鄞州中学自主招生数学卷三位一体
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(73)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（73）一、选择题（本大题共5小题，共30.0分）1.关于x的方程x2+|x|−a2=0的所有实数根之和等于()A. −1B. 1C. 0D. −a2【答案】C【解析】解：方程x2+|x|−a2=0的解可以看成函数y=x与函数y=−x2+a2的图象的交点的横坐标，根据对称性可知：所有实数根之和等于0．故选：C．利用图象法解决问题即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．2.抛物线y=x2上有三点P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，则△P1P2P3的面积为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：分别从点P1、P2、P3向x轴作垂线，因为P1、P2、P3，其横坐标分别为t，t+1，t+3，而三点在抛物线y=x2上，所以三点纵坐标分别是：t2，(t+1)2，(t+3)2，则S△P1P2P3=12×3×[t2+(t+3)2]−12×[(t+1)2+t2)]−12×2×[(t+1)2+(t+3)2]=3．故选：C．分别从点P1、P2、P3向x轴作垂线构造梯形，利用面积差求解．则△P1P2P3的面积为：1 2×3[t2+(t+3)2]−12[(t+1)2+t2]−12×2[(t+1)2+t2]=3．主要考查了梯形的面积公式的运用和一次函数图象上点的坐标特征，要会根据点的坐标求出所需要的线段的长度，灵活运用勾股定理和面积公式求解．3.已知a、b、c为自然数，且a2+b2+c2+42<4a+4b+12c，且a2−a−2>0，则代数式1a +1b+1c的值为()A. 1B. 76C. 10D. 11【答案】A【解析】解：由a2−a−2>0，a为自然数，可知a>2，将化a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为(a−2)2+(b−2)2+(c−6)2<2，因为(a−2)2、(b−2)2、(c−6)2都大于0，当a≥4时，上式不成立，所以自然数a只能取值为3．当a=3时，代入上式，得：(b−2)2+(c−6)2<1，所以只能使(b−2)2=0，(c−6)2=0，即b=2，c=6，所以1a +1b+1c=1．故选：A．先由a2−a−2>0得到a>2或a<−1，再变形a2+b2+c2+42<4a+4b+12c为：(a−2)2+(b−2)2+(c−6)2<2，得到a=3，进而得到(b−2)2+(c−6)2<1，再得到b=2，c=6，故能求得1a +1b+1c的值．本题的关键是把不等式转化成平方的形式，然后分析在什么情况下小于2，从而求出a，b，c的值．4.正五边形广场ABCDE的边长为80米，甲、乙两个同学做游戏，分别从A，C两点处同时出发，沿A−B−C−D−E−A的方向绕广场行走，甲的速度为50米/分，乙的速度为46米/分，则两人第一次刚走到同一条边上时()A. 甲在顶点A处B. 甲在顶点B处C. 甲在顶点C处D. 甲在顶点D处【答案】D【解析】解：①二人在1条边上，二人地距离差小于或等于80米．②甲在A点，乙在C点，二人的距离差是160米，甲要追回80米需要的时间是80比(50−46)是20分钟．③20分钟甲走了1000米，正好走到CD的中点设为F；20分钟乙走920米走到DE距D点40米处设为G．④甲从F走到D是40比50等于0.8分钟；乙用0.8分从G点走出0.8乘46等于36.8米距E点80−36.8−40=3.2米．⑤由此得知甲走到D点时乙走在DE线上距E3.2米处．故选：D．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系求解．本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．5.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在抛物线y=ax2+2ax+4(0<a<3)上，若x1<x2，x1+x2=1−a，则()A. y1>y2B. y1<y2C. y1=y2D. y1与y2大小不能确定【答案】B【解析】解：将点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中，得：y1=ax12+2ax1+4----①，y2=ax22+2ax2+4----②，②−①得：y2−y1=(x2−x1)[a(3−a)]，因为x1<x2，3−a>0，则y2−y1>0，即y1<y2．故选B．将点A(x1,y1)，B(x2,y2)分别代入y=ax2+2ax+4(0<a<3)中得y1=ax12+2ax1+ 4----①；y2=ax22+2ax2+4----②；利用作差法求出y2−y1>0，即可得到y1>y2．本题难度较大，要充分利用数据特点，进行计算．二、填空题（本大题共6小题，共36.0分）6.如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为______．【答案】30cm2【解析】解：连接E、F两点，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，∴S△EFC=S△BCF，∴S△EFQ=S△BCQ，同理：S△EFD=S△ADF，∴S△EFP=S△ADP，∵S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，=30cm2，∴S四边形EPFQ故阴影部分的面积为30cm2．连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFC=S△BCF，S△EFD=S△ADF，所以S△EFG=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．7.如图，是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1、A2、A3、….若从O点到A1点的回形线为第一圈(长为7)，从A1点到A2点的回形线为第二圈，…，以此类推，则第11圈的长为______．【答案】87【解析】解：观察图形发现：第一圈的长是2(1+2)+1=7；第二圈的长是2(3+4)+1=15；第三圈的长是2(5+6)+1=23；则第n圈的长是2(2n−1+2n)+1=8n−1．所以，当n=11时，原式=88−1=87．故答案为87．根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．此题主要考查图形变化的规律，结合图形发现：图形的周长正好能转化为长方形的周长再加1.重点分析对应长方形的周长：第n个长方形的长是对应的偶数，宽是对应的奇数．8.有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的自然数，从中任意抽出两张卡片，则两张卡片中的数字之和为偶数的概率为______．【答案】25【解析】解：共有6×5=30种可能，两张卡片中的数字之和为偶数的有12种，所以概率是25．依据题意分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．9.如图，AB为⊙O的直径，D为AB上一点，且AB=5AD，CD⊥AB，垂足为D，C在圆上，设∠COD=α，则sinα2=______．【答案】√55【解析】解：设AD=x，则AB=5x，即⊙O的直径为5x，∴OA=OC=12×5x=5x2，OD=OA−AD=3x2，∵AB为圆的直径，∴∠ACB=90°，∵圆心角∠AOC=α与圆周角∠B所对的弧都为AC⏜，∴∠B=12∠AOC=α2，在Rt△OCD中，根据勾股定理得：CD2+OD2=OC2，∴CD=2x，在Rt△ACD中，AD=x，CD=2x，根据勾股定理得：AC=√5x，在Rt△ABC中，sinB=sinα2=√5x5x=√55．由同弧所对的圆周角等于所对的圆心角的一半，得到所求式子的角α2与角B相等，求出sin B即可求出所求的，方法为：根据题中所给的条件设出AD=x，AB=5x，可将OD 和OC的值表示出来，在直角三角形OCD中，根据勾股定理表示出CD，在直角三角形ADC中，再利用勾股定理表示出AC，最后在直角三角形ABC中，根据锐角三角函数的定义，即可求出sin B的值，即为所求sinα2的值．考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．10.今有一副三角板(如图1)，中间各有一个直径为4cm的圆洞，现将三角板a的30°角的那一头插入三角板b的圆洞内(如图2)，则三角板a通过三角板b的圆洞的那一部分的最大面积为______ cm2.(不计三角板的厚度，精确到0.1cm2)【答案】14.9【解析】解：如图，BC=4，∠BAC=30°，作AD⊥BC，当点D是BC的中点时，△ABC的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB=AC，∠B=75°，S△ABC=12BC⋅BDtan75°=12×4×2×3.732≈14.9cm2．作AD⊥BC，当点D是BC的中点时，△ABC的面积最大，此时由中垂线的性质知，AB=AC，∠B=75°，可求S△ABC=12BC⋅BDtan75°．本题利用了中垂线的性质，三角形的面积公式，正切的概念求解．11.已知点A(0,2)，B(4,0).点C，D分别在直线x=1与x=2上，且CD//x轴，则AC+CD+DB的最小值为______．【答案】1+√13【解析】解：作法如图，过A作直线x=1的垂线，垂足为M，连接BM交直线x=2于D点，过D点作直线x=1的垂线，垂足为C点，此时，AC+CD+DB的最小，AC+CD+DB=MD+CD+DB=BM+CD=√MN2+NB2+CD=√13+1．可以把直线x=1，x=2形成的图形理解为一条河，CD为一座桥，求AC+CD+DB的最小值，可转化为“修桥问题”．本题要善于将实际问题转化为数学模型“修桥问题”，结合图形进行计算．三、解答题（本大题共4小题，共64.0分）12.请设计三种方案：把一个正方形剪两刀，使剪得的三块图形能够拼成一个三角形，并且使拼成的三角形既不是直角三角形也不是等腰三角形，画出必要的示意图，并附以简要的文字说明．【答案】解：如图，在AD边上任取一点N，使点N不是边AD的中点．分别作出线段AN、DN的中点O1、O2，只要把正方形ABCD沿BO1、CO2剪两刀，则得到的三块图形就可以如图所示地拼成一个符合题意的三角形．答案不唯一：【解析】由题意知，只要剪两刀后，剪下的两个直角三角形中有一边与另一个三角形的一边的和能与余下的正方形的部分重合，或才能与原正方形的一边重合的都能符合要求．本题的答案不唯一，可以拓展学生的空间想象能力，又可以培养动手能力．13.甲、乙两人同时从A地出发，沿同一条道路去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v1>v2)，甲前一半的路程使用速度v1、后一半的路程使用速度v2；乙前一半的时间使用速度v2、后一半的时间使用速度v1．(1)甲、乙两人从A地到达B地的平均速度各是多少(用v1和v2表示)(2)甲、乙两人谁先到达B地，为什么？(3)如图是甲从A地到达B地的路程s与时间t的函数图象，请你在图中画出相应的乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象．【答案】解：V甲(1)设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．v 甲=s12sv1+12sv2=2v1v2v1+v2，(3分)v乙=v1a2+v2a2a=v1+v22.(3分)(2)v乙−v甲=(v1−v2)22(v1+v2)∵0<v2<v1，∴v乙−v甲>0，乙先到B地．(4分)(3)如图(6分)(只要两对平行线及三点共线即可得分)【解析】(1)设AB两地的路程为s，乙从A地到B地的总时间为a．先算出前一半的路程所用的时间，后一半的路程所用的时间相加，速度=路程÷时间求出V甲；先算出前一半的时间所行的路程，后一半的时间所行的路程相加，速度=路程÷时间求出V乙；(2)看甲、乙两人谁先到达B地，因为路程一定，比较V甲，V乙的大小即可；(3)乙从A地到达B地的路程s与t的函数图象，乙的时间短，前一半的时间的图象与甲后一半的路程的图象平行，后一半的时间的图象与甲前一半的路程的图象平行．本题重点考查了实际应用和一次函数图象相结合的问题，是一道难度中等的题目．14.已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF．(1)当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；(2)当△FCG的面积为1时，求DG的长；(3)当△FCG的面积最小时，求DG的长．【答案】解：(1)∵四边形EFGH为正方形，∴HG=HE，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH(AAS)∴DG=AH=2(2)作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，∵AB//CD，∴∠AEG=∠MGE∵HE//GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF．在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．×2×GC=1，解得GC=1，DG=6．因此S△FCG=12(3)设DG=x，则由第(2)小题得，S△FCG=7−x，又在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x≤√37，∴S△FCG的最小值为7−√37，此时DG=√37．【解析】(1)当四边形EFGH为正方形时，则易证AHE≌△DGH，则DG=AH=2 (2)作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，可以证明△AHE≌△MFG，则FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2.根据△FCG的面积为1，就可以解出GC，DG的长．(3)先求出DG的取值范围，S△FCG的面积可以表示成x的函数，根据函数的性质，就可以求出最值．求最值的问题一般是转化为函数问题，根据函数的性质求解．15.设点O(0,0)、点A(2,0)，分别以O、A为圆心，半径为2r、r作圆，两圆在第一象限的交点为P．(1)当r =1时，求点P 的坐标；(2)当23<r <2时，能否找到一定点Q ，使PQ 为定值？若能找到，请求出Q 点的坐标及定值；若不能找到，请说明理由．【答案】解：(1)设P(x,y)， 由勾股定理，得{x 2+y 2=22(2−x)2+y 2=12解得{x =74y =√154(舍去负值) ∴P(74,√154)；(2)设P(x,y)，由题意，得x 2+y 2=4[(x −2)2+y 2] 化简，得x 2+y 2−163x +163=0即(x −83)2+y 2=169∴定点为(83,0)，定值为43．【解析】(1)过P 点作x 轴的垂线，把△OPA 分割成两个直角三角形，设P(x,y)，在两个三角形中使用勾股定理，列方程组，解答本题； (2)根据勾股定理，列方程求解．考查了运用勾股定理解二元二次方程组(二元二次方程)、圆与圆的位置关系与数量关系间的联系．此类题为中考热点，需重点掌握．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(61)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（61）一、选择题（本大题共6小题，共30.0分）1.已知非零实数a，b满足|2a−4|+|b+2|+√(a−3)b2+4=2a，则a+b等于()A. −1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为|b+2|+√(a−3)b2=0，于是a=3，b=−2，从而a+b=1．故选C．首先根据算术平方根的被开方数≥0，求出a的范围，进而得出|2a−4|等于原值，代入原式得出∣b+2∣+√(a−3)b2=0.这是两项非负数之和等于0.则可分别求出a和b的值．本题主要考查了算术平方根的性质和根据两个非负数之和等于0，求未知数的值．2.Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则()A. ℎ<1B. ℎ=1C. 1<ℎ<2D. ℎ>2【答案】B【解析】【分析】此题考查观察图形的能力，要找到各点坐标之间的关系，巧妙地代换未知量．属于中档题．由抛物线表达式和三角形性质求出A、B、C各点坐标，就可以求出h或h的范围．【解答】解：由题A，B，C均在抛物线y=x2上，并且斜边AB平行于x轴，知A、B两点关于y轴对称，记斜边AB交y轴于点D，可设A(−√b,b)，B(√b,b)，C(a,a2)，D(0,b)则因斜边上的高为h，故：ℎ=b−a2，∵△ABC是直角三角形，由其性质直角三角形斜边中线等于斜边一半，∴得CD=√b，∴√a2+(a2−b)2=√b方程两边平方得：(b−a2)=(a2−b)2即ℎ=(−ℎ)2因ℎ>0，得ℎ=1，是个定值．故选B．3.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=()A. a：b：cB. 1a ：1b：1cC. cos A：cos B：cos CD. sin A：sin B：sin C【答案】C【解析】解：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB⋅cos∠BOD=R⋅cosA．同理，OE=R⋅cosB，OF=R⋅cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cos B：cos C．故选C．设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．本题主要考查了三角形的外心的性质，正确利用垂径定理，转化为直角三角形的问题是解题的关键．4.若实数x，y满足条件2x2−6x+y2=0，则x2+y2+2x的最大值是()A. 14B. 15C. 16D. 不能确定【答案】B【解析】解：由已知得：y2=−2x2+6x，∴x2+y2+2x=x2−2x2+6x+2x，=−x2+8x，=−(x−4)2+16，又y2=−2x2+6x≥0，解得：0≤x≤3，∴当x=3时，y=0，所以x2+y2+2x的最大值为15．故选：B．由已知得y2=−2x2+6x，代入x2+y2+2x中，用配方法求最大值．根据已知条件将所求式子消元，转化为二次函数求最大值．关键是根据自变量的取值范围确定式子的最大值．5.如图，正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N；若AF平分∠BAC，DE⊥AF；记x=BEOM ，y=BNON，z=CFBF，则有()A. x>y>zB. x=y=zC. x=y>zD. x>y=z 【答案】D【解析】解：如图，由角平分线，BNON =ABAO=√2=ACAB=CFBF，即y=z=√2，又△AME的角分线与高重合，则△AME为等腰三角形，AM=AE，作OP//AB，交OE于P，则OP为△DBE的中位线，△OMP∽△AME ，x =BE OM =BEOP =2， 所以x >y =z ．由角平分线的性质可得BNON =ABAO =√2=ACAB =CFBF ，作OP//AB ，交OE 于P ，则OP 为△DBE 的中位线，则△OMP∽△AME ，即可解题．本题考查了角平分线性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△OMP∽△AME 是解题的关键．