,)(cos ,sin ,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz21(,)(,)(cos ,sin ,)ρρθρθρρθρθρθ=⎰⎰⎰O y y D d d f y dy ）（10）若积分区域{}1212(,,)(,)(,),()(),ϕθϕθϕθϕθϕϕθαθβΩ=≤≤≤≤≤≤r r r r则三重积分（球面坐标）2(,,)(sin cos ,sin sin ,cos )sin f x y z dv f r r r rdrd d ϕθϕθϕϕϕθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2211()(,)2()(,)sin (sin cos ,sin sin ,cos )r r d d f r r r r dr βϕθϕθαϕθϕθθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰（1）计算重积分的步骤：（1）二重积分画出积分区域D 的草图；三重积分想象出积分区域Ω的图形；（2）选取坐标系（依据D 或Ω的形状和被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 的形式）；（3）选择积分次序；（4）确定累次积分的上、下限，分别计算定积分.例3 设{}222(,),0D x y x y a a =+≤>，若Dπ=，则a =（）.()1()()()A B C D 解由于被积函数z =a 的上半个球面，根据二重积分的几何意义知，D等于以D 为底，z =31423Da ππ==因此 a =()B . 『方法技巧』当被积函数是我们比较熟悉的曲面时，首先要考虑二重积分的几何意义.本题也可直接利用极坐标计算二重积分.例4 设{}(,)1D x y x y =+≤，计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰.解积分区域D 如图10.35所示，它关于x 轴、y 轴及原点对称，1D 为D 在第一象限部分.()DDDx y dxdy x dxdy ydxdy +=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于二重积分Dx dxdy ⎰⎰，由于被积函数对变量x均为偶函数，由二重积分的对称性知14DD x dxdy xdxdy =⎰⎰⎰⎰.对于二重积分Dydxdy ⎰⎰，由于被积函数对y 为奇函数，由二重积分的对称性知0Dydxdy =⎰⎰.故1110()44xDD x y dxdy xdxdy dx xdy -+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰124(1)3x x dx =-=⎰ 『方法技巧』当积分区域关于x 轴或y 轴对称时，首先要考虑被积函数是否存在对变量x 和y 的奇、偶性，若存在，可以先化简，再计算，这样会简化运算过程. 本题也可直接利用直角坐标计算二重积分.例5 设{}22(,)1,1D x y x y x y =+≤+≥，计算二重积分22x ydxdy x y++⎰⎰. 解积分区域D 如图10.36所示，由于积分区域与圆有关，被积函数中含有22x y +，因此采用极坐标.2211x y ρ+=⇒=11sin cos x y ρθθ+=⇒=+所以 1(,)1,0sin cos 2D πρθρθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬+⎩⎭，故222cos sin (cos sin )D D Dx y dxdy d d d d x y ρθρθρρθθθρθρ++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 1221sin cos (cos sin )(cos sin 1)22d d d ππθθπθθθρθθθ+=+=+-=-⎰⎰⎰『方法技巧』当积分区域与圆（圆、圆环、扇形）有关，被积函数中含有22x y +、x y 或yx时，一般计算二重积分时，会考虑利用极坐标. 例6 设{}22(,)D x y x y x y =+≤+，计算二重积分()Dx y dxdy +⎰⎰.解积分区域是由圆周22111()()222x y -+-=围成的，令1212u x v y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则作变换11,22x u y v =+=+，将xOy 面上的闭区域D 转化为uOv 面上的闭区域221(,)2D u v u v ⎧⎫'=+≤⎨⎬⎩⎭，则 10(,)(,)1001(,)x y J u v u v ∂===≠∂因此()(1)(1)DD D x y dxdy u v J dudv u v dudv ''+=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰又由于D '关于u 轴、v 轴均对称，所以()0D u v dudv '+=⎰⎰，故2()()22DD x y dxdy dudv ππ'+===⎰⎰⎰⎰『方法技巧』当复杂的积分区域D 可经过坐标变换（平移或旋转），变成简单区域D '时，一般会用二重积分的换元法.例7 设{}2222222(,,),,0Ω=++≤+≤≥x y z x y z R x y z z ，将三重积分(,,)Ω⎰⎰⎰f x y z dv 在三种坐标系下化为累次积分.解积分区域Ω如图10.37所示.在直角坐标系下，先对z 积分，作平行于z 轴并与其方向一致的射线穿入Ω，穿进的曲面=z 是变量z 的下限，穿出的曲面=z是变量z 的下限，再将Ω投影到xOy 面得闭区域(,)⎧⎫⎪⎪=≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭xy D x yy x在xy D 上将二重积分转化为二次积分，故(,,)(,,)Ω=⎰⎰⎰f x y z dv dx f x y z dz在柱面坐标系下，将Ω转化为柱面坐标系下的积分区域，即(,,),022ρθρρθπ⎧⎫⎪⎪Ω=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭z z R则(,,)(cos,sin,)ρθρθρρθΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y z dv f z d d dz200(cos,sin,)πρθρρθρθρ=⎰d d f z dz 在球面坐标系下，将Ω转化为球面坐标系下的积分区域，即(,,)0,0,024πϕθϕθπ⎧⎫Ω=≤≤≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭r r R则2(,,)(sin cos,sin sin,cos)sinf x y z dv f r r r r d d dϕθϕθϕϕρθϕΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰224000sin(sin cos,sin sin,cos)ππθϕϕϕθϕθϕ=⎰⎰⎰Rd d f r r r r dr『方法技巧』有些三重积分既可用直角坐标计算，也可用柱面坐标和球面坐标计算，甚至直角坐标可以用投影法计算，还可用截痕法计算，但计算的难易程度还是有区别的，需要同学加强这方面的练习，以便在考试中，以最快的速度找出最简单的计算方法.