6. 将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为( ) A. 112B. 29C. 518D. 1336【答案】D【解析】解：当2a −b =0时，方程组无解；当2a −b ≠0时，由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a ，b 都为大于0的整数， 则两式联合求解可得x =6−2b 2a−b ，y =2a−32a−b ， ∵使x 、y 都大于0则有6−2b 2a−b >0，2a−32a−b >0，解得a <1.5，b >3或者a >1.5，b <3，而a ，b 都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10=13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为1336，故选：D ．列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可． 难点是：当方程组相同未知数的系数之比相等，但与常数项之比不相等时，方程组无解，关键是得到使方程组为正整数的解的个数．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题（本大题共7小题，共35.0分） 7. 若a b =20,b c =10，则a+bb+c 的值为______． 【答案】21011【解析】解：由题设得a+bb+c =ab+11+c b=20+11+110=21011．故答案为：21011．根据ab =20,bc =10得到a =20b ，c =b10代入a+bb+c 即可求得答案．本题考查了比例的性质，解题的关键是对原式进行正确的变形．8. 已知二次函数y 1=ax 2+bx +c(a ≠0)与一次函数y 2=kx +b(k ≠0)的图象相交于点A(−2,4)，B(8,2)，如图所示，则能使y 1<y 2成立的x 的取值范围是______ ．【答案】−2<x<8【解析】解：由图形可得，当−2<x<8时，二次函数图象在一次函数图象下方，y1<y2，所以，使y1<y2成立的x的取值范围是−2<x<8．故答案为：−2<x<8．根据图象，找出二次函数图象在一次函数图象下方的部分的x的取值范围即可．本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象求不等式的解，关键在于认准在上方与下方的函数图象所对应的函数解析式，数形结合是数学中的重要思想之一．9.已知一次函数y=(a−1)x+a(a为整数且a≠1)的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，且△OAB的面积是正整数，则a=______．【答案】2【解析】解：由题意可得A、B两点的坐标为(−aa−1,0)、(0,a)，S△AOB=12AO⋅BO=12⋅|−aa−1|⋅|a|=|a22−2a|，∵△OAB的面积是正整数，而只有当a=2时，S△AOB=2是正整数，故a=2．先确定A、B的坐标，再由△OAB的面积是正整数，求a的值．本题主要考查了一次函数的增减性，也利用了三角形的面积计算，是一道难度中等的题目．10.在单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆(与角两边及三角形内切圆都相切的圆)的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为______．【答案】S=√34−π9【解析】解：作图如下：由题意知AC=12，∠BAC=30°，解得BC=√36，设小圆半径为r，sin30°=DEAD =√36−r=12，解得r=√318，∴三角形剩下部分的面积S =√34−3×π(√318)2−π(√36)2=√34−π9．首先根据题干条件解出大圆和小圆的半径，再根据三角形面积公式求出大三角形面积，圆面积公式求出圆的面积．本题主要考查相切两圆的性质等知识点，本题关键解出两个圆的半径．11. 如图，设AD 、BE 、CF 为三角形ABC 的三条高，若AB =6，BC =5，AE −EC =115，则线段BE 的长为______．【答案】245【解析】解：设AE =x ，EC =y ，则 {36−x 2=25−y 2x −y =115，解得x =185，则BE =√AB 2−AE 2=245．故答案为：245．可设AE =x ，EC =y ，则根据勾股定理和已知条件可得方程组，解方程组可求AE 的长，再根据勾股定理可求线段BE 的长．考查了勾股定理．本题是一道根据直角三角形的性质结合勾股定理求解的综合题；要注意数形结合思想的应用．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O(0,0)，A(0,6)，B(4,6)，C(4,4)，D(6,4)，E(6,0).若直线l 经过点M(2,3)，且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是______． 【答案】y =−13x +113【解析】解：如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ．由已知得点M(2,3)是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N(5,2)是矩形CDEF 的中心，所以，过点N(5,2)的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分． 于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为y =kx +b ，则{2k +b =35k +b =2，解得{k =−13b =113，故所求直线l 的函数表达式为y =−13x +113． 故答案为y =−13x +113．延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N.把将多边形OABCDE分割两个矩形，过两个矩形的对角线的交点的直线把多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分．而M 点正是矩形ABFO 的中心，求得矩形CDEF 的中心N 的坐标，设y =kx +b ，利用待定系数法求k ，b 即可．本题考查了一次函数关系式为：y =kx +b(k ≠0)，要有两组对应量确定解析式，即得到k ，b 的二元一次方程组．同时考查了不规则图形面积的平分方法；过矩形对角线交点的直线必平分它的面积．13. 如果函数y =b 的图象与函数y =x 2−3|x −1|−4x −3的图象恰有三个交点，则b的可能值是______． 【答案】−6、−254 【解析】解：当x ≥1时，函数y =x 2−3|x −1|−4x −3=x 2−7x ，图象的一个端点为(1,−6)，顶点坐标为(72,−494)，当x <1时，函数y =x 2−3|x −1|−4x −3=x 2−x −6， 顶点坐标为(12,−254)，∴当b =−6或b =−254时，两图象恰有三个交点． 故本题答案为：−6，−254．按x ≥1和x <1分别去绝对值，得到分段函数，确定两函数图象的交点坐标，顶点坐标，结合分段函数的自变量取值范围求出符合条件的b 的值．本题考查了分段的两个二次函数的性质，根据绝对值里式子的符号分类，得到两个二次函数是解题的关键．三、计算题（本大题共1小题，共18.0分）14.已知抛物线y=3ax2+2bx+c．(1)若a=b=1，c=−1，求抛物线与x轴公共点的坐标；(2)若a=b=1，且当−1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围．【答案】解：∵a=b=1，c=−1，∴抛物线的解析式为y=3x2+2x−1，令y=3x2+2x−1=0，解得：x=−1或13，∴抛物线与x轴的交点坐标为：(−1,0)，(13,0)；(2)∵a=b=1，∴解析式为y=3x2+2x+c．∵对称轴x=−b2a =−13，∴当−1<x<1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴△=4−12c=0，②一个交点的横坐标小于等于−1，另一交点的横坐标小于1而大于−1，∴3−2+c≤0，3+2+c>0，解得−5<c≤−1．综上所述，c的取值范围是：c=13或−5<c≤−1．【解析】(1)将a、b、c的值代入抛物线后求得解析式，令y=0求出x的值就是交点坐标的横坐标；(2)根据其在此范围内有一个交点，此时将两个值代入，分别大于零和小于零，进而求出相应的取值范围．本题考查了求二次函数的解析式等相关的知识，同时还渗透了分类讨论的数学思想，是一道不错的二次函数综合题．四、解答题（本大题共2小题，共37.0分）15.如图，AB为⊙O的直径，C在⊙O上，并且OC⊥AB，P为⊙O上的一点，位于B、C之间，直线CP与AB相交于点Q，过点Q作直线与AB垂直，交直线AP于R.求证：BQ=QR．【答案】证明：如图，连接PB、BR，则∠APC=45°，∠APB=90°；故∠BPQ=180°−∠APC−∠APB=45°；又∵∠APB=90°=∠BQR，∴B、Q、R、P四点共圆；于是∠BRQ=∠BPQ=45°，从而△BQR为等腰直角三角形；∴BQ=QR．【解析】连接BR、BP，由圆周角定理知∠APB=∠AQR=90°，由此可得B、P、R、Q 四点共圆，由圆周角定理知∠BPQ=∠BRQ；而∠BPQ是∠CPB的补角，由此可求得∠BPQ=45°，即∠BRQ=45°，可得△BQR是等腰Rt△，由此得证．主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定和性质；能够发现B、P、R、Q四点共圆是解答此题的关键．16.如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC边、CD边上的动点，满足∠EAF=45°．(1)求证：BE+DF=EF；(2)若正方形边长为1，求△CEF内切圆半径的最大值．【答案】(1)证明：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵在△GDA和△EBA中，{DG=BE∠GDA=∠ABE=90°AD=AB，∴△GDA≌△EBA，∴AG=AE，∠GAD=∠EAB，故∠GAF=45°，在△GAF和△EAF中，∵{AG=AE∠GAF=∠EAF AF=AF，∴△GAF≌△EAF，∴GF=EF，即GD+DF=BE+DF=EF；(2)解：令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r=1−a+1−b−(a+b)2=1−(a+b)，∵(1−a)2+(1−b)2=(a+b)2，整理得1−(a+b)=ab，而ab≤14(a+b)2，14(a+b)2+(a+b)−1≥0，解得：a+b≥−2+2√2或a+b≤−2−2√2(舍去)，r=1−(a+b)≤1−(−2+2√2)=3−2√2，当且仅当a=b=√2−1时，等号成立．【解析】(1)延长FD到G，使DG=BE，连接AG，证△GDA≌△EBA，△GAF≌△EAF，根据全等三角形的性质得出GD+DF=BE+DF=EF进而求出即可；(2)首先令BE=a，DF=b，则EF=a+b，r=1−a+1−b−(a+b)2=1−(a+b)，进而利用勾股定理得出14(a+b)2+(a+b)−1≥0，进而求出即可．本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定以及勾股定理的综合应用以及不等式的解法等知识，作出辅助线延长FD到G，使DG=BE，利用全等三角形性质与判定求出是解题关键．。
2023年浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波中学中考数学强基招生试卷+
2023年浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波中学中考数学强基招生试卷一、选择题（共6题，其中第5、6题为多选题）1．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1B．2a﹣1C．﹣2a+1D．﹣2a﹣12．（3分）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（）A．1个B．2个C．大于2个但有限D．无数个3．（3分）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（）A．B．C．D．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0B．C．D．（多选）5．（3分）如图，AB＝AC＝AD，∠BAE＝∠CAE（）A．A，B，C，D B．A，H，C，D C．A，B，E，C D．A，B，E，D（多选）6．（3分）小明进行投篮游戏，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率为r1，r2，r3，…r20，则下列哪个数一定会在r1，r2，r3，…r20中出现？（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8二、填空题（共5题）7．（3分）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．8．（3分）若函数y＝|2x﹣3|﹣2a始终大于y＝|x+a|，则a的取值范围为．9．（3分）一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成个部分．10．（3分）函数，关于M中心对称，则M的坐标为．11．（3分）4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，第三只，第四只猴子以此类推个．三、解答题（共3题）12．如图，P为半圆上的动点，AO＝OB＝BC＝2，其中Q，P，C逆时针排列．（1）若△OPB为正三角形，求BQ的值；（2）求四边形POCQ的面积最大值．13．已知a+b＝4．（1）求的最小值；（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，b，x，y的值．14．在Rt△AOB中，O为坐标原点，A在第一象限（a，9a），其中A，B，I三点都是整数点．（1）求直线OA的解析式；（2）a＝2003，求整点△AOB的个数．2023年浙江省宁波市效实中学、鄞州中学、宁波中学中考数学强基招生试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6题，其中第5、6题为多选题）1．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1B．2a﹣1C．﹣2a+1D．﹣2a﹣1【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，再利用完全平方公式把（﹣1）（﹣1）变形为﹣（+）+1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵x1，x2是方程x4﹣ax﹣a＝0的两个根，∴x1+x3＝a，x1x2＝﹣a，∴（﹣1）（﹣（+＝（x1x2）6﹣[（x1+x2）2﹣2x1x5]+1＝（﹣a）2﹣[a6﹣2×（﹣a）]+1＝a6﹣a2﹣2a+6＝﹣2a+1．故选：C．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．2．（3分）已知x3﹣y3+3xy+1＝0，x﹣y的值有（）A．1个B．2个C．大于2个但有限D．无数个【分析】先把已知等式的常数项移到等号右侧得①，然后求（x﹣y）3得②，再把①②相加，进行分解因式，再利用平方数的非负性进行解答即可．【解答】解：∵x3﹣y3+7xy+1＝0，∴x2﹣y3+3xy＝﹣7①，∵（x﹣y）3＝x3﹣y2﹣3x2y+6xy2②，②﹣①得：﹣3x6y﹣3xy+3xy2＝（x﹣y）3+1，∴﹣4xy（x﹣y+1）＝[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+2]（x﹣y+1），[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+2]（x﹣y+1）+3xy（x﹣y+8）＝0，（x﹣y+1）[（x﹣y）2﹣（x﹣y）+1+3xy]＝3，（x﹣y+1）（x2﹣2xy+y2﹣x+y+1+6xy）＝0，（x﹣y+1）（x3+y2+xy﹣x+y+1）＝2，∴，，，∴x﹣y+1＝5，（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y+1）2＝3，∴x﹣y＝﹣1，∵（x+y）2≥4，（x﹣1）2≥4，（y+1）2≥5，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，∴x﹣y＝1﹣（﹣1）＝2+1＝2，综上可知：x﹣y的值有4个，为﹣1或2，故选：B．【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是根据已知条件，找出解题的基本思路．3．（3分）如图，⊙O是等边三角形ABC的内切圆，半径为r，△AEF的内切圆⊙P切EF于点N，半径为，则＝（）A．B．C．D．【分析】利用切线长的关系求出EF，构造矩形OMNH，则MN＝OH，把OH放在Rt△POH中求，再求比值．【解答】解：设AB与⊙O、⊙P的切点分别是Q、G、⊙P的切点分别是T、S、PG、OA、OT，垂足为H，EG＝EN，EQ＝EM，FM＝FT，∵OQ＝OT，OQ⊥AB，∴AO是∠BAC的角平分线，∵PG＝PS，PG⊥AB，∴P在OA上，Rt△APG中，AG＝＝＝，∴AE+AF﹣EF＝AG+EG+AS+FS﹣EN﹣FN＝AG+AS＝3AG＝①，Rt△AOQ中，AQ＝＝＝r，∴AE+AF+EF＝AE+AF+EM+FM＝AE+AF+EQ+FT＝AQ+AT＝2AQ＝2r②，②﹣①得2EF＝，∴EF＝，∵∠OMN＝∠MNH＝∠NHO＝90°，∴四边形OMNH是矩形，∴MN＝OH，NH＝MO，Rt△POH中，OP＝AO﹣AP＝2OQ﹣2PG＝4r﹣2×＝+r＝，∴OH＝＝＝，∴MN＝，∴＝＝，故选：D．【点评】本题考查了切线长定理，构造矩形OMNH，把MN转移到OH是关键．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0B．C．D．【分析】令S＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则有S＞1﹣﹣﹣﹣…﹣，求出+++…+＝﹣，即可求S＞．【解答】解：（1﹣a1）（2﹣a2）（1﹣a7）…（1﹣a n）＞1﹣a4﹣a2﹣…﹣a n，（n≥2），当n＝5时，（1﹣a1）（2﹣a2）＝1﹣a4﹣a2+a1a5＞1﹣a1﹣a6，当n＝k时，（1﹣a1）（8﹣a2）（1﹣a8）…（1﹣a k）＞1﹣a7﹣a2﹣…﹣a k，当n＝k+1时，（2﹣a1）（1﹣a4）（1﹣a3）…（7﹣a k）（1﹣a k+1）＞[3﹣（a1+a2+…+a k）]（3﹣a k+1）＝1﹣（a8+a2+…+a k）﹣a k+1+（a7+a2+…+a k）•a k+1＞8﹣（a1+a2+…+a k）﹣a k+8＝1﹣（a1+a8+a3′′′+a k+1） 成立；令S＝（5﹣）（2﹣）…（1﹣），∴S＞1﹣﹣﹣﹣…﹣＝6﹣（+++…+），令M＝+++…+，∴M＝++，∴M＝﹣，∴M＝﹣，∴S＞1﹣+＝+＞，故选：D．【点评】本题考查数字的变化规律，会用错位相减法求和，灵活应用（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＞1﹣﹣﹣﹣…﹣是解题的关键．（多选）5．（3分）如图，AB＝AC＝AD，∠BAE＝∠CAE（）A．A，B，C，D B．A，H，C，D C．A，B，E，C D．