三、交换积分次序交换积分次序的题目，在考试中选择题和填空题居多，且大多数为二重积分，题型可分为以下几类：（1）给出一种次序的二次积分，要求交换成另一种次序的二次积分；（2）给出一种次序的二次积分，要求计算此积分（一般按给定次序不能进行计算）；（3）计算一个二重积分（只有一种次序的二次积分可以计算）；（4）直角坐标系下的二次积分与极坐标系下的二次积分互相转化.（5）证明一个二次积分等于一个定积分时，需要先交换二次积分的积分次序.例8计算sin=⎰⎰DxI dxdyx，其中积分区域D是由直线=y x及抛物线2=y x围成的闭区域.解积分区域D如图10.38所示.积分区域既是X型又是Y型区域，但被积函数为sin =xy x，若对x 积分时，不能得到原函数，故化为二次积分时，只能先对y 后对x 积分，故21100sin sin (1)sin 1sin1===-=-⎰⎰⎰⎰⎰x x Dxx I dxdy dx dy x xdx x x『方法技巧』二重积分用任何次序都可转化为二次积分，但并不代表用任何次序的二次积分都可以求出结果，因此，做题时，若一种次序的二次积分计算非常繁琐，就需要考虑换一种积分次序试一试，尤其当被积函数中含有sin xx、2x e 等函数时，要特别注意. 例9 证明211()()=-⎰⎰y x dy f x dx e e dx证在左边的二次积分中，由于被积函数含有未知函数()f x ，而积分变量又是x ，因此不能按给定次序求出定积分，需要交换积分次序. 首先还原成二重积分的积分区域D ，如图10.39所示.左边=2211111()()()==⎰⎰⎰⎰⎰y y y xxdy f x dx dx e f x dy f x dx e dy221110()()()()==-⎰⎰yx x f x e dx e e f x dx =右边证毕.四、重积分的几何应用和物理应用在几何上，二重积分可以求平面图形的面积、曲顶柱体的体积及空间曲面的面积等，三重积分可以求空间区域的体积.在物理上，重积分可以求物体的质量、质心（形心）坐标及转动惯量等. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）()σ=⎰⎰Dd A D 的面积（2）(,)((,))σ=⎰⎰Df x y d V D f x y 以为底，为顶的曲顶柱体的体积（3）()Ω=Ω⎰⎰⎰dv V 的体积（4）()=∑DA 的面积其中D 为曲面:(,)∑=z f x y 在xOy 面的投影区域.（5）(,)()ρσ=⎰⎰Dx y d M xOy D 占平面上区域的物体的质量(,,)()ρΩ=Ω⎰⎰⎰x y z dv M 占空间区域的物体的质量（6）质心坐标平面物体的质心坐标： (,)(,),(,)(,)ρσρσρσρσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDDx x y d y x y d x y x y d x y d空间物体的质心坐标：(,,)(,,)(,,),,(,,)(,,)(,,)ρρρρρρΩΩΩΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x x y z dvy x y z dvz x y z dvx y z x y z dvx y z dvx y z dv当密度均匀时，质心也称为形心.（7）转动惯量平面物体的转动惯量：22(,),(,)ρσρσ==⎰⎰⎰⎰x y DDI y x y d I x x y d空间物体的转动惯量：2222()(,,),()(,,)ρρΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y I y z x y z dv I z x x y z dv22()(,,)ρΩ=+⎰⎰⎰z I x y x y z dv在（5）—（7）中，(,)ρx y 和(,,)ρx y z 分别表示物体的面密度和体密度.例10 设{}2222(,,)()()()Ω=-+-+-≤x y z x a y b z c R ，则()Ω++⎰⎰⎰x y z dv = .解利用球的形心坐标公式31(,,)(,,),,,,43πΩΩΩΩΩΩΩΩΩ⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdv ydv zdv a b c x y z xdv ydv zdv dv dv dv R 因此 333444,,333πππΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰xdv aR ydv bR zdv cR 故34()()3πΩΩΩΩ++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x y z dv xdv ydv zdv a b c R例11 设{}22(,)2=+≤D x y x y y ，计算(4)σ--⎰⎰Dx y d .解由于积分区域D 是圆域，关于y 轴对称，且形心（圆心）为(0,1)，半径为1，因此,1σσσπ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDxd yd d故(4)4403σσσσπππ--=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰DDDDx y d d xd yd『方法技巧』以上两题说明，若积分区域的形状是规则的（如圆形、球形、柱形等），形心坐标很容易看出，在计算被积函数为x 、y 或z 的积分时，可以逆向利用形心坐标公式，使得计算更加简单（此方法非常实用）.友情提示：范文可能无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用，感谢您的下载！。

第九章重积分(答案)

第九章重积分(一)1．填空题(1) 设()y x y x P 2,=，()23,y x y x Q =，定义于:D 10<<x ，10<<y ，则()σd y x P D⎰⎰, > ()⎰⎰Dd y x Q σ,(2) 设曲顶柱体的顶面是()y x f z ,=，()D y x ∈,，侧面是母线平行于z 轴，准线为D的边界线的柱面，则此曲顶柱体的体积用重积分可表示为=V ()⎰⎰Dd y x f σ|,|。

(3) 在极坐标系中，面积元素为θσrdrd d =。

2．利用二重积分的性质，比较下列积分大小(1) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 所围成。

解：在区域D 内，1≤+y x ，两边乘以()2y x +，得()()23y x y x +≤+，故由性质得：()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ23 (2) ()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3，其中积分区域D 是由圆周()()21222=-+-y x 所围成。

解：令两被积函数相等，得0=+y x 或1=+y x ，直线1=+y x 与圆周()()21222=-+-y x 交点为()0,1由图知：D 位于1≥+y x 的半平面内故()()32y x y x +≤+，因而()()⎰⎰⎰⎰+≤+DDd y x d y x σσ32。

3．利用二重积分性质，估计积分()⎰⎰++=Dd y x I σ92222的值，其中D 是圆形闭区域422≤+y x 。

解：因为4022≤+≤y x ，故17922922≤++≤y x ，故()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⨯=≤++≤=DDDd d y x d ππσσσπ10827417922936224．交换积分()⎰⎰--a ax ax xa dy y x f dx 2222,的积分次序。

重积分知识点总结例题

重积分知识点总结例题1. 重积分的定义在介绍重积分的定义之前，首先需要了解多元函数的概念。

多元函数是指自变量有多个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n)$。

在平面上，一元函数是自变量只有一个的函数，并且可以表示为$y = f(x)$。

而在空间中，两元函数是自变量有两个的函数，并且可以表示为$z = f(x, y)$，三元函数是自变量有三个的函数，并且可以表示为$w = f(x, y, z)$。

在多元函数的情况下，我们需要对其在一个区域上进行积分。

这就引出了重积分的概念。

重积分可以看作是对一个区域上的函数值在该区域上的加权平均。

重积分的定义如下：设$f(x, y)$是定义在闭区域$D$上的有界函数，$D$的面积记为$A(D)$，取$D$上的任意一组分割$P = \{R_i\}$和抽样点$Q = \{(\xi_i, \eta_i)\}$，$M_{ij}$是$f(x, y)$在$R_{ij}$上任意一点的函数值。

作Riemann和$$S(P, Q, f) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{ij} \Delta \sigma_{ij}$$如果极限$L$存在，不依赖于分割$P$和点$Q$的取法，即$L = \lim_{\lambda(P) \to0,\delta(Q) \to 0} S(P, Q, f)$存在，则称$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，这个极限$L$称为$f(x, y)$在$D$上的重积分，记作$$\iint_D f(x, y) d\sigma = L$$其中，$d\sigma$表示对$D$内的面积元素进行积分。

如果$f(x, y)$在$D$上可积，则称$f(x, y)$在$D$上可积，否则称为不可积。

2. 重积分的性质重积分具有一些重要的性质，这些性质有助于我们进行重积分的计算和应用。

下面我们将介绍一些重要的性质。

（1）可加性设$f(x, y)$在闭区域$D$上可积，$D_1$和$D_2$是$D$的两个互不相交的子区域，其并集为$D = D_1 \cup D_2$，则有$$\iint_D f(x, y) d\sigma = \iint_{D_1} f(x, y) d\sigma + \iint_{D_2} f(x, y) d\sigma$$这就是重积分的可加性。