A，B，E，D【分析】A、反证法说明四个点不可能共圆；B、反证法说明四个点不可能共圆；C、找到一个圆使四点共圆；D、找到一个圆使四点共圆．【解答】解：对于选项A：若A，B，C，D四点共圆，∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D在以A为圆心；∠B＝∠ACB，∴∠ACB+∠ACD＝180，∴B、C、D三点共线、C、D在圆上矛盾，∴A，B，C，D四点不共圆，故A选项符合题意．对于选项B：若A，H，C，D四点共圆，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，∴∠AHB＝90°，∴∠D＝90°，这与△ACD是等腰三角形是矛盾的．∴A，H，C，D四点不共圆故B选项符合题意．对于选项C：A，B，C三点确定一个圆，故C选项不符合题意．对于选项D：E可以落在以A为圆心，以AB为半径的圆上，故D选项不符合题意．故选：AB．【点评】本题考查了四点共圆、反证法、存在性问题，在涉及“不可能”字眼时，一般用反证法，如果得不出矛盾，可以从正面寻找四点共圆．（多选）6．（3分）小明进行投篮游戏，已知投篮20次，命中了17个，其中20次投篮的命中概率为r1，r2，r3，…r20，则下列哪个数一定会在r1，r2，r3，…r20中出现？（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【分析】根据第一个没进，依次对后面的投篮情况进行讨论即可．【解答】解：因为第一个没进，所以若第二个进了，则有．若第二个没进，第三个没进．若第二个没进，第四个没进．若第二个没进，第五个没进．后续情况无需讨论，由此可见0.5一定会在r2，r2，r3，…r20中出现．因为7.6＝，如果前五次有三次没进，则，……由此可见这一种情况中2.6没有出现．因为0.6＝，如果前10次有一次或二次没进，则，由此可见这种情况下0.7没有出现．因为3.8＝，如果前五次只有第一次没进，则，如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则．如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则．如果前五次有三次没进，则．由此可见8.8一定会在r1，r5，r3，…r20中出现．故选：AD．【点评】本题考查分类讨论思想的应用，正确的对没进的球进行讨论是解题的关键．二、填空题（共5题）7．（3分）如图，∠DCB＝∠A，CD＝4，∠CDB＝120°，则△ABC的面积为．【分析】过点C作CE⊥AB于点E，根据∠CDB＝120°求出∠CDE＝60°，然后在Rt△CDE中求出ED，CE的长，再在Rt△CEB中求出BC的长，利用已知条件证得△DBC∽△CBA，根据相似三角形对应边成比例即可求出AB的长，最后根据三角形面积公式计算即可．【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，∴∠CED＝90°，∵∠CDB＝120°，∴∠CDE＝60°，∴∠ECD＝30°，∴，由勾股定理得：，∴BE＝BD+ED＝7+2＝4，在Rt△CEB中，由勾股定理得：，∵∠DCB＝∠A，又∵∠DBC＝∠CBA，∴△DBC∽△CBA，∴，即，解得：BA＝14，∴．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积的计算方法，解直角三角形以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握这些性质是解题的关键．8．（3分）若函数y＝|2x﹣3|﹣2a始终大于y＝|x+a|，则a的取值范围为a＜﹣．【分析】在函数图象上只要y＝|2x﹣3|﹣2a的最小值大于y＝|x+a|即可．【解答】解：函数y＝|2x﹣3|﹣7a，当|2x﹣3|＝7时，即x＝时，y min＝4﹣2a＝﹣2a≥4，x≤0，此时大于y＝|x+a|，就能始终大于，y＝|x+a|＝|+a|，①当+a≥2，a≥﹣，﹣3a＞，a＜﹣，则﹣≤a＜﹣，②当+a＜0，a＜﹣，﹣2a＞﹣，a＜，则a＜﹣，综上，a＜﹣．【点评】本题考查一次函数和绝对值的综合题，在函数图象上只要y＝|2x﹣3|﹣2a的最小值大于y＝|x+a|即可．解题的关键是最值问题和分类讨论思想．9．（3分）一个圆可以把平面分成两个部分，两个圆可以分成三个或四个部分，问7个圆最多可以将平面分成44个部分．【分析】先求出前几个的值，再找出规律求解．【解答】解：1个圆最多可以把平面分成2个部分，7个圆最多可以分成4个部分，3圆可以把平面分成7个部分，4个圆可以分成14个部分，……，7个圆最多可以将平面分为：14+4+10+12＝44，故答案为：44．【点评】本题考查了圆的认识，找到变化规律是解题的关键．10．（3分）函数，关于M中心对称，则M的坐标为（﹣3，4）．【分析】设f（x）＝，将函数变形为）4+，根据函数的特点求出f（﹣6﹣x），找出f（x）与f（﹣6﹣x）的关系即可【解答】解：设f（x）＝，则，f（x）＝4+，∴f（﹣6﹣x）＝4+＝4﹣（），∴f（x）+f（﹣6﹣x）＝8＝5×4，即f（x）＝2×2﹣f[2×（﹣3）﹣x]，∴f（x）关于（﹣4，4）成中心对称，∴点M的坐标为（﹣3，4）．【点评】本题主要考查成中心对称的函数的对称中心，要求某个函数的对称中心（a，b），只要看函数否满足f（x）＝2b﹣f（2a﹣x）．掌握证明函数图象关于某点中心对称的证明方法即可．11．（3分）4只猴子分桃，第一只猴子把桃分成数量相同的四份，多了一个自己偷吃，第二只猴子把剩下的桃再次分成相同的四份，多了一个自己偷吃，第三只，第四只猴子以此类推253个．【分析】设第四只猴子分过后每份桃子有x个，则由题意可知：第四只猴子所分的桃子有（4x+1）个，第三只猴子所分的桃子有个，第二只猴子所分的桃子有个，第一只猴子有个，再由“是正整数，x是正整数”求出x的最小值，从而得出结论．【解答】解：设第四只猴子分过后每份桃子有x个，则第四只猴子所分的桃子有（4x+1）个+2）个，即个，第二只猴子所分的桃子有（4×+1）个，即个+1）个，即个，∵＝4x+6+，且，x是正整数，∴＝是正整数，∴x+8是27的倍数，∴x的最小值是26，此时9x+6+＝4×26+6+13＝253．故桃子至少253个．故答案为：253．【点评】此题考查了应用类问题，属于逆向推理问题，考查学生能够运用所学知识推断一些简单的逻辑问题的能力，同时还培养了学生公平、公正的生活作风．三、解答题（共3题）12．如图，P为半圆上的动点，AO＝OB＝BC＝2，其中Q，P，C逆时针排列．（1）若△OPB的值；（2）求四边形POCQ的面积最大值．【分析】（1）连接PB、BQ，BQ交PC于点D，根据△OPB为正三角形且OB＝BC可得PB＝PC，再根据△PQC为等腰直角三角形可得BQ为PC的垂直平分线，在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，可得BD＝BC ＝1，CD＝，在Rt△CDQ中，∠QCP＝45°，可得QD＝CD＝，从而得到BQ；（2）首先根据图形易知当OP⊥OC时，四边形POCQ的面积最大，在Rt△POC中，由勾股定理得PC ＝，再根据△PQC为等腰直角三角形，可得QC＝，从而可计算S△OPC＝•OC•OP＝×4×2＝4，S△PQC＝QC•QP＝××＝5，从而得到四边形的面积．【解答】解：（1）如图，连接PB，BQ交PC于点D，∵△OPB为正三角形，∴OB＝BP＝OP，∠OBP＝60°，又∵AO＝OB＝BC＝2，∴PB＝CB＝2，∵△PQC为等腰直角三角形，∴BQ垂直平分PC．∵∠PBC＝180°﹣∠OBP＝120°，∴∠BCD＝30°，在Rt△BCD中，BC＝6，∴BD＝BC＝7，在Rt△CDQ中，∠QCP＝45°，∴QD＝CD＝，∴BQ＝BD+DQ＝7+；（2）∵△PQC的面积不变，∴△POC面积最大时，四边形POCQ的面积最大，∵OC＝4，OP＝4恒不变，∴当OP⊥OC时，四边形POCQ的面积最大．如图，在Rt△POC中，由勾股定理得PC＝＝＝，∵△PQC为等腰直角三角形，∴PC＝PQ，由勾股定理得：PQ8+QC2＝PC2，即7QC2＝20，∴QC＝，∴S△OPC＝•OC•OP＝，S△PQC＝QC•QP＝××，∴S四边形POCQ＝S△OPC+S△PQC＝4+5＝6．∴四边形POCQ的面积最大值为9．【点评】本题考查勾股定理，等边三角形、等腰三角形的性质等，熟练掌握基本知识点并能灵活应用是解题的关键．13．已知a+b＝4．（1）求的最小值；（2）若xy＝6，bx+ay＝9，x+y＝11﹣2ab，b，x，y的值．【分析】（1）将已知式子化为＝＝，再由b＝4﹣a得原式转化为求的最小值，只要分母最大时即可得解；（2）将b＝4﹣a分别代入x+y＝11﹣2ab，bx+ay＝9，整理得x﹣y＝4（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）2+3，令a﹣2＝t，则（2t2+3）2﹣（4t﹣）2＝24，解得t＝±1，即可求a＝1，b＝3，x＝2，y＝3或a ＝3，b＝1，x＝3，y＝2．【解答】解：（1）＝＝＝＝，∵﹣≤，∴的最小值为＝，b＝7﹣a＝4﹣＝．（2）∵a+b＝3，∴b＝4﹣a，∴x+y＝11﹣2ab＝4a2﹣8a+11，bx+ay＝（4﹣a）x+ay＝9，∴（2﹣a）（x﹣y）＝﹣2a2+16a﹣13＝﹣4（a﹣8）2+3，∴x﹣y＝5（a﹣2）﹣，x+y＝2（a﹣2）8+3，令a﹣2＝t，则（3t2+3）7﹣（4t﹣）7＝24，解得t＝±1，∴a＝1，b＝7，y＝3或a＝3，x＝5．【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握配方法，利用换元法求出a﹣2的值是解题的关键．14．在Rt△AOB中，O为坐标原点，A在第一象限（a，9a），其中A，B，I三点都是整数点．（1）求直线OA的解析式；（2）a＝2003，求整点△AOB的个数．【分析】（1）由题可知OI平分∠AOB，则∠IOA＝45°，设直线OA的解析式为y＝kx，直线OI的解析式为y＝9x，由到角公式可得＝1，求出k的值即可求直线解析式；（2）先求出直线OB的解析式为y＝﹣x，设A（5m，4m），B（﹣4n，5n），由I是△AOB的内心，可得OI＝r＝，整理可得到（m﹣2a）（n﹣2a）＝2×20222＝2×72×174，再由m＞2a，n＞2a，可得共2×3×5＝30个整点．【解答】解：（1）∵I是△AOB的内心，∠AOB＝90°，∴OI平分∠AOB，∴∠IOA＝45°，设直线OA的解析式为y＝kx，∵I（a，9a），∴直线OI的解析式为y＝9x，∴＝5，解得k＝，∴直线OA的解析式为y＝x；（2）∵OA⊥OB，∴直线OB的解析式为y＝﹣x，设A（5m，4m），6n），∵I是△AOB的内心，∴OI＝r＝，∴5a2＝（m+n﹣）2，∴2a＝m+n﹣，∴（m+n﹣2a）5＝m2+n2，∴mn﹣5a（m+n）+2a2＝8，∴（m﹣2a）（n﹣2a）＝5×20222＝2×32×174，∵m、n不可能均小于5a，∴m＞2a，n＞2a，∴共6×3×5＝30个整点．【点评】本题三角形内心与内切圆，熟练掌握三角形内切圆的性质，直角三角形的性质，到角公式的应用是解题的关键．。
鄞州中学提前招生选拔数学试卷
鄞州中学提前招生选拔数学试卷 05.4本卷满分120分，答题时间90分钟一.选择题 （本题共5小题，每小题6分，共30分）1．若1n >，则1n n -、1n n -、1n n +这三个数的大小顺序是 （ ） A 、111n n n n n n ->>-+ B 、111n n n n n n->>-+ C 、111n n n n n n ->>+- D 、111n n n n n n ->>+- 2．已知方程组 25722=+=+y x y x 的两解为 1111s y t x ==和 2222s y t x ==，则t 1s 2+t 2s 1=（ ）A 、25B 、7C 、8D 、243．已知△ABC 的三边分别为,,x y z ：（1）（2）以222,,x y z 为三边的三角形一定存在；（3）以111(),(),()222x y y z z x +++为三边的三角形一定存在；（4）以 ||1,||1,||1x y y z z x -+-+-+为三边的三角形一定存在。
以上四个结论中，正确结论的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44．横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，函数y =6x+32x-1 的图象上整点的个数是（ ） A 、3个 B 、4个 C 、6个 D 、8个5．分子为1，分母为大于1的自然数的分数叫做单位分数。
若将18表示分母不同的两个单位分数之和，则所有可能的表示组数有（ ）A 、1组B 、2组C 、3组D 、4组二．填空题（本题共5小题，每小题6分，共30分）6．在实数范围内分解因式：x 3 + x 2－10x + 8 = ____________________；7．两个质数p 、q 恰是整系数方程x 2－13x + m = 0的两个根，则pq q p +的值等于________； 8．函数y=1052-x 在第一象限的点的坐标(x ，y)，且x 与y 都是整数，则有______个这样的点；9．已知函数y = x 2 + 2（a+2）x + a 2的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是________________.10．已知在△ABC 中，∠A ≤∠C ≤∠B ，且25B A ∠=∠，则B ∠的取值范围是。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(62)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（62）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若a为实数，化简的结果是A. B. C. D.2.下列说法：其中，正确的个数是等边三角形有三条对称轴；在中，已知三边a，b，c，且，则不是直角三角形；等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长为17或22；一个三角形中至少有两个锐角．A. 1B. 2C. 3D. 43.如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展开后是A. B. C. D.4.一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港，然后调头逆流向上到达中游的乙港，共用了12小时．已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小时2千米，从甲港到乙港相距18千米，则甲、丙两港间的距离为A. 44千米B. 48千米C. 30千米D. 36千米5.要得到图象，只需把抛物线的图象A. 向左平移2个单位、向上平移2个单位B. 向左平移2个单位、向下平移2个单位C. 向右平移2个单位、向上平移2个单位D. 向右平移2个单位、向下平移2个单位6.一宾馆有一人间、二人间、三人间三种客房供游客租住，某旅行团共15人准备租用客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有A. 6种B. 5种C. 4种D. 3种7.如图，将沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：且；；；，正确的个数是A. 1B. 2C. 3D. 48.如图，是直角边长为2的等腰直角三角形，直角边AB是半圆的直径，半圆过C点且与半圆相切，则图中阴影部分的面积是A.B.C.D.二、填空题（本大题共10小题，共40.0分）9.某地区某中学的铅球场如图所示，已知扇形AOB的面积是72米，扇形AOB的弧长为12米，那么半径______米．10.已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为______．11.一次函数和都过点，且与y轴分别交于B、C两点，则面积______．12.为了求的值，可令，则，因此，所以，仿照以上推理计算出的值是______．13.如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作a、b作为点A的横、纵坐标，则点在函数的图象上的概率为______．14.已知关于x的不等式组恰好有四个整数解，则实数a的取值范围是______．15.如图，在菱形ABCD中，过A作于E，P为AB上一动点，已知，，则线段PE的长度最小值为______．16.如图所示，一位同学拿了两块的三角尺、做了一个探究活动；将的直角顶点M放在的斜边AB的中点处，设．猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为______；简述证明主要思路．17.关于x的方程有且仅有两个实数根，则实数a的取值范围是______．18.若关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，则实数m的取值范围是______．三、解答题（本大题共4小题，共40.0分）19.若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为“完美直角三角形”，求“完美直角三角形”的三边长．20.已知两个二次函数，，当时，取最小值6且，又最小值为，．求m值；求二次函数、表达式．21.已知关于x的方程恰好有一个实数解，求k的值及方程的解．22.的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：原式故选：D．要解答本题需要根据二次根式的性质变形就可以求出结果了．本题考查的是二次根式的性质及二次根式的化简及其运用．2.答案：B解析：解：、因为等边三角形由三条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，故本小题正确；、若，则此三角形也是直角三角形，故本小题错误；、若等腰三角形的一边长为4，另一边长9，则其周长只能是22，故本小题错误；、由三角形内角和为可知，一个三角形中至少由两个锐角，故本小题正确．故选：B．分别根据等腰三角形、等边三角形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的三角关系对各选项进行逐一判断即可．本题考查的是等腰三角形、等边三角形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的三角关系，熟知以上知识是解答此题的关键．3.答案：D解析：解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在平行于斜边的位置上打3个洞，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且有12个洞．故选：D．结合空间思维，分析折叠的过程及打孔的位置，易知展开的形状．本题主要考查学生抽象思维能力，错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．4.答案：A解析：解：设船在静水中的速度为x千米小时，由题意得：，解得：千米小时；则可得顺流时的速度为8千米小时，逆流时的速度为4千米小时，设乙两地相距y千米，则，解得：，，即甲、丙两港间的距离为44千米．故选：A．设船在静水中的速度为x千米小时，则可得出从而得出船在静水中的速度，然后设甲乙两地相距y千米，根据来回公用12小时可得出方程，解出即可．本题考查了一元一次方程的应用，属于航行问题，根据题意求出船在静水中的速度是解答本题的关键，另外要掌握船航行时间的表示方法．5.答案：B解析：解：可化简为，可得出顶点坐标为，而可化简为，可得出顶点坐标为，把抛物线的图象向左平移2个单位，向下平移2个单位后得到图象．故选：B．根据题意易得原抛物线的顶点坐标为，向左平移2个单位，让横坐标减2，向下平移2个单位，纵坐标减2即可．本题主要考查了抛物线的平移，看顶点的平移即可，左右平移，只改变顶点的横坐标，左减右加，难度适中．6.答案：C解析：解：设宾馆有客房：一人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意得：，解得：，，y，z是整数，可选：0，2，4，6共4种情况．故选：C．首先设宾馆有客房：一人间x间、二人间y间、三人间z间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由x，y，z是整数，即可求得答案．此题考查了三元一次不定方程组的应用．此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据x，y，z是整数求解，注意分类讨论思想的应用．7.答案：B解析：解：由题意得，，但并不能说明，不能说明EF是的中位线，故错；题中没有说，那么中线AF也就不可能是顶角的平分线，故错；易知A，F关于D，E对称．那么四边形ADFE是对角线互相垂直的四边形，那么面积等于对角线积的一半，故对；，，，故对．正确的有两个，故选B．根据对折的性质可得，，，，据此和已知条件判断图中的相等关系．翻折前后对应线段相等，对应角相等．8.答案：D解析：解：如图，由等腰直角三角形性质可知，，所以S阴，设，，，，连接，，解得，S阴．故选：D．首先作出图形，由等腰直角三角形性质可知，，所以S阴，设，，利用勾股定理求出y的值，进而求出阴影的面积．本题主要考查面积及等积变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，此题难度不大．9.答案：12解析：解：根据题意得，，，，．故答案为：12．根据扇形的面积与弧长的关系公式：，列式进行计算即可求解．本题考查了扇形的面积以及弧长的计算，熟练掌握扇形的面积与弧长的关系是解题的关键．10.答案：12或4解析：解：当较长对角线长为时，则另一对角线长为；当较短对角线长为时，则另一对角线长为；故另一条对角线的长为12或4．故答案为：12或4．题中没有指明该对角线是较长的对角线还是较短的对角线，所以就分两种情况进行分析．此题主要考查菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，做题时注意分两种情况进行分析．11.答案：解析：解：根据题意得，，，解得，，两函数解析式是和，当时，，和，点B、C的坐标分别是，，，．故答案为：．把点A的坐标代入两函数解析式分别求出m、n的值，然后求出点B、C的值，然后求出BC的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可求解．本题考查了相交线的问题，根据点A的坐标求出两直线的解析式然后求出点B、C的坐标是解题的关键．12.答案：解析：解：根据题中的规律，设，则，所以即，所以．故答案为．仔细阅读题目中示例，找出其中规律，运用到本题中，先设，从而求出3S的值，然后用，错位相减即可求解本题．本题主要考查了学生的阅读理解能力，分析、总结、归纳能力，难度中等．解题的关键是弄清所给例子，找到解题的规律．13.答案：解析：解：列表得：a1234b1234因此，点的个数共有16个；若点A在上，则，可得．因此，点在函数图象上的概率为．故答案为：．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．考查了一次函数图象上点的坐标特征和列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．14.答案：解析：解：解得不等式组的解集为：，不等式组只有四个整数解，所以这四个整数解为：4，5，6，7，，的最大值是7．，实数a的取值范围是：．故答案为：．首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．本题难度中等，考查解不等式组及不等组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解决本题的关键．15.答案：解析：解：设，那么，四边形ABCD是菱形，，又，，，即，解得，点E到线段AB的最小距离应该是过E作AB的垂线段的长度，那么，先过E作于P，在中，．故答案是．先设，易知，利用菱形的性质可知，在中，结合以及余弦的计算可得，易求x，据图可知点E到线段AB的最小距离应该是过E作AB的垂线段的长度，再过E作于P，在中，再利用三角函数可求PE．本题考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短．解题的关键是求出BE的长，注意．16.答案：解析：解：重叠部分四边形CEMF的面积为证明如下：连CM，如图，点M为等腰直角的斜边AB的中点，，，，又为直角三角形，，，在和中，≌，，重叠部分四边形CEMF的面积．故答案为：．连CM，由点M为等腰直角的斜边AB的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到，，，利用等角的余角相等得到，根据“SAS”可得≌，则，于是重叠部分四边形CEMF的面积，然后利用三角形的面积公式计算即可．本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质．17.答案：或解析：解：由原方程，得，该函数图象为：根据图示知，实数a的取值范围是或．故答案是：或．先将原绝对值方程转化为，据此作出该方程的图象；然后根据图象填空．本题考查了含绝对值符号的一元二次方程．本题采用了“数形结合”的数学思想．18.答案：或解析：解：当时，．当时，可得，，符合题意；当时，可得，，不符合题意；当时，，，，．关于x的方程的所有根都是比1小的正实数，，解得，，解得．综上可得，实数m的取值范围是或．故答案为：或．分，两种情况先求出原方程的实数根，再根据两个实数根都是比1小的正实数，列出不等式，求出m的取值范围．考查了解一元二次方程及解一元一次不等式，解题的关键是将二次项系数分，两种情况讨论求解．19.答案：解：设三边长为a，b，c，其中c是斜边，则有代入得即因为所以所以b为正整数所以，2，4，8，所以，6，8，12；，8，6，5；，10，10，13，所以，三边长为6，8，10或5，12，13．解析：设三边长为a、b、c，其中c是斜边，则存在勾股定理和周长等于面积这两个等量关系，解方程组且根据a、b、c均为正整数可得a、b、c的值．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中讨论a、b的值是解题的关键．20.答案：解：由题意设，且．．，，，解得或舍去；，此函数有最小值，解得：．，．解析：由条件可以设出的解析式，从而求出的解析式，再把，的值代入的解析式，从而求出m的值．把求得的m的值，利用顶点坐标求出a的值，就可以求出、的解析式．本题是一道二次函数的综合试题，考查了二次函数的极值的运用，运用待定系数法求字母系数的值，运用函数的关系式求函数的解析式．21.答案：解：两边同乘，得，若，，，若，由题意，知，解得，，当时，，当时，，若方程有两不等实根，则其中一个为增根，当时，，，当时，，．解析：去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即，为一元二次方程，即，分别求解．而当方程为一元二次方程时，又分为方程有等根，满足方程恰好有一个实数解，若，则方程有两不等实根，且其中一个为增根，而增根只可能为1或0．本题考查了分式方程的解．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论．22.答案：证明：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、Q，的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F，，又，，，，，同理，又，，∽，，同理，，．解析：首先过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF于点P、根据切线的性质定理、两直线平行内错角相等的性质、对顶角相等，可证得进而得到，同理可证得，因而再根据相似三角形的性质，对应边成比例，问题得解．本题考查三角形的内切圆与内心、平行线的性质、全等三角形的性质、弦切角定理．解决本题的关键是证明，再根据相似证得最终结论．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷(72)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（72）一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知当时，，那么，当时，A. B. C. D. 72.在中，，的平分线交AC于则A. sin BB. cos BC. tan BD. cot B3.四条直线，，，围成正方形现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，则点P落在正方形面上含边界的概率是A. B. C. D.4.已知函数，当时，则函数的图象可能是下图中的A. B.C. D.5.有一堆形状大小都相同的珠子，其中只有一粒比其它都轻些，其余一样重．若利用天平不用砝码最多两次就找出了这粒较轻的珠子，则这堆珠子最多有A. 8粒B. 9粒C. 10粒D. 11粒6.在中，，，且a、b、c满足：，，，则A. 1B.C. 2D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）7.已知，化简______ ．8.若关于x的方程有四个不同的解，则k的取值范围是______ ．9.对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿上，的“分裂”中最大的数是______，若的“分裂”中最小数是21，则______．10.已知，则______．11.如图，在中，，为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆交BC于D，且与AC相切．则D到AC的距离为______ ．12.在十进制的十位数中，被9整除并且各位数字都是0或5的数有______个．三、计算题（本大题共1小题，共11.0分）13.甲，乙两辆汽车同时从同一地点A出发，沿同一方向直线行驶，每辆车最多只能带240L汽油，途中不能再加油，每升油可使一辆车前进12km，两车都必须沿原路返回出发点，但是两车相互可借用对方的油．请你设计一种方案，使其中一辆车尽可能地远离出发地点A，并求出这辆车一共行驶了多少千米？四、解答题（本大题共5小题，共55.0分）14.用1，2，3三个数字组成六位数，若每个数字用两次，相邻位不允许用相同的数字．试写出四个符合上述条件的六位数；请你计算出符合上述条件的六位数共有多少个？15.已知关于x的方程：有一个增根为b，另一根为二次函数与x轴交于P和Q两点．在此二次函数的图象上求一点M，使得面积最大．16.如图，已知锐角的外心为O，线段OA和BC的中点分别为点M，若，求的大小．17.已知实数a，b，c满足：，又，为方程的两个实根，试求的值．18.如图，已知菱形ABCD，，内一点M满足，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．答案和解析1.【答案】C【解析】解：把，代入得：，即把代入得：故选C．把代入解得，把当成一个整体代入后面式子即可解答．能够根据指数的意义发现代数式之间的关系，然后整体代值计算．2.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查角平分线的性质和三角函数的定义．根据角平分线上的任意一点到角的两边距离相等计算．【解答】解：过点D作于E．则．可证≌，．，又，，，．故选A．3.【答案】D【解析】解：连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标，共种；符合题意的有：共15个，概率是．故选：D．首先确定点P的坐标，根据这个坐标可求出点P落在正方形面上含边界的概率．本题将概率的求解设置于点P的坐标中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．4.【答案】A【解析】解：因为函数，当时，所以可判断，可知，所以可知，，则，不妨设则函数为函数即则可判断与x轴的交点坐标是，，故选A．当时，，所以可判断，可知，，所以可知，，则，不妨设进而得出解析式，找出符合要求的答案．要考查了从图象上把握有用的条件，准确选择数量关系解得a，b，c的值．从条件可判断出，可知，；所以可知，，，从而可判断后一个函数图象．5.【答案】B【解析】解：这堆珠子最多有9个．将这堆珠子平均分成3组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量；若天平平衡，那么较轻的珠子在没称的那堆珠子里；若天平不平衡，那么较轻的珠子就在较轻的那堆珠子里；然后将较轻的那堆珠子进行第二次测量，同第一次测量一样，将其中两个放在天平的两端；若天平平衡，那么没称的珠子就是所找的珠子；若天平不平衡，那么较轻的珠子就是所找的珠子．因此最多用两次即可找出较轻的珠子．故选B．已知最多两次就找出这粒较轻的珠子，那么第二次所测的珠子的个数最多为3个；即将其中的两个放在天平的两边，若天平平衡，那么不在天平中的珠子就是最轻的珠子，如果天平不平衡，很较轻的珠子就是所找的珠子．同理，在第一次测量中，最多可测出三组珠子，因此这堆珠子最多有9个．本题的解答关键是找出每次能测量出的珠子堆的最多的个堆数．6.【答案】C【解析】解：，，，，，，，，，这个三角形的形状是直角三角形，，故选：C．利用完全平方公式把这个式子写成平方几个非负数的和的形式，求得a，b，c的值，进而判断出三角形的形状即可．再运用三角函数定义求解即可．本题考查完全平方公式和勾股定理的逆定理在实际中的运用，注意运用几个非负数的和为0，那么这几个数均为0这个知识点是解题关键．7.【答案】【解析】解：，，原式．因为，，又，所以，即．注意当时，．8.【答案】【解析】解：关于x的方程有四个不同的解，，即，解得或，而时，的值不可能等于0，所以．故填空答案：．因为关于x的方程有四个不同的解，所以，即，解得或；又因为方程中一次项中未知数带着绝对值符号，一次项的系数不能为正数，否则等式不成立．所以当时，不符合题意，故取．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，也涉及了绝对值方程的应用，同时注意通过根与系数的关系求出的k值一定要代入到原方程检验，把不符合题意的值舍去．本题最后舍去是最容易出错的地方，要求具有严谨的数学思维．9.【答案】9 5【解析】解：中，最大数是；若的“分裂”中最小数是21，则，或负数舍去．根据所给的数据，不难发现：在中所分解的最大的数是；在中，所分解的最小数是根据发现的规律，则中，最大数是；若的“分裂”中最小数是21，则，或负数舍去．此题首先要根据所提供的数据具体发现规律，然后根据发现的规律求解．规律为：在中所分解的最大的数是；在中，所分解的最小数是．10.【答案】0【解析】解：，，即，整理得，．本题不应考虑直接求出与的值，而应根据已知等式的特点，用配方法进行求解．本题考查了完全平方公式，根据式子特点，等式两边都减去，转化为完全平方式是解题的关键．11.【答案】15【解析】解：连接OD、OE，则；，；，，；；因此OE即为所求的D到AC的距离．，，解得：．故D到AC的距离为15．设AC与的切点为E，连接OE、OD；在等腰和等腰中，可求得，由此可证得；由于AC与相切，所以，那么OE即为所求的D到AC的距离．在中，已知了斜边OA的长和的正弦值，即可求出OE的长．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、正弦的概念等知识的综合应用能力．12.【答案】9【解析】解：只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．故答案为9．被9整除的数，数字和一定是9的倍数．只能出现0或5，因此必须有9个5，0不能出现在首位，因此共有9个．解决本题的关键是得到被9整除的十位数的特点．13.【答案】解：设尽可能远离A地的甲汽车共走了x千米，乙汽车共走了y千米，则，且所以x最大为4320千米．设从A到尽可能的离A的距离是m千米，其中借给对方油的那辆车走了n千米后停下，那么千米那么需要用油升，那么就是走这个最远距离一次单趟需要120升油，那么可得出的方案是：甲，乙共同走720千米，乙停下等甲，并且给甲60升汽油，甲再走1440千米后回头与乙会合，乙再给甲60升汽油后，两车同时回到A地．也可画图表示为：如右图．【解析】本题中由于两车相互借对方的油，那么他们所走的距离和，他们所走的距离差由此可得出自变量的取值范围．如果要让一辆车尽可能的远离A地并同时返回，那么就必须让一辆车行驶一段后，把油给对方要刚好留下回A地的油，让对方走掉加的这些油后开始向A地返回，两者碰头后一起回A地．那么这个离A地最远的距离就应该是车行驶一段的距离停下后给对方的油量可行驶的距离要留下回A地的油根据此关系可求出走这个最远距离所需的油量，然后进行分配即可．本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．14.【答案】解：以1开头的数有等10个数；，131232，123123，123132，121323，121332，132123，132132，123213，132312，213123，213132，312123，312132，212313，213213，312312，313212，213231，312321，231213，231312，321213，321312，231231，231321，321231，321321，232131，323121则共30个符合条件的六位数．【解析】为了让相邻位不允许用相同的数字，可以依次对1、2、3进行排列．如123123，132132等；根据要求，先确定1的位置，再依次确定2，3的位置，从而求解．解决问题的关键是读懂题意，要特别注意：相邻位不允许用相同的数字．15.【答案】解：由题意可得，代入方程得．二次函数为与x轴的交点为，，当点M的横坐标为或或时，的面积可能取最大，经比较可得时，的面积取最大，此时即点，．【解析】方程可化简为方程只有时才有增根，可推出；将代入方程得即，再根据a的值求出c并确定解析式，再根据顶点坐标公式和x的取值范围确定面积最大时M点的坐标．学会巧妙地利用分式方程的性质来解决问题，同时要明确增根问题可按如下步骤进行：确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16.【答案】解：设，则，；，，，为等腰三角形，；，，．【解析】设，则，根据三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，得根据等腰三角形的三线合一和等边对等角的性质和三角形的内角和定理，分别表示出和，进一步计算出发现等腰三角形则ON是OB的一半，根据直角三角形的性质可以求得度．再求得的大小．综合运用了等腰三角形和直角三角形的性质．要熟练掌握三角形和圆的有关性质才能灵活解题．17.【答案】解：，，，2ab为方程的二根，，由得，或把两组值代入原方程得到的方程相同．即，．【解析】把，2ab分别看作一个整体，利用一元二次方程根与系数的关系解答则可．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18.【答案】证明：连接PD，DQ，由已知，，∽，∽．，．，又．，又，∽，．，，D，Q三点共线．【解析】求证：P，D，Q 三点共线就是证明平角的问题，可以求证，根据∽，∽，可以得出；进而证明∽，得出，则结论可证．本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．第11页，共11页。
初中数学精品试题：鄞州中学提前招生数学试卷-