高等数学重积分 (9.2.1)--二重积分的计算

导出
V

b A(x)dx
a
b a

2 ( x) 1 ( x)
f (x, y)dy dx
D
f (x, y)dxdy
ab
2 (x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy dx
写成
f (x, y)dxdy bdx 2 (x) f (x, y)dy
x2 y 2 Rx 所割下部分的体积 V
z
y
r=Rcos
D
O
x
xR
y
例求双纽线 (x2 y2 )2 2a2 (x2 y2 ) 所围区域的面积
乐
例求二次积分
2
2 dy
1y2 arctan ydx
0
y
x
例求积分 I ex2 dx 0
乐
9.2.3 二重积分的变量代换
设变换
x x(u, v)

y

y(u, v)
有连续偏导数，且
满足
J

(x, y) (u, v)

xu xv
yu yv
0
而 f (x, y) C(D) ，那么
f (x, y)dxdy f (x(u, v), y(u, v)) J dudv
D
D
乐
uv 平面小矩形AﾢBﾢCﾢDﾢﾢﾢﾢ xy 平面曲边四边形 ABCD
D
a 1 ( x)
乐
若积分区域
D {(x, y)1( y) x 2 ( y), c y d}
y 型正则区域
则有
f (x, y)dxdy d dy 2 ( y) f (x, y)dx

重积分的计算及应用资料

D2
y x
原式
1
dx
x2
dz
1
f ( x, y, z)dy
0
0
0
1dx
0
x2 x2
1
dz
1 z x2
f ( x, y, z)dy.
练习: 将 f ( x, y) d 化为二次积分.
D
(1) 由直线 y 1 x, y x 1, y 1围成的闭区域;
例1.计算积分
其中D 由
所围成 .
y y2 2x
提示:如图所示 D D2 \ D1 ,
4 2
f (x, y) x y 在 D2内有定义且
o 4
D1 D2
D
x
连续, 所以
6
D (x y) d D2 (x y) d D1 (x y) d

1
x1
I 1 x2 d x d z ydy
1
1 x2 1 x2 z 2
28 45
思考: 若被积函数为 f ( y ) 时, 如何计算简便?
练习 P182 2 (3) ; 7; 8 (1), (3)
P182 2 (3). 计算二重积分
其中D 为圆周
所围成的闭区域.
P183 8 (1) .计算积分
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z z R R
2
提示: 由于被积函数缺 x , y , 利用“先二后一” 计算方便 .
D1 z
o x
y
原式 =
R2 z2 dz
0
dxdy
D1 z
R R

第10章章测题1(重积分的计算部分)

第10章测验题（一）重积分的计算一、填空题 1.改变积分次序：=∫∫−−222 2 1 ),(x x x dy y x f dx 。

2.改变积分次序：=∫∫y y dx y x f dy 2 2 0 2),(。

3.改变积分次序：=∫∫−−−221 1 1 0 ),(y y dx y x f dy 。

4.设平面区域{}52,31),(≤≤≤≤=y x y x D ,则 ∫∫=D d d θρρ。

5.设平面区域D 的面积为A ，则∫∫=D d δ2。

二、计算题1.计算二重积分()∫∫++D d y y x x σ3233，其中(){},01,01D x y x y =≤≤≤≤。

2.计算二重积分()∫∫−+D d x y x σ22，其中积分区域D 由直线2=y ，x y =及所围成。

x y 2=3.计算二重积分∫∫D d y x σ，其中积分区域D 由曲线x y =及所围成。

2x y =4.计算二重积分()∫∫+D d y x σ23，其中积分区域D 由两坐标轴及直线2=+y x 所围成。

5.计算二重积分δd y x D∫∫+22sin ，其中=D }4),({2222ππ≤+≤y x y x 。

6.计算二重积分dxdy x y D∫∫arctan ，其中D 是由两个圆周和，及两条直线和422=+y x 922=+y x 0=y x y =所围成(在第一象限内)的闭区域。

7.计算三重积分，其中是由锥面∫∫∫zdV ΩΩ22y x Rh z +=与平面h z =()0 ,0>>h R 所围成的闭区域。

8.计算三重积分，其中∫∫∫Ω+dV y x )(22Ω为平面曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面⎩⎨⎧==0:2x z y L z 4=z所围成的闭区域。

9.计算三重积分，其中是由曲面∫∫∫ΩzdV Ω222y x z −−=及所围成的闭区域。

22y x z +=10.计算三重积分，其中∫∫∫ΩxydV Ω是由柱面及平面122=+y x3=z ，，，所围成的在第一卦限内的闭区域。

重积分部分练习题

题目部分， (卷面共有 100 题 ,分 ,各大题标有题量和总分 ) 一、选择 (16 小题 ,共分 )(2 分 )[1]2(3 分 )[2] 二重积分xydxdy (此中 D ： 0≤ y ≤ x ,0≤ x ≤ 1)的值为D1111 （ A ）（ B ）（ C ）（ D ） 61224答 ()(3 分 )[3] 若地区D 为 0≤ y ≤ x 2,| x| ≤ 2,则xy 2 dxdy=D（A ）0；（ B ）32（ C ）64（ D ） 25633(3 分 )[4] 设D 1 是由ox 轴， oy轴及直线答 (x+y=1 所圈成的有界闭域， )f 是地区D ：| x|+| y| ≤ 1 上的连续函数，则二重积分f ( x 2, y 2 ) dxdy __________f ( x 2 , y 2 )dxdyDD 1（A ）2（ B ）4（ C ）8（D ）12答 ()(3 分 )[5] 设 f(x,y)是连续函数，则二次积分0 1 x 21dxf ( x, y) dyx 11 y 12 y 21(A)dy1 f ( x, y)dxdyf (x, y)dx0 11(B)1 y 1dy1 f ( x, y)dx1 y 12y 2 1(C)dy 1 f ( x, y)dxdy f (x, y)dx1 1(D)2y 21dy1 f (x, y)dx答 ()x y dxdy(3 分 )[6] 设函数 f(x,y)在地区 D ：y2≤－ x,y ≥ x 2 上连续，则二重积分f可( , )D化累次积分为x 2f (x, y)dy0 x 2(A)dxx (B)dx f ( x, y)dy11 x1 y 21 y2 (C)dyf ( x, y)dx(D)dyf ( x, y)dxyy答( )13 y 2f ( x, y)dx 可互换积分序次为(3 分 )[7] 设 f(x,y)为连续函数，则二次积分dy1 2y21dx2 x3 3 x 2(A)f ( x, y)dydxf (x, y)dy0 0112x 21 3 dx3 x 2(B) 2dxf (x, y)dy 1 dxf (x, y)dy 2 f ( x, y)dy21 3 x 2(C)dx2 x (D) 2d3 2cos 0sin 2()f ( x, y)dyf (r cos , r sin )rdr答(3 分 )[8] 设 f(x,y)为连续函数，则积分1 x 22 2 xdxf (x,y)dydxf ( x, y)dy1可互换积分序次为1 y2 2 y(A)dyf (x,y)dx dy0 f ( x, y)dx0 0 1(B)1 x 22 2 xdy f ( x,y)dxdy0 f (x, y)dx0 0 11 2 y(C)dyf ( x,y)dxy12 x(D)dyx 2 f ( x,y)dx答 ()(4 分 )[9] 若地区 D(x 1) 2 +y 2≤ 1,则二重积分fx y dxdy 化成累次积分为为－( , )D2cos2cos(A)dF (r , )dr(C) 2d2cos F (r , )dr2此中 F(r,θ )=f(r cos θ,rsin θ)r.(B)dF (r , )dr0 (D) 2 2d2cos F (r , )dr答 ( )(3 分 )[10] 若地区 D 为 x 2+y 2≤ 2x ，则二重积分(x y) x 2y 2 dxdy 化成累次积分为D2d2cossin ) 2r cos rdr(A)(cos2(cossin )d2cos 3dr(B)r(C)22(cossin )d 2cosr 3dr(D) 22(cossin )d2cos r 3dr2答()(4 分)[11]设 I 1[ln( x y)]7 dxdyI, 2(xy) 7 dxdy,I 3sin 7(x y)dxdy此中D是DDD由 x=0,y=0, xy1I 1 ， I 2， I 3 的大小次序是,x+y=1 所围成的地区，则2(A)I 1＜ I 2＜ I 3;(B)I 3＜ I 2＜ I 1;(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .132312答( )(5 分 )[12] 设 Idxdy，则 I 知足11cos 2x sin 2 yx y2I 2(B)2I3(A)3 1(C) D(D)1 I 0I2答 ( )(4 分 )[13] 设 xy1及 x+y=1 所围成的地区，则 I 1， I 2，此中 D 是由直线 x=0,y=0,2I 3 的大小次序为(A)I ＜I ＜I ;(B)I ＜I ＜I;32 112 3(C)I ＜I ＜I ;(D)I ＜I ＜I .1 32312答 ( )(3 分 )[14] 设有界闭域 D与 D 对于 oy 轴对称，且 D ∩D =,f(x,y)是定义在 D ∪D 上的连续函121212数，则二重积分f (x 2, y)dxdyD(A) 2f ( x 2 , y)dxdy(B) 4f ( x 2 , y)dxdyD 1D 2(C)4f (x 2 , y)dxdy(D) 1f ( x 2 , y)dxdyD 12D 2答 ()(3 分 )[15] 若地区 D 为| x| ≤1,| y| ≤ 1,则xe cos(xy) sin( xy)dxdyD (A) e;－ 1(B) e ; (C) 0;(D)π.答 ( )(4 分 )[16] D： x2+y2≤ a2(a＞ 0),当 a=___________，a2x2y2 dxdy .D33(A)1(B)23331(C)4(D)2答 ()二、填空(6小 ,共分 )(4 分)[1] 函数 f(x,y)在有界地区 D 上有界，把 D 随意分红 n 个小地区σi(i=1,2,⋯,n),在每一个小地区σ i随意取一点(ξi,ηi),假如极限nlim f ( i , i ) i(此中入是σ i(i=1,2,⋯,n)的最大直径)存在，称此极限0 i1______________的二重分。