鄞州中学提前招生数学试卷（本卷考试时间80分钟，满分120分）一、填空题（把答案填在题中横线上，每小题7分，共70分）1、已知a 、b 满足a 2－2a －1＝0，b 2－2b －1＝0，且a ≠b ，则a b ＋ba ＋1＝ . 2、△ABC 的周长是24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是 .3、要使关于x 的方程21++x x －1-x x ＝22-+x x m 的解为负数，则m 的取值范围是 . 4、已知：41(b －c )2＝(a －b )(c －a )，且a ≠0，则ac b 4+＝ . 5、如图，E 、F 分别在AD 、BC 上，EFCD 是正方形，且矩形ABCD ∽矩形AEFB ，则AB ∶BC 的值是 .6、设x 、y 、z 满足关系式x －1＝21+y＝32-z ，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为. 7、如图，在△ABC 中，D 、E 是BC 的三等分点，M 是AC 的中点， BM交AD 、AE 于G 、H 则BG ∶GH ∶HM ＝ . 8、如图3×3的正方形的每一条方格内的字母都代表某个数，已 知其每行、每列以及两条对角线上三角形个数之和都相等，若a ＝4，d ＝19，i ＝22，那么b ＝ ，h ＝ .9、在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，若将矩形折叠，使B点与D 点重合，如图所示，则折痕EF 的长为 .10、如图，已知ABCD 是一个半径为R 的圆内接四边形，AB ＝12， CD ＝6，分别延长AB 和DC ，它们相交于点P ，且BP ＝8，∠APD ＝600，则R ＝ . 二、解答题（本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）11、如图，在直角坐标系内有两个点A （－1，－1），B （2,3）－MA 最大，求M 点的坐标，并说明理由.（10分）第7题 第10题 第8题 第11题12、分别求所有的实数k，使得关于x的方程kx2＋(kx＋1)x＋(k－1)＝0（1）有实根（2）都是整数根（12分）13、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD＝4DC，已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G. 求证：AD⊥BF. （14分）14、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗。
浙江省宁波市鄞州中学2024年7月份准初三大讲堂选拔数学试卷
2024.7.8 鄞州中学新初三大讲堂选拔考数学试卷一、不定项选择题(共4 小题, 共18 分, 单选题每题4 分, 多选题每题5 分, 注意选错得0 分, 部分选对得 2 分)1. (单选题) 已知二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(其中aa为正整数) 的图像过点AA(−1,4),BB(2,1),且与xx轴有两个不同的交点,则bb+cc的最大值为A. -4B. -3C. -2D. -12. (单选题) 已知实数aa>bb>cc,设方程1xx−aa+2xx−bb+3xx−cc=0的两个实根分别为xx1,xx2(xx1< xx2),则下列关系中恒成立的是A. xx1<cc<bb<xx2<aaB. cc<xx1<bb<xx2<aaC. cc<xx1<xx2<bb<aaD. cc<xx1<bb<aa<xx23. (多选题) 十六世纪中叶, 英国数学家雷科德在《研智石》一书中首先把“ =”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“ <”和“ >” 符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远. 已知非零实数aa,bb满足aa3>bb3,则A. 1aa>1bbB. aa|aa|>bb|bb|C. aa(aa2+3bb2)>bb(bb2+3aa2)D. bb+1aa+1>bb aa4. (多选题) 已知直线ll1:yy=xx2,直线ll2:yy=−2xx+5,若圆⊙OO1与圆⊙OO2相切(OO1,OO2是两个圆的圆心) 并均与直线ll1,ll2相切,将OO1,OO2所在的直线记作ll3:yy=kkxx+bb,则kk可以为A. 3 或−13B. 2 或−12C. -3 或13D. −2或12二、填空题(共 6 小题, 共32 分: 前4 题单空, 每空 5 分, 后2 题双空, 每空 3 分)5. 已知1aa+1bb=92(aa+bb),则bb aa+aa bb=___.6. 已知xxyy≠1,3xx2+2021xx+7=0,7yy2+2021yy+3=0,则xx yy=___.7. 甲、乙、丙3 人站到共有6 级的台阶上, 若每级台阶最多站2 人且甲、乙不站同一个台阶, 同一台阶上的人不区分站的位置, 则不同的站法种数是___种. (用数字作答)8. 正方体AABBAAAA−AA1BB1AA1AA1的每条棱长为2,NN为AAAA上一动点, MM为AAAA1上一动点,则AA1MM+MMNN的最小值为___.9. 如图,画一个正三角形AA1AA2AA3,不画第三边; 接着画正方形AA2AA3AA4AA5对这个正方形,不画第四边、接着画正五边形AA1AA5AA6AA7AA8,对这个正五边形,不画第五边; 接着画正六边形,……,这样无限画去,形成一条无穷伸展的等边折线,设线段AA nn AA nn+1与线段AA nn+1AA nn+2所夹的角为θθnn(nn∈NN∗,θθnn∈(0,ππ),则θθ10= ; 满足θθnn>174∘的最小nn值为___.10. 定义一种关于nn的符号运算ff(nn),如下:如果nn是偶数,就对nn尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,这个奇数记作ff(nn);如果nn是奇数,就对3nn+1尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数,这个奇数记作ff(nn). 则ff(6)⋅ff(7)=___；若ff(mm)=nn,ff(nn)=mm,其中mm,nn(mm≤nn)是两个正整数,则mm=___.三、解答题(共4 小题, 其中11, 12 题每题10 分, 其中13, 14 题每题15 分)11. 对于两个不相等的实数aa、bb,我们规定符号max{aa,bb},表示aa、bb中较大的数,如max{−2,4}=4,按照这个规定,若方程max{xx,−xx}=aa−1|xx|的所有的实数根的绝对值的和等于6,求aa的值.12. 如图,设OO是正三角形AABBAA内一点,已知∠AAOOBB=110∘,∠BBOOAA=130∘,求以线段OOAA,OOBB,OOAA为边构成的三角形的各内角的度数.13. 如图所示,在圆OO中,已知AABB⊥BBAA,BBAA⊥AAAA,线段AABB、BBAA、AAAA的长度分别是aa,bb,cc,若aa+cc=bb,aa+bb=2cc,圆OO的面积是45ππ,求AAAA的长度.14. 将一串正数(有无穷多个) 按照从小到大的顺序排列:aa1,aa2,aa3,aa4,aa5⋯aa kk,aa kk+1⋯(aa kk+1>aa kk>aa kk−1>⋯>aa2>aa1),给出两个性质:①对于这串数中的任意两项aa ii,aa jj(i>jj),都能在这串数中找到一项aa mm,使得aa ii2aa jj=aa mm,②对于这串数中的任意一项aa n(nn≥3),都能在这串数中找到两项aa kk,aa ll(kk>ll),使得aa nn= aa kk2aall(1) 若这串数是1,2,3,⋯,nn,⋯( nn是整数),判断这串数是否满足性质①,并说明理由;(2) 若这串数是1,2,4,8⋯,2nn−1,⋯,判断这串数是否满足性质①和性质②,并说明理由.。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(42)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（42）一、选择题（本大题共4小题，共16.0分）1.图是一个长为2m，宽为的长方形，用剪刀沿图中虚线对称轴剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是A. 2mnB.C.D.2.若关于x的分式方程无解，则m的值为A. B. 1 C. 或2 D. 或3.如图，点A是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点B，以AB 为边作，其中C、D在x轴上，则为A. 2B. 3C. 4D. 54.如图，过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，如果，那么的度数为A. B. C. D.二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）5.若实数a，b，c满足，且，则一次函数的图象不可能经过第______ 象限．6.在平面直角坐标系中，点A是抛物线与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为______．7.如图所示，A、B是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使的面积为1的概率是______．8.如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，，则图中阴影部分的面积是______．9.如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对共有______个．10.如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，，分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点已知，，则______ ．11.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是______．12.请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“”，使得下列算式成立：，，，你规定的新运算______用a，b的一个代数式表示．三、解答题（本大题共3小题，共24.0分）13.在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分掷中一次记一个点现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：小华：77分小芳75分小明：______分求掷中A区、B区一次各得多少分？依此方法计算小明的得分为多少分？14.已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线上，设点M的坐标为，求二次函数的最值．15.如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为，动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转，得到线段过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点运动时间为t秒．当点B与点D重合时，求t的值；设的面积为S，当t为何值时，？连接MB，当时，如果抛物线的顶点在内部不包括边，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】分析先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积正方形的面积四个长方形的面积即可得出答案．此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．详解解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为，又四个长方形的面积为4mn，中间空的部分的面积．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型，分式方程无解，则分母为分式方程无解即是分母为0，由此可得：原分式方程中的分母为0：或，然后把分式方程化为整式方程，最后把或代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：，方程两边都乘以，得：，整理，得：，原分式方程无解，或或，解得：或，故选D．3.【答案】D【解析】【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．【解答】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把代入得，，则，即A的横坐标是，同理可得：B的横坐标是：．则．则．故选：D．4.【答案】B【解析】解：连接DE，过D、A、C三点的圆的圆心为E，，过B、E、F三点的圆的圆心为D，，，，，，解得：．．故选：B．首先连接DE，由过D、A、C三点的圆的圆心为E，过B、E、F三点的圆的圆心为D，根据圆的内接四边形的性质可得：，继而可求得，又由三角形内角和定理，即可求得答案．此题考查了圆周角定理以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合与方程思想的应用．5.【答案】三【解析】解：实数a、b、c满足，且，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不可能经过第三象限．故答案为：三．根据实数a、b、c满足，且，确定a、c的取值范围，然后确定答案．本题考查了一次函数图象与系数的关系．由于与y轴交于，当时，在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．6.【答案】18【解析】解：抛物线的对称轴为，且轴，，等边的周长．故答案为：18．根据抛物线解析式求出对称轴为，再根据抛物线的对称性求出AB的长度，然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可．本题考查了二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键．7.【答案】【解析】解：在的网格中共有36个格点，而使得三角形面积为1的格点有8个，故使得三角形面积为1的概率为，故答案为：．在的网格中共有36个格点，找到能使得三角形ABC的面积为1的格点即可利用概率公式求解．本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键．8.【答案】【解析】解：如图，设BF与CE相交于点H，，∽，，即，解得，，，、GF之间的距离，阴影部分的面积．故答案为：．设BF与CE相交于点H，利用和相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出CH，再求出DH，然后求出AB、GF之间的距离，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，观察图形把阴影部分的面积分成等底的两个三角形求解是解题的关键．9.【答案】6【解析】解：，由得：，由得：，不等式组的解集为：，整数解仅有1，2，，，，解得：，，，2，3，，5，整数a，b组成的有序数对共有，，，，，即6个，故答案为：6．首先解不等式组，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定a，b的取值范围是解决问题的关键．10.【答案】【解析】解：连接PB、PE．分别与OA、BC相切于点E、B，，，，、P、E在一条直线上，，，，，，，．故答案为：．先连接PB、PE，根据分别与OA、BC相切，得出，，再根据A、B点的坐标，得出AE和BE的值，从而求出，最后根据，即可得出答案．此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，解题的关键是做出辅助线，构建直角三角形．11.【答案】或【解析】解：当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当时，，≌，，，，；当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，当时，，，，≌，，，，故答案为：或．利用正方形的性质和等边三角形的性质证明≌，即可得解应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．12.【答案】【解析】解：根据题意可得：，，，则．故答案为：．由题中的新定义，将已知的等式结果变形后，总结出一般性的规律，即可用a与b表示出新运算．此题考查了有理数的混合运算，属于新定义的题型，其中弄清题意，找出一般性的规律是解本题得关键．13.【答案】设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：，解得：，答：掷中A区、B区一次各得10，9分．由可知：，答：依此方法计算小明的得分为76分．【解析】首先设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，根据图示可得等量关系：掷到A区5个的得分掷到B区3个的得分分；掷到A区3个的得分掷到B 区5个的得分分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分；由图示可得求的是掷到A区4个的得分掷到B区4个的得分，根据中解出的数代入计算即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．14.【答案】解：、N两点关于y轴对称，点M的坐标为，点坐标为，点M在双曲线上，，，点N在直线上，，，二次函数解析式为，当时，函数有最大值，．【解析】可先求得N点坐标，再把M和N的坐标分别代入所满足的函数解析式，整理可求得ab和的值，代入可求得二次函数解析式，可求得其最值．本题主要考查二次函数的最值，根据点的对称及点的坐标与函数解析式的关系求得ab 和的值是解题的关键．15.【答案】解：，，．∽．．．．由∽可知：，．当时，．．当时，．，为负数，舍去．当或时，．过M作轴于N，则．当时，，．抛物线的顶点坐标为．它的顶点在直线上移动．直线交MB于点，交AB于点．．．【解析】由于，易证得∽；当B、D重合时，BE 的长已知即OC长，根据AC、AB的比例关系，即可得到AO、BE的比例关系，由此求得t的值．求的面积时，可以CD为底、BD为高来解，那么表示出BD的长是关键；∽，且知道AC、AB的比例关系，即可通过相似三角形的对应边成比例求出BE的长，进一步得到BD的长，在表达BD长时，应分两种情况考虑：在线段DE上，在ED的延长线上．首先将抛物线的解析式进行配方，可得到抛物线的顶点坐标，将其横坐标分别代入直线MB、AB的解析式中，可得到抛物线对称轴与这两条直线的交点坐标，根据这两个坐标即可判定出a的取值范围．考查了二次函数综合题，该题是图形的动点问题，前两问的关键在于找出相似三角形，得到关键线段的表达式，注意点在运动过程中未知数的取值范围问题．最后一问中，先得到抛物线的顶点坐标是简化解题的关键．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷（74）（有答案解析）