重积分练习题含答案

重积分练习题含答案第十章重积分练习结论1：如果积分区域D 关于y 对称，}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论2：如果积分区域D 关于x 轴对称，}0,),(),{(1≥∈=y D y x y x D 则=--=-=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ结论3：如果积分区域D 关于坐标原点O 对称，则=---=--=DD y x f y x f d y x f y x f y x f d y x f 1),(),(),(2),(),(0),(时当时当σσ其中}0,),(),{(1≥∈=x D y x y x D结论4：如果积分区域D 关于直线=y x 对称，则=DDd x y f d y x f σσ),(),(练习11.求σ-=??d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-2.证明??-=xab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）3. 设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明? ->b aba ab dx x f dx x f 2)()(1)(4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

5.计算vdv y x I )(22，v 是由yOz 平面上曲线z y 2=绕z 轴旋转所得平面2=z ，8=z 所围区域。

6. 设函数)(x f 连续，[]d v y x f zt F v++=)()(222，其中{}H z t yx z y x V ≤≤≤+=0,),,222（，试求dtdF 和2)(limtt F t →7. 求曲面221y x z ++=在点)3,1,1(0-M 的切平面与曲面22y x z +=所围立体的体积V8.设半径为R 的球面∑的球心在定球面)0(222>=++a a z y x 上，问当R 取何值时，∑在定球面内部的那部分1∑的面积最大？练习21．计算??Dxyd σ，其中区域D 是由抛物线12-=x y 及直线x y -=1所围成的区域-8272．计算??+Dyx d eσ，其中D 是由1≤+y x 所确定的区域 ??? ?-e e 13．计算??+Ddxdy y x )sin(，其中D 为正方形区域：ππ≤≤≤≤y x 0,0 )2(π4．更换积分次序① ??211),(x xdy y x f dx ② ??-π0sin sin2),(xx dy y x f dx5．计算由平面0,0,6===++y x z y x 及42=+y x 所围成的立体的体积 ??3646. 球体2222+x y z R +≤与Rz z y x 2222≤++的公共部分为一立体，求其体积3125R π7. 计算三重积分Ωzdxdydz ，其中Ω为由圆锥面的22yx z +=及平面1=z 所围成区域 ??4π8. 分别用柱面坐标、球面坐标和直角坐标计算三重积分Ω=zdv x I 2，其中Ω是由球面2222=++z y x 及圆锥面22y x z +=所围成（含z 轴部分） ??12π9. 求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+2 2内部的那部分面积（0>a ）))2(2(2-πa重积分练习一参考答案1.求σ-=d x y I D2，其中2y 0,1x 1:D ≤≤≤≤-解：如图，曲线2x y =把区域D 分为1D 和2D ，其中1x 1D 1≤≤-：，2x y 0≤≤；2y x,1x 1:D 22≤≤≤≤-σ-+σ-=σ-=d x y d y xd x y I 21D 2D 2D2()()??--=-?+-?=1122112221513xx dyx y dx dy y xdx2.证明??-=x ab abady y b y f dy y f dx ))(()(（f 连续）证：左端=??xabady y f dx )(，??≤≤≤≤bx a x y a D ，作出积分域交换积分顺序，?? ≤≤≤≤by a b x y D左端==xab ady y f dx )(??by b adx y f dy )(?=-=b ady y b y f ))((右端，证毕！注：本题还可这样证明：令?--=t axat adx x t x f dy y f dx t F ))(()()(，证明0)(0)(=?='t F t F3.设)(x f 在区间],[b a 上连续，且0)(>x f ，试证明?->b abaa b dx x f dx x f 2)()(1)(证：设平面区域},),({b y a b x a y x D ≤≤≤≤=，D 关于直线x y =对称=∴b ab ab ady y f dx x f dx x f dx x f )(1)()(1)(222)()()()()(221)()()()(21)()()()(21)()()()(a b d x d y d x d yy f x f y f x f d x d y y f x f y f x f d x d y x f y f y f x f d x d y x f y f d x d y y f x f DDD DDD-==≥+=+==4.计算[]??++Ddxdy y x yf x )(122，其中D 由3x y =，1=y ，1-=x 围成。

二重积分的计算方法例题及解析

二重积分的计算方法例题及解析一、利用直角坐标计算二重积分1. 例题- 计算∬_D(x + y)dσ，其中D是由直线y = x，y = x^2所围成的闭区域。

2. 解析- （1）首先确定积分区域D的范围：- 联立方程<=ft{begin{array}{l}y = x y = x^2end{array}right.，- 解得<=ft{begin{array}{l}x = 0 y = 0end{array}right.和<=ft{begin{array}{l}x = 1 y = 1end{array}right.。

- 所以在x的范围是0≤slant x≤slant1，对于每一个x，y的范围是x^2≤slant y≤slant x。

- （2）然后将二重积分化为累次积分：- ∬_D(x + y)dσ=∫_0^1dx∫_x^2^x(x + y)dy。

- （3）先计算内层积分：- ∫_x^2^x(x + y)dy=∫_x^2^xxdy+∫_x^2^xydy。

- ∫_x^2^xxdy=x<=ft(y)<=ft.rve rt_x^2^x=x(x - x^2)=x^2-x^3。

- ∫_x^2^xydy=(1)/(2)y^2<=ft.rvert_x^2^x=(1)/(2)(x^2-x^4)。

- 所以∫_x^2^x(x + y)dy=x^2-x^3+(1)/(2)(x^2-x^4)=(3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4。

- （4）再计算外层积分：- ∫_0^1((3)/(2)x^2-x^3-(1)/(2)x^4)dx=(3)/(2)×(1)/(3)x^3-(1)/(4)x^4-(1)/(2)×(1)/(5)x^5<=ft.rvert_0^1。

- =(1)/(2)-(1)/(4)-(1)/(10)=(10 - 5 - 2)/(20)=(3)/(20)。

重积分的计算方法与例题

重积分的计算方法：重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（重积分）和一个二重积分。

从顺序看：Z2如果先做定积分f （x,y,z ）dz ，再做二重积分F （x,y ）d ，就是“投影法”,Z 1D也即“先一后二”。

步骤为：找及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ） “穿线”确定 Z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域 D 上的二重积分，完成 “ 后二 ” 这一步。

Z2f(x, y,Z)dv [ f(x,y,Z)dZ]dD Z 1c2如果先做二重积分 f （x, y, Z ）d 再做定积分F ⑵dZ ，就是“截面法”，也D Zc 1即“先二后一”。

步骤为：确定位于平面Z G 与Z c 2之间，即Z [c 1,c 2]，过Z 作平行于xoy 面的平面截，截面D z 。

区域D z 的边界曲面都是Z 的函数。

计算区域D z 上的二重积分 f （x,y,z ）d ，完成了“先二”这一步（二重积分）；DZ为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy 面，得投影区域D （平面）（1） D 是X 型或丫型，可选择直角坐标系计算（当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）进而计算定积分c2F （Z ）dz ，完成“后一”这步。

c2f (x, y,Z)dv [ f (x,y,Z)d ]dZc 1 D Z当被积函数 f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且D z 的面积（Z ）容易求出时，“截面法” 尤为方便。

，且被积函数形如f （X 2 y 2）,fd ）时，可选择X面坐标系计算或不易作出的情形不赘述。

三重积分的计算方法小结:1.对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域况选取。

一般地，投影法（先一后二）：较直观易掌握；截面法（先二后一）：D z 是在z 处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。

吉林大学微积分BII 习题课重积分的计算及应用

dy
b 2 b b 2 f ( x ) dx dx f ( y ) d y a a a

b a b f 2 ( x) d x b f 2 ( y ) d y 利用 2 a a

(b a) f 2 ( x)d x = 右端 a
机动
b
2ab a 2 b 2
习题课重积分的计算及应用
一、重积分计算的基本方法二、重积分计算的基本技巧三、重积分的应用
机动
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证明:
0 d y
a
y m( a x ) a m( a x ) e f ( x)d x (a x)e f ( x)d x 0 0 y

提示: 左端积分区域如图,
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例1. 计算二重积分 I ( x x ye
2 D
x2 y2
) d xd y , 其中:
(1) D为圆域
(2) D由直线
解: (1) 利用对称性.
围成 .
x2 y2
I x 2 d x d y x ye
D
D
d xd y
1 2 2 ( x y ) d xd y 0 2 D 1 3 1 2 d r d r 0 4 2 0
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交换积分顺序即可证得.
a
2 2
D
yx
x2 y2 z 2 1 由球面 x 2 y 2 z 2 1 所围成的闭区域 .
对称性可知原式为 0.
机动目录
求
z ln( x y z 1)

重积分的几种计算方法

柱面
y
x及平面y=0,
z=0x,
y
所围闭区域
2
z x 2
z 解： D: 0≤ y ≤ x , 0 ≤ x ≤
2
y cos( x z)dxdydz,
x
0
y y y x
dxdy
2
0
x
y
cos( x
z)dz
D
2
0
dx0
x dy
x 2
0
y cos( x
z)dz
Dx
0
2
2 1
16 2
y=y1(x, z) z 0 y=y2(x, z) Dxz y x
z x2 y 2 z =r
x
y
z
x2
y 2 dxdydz
zr 2drddz
*
2 1 r 2 (1 r 2 )dr
0
2
2 d
1 r 2 dr
1 zdz
0
0
r
2 15
z
z=r
z=1
r 2drd
1
zdz
D
r
D
例2. 计算
zdxdydz,
zdxdydz zrdrddz
*
r =常数 =常数 =常数 dxdydz= r2sin z x y
drd d
例5. 计算 zdxdydz,
其中 ={(x, y, z) | x2+y2+z2≤1, z≥0}.
解：x2+y2+z2=1
z
r=1 用 = 截得 D()
而 0≤ ≤2 故
0
x
y
原积分
r cos r 2sindrdd