2020年浙江省“三位一体”自主招生数学测试试卷（74）（有答案解析）2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（74）一、选择题（本大题共9小题，共36.0分）1.“割圆术”是求圆周率的一种算法．公元263年左右，我国一位著名的数学家发现当圆的内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆面积，即所谓“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”请问上述著名数学家为A. 刘徽B. 祖冲之C. 杨辉D. 秦九昭2.某校食堂有4元、5元、6元三种价格的饭菜供学生们选择每人限购一份三月份销售该三种价格饭菜的学生比例分别为、、，则该校三月份学生每餐购买饭菜的平均费用是A. 元B. 元C. 5元D. 元3.在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，它们的图象与任意一条直线是任意实数交点的个数为A. 必有一个B. 一个或两个C. 至少一个D. 至多一个4.同时掷两个骰子，其中向上的点数之和是5的概率是A. B. C. D.5.给你一列数：1，l，2，6，24，请你仔细观察这列数的排列规则，然后从四个供选择单选项中选出一个你认为最合理的一项，来填补其中的空缺项，使之符合原数列的排列规律．A. 48B. 96C. 120D. 1446.已知．二次函数是实数，当自变量任取，时，分别与之对应的函数值，满足，则，应满足的关系式是A. B.C. D.7.在8个银元中混进了一个大小形状颜色完全一样的假银元，已知7个真银元的重量完全相同，而假银元比真银元稍轻点儿，你用一台天平最少次就能找出这枚假银元．A. lB. 2C. 3D. 48.如图，P是圆D的直径AB的延长线上的一点，PC与圆D相切于点C，的平分线交AC于点Q，则A.B.C.D.9.十进制12345678二进制110111001011101111000观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中的最大数是A. 61B. 62C. 63D. 64二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）10.某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为______．11.如图，在平行四边形ABCD中，于E，于F，，且，则平行四边形ABCD的周长是______ ．12.在一个木制的棱长为3的正方体的表面涂上颜色，将它的棱三等分，然后从等分点把正方体锯开，得到27个棱长为l的小正方体，将这些小正方体充分混合后，装入口袋，从这个口袋中任意取出一个小正方体，则这个小正方体的表面恰好涂有两面颜色的概率是______．13.已知关于x的一元二次方程与有一个公共实数根，则______．14.一个样本为1、3、2、2、a，b，已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为______．15.如图，在梯形ABCD中，，，，，则该梯形的面积______．16.某计算机用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的A类软件和B类软件，根据需要A类软件至少买3片，B类软件至少买2片，则不同的选购方式共有______种．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）17.已知，求的值．四、解答题（本大题共5小题，共53.0分）18.在凸四边形ABCD中，，且四个内角中有一个角为，求其余各角的度数．19.某商店若将进价为100元的某种商品按120元出售，一天就能卖出300个．若该商品在120元的基础上每涨价l元，一天就要少卖出10个，而每减价l完，一天赢可多卖出30个．问：为使一天内获得最大利润，商店应将该商品定价为多少？20.如图，，是等边三角形，点，在函数的图象上，点，在x轴的正半轴上，分别求，的面积．21.如图，在中，O是内心，点E，F都在大边BC上，已知，．求证：O是的外心；若，，求的大小．22.如图，正三角形ABC的边长为l，点M，N，P分别在边BC，AB上，设，，，且．试用x，y，z表示的面积求面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：上述著名数学家是刘徽．故选：A．根据数学史的了解进行选择．此题考查了数学常识的知识，要多读书，了解一些有关数学的故事等．2.【答案】B【解析】解：平均费用为元．故选：B．用加权平均数的计算方法计算即可．此题考查了加权平均数的知识，属于简单题目．把所有数据相加后再除以数据的个数即得平均数．3.【答案】D【解析】解：任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线，在初中已学过的一次函数、反比例函数和二次函数等函数中，只有反比例函数与时，没有交点，其他只有一个交点．它们的图象与任意一条直线交点的个数至多有一个．故选：D．根据直线是任意实数的性质，得出一次函数、反比例函数和二次函数等函数中与它的关系，直接得出答案．此题主要考查了函数图象与直线是任意实数的性质，根据已知得出任意一条直线是任意实数是平行于y轴的一条直线是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：列表得：共有种等可能的结果，向上的点数之和是5的情况有4种，两个骰子向上的一面的点数和为5的概率为．故选：C．列举出所有情况，看点数之和为5的情况占总情况的多少即可．此题考查了树状图法与列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．5.【答案】C 【解析】解：观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数．故选：C．观察所给数字可知，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数，故可知第六个数，继而即可得出答案．本题考查规律型中的数字变化问题，仔细观察题中所给数字，可知第n个数第个数．6.【答案】D【解析】解：，抛物线对称轴为，开口向上，离对称轴越远，函数值越大，又，满足，可得，故选：D．在利用二次函数的增减性解题时，对称轴是非常重要的．根据、、，与对称轴的大小关系，判断、、的大小关系．本题主要考查了函数的对称轴求法和函数的单调性，难度一般，解答本题的关键是正确寻找出对称轴，这是解答本题的突破口．7.【答案】B【解析】解：8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组，再一次把较轻的一组分开放在天平的两边进行第二次测量，则较轻的是假银元，所以用一台天平最少2次就能找出这枚假银元．故选：B．可以把8个银元分成4组，将其中的两组放在天平的两边进行第一次测量，天平平衡的一组没有假银元，天平不平衡，那么假银元就在较轻的那组；再把这组分开用天平测，可找出假银元．此题考查的知识点是推理与论证，关键是首先分成4组，先找出较轻的一组，再测即得．8.【答案】B【解析】解：连接BC交PQ于E，与圆D相切于点C，，为直径，，平分，，，，．故选：B．首先连接BC交PQ于E，由PC与圆D相切于点C，根据弦切角定理，即可得，又由AB为直径，即可得，然后由PQ平分与三角形外角的性质，即可证得，则可求得的度数．此题考查了圆的切线的性质，圆周角的性质，弦切角定理，等腰直角三角形的性质，以及三角形外角的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．9.【答案】C【解析】解：表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111，能表示十进制是：．故选：C．根据表可以得到二进制的数转化十进制的数，，，，；表示十进制中表示的数最大时，则二进制数是111111，根据规律即可求得十进制表示的数．本题考查了有理数的计算，关键是正确观察图表，理解二进制的数写成十进制的数的方法．10.【答案】【解析】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，今年的投资金额为：；明年的投资金额为：；所以根据题意可得出的方程：．故答案为：．本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率，如果该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，根据题意可得出的方程．增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．11.【答案】8【解析】【分析】要求平行四边形的周长就要先求出AB、AD的长，利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出．解题关键是利用平行四边形的性质结合等角对等边、勾股定理来解决有关的计算和证明．【解答】解：，，，则，，设，则，在中，根据勾股定理可得，同理可得则平行四边形ABCD的周长是故答案为8．12.【答案】【解析】解：在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，表面没涂颜色的1个．由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，故概率为．故答案为．本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是选出的是表面恰好涂有两面颜色的正方体，有12种结果，根据等可能事件的概率得到结果．本题考查等可能事件的概率，考查计数原理，考查正方体的结构特征，是一个综合题目，在解题时注意分割后的小正方体一定要数清楚，本题是一个易错题．13.【答案】【解析】解：与有一个公共实数根，有一个实数根，，把代入得：．故答案为：．本题需先根据与有一个公共实数根，求出x的值，再把x的值代入原方程即可求出m的值．本题主要考查了一元二次方程的解的概念，在解题时要能够灵活应用解的概念求出结果是本题的关键．14.【答案】【解析】解：因为众数为3，可设，，c未知平均数，解得根据方差公式故填．因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差．本题考查了众数、平均数和方差的定义．15.【答案】18【解析】解：取CD的中点E，连接BE，，是菱形，，，，，，，．四边形ABCD的面积是18．故答案为18．取CD的中点E，连接BE，从而得到进而判定四边形ABED是菱形，得到，从而得到然后得到：．本题考查了梯形的性质，解题的关键是正确地作出辅助线，熟记梯形中常用辅助线的作法对解决此类题目有很大的帮助．16.【答案】7【解析】解：设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意得：，，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，当，时，，当，时，舍去，当，时，舍去，不同的选购方式共有7种．故答案为：7．首先设购买A、B类软件分别为x，y片，根据题意即可得不等式组：，解此不等式组，然后根据分类讨论的思想求解即可求得答案．此题考查了不等数组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是注意理解题意，根据题意求得方程组，然后根据其性质解题，注意分类讨论思想的应用．17.【答案】解：，，原式．【解析】先化简，再代入求值即可．本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．18.【答案】解：设，则，，，，．1、时，，，，；2、时，，，，，．3、时，，，，，4、，，，，，．【解析】可设，根据四边形内角和等于，分四种情况进行讨论，从而求解．本题考查了多边形内角与外角，四边形内角和等于，由于四个内角中有一个角为，不确定，故应该分类讨论．19.【答案】解：按120元出售，一天就能卖出300个，可获得利润：元；设涨价为x元，则可卖出个，设利润为y元，则；若设降价x元，则可以卖出个，设利润为y元，则：；，所以当售价定为115元获得最大为6750元．综上所述，当定价为115元时，商店可获得最大利润6750元．【解析】分别以120元为基础，当涨价时，大于120元，当降价时，小于120元，利用每个商品的利润卖出数量总利润分别写出函数关系式；利用配方法求得两个函数解析式的最大值，比较得出答案．此题主要考查了二次函数在实际问题中的运用，根据利润售价进价卖的件数，列出函数解析式，求最值是解题关键．20.【答案】解：分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，设，．，是等边三角形，，，，，的坐标为，的坐标为，又点在函数的图象上，，解得舍去，，．点在函数的图象上，，解得，舍去，，，的面积，的面积．【解析】分别过、作x轴的垂线，垂足分别为D、E，设，根据等边三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系得到，，，得到的坐标为，的坐标为，然后先把的坐标代入反比例解析式求得m的值，再把的坐标代入反比例解析式得到n的值，这样就确定两等边三角形的边长，然后根据等边三角形的面积等于其边长的平方的倍计算即可．本题考查了点在反比例函数图象上，则点的横纵坐标满足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等边三角形的性质．21.【答案】解：证明：连接OA、OB、OC、OE、OF，是的内心，，在和中≌，，同理，，是的外心．是的外心，，在等腰三角形，，同理，，答：的度数是．【解析】连接OA、OB、OC、OE、OF，证≌，推出，即可；根据三角形的内角和定理求出，，再根据三角形的内角和定理求出即可．本题主要考查对三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．22.【答案】解：正三角形ABC的边长为l，，，，，，，，；，，，当时，等号成立，．【解析】由正三角形ABC的边长为l，，，，即可求得MC，NA，PB的值，又由与，即可求得的面积；由与，即可求得的最大值，继而求得面积的最大值．此题考查了三角形的面积问题，几何不等式的应用问题，以及正三角形的性质．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意几何不等式的应用．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(22)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试培优试卷（22）一、填空题（本大题共23小题，共69.0分）1.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连结FC，则sin∠ECF=______．【答案】45【解析】解：过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，∵点E是BC的中点，∴CE=BE，∴EF=CE，∴∠FEH=∠CEH，∴∠AEB+∠CEH=90°，在矩形ABCD中，∵∠B=90°，∴∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，∴△ABE∽△EHC，∴ABEH =AECE，∵AE=√AB2+BE2=√64+36=10，∴8EH=106∴EH=245，∴sin∠ECF=EHCE =2456=45，故答案为：45．过E作EH⊥CF于H，通过证明△ABE∽△EHC，可得ABEH =AECE，可求EH的长，即可求解．本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．2. 如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC =12BD ，连接AC ，若tanB =53，则tan∠CAD 的值______．【答案】15【解析】解：如图，延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，∵tanB =53，即ADAB =53，∴设AD =5x ，则AB =3x ，∵∠CDE =∠BDA ，∠CED =∠BAD ， ∴△CDE∽△BDA ， ∴CEAB =DEAD =CDBD =12， ∴CE =32x ，DE =52x ，∴AE =152x ，∴tan∠CAD =ECAE =15，故答案为15．延长AD ，过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E ，由tanB =53，即AD AB =53，设AD =5x ，则AB =3x ，然后可证明△CDE∽△BDA ，然后相似三角形的对应边成比例可得：CEAB =DEAD =CDBD =12，进而可得CE =32x ，DE =52x ，从而可求tan∠CAD =ECAE =15．本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将∠CAD 放在直角三角形中．3. 如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P 在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向，同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行______小时即可到达．(结果保留根号)【答案】18+6√35【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ(海里)，所以BQ=PQ−90．在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ⋅tan30°=√33PQ(海里)，所以PQ−90=√33PQ，所以PQ=45(3+√3)(海里)所以MN=PQ=45(3+√3)(海里)在直角△BMN中，∠MBN=30°，所以BM=2MN=90(3+√3)(海里)所以90(3+√3)75=18+6√35(小时)故答案是：18+6√35．如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，通过解直角△AQP、直角△BPQ求得PQ的长度，即MN的长度，然后通过解直角△BMN 求得BM的长度，则易得所需时间．本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．4.直线y=kx−4与y轴相交所成的锐角的正切值为12，则k的值为______ ．【答案】±2【解析】解：∵直线y=kx−4与y轴相交所成的锐角∠OAB的正切值为12，即tan∠OAB=12，∴tan∠OBA=2，即直线y=kx−4与x轴相交所成角的正切值是2，即|k|=2．∴k=±2．直线y=kx−4与y轴相交所成的锐角的正切值为12，即与x轴相交所成的正切值是2，根据一次函数解析式中一次项系数的几何意义即可求解．解决本题的关键理解一次函数一般形式中，一次项系数的几何意义．5.如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于C，D.若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是______．【答案】125【解析】解：连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F．∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E∴∠OAF=∠PBF=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，∵△PCD的周长=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，∴PA=PB=3 2 r.在Rt△PBF和Rt△OAF中，{∠FAO=∠FBP∠OFA=∠PFB，∴Rt△PBF∽Rt△OAF．∴AFBF =AOBP=r32r=23，∴AF=23FB，在Rt△FBP中，∵PF2−PB2=FB2∴(PA+AF)2−PB2=FB2∴(32r+23BF)2−(32r)2=BF2，解得BF=185r，tan∠APB=BFPB =185r32r=125．