《重积分》知识点、常用计算公式的总结与典型题

《重积分》知识点、常⽤计算公式的总结与典型题1、⼆重积分的建模思想与模型构建步骤(1) 建模思想：微元法（元素法）“⼤化⼩, 常代变, 近似和,取极限”(2) 模型转换公式中△σk表⽰⼩区域⾯积，括号中△σk表⽰区域。

2、⼆重积分的⼏何意义与物理意义⼏何意义：(1) 当f(x,y)=1，则表⽰积分区域D的⾯积；(2) 当f(x,y)≥0，则表⽰以积分区域D，以D的边界为准线，母线平⾏于z轴的柱⾯为侧⾯，顶为z=f(x,y)的曲顶柱体的体积.物理意义：当f(x,y)>0，则表⽰⾯密度为ρ=f(x,y)的，占有平⾯区域D的平⾯薄⽚的质量.3、⼆重、三重积分的计算性质除了线性运算性质、对积分区域的可加性、保序性、绝对值不等式、估值定理、积分中值定理外，有如下两个重要的计算性质。

性质(偶倍奇零)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续.●如果D关于x轴对称，记其x轴上⽅区域为D1，则有●如果D关于y轴对称，记其y轴右侧区域为D1，则有●如果积分区域D关于原点对称，则⼆重积分其中D1为D的上半部分．【注】以上性质就是“偶倍奇零”的计算性质，注意使⽤时，积分区域的对称性与被积函数的奇偶性之间要匹配。

即积分区域关于x轴对称，被积函数关于y变量有奇偶性；积分区域关于y轴对称，被积函数关于x变量有奇偶性，则积分偶倍奇零。

性质(轮换对称性)设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，积分区域关于直线y=x轴对称，直线y=x轴下⽅部分记作D1，直线y=x轴上⽅部分记作D2，则有4、直⾓坐标系下的⼆重积分计算步骤与典型例题第⼀步：画图(画确定积分区域的各边界曲线，根据题意确定区域).第⼆步：简化计算(判断积分区域整体，或者经过分割后的部分是否关于坐标轴、原点或y=x直线对称、判断被积函数整体，或者经加减运算拆项的部分是否具有相应变量的奇偶性，借助偶倍奇零与轮换对称性化简计算)第三步：确定积分区域类型(根据积分区域图形与被积函数特征，确定最终需要计算的积分区域的类型：简单X-型或简单Y-型，如果不是则分割积分区域)第四步：投影求型限(将积分区域投影到型变量对应的坐标轴上，确定型变量的范围：常值区间)第五步：画线定余限(在型变量的取值范围内，做平⾏于余变量对应的坐标轴，并且同向的有向直线穿过积分区域，⼊点为下限，出点为上限：上下限⼀般为型变量的函数或者直接为常值)第六步：余变先积分，最后积型变。

三重积分的计算方法与例题

三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。

其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。

从顺序看：如果先做定积分⎰21),,(z z dz z y x f ，再做二重积分⎰⎰Dd y x F σ),(，就是“投影法”，也即“先一后二”。

步骤为：找Ω及在xoy 面投影域D 。

多D 上一点（x,y ）“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。

σd dz z y x f dv z y x f Dz z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=21]),,([),,(如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是“截面法”，也即“先二后一”。

步骤为：确定Ω位于平面21c z c z ==与之间，即],[21c c z ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。

区域z D 的边界曲面都是z 的函数。

计算区域z D 上的二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(，完成了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分⎰21)(c c dz z F ，完成“后一”这一步。

dz d z y x f dv z y x f c c D z]),,([),,(21σ⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=当被积函数f （z ）仅为z 的函数（与x,y 无关），且z D 的面积)(z σ容易求出时，“截面法”尤为方便。

为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。

可以按以下几点考虑：将积分区域Ω投影到xoy 面，得投影区域D(平面)（1） D 是X 型或Y 型，可选择直角坐标系计算（当Ω的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算）（2） D 是圆域（或其部分），且被积函数形如)(),(22xyf y x f +时，可选择柱面坐标系计算（当Ω为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算）（3）Ω是球体或球顶锥体，且被积函数形如)(222z y x f ++时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。

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重积分的计算方法
重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分范围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。

我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。

通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。

为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。

着重介绍累次积分的计算与变量代换。

一．二重积分的计算
1．常用方法
（1）化累次积分计算法
对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下：
第一步：画出积分区域D的草图；
第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限；
第三步：计算累次积分。

需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。

积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。

所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。

选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。

（2）变量替换法
着重看下面的例子：。