故答案为：125．连接OA、OB、OP，延长BO交PA的延长线于点F.利用切线求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=32r.利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=23FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可．本题主要考查了切线长定理以及切线的性质，相似三角形及三角函数的定义，解决本题的关键是切线与相似三角形相结合，找准线段及角的关系．6.规定：sin(−x)=−sinx，cos(−x)=cosx，sin(x+y)=sinx⋅cosy+cosx⋅siny．据此判断下列等式成立的是______(写出所有正确的序号)①cos(−60°)=−12；②sin75°=√6+√24；③sin2x=2sinx⋅cosx；④sin(x−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny．【答案】②③④【解析】解：①cos(−60°)=cos60°=12，命题错误；②sin75°=sin(30°+45°)=sin30°⋅cos45°+cos30°⋅sin45°=12×√22+√32×√22=√2 4+√64=√6+√24，命题正确；③sin2x=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx，命题正确；④sin(x−y)=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny，命题正确．故答案为：②③④．根据已知中的定义以及特殊角的三角函数值即可判断．本题考查锐角三角函数以及特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的定义是关键．7.小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是______．【答案】√2+1【解析】解：∵将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，∴AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，∵还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，∴AE=EF，∠EAF=∠EFA=45°÷2=22.5°，∴∠FAB=67.5°，设AB=x，则AE=EF=√2x，∴tan∠FAB=tan67.5°=FBAB =√2x+xx=√2+1．故答案为：√2+1．根据翻折变换的性质得出AB=BE，∠AEB=∠EAB=45°，∠FAB=67.5°，进而得出tan∠FAB=tan67.5°=FBAB得出答案即可．此题主要考查了翻折变换的性质，根据已知得出∠FAB=67.5°以及AE=EF是解题关键．8.水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，需计算带子的缠绕角度α(α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分).若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为______．【答案】12π【解析】解：其展开图如图所示．∵AC//BF，∴∠CAB=180°−∠ABF=90°，∵∠BAE+∠ABE=∠BAE+∠CAE，∴∠CAE=∠ABE=α，∵水管直径为2，∴水管的周长为2π，∴cos∠α=12π．故答案为：12π本题使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，即斜边长为水管的周长为2π．本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．9.如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为______米．【答案】14+2√3【解析】解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．∵∠DCE=30°，CD=8米，∴CE=CD⋅cos∠DCE=8×√32=4√3(米)，∴DE=4米，设AB=x，EF=y，∵DE⊥BF，AB⊥BF，∴△DEF∽△ABF，∴DEAB =EFBF，即4x=20+4√3+y…①，∵1米杆的影长为2米，根据同一时间物高与影长成正比可得，1 2=20+4√3+y…②，①②联立，解得x=14+2√3(米)．故答案为：14+2√3．构造相应的直角三角形，利用勾股定理及影长与实物比求解．此题主要考查学生对坡角及坡度问题的掌握情况．10.直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，BC>AD，AD=2，AB=4，点E在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B 点与D点重合，则∠BCE的正切值是______．【答案】12【解析】解：连接BD，交CE于点F．根据题意得CE⊥BD．∵∠BCE+∠BEC=90°，∠BEC+∠EBF=90°，∴∠BCE=∠ABD．∵tan∠ABD=ADAB =24=12，∴tan∠BCE=12．故答案为：12．连接BD.根据折叠的性质，CE垂直平分BD.可证∠BCE=∠ABD，在△ABD中求出tan∠ABD得解．本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折痕垂直平分对应点的连线．11.2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸．山坡上有一颗与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面(如图所示).已知山坡的坡角∠AEF=23°，测得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面的角∠ADC=60°，AD=4米．则这棵大树折断前高是______米．(注：结果精确到个位)(参考数据：√2≈1.4，√3≈1.7，√6≈2.4)【答案】10【解析】解：过A作AH⊥CD，∵∠BAC=38°，∠EAG=67°，∴∠CAD=75°，在△ACD中，∠CAD=75°，∠ADC=60°，∴∠C=45°，在Rt△ADH中，AD=4米，∠ADC=60°，∴AH=ADsin60°=2√3米，HD=2米，在Rt△ACH中，∠C=45°，∴AH=CH=2√3米，AC=2√6米，则这棵大树折断前高是AC+CH+HD=2√6+2√3+2≈10(米)．故答案为：10过A作AH垂直与CD，求出∠EAG的度数，确定出∠CAD的度数，进而求出∠C的度数，在直角三角形ADH中，由AD的长，利用锐角三角函数定义求出DH与AH的长，在直角三角形ACH中，利用锐角三角函数定义求出AC，以及CH的长，由AC+CH+HD即可求出大树高．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，弄清题意是解本题的关键．12.如图，在顶角为30°的等腰三角形ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°.根据图形计算tan15°=______．【答案】2−√3【解析】解：由已知设AB=AC=2x，∵∠A=30°，CD⊥AB，∴CD=12AC=x，则AD2=AC2−CD2=(2x)2−x2=3x2，∴AD=√3x，∴BD=AB−AD=2x−√3x=(2−√3)x，∴tan15°=BDCD =(2−√3)xx=2−√3．故答案为：2−√3．此题可设AB=AC=2x，由已知可求出CD和AD，那么也能求出BD=AB−AD，从而求出tan15°．此题考查的知识点是解直角三角形，关键是由直角三角形中30°角的性质与勾股定理先求出CD与AD，再求出BD．13.如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2,0)，点B的坐标是(0,2)，直线AC的解析式为y=12x−1，则tan A的值是______ ．【答案】13【解析】解：根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，∵已知点C、点B的坐标，∴OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2√2，∵点A在直线AC上，设A点坐标为(x,12x−1)，根据两点距离公式可得：AB2=x2+(12x−3)2，AC2=(x−2)2+(12x−1)2，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，解得：x=−6，y=−4，∴AB=6√2，∴tanA=BCAB =√26√2=13．故答案为：13．根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，根据点C、点B的坐标得出OB=OC，∠OBC= 45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2√2，然后根据两点间距离公式及勾股定理得出点A坐标，从而得出AB，即可得出答案．本题主要考查了三角形内心的特点，两点间距离公式、勾股定理，综合性较强，难度较大．14.如图，AB是⊙O的弦，D是AB⏜的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于点C，过D作⊙O的切线交BC于点E.若DE=EC，则sinC=______．【答案】√22【解析】解：连接BD，连接OD交AB于F，∵DE为⊙O切线，∴OD⊥DE；∵D是AB⏜的中点，OD过圆心，∴OD⊥AB；又∵AB⊥BC，∴四边形FBED为矩形，∴DE⊥BC；∵AD⏜=BD ⏜， ∴∠A =∠ABD ， ∴AD =BD ，∵∠A +∠C =90°，∠DBA +∠DBC =90°， ∴∠C =∠DBC ， ∴BD =DC ，∴BE =EC =DE ，∴△BCD 为等腰直角三角形， ∴∠C =45°； ∴sinC =√22． 故答案为：√22．连接BD ，连接OD 交AB 于F ，根据切线的性质可知OD ⊥DE ，可得出AB ⊥OD ，四边形FBED 为矩形，再根据直角三角形的性质可求出△BDC 是等腰三角形，可求出BE =EC =DE ，∠C =45°，再根据特殊角的三角函数值解答即可．本题考查了切线的性质及圆周角定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．15. 如图，已知△ABC ，AB =AC =1，∠A =36°，∠ABC 的平分线BD交AC 于点D ，则AD 的长是______，cos A 的值是______.(结果保留根号) 【答案】√5−12；√5+14【解析】【分析】 △ABC 、△BCD 均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cos A 时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．可以证明△ABC∽△BDC ，设AD =x ，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x 的值；过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则E 为AB 中点，由余弦定义可求出cos A 的值． 【解答】解：∵△ABC ，AB =AC =1，∠A =36°， ∴∠ABC =∠ACB =180°−∠A2=72°．∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =36°． ∴∠A =∠DBC =36°， 又∵∠C =∠C∴△ABC∽△BDC ，∴AC BC =BC CD ， 设AD =x ，则BD =BC =x.则1x =x 1−x ， 解得：x =−1−√52(舍去)或√5−12． 故x =√5−12． 如右图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵AD =BD ，∴E 为AB 中点，即AE =12AB =12．在Rt △AED 中，cosA =AE AD =12√5−12=√5+14． 故答案是：√5−12；√5+14．16. 网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA = ______ ．【答案】35【解析】解：如图，作AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，由勾股定理得AB =AC =2√5，BC =2√2，AD =3√2，可以得知△ABC 是等腰三角形，由面积相等可得，12BC ⋅AD =12AB ⋅CE ，即CE =2√2×3√22√5=6√55， sinA =CE AC =6√552√5=35， 故答案为：35．根据各边长得知△ABC 为等腰三角形，作出BC 、AB 边的高AD 及CE ，根据面积相等求出CE ，根据正弦是角的对边比斜边，可得答案．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．17.如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=√3，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连结BC.过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连结PD，求sin∠BPD的值是______．【答案】√1313【解析】解：∵OA⊥AB，∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，OA=1，AB=√3，∴OB=√AB2+OA2=√(√3)2+12=2=2OA，∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，∵PB⊥OB，∴∠PBO=90°，∠BPO=90°−60°=30°，在Rt△PBO中，OB=2，∴PB=√3OB=2√3，在Rt△PBD中，BD=OB−OD=2−1=1，PB=2√3，∴PD=√PB2+BD2=√(2√3)2+12=√13，∴sin∠BPD=BDPD =√13=√1313；故答案为：√1313．由勾股定理求出OB=2，由含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°，∠AOB= 60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=2√3；在Rt△PBD中，BD=OB−OD=1，再由勾股定理求出PD=√13，然后由正弦的定义求sin∠BPD的值．本题考查了勾股定理、含30度的直角三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握勾股定理和含30度的直角三角形的性质是解题的关键．18.如图，已知等边三角形ABC，AB=12，以AB为直径的半圆与BC边交于点D，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，连结GD，则tan∠FGD的值为______．【答案】√32∵△ABC为等边三角形，∴∠C=∠A=∠B=60°，AC=BC=AB=12，∵OD=OB，∴△ODB是等边三角形，∴BD=OB=12AB=6，∴CD=BC−BD=3，∵FG⊥AB，DH⊥AB，∴FG//DH，∴∠FGD=∠GDH．在Rt△BDH中，∠B=60°，∴∠BDH=30°，∴BH=12BD=3，DH=√3BH=3√3．在Rt△CDF中，∠C=60°，∴∠CDF=30°，∴CF=12CD=3，∴AF=AC−CF=12−3=9，在Rt△AFG中，∵∠AFG=30°，∴AG=12AF=92，∵GH=AB−AG−BH=12−92−3=92，∴tan∠GDH=GHDH =923√3=√32，∴tan∠FGD=tan∠GDH=√32，故答案为：√32．过D作DH⊥AB于H，由垂直于同一直线的两条直线互相平行得出FG//DH，根据平行线的性质可得∠FGD=∠GDH.解Rt△BDH，得BH=3，DH=3√3.解Rt△AFG，求出AG=92，则GH=AB−AG−BH=92，于是根据正切函数的定义得到tan∠GDH=√32，则tan∠FGD可求．本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．19.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE与AC所在的直线相交于点E，垂足为D，连接BE.已知AE=5，tan∠AED=34，则BE+CE=______ ．【答案】6或16∵AB的垂直平分线是DE，AB，∴AE=BE，ED⊥AB，AD=12∵AE=5，tan∠AED=3，4∴sin∠AED=3，5∴AD=AE⋅sin∠AED=3，∴AB=6，∴BE+CE=AE+CE=AC=AB=6；②若∠BAC为钝角，如答图2所示：同理可求得：BE+CE=16．故答案为：6或16．本题有两种情形，需要分类讨论．首先根据题意画出图形，由线段垂直平分线的性质，即可求得AE=BE，又由三角函数的性质，求得AD的长，继而求得答案．本题考查了线段垂直平分线、等腰三角形、解直角三角形等知识点，着重考查了分类讨论的数学思想．20.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为______ ．【答案】35【解析】解：如图，连接EC ．由题意可得，OE 为对角线AC 的垂直平分线，∴CE =AE ，S △AOE =S △COE =5，∴S △AEC =2S △AOE =10． ∴12AE ⋅BC =10，又BC =4，∴AE =5，∴EC =5．在Rt △BCE 中，由勾股定理得：BE =√CE 2−BC 2=√52−42=3．∵∠EBC +∠EOC =90°+90°=180°，∴B 、C 、O 、E 四点共圆，∴∠BOE =∠BCE ．另解：∵∠AEO +∠EAO =90°，∠AEO =∠BOE +∠ABO ，∴∠BOE +∠ABO +∠EAO =90°，又∠ABO =90°−∠OBC =90°−(∠BCE +∠ECO) ∴∠BOE +[90°−(∠BCE +∠ECO)]+∠EAO =90°，化简得：∠BOE −∠BCE −∠ECO +∠EAO =0∵OE 为AC 中垂线，∴∠EAO =∠ECO ．代入上式得：∠BOE =∠BCE ．∴sin∠BOE =sin∠BCE =BE EC =35．故答案为：35．由题意可知，OE 为对角线AC 的中垂线，则CE =AE ，S △AEC =2S △AOE =10，由S △AEC 求出线段AE 的长度，进而在Rt △BCE 中，由勾股定理求出线段BE 的长度；然后证明∠BOE =∠BCE ，从而可求得结果．本题是几何综合题，考查了矩形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆周角、三角函数的定义等知识点，有一定的难度．解题要点有两个：(1)求出线段AE 的长度；(2)证明∠BOE =∠BCE ．21. 如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知：⊙O 半径为52，tan∠ABC =34，则CQ 的最大值是______．【答案】203【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，∴AB =5，∠ACB =90°，在Rt △ABC 中，tan∠ABC =AC BC =34，∴设AC =3x ，BC =4x ，根据勾股定理得，(3x)2+(4x)2=25，∴x=5(负值已舍去)，∴AC=3，BC=4，∵CQ⊥CP，∴∠PCQ=90°=∠ACB=90°，∵∠A=∠P，∴△ABC∽△PQC，∴BCCQ =ACPC，∴CQ=BCAC ⋅PC=43PC，∵PC是⊙O的弦，∴PC最大时，CQ最大，而PC最大=AB=5，∴CQ最大=43×5=203，故答案为：203．先求出AC，BC，再判断出，△ABC∽△PQC，得出CQ=43PC，进而确定出PC最大时，CQ最大，即可得出结论．此题考查了圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，得出CQ= 43PC是解本题的关键．22.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上．若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=______ ．【答案】3√313【解析】解：∵AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，∴AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°在Rt△ABC与Rt△ADC中，{AB=ADAC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)∴∠BAC=∠DAC=12∠BAD=30°，MC=NC，∴BC=12AC，∴AC2=BC2+AB2，即(2BC)2=BC2+AB2，3BC2=AB2，∴BC=2√3，在Rt△BMC中，CM=√BM2+BC2=√42+(2√3)2=2√7．∵AN=AM，∠MAN=60°，∴△MAN是等边三角形，∴MN=AM=AN=2，过M点作ME⊥CN于E，设NE=x，则CE=2√7−x，∴MN2−NE2=MC2−EC2，即4−x2=(2√7)2−(2√7−x)2，解得：x=√77，∴EC=2√7−√77=13√77，∴ME=√MN2−NE2=3√217，∴tan∠MCN=MEEC =3√313，故答案为：3√313连接AC，通过三角形全等，求得∠BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作ME⊥CN于E，则△MNA是等边三角形求得MN=2，设NE=x，表示出CE，根据勾股定理即可求得ME，然后求得tan∠MCN．此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．23.如图，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，BNCN的值为______．【答案】27【解析】解：延长NF与DC交于点H，∵∠ADF=90°，∴∠A+∠FDH=∠A+∠ADC−∠ADF=90°，∵∠DFN+∠DFH=180°，∠A+∠B=180°，∠B=∠DFN，∴∠A=∠DFH，∴∠FDH+∠DFH=90°，∴NH⊥DC，设DM=4k，DE=3k，EM=5k，∴AD=9k=DC，DF=6k，∵tanA=tan∠DFH=43，则sin∠DFH=45，∴DH=45DF=245k，∴CH=9k−245k=215k，∵cosC=cosA=CHNC =35，∴CN=53CH=7k，∴BN=2k，∴BNCN =27．首先延长NF与DC交于点H，进而利用翻折变换的性质得出NH⊥DC，再利用边角关系得出BN，CN的长进而得出答案．此题主要考查了翻折变换的性质以及解直角三角形，正确表示出CN的长是解题关键．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(77)(含答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（77）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在我们的周围，有很多美丽的图案，下面是一些汽车的标志，请欣赏下面标志，并注意分析其中是中心对称图形的是A. B.C. D.2.如图，宽为的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为A. B. C. D.3.在直角坐标系中，的圆心在原点，半径为3，的圆心A的坐标为，半径为1，那么与的位置关系是A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切4.如图，要判断的面积是的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是A. 3次以上B. 3次C. 2次D. 1次5.若，则的值是A. 8B. 7C.D.6.若对上的一切实数x，不等式恒成立，则实数m的取值范围是A. B. C. D.7.如图：四边形ABMN，BCPQ是四角都是直角的全等四边形，点R在线段AC上移动，则满足的点R的个数是A. 1个B. 2个C. 1个或2个D. 无数多个8.二次函数的图象如图所示，它与x轴交于点，则化简二次根式的结果是A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算图形阴影部分的面积，验证了一个等式是______．10.已知整数对序列，，，，，，，，则第30对数为______．11.在中国古代诗词中，有很多诗句体现了数学的某些意境，如“明月松间照，清泉石上流”体现了对称的意境；“孤帆远影碧空尽，惟见长江天际流”体现了极限或无限的意境，请你再举出一例并说明其蕴涵的数学意义：______．12.如果定义，那么______．13.如图甲，圆的一条弦将圆分成2部分；如图乙，圆的两条弦最多可将圆分成4部分；如图丙，圆的三条弦最多可将圆分成7部分．由此推测，圆的n条弦最多可将圆分成______．14.如图，等腰梯形ABCD中，，，，点E，F分别在AD，BC上，且，，设四边形DEFC的面积为y，则y关于x 的函数关系式是______不必写自变量的取值范围．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）15.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁．一艘客轮以9海里时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在它的北偏东的方向，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在它的北偏东方向．问客轮不改变方向继续前进有无触礁的危险？四、解答题（本大题共7小题，共64.0分）16.若方程组与方程组有相同的解，求a，b的值．17.已知正比例函数和反比例函数的图象如图，请你画出函数的大致图象，并用文字说明所画图象的特征．18.求函数当时的最小值．19.甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度u行走，另一半时间以速度v行走；乙有一半路以速度u行走，另一半路以速度v行走．如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点？并说明理由．20.如图，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，O为坐标原点，A点的坐标为，若P为y轴点除外上的一点，过P作轴交直线AB于C，设线段PC的长为l，点P的坐标为．如果点P在线段点除外上移动，求l与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；如果点P在射线、O两点除外上移动，求当m为何值时，．21.如图，已知ABCD是圆O的内接四边形，，于M，求证：．22.设，且，抛物线被x轴截得的线段长为l，求l的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．根据中心对称的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合选项即可得出答案．此题考查了中心对称的知识，解答本题一定要熟练中心对称的定义，关键是寻找中心对称点，要注意和轴对称区分开来．2.【答案】A【解析】解：设一个小长方形的长为xcm，宽为ycm，由图形可知，解得：．所以一个小长方形的面积为．故选：A．根据矩形的两组对边分别相等，可知题中有两个等量关系：小长方形的长小长方形的宽，小长方形的长小长方形的长小长方形的宽，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解．此题考查了二元一次方程的应用，解答本题关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．并弄清小正方形的长与宽的关系．3.【答案】B【解析】解：根据题意得点A到点O的距离是，即两圆的圆心距是2，所以半径与圆心距的关系是，根据圆心距与半径之间的数量关系可知与的位置关系是内切．故选B．首先求得点A到点O的距离是，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断与的位置关系．本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且，圆心距为P，则：外离；外切；相交；内切；内含．4.【答案】D【解析】解：连接AD并延长交BC于M，作交AP于点F．一次测量即可得AD，AM长，即可算出DM长，由，即可求出的面积是的面积的几倍．所以只量一次．故选D．根据同底三角形的面积比等于高之比，即可得到答案．此题考查了同底三角形的面积的度量．5.【答案】B【解析】解：由，得，由题知，x不等于0，两边同除x得：，又知将代入得，原式．故选：B．将原方程转化为，利用完全平方公式将转化为完全平方式，再将代入所得完全平方式即可求解．本题主要考查了利用完全平方公式将代数式化为完全平方式并求代数式的值，利用整体思想是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：变形得，当，，即，对上的一切实数x，不等式恒成立，，m取最小值，，即；当时，恒成立，当时，，即，时，m取最大值，，即，实数m的取值范围是．故选：B．先变形得到，讨论：当，，即；当时，恒成立；当时，，即，而对上的一切实数x，不等式恒成立，当，m取最小值，时，m取最大值5，然后综合得到m的范围．本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去括号或去分母，再把含未知数的项移到不等式的左边，常数项移到右边，合并同类项后，然后把未知数的系数化为1即可．7.【答案】C【解析】解：设两个矩形的长是a，宽是连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP，在中，根据勾股定理可得：，过PN的中点E作于点F．则EF是梯形ANPC的中位线，则；以PN为直径的圆，半经为的圆，又，而只有是等号才成立，由，可得圆与直线AC相交或相切，则直角顶点R的位置有两个或一个．故选：C．首先设两个矩形的长是a，宽是连接PN，延长PQ交AN于H，连接BN，BP，利用勾股定理可求得PN的值，然后求得梯形ANPC的中位线的中位线长，利用几何不等式，可得圆与直线AC相交或相切，则可求得答案．此题考查了圆周角定理，梯形的中位线的性质、矩形的性质以及几何不等式的应用．此题难度较大，解题的关键是注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．8.【答案】D【解析】解：图象开口向下，，，，图象和y轴的交点在正半轴上，，当时，，，，当时，，，原式，故选D．由于图象开口向下，那么；易知，可得；而图象和y轴的交点在正半轴上，则有，当时，以求，即，于是，，据图可知当时，，即，据此可化简所给式子，根据二次根式的性质计算即可．本题考查了二次函数图象和系数的关系，解题的关键是能根据图象找出图象特点，并能代入一些x的特殊值如：时y取值情况．9.【答案】【解析】解：左边图形中，阴影部分的面积，右边图形中，阴影部分的面积，两个图形中的阴影部分的面积相等，．故答案为：．分别表示出两个图形中的阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解．本题考查了平方差公式的几何解释，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键．10.【答案】【解析】解：，两数的和为2，共1个，，，两数的和为3，共2个，，，，两数的和为4，共3个，，，，第30对数是两个数的和为9的8个数对中的第二对数，即．故答案为：．根据括号内的两个数的和的变化情况找出规律，然后找出第30对数的两个数的和的值以及是这个和值的第几组，然后写出即可．本题是对数字变化规律的考查，规律比较隐蔽，观察出括号内的两个数的和的变化情况是解题的关键．11.【答案】“满园春色关不住，一支红杏出墙来”；体现了微积分教学中的无界变量，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围．诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了．【解析】解：如：“满园春色关不住，一支红杏出墙来”；体现了微积分教学中的无界变量，无界变量是说，无论你设置怎样大的正数M，变量总要超出你的范围，即有一个变量的绝对值会超过于是，M可以比喻成无论怎样大的园子，变量相当于红杏，结果是总有一支红杏越出园子的范围．诗的比喻如此恰切，其意境把枯燥的数学语言形象化了．故答案为：根据题目举例结合生活实际举例并说明其蕴涵的数学意义．此题考查的知识点是数学常识，也考查学生应用数学知识解决实际问题的能力，在平时注重理论联系实际，学以致用．12.【答案】【解析】解：．故答案为：．根据新定义得到，再约分计算即可求解．考查了规律型：数字的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．13.【答案】【解析】解：一条弦最多可将圆分成部分，二条弦最多可将圆分成部分，三条弦最多可将圆分成部分，四条弦最多可将圆分成部分，n条弦最多可将圆分成部分．故答案为：．根据每增加一条弦，增加了多少个部分，由易到难，寻找变化规律．考查了计数方法，本题是规律探讨性题型，解题的关键是由基本图形，逐步寻找一般规律．14.【答案】【解析】解：过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，，EG垂直AB，，FH垂直AB，，过E作EG垂直AB于G，过F作FH垂直AB于H，根据等式梯形ABCD的面积，分别求得各部分的面积从而可得到函数关系式．此题主要考查学生对等腰梯形的性质及三角形的面积公式的综合运用．15.【答案】解：过P作于C点，据题意知：，，，，，在中：，即：，，客轮不改变方向继续前进无触礁危险．【解析】要得出有无触礁的危险需求出轮船在航行过程中离点P的最近距离，然后与暗礁区的半径进行比较，若大于则无触礁的危险，若小于则有触礁的危险．此题主要考查解直角三角形的有关知识．通过数学建模把实际问题转化为解直角三角形问题．16.【答案】解：方程组与方程组有相同的解，方程组的解也是它们的解，解之得：，代入其他两个方程得，解之得：，【解析】将方程和组成二元一次方程组后求得其解，然后代入剩余两个方程组成的方程组即可求得a、b的值．此题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，解题时首先正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组即可求解．x 1 2 3y 0 0描点、连线：所画图象有两个分支，两个分支关于原点对称且都不与y轴相交．【解析】根据函数图象的画法，列表、描点、连线即可．本题考查了函数图象的画法，要知道，画函数图象要列表、描点、连线，同时要能根据函数图象得到函数的性质．18.【答案】解：对称轴，，即时，范围内，y随x的增大而增大，当时，y最小，最小值，，即时，当时有最小值，最小值，，即时，范围内，y随x的增大而减小，当时，y最小，最小值，综上所述，时，最小值为1，时，最小值为，时，最小值为．【解析】先求出抛物线对称轴，然后分，，三种情况，根据二次函数的增减性解答．本题考查了二次函数的最值问题，主要利用了二次函数的增减性，注意根据二次函数的对称轴分情况讨论求解．19.【答案】解：设从出发点到指定地点的路是S，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，，依题意有：，，，，．．故甲先到达指定地点．【解析】不等式的应用与作差法比较大小，由题意知，可分别根据两人的运动情况表示出两人走完全程所用的时间，再对两人所胡的时间用作差法比较大小即可得出谁先到达．此题主要考查了应用类问题中一个不等式的实际应用题，根据实际情况建立起函数模型，再利用不等式的性质比较大小，熟练掌握比较大小的方法作差法，及根据题设情况建立起正确的模型是解题的关键20.【答案】解：在直线上，，解得，轴交直线AB于C，，；当点P在线段BO上时，，，，即，解得或4，当P点在y轴的负半轴时，，，则，解得舍去，，或4或．【解析】将代入直线中，可求得，将P点纵坐标m代入直线中，得C点横坐标为，由此可表示PC的长，即求l与m的函数关系式；分P点在线段BO上，P点在y轴的负半轴，两种情况分别表示的面积，再求m的值．本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据一次函数点的坐标表示线段的长和三角形面积．21.【答案】证明：在MA上截取，连接BE，，，，，，，而，，又，，，，≌，，．【解析】首先在MA上截取，连接BE，由，根据垂直平分线的性质，即可得到，得到；再由，得到，而，则，根据圆内接四边形的性质得，易得，从而可证出≌，得到，即有．此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用．22.【答案】解：，，，，被x轴截得的线段的长为l，令，则，设，，，把代入上式，得，，，，，，，，，，，，，，，．【解析】利用已知条件得到b和a，c的关系，令解方程求出抛物线和x轴交点的横坐标，求出l的表达式，利用一元二次方程的判别式，求出l的取值，再由，推出，可得，推出，由此即可解决问题．本题考查了二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试培优数学试卷-含详细解析
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试培优试卷含详细解析一、填空题（本大题共20小题，共60.0分）1.如图，在平面直角坐标系中，点A(0,4)，B(3,0)，连接AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A′处，折痕所在的直线交y轴正半轴于点C，则直线BC的解析式为______．2.如图，在平面直角坐标系中，函数y=x和y=−12x的图象分别为直线l1，l2，过点A1(1,−12)作x轴的垂线交11于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5，…依次进行下去，则点A2018的横坐标为______．3.实验室里有一个水平放置的长方体容器，从内部量得它的高是15cm，底面的长是30cm，宽是20cm，容器内的水深为x cm.现往容器内放入如图的长方体实心铁块(铁块一面平放在容器底面)，过顶点A的三条棱的长分别10cm，10cm，ycm(y≤15)，当铁块的顶部高出水面2cm时，x，y满足的关系式是______．4.在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”.图为点P、Q的“相关矩形”的示意图．现在已知点A的坐标为(1,0)，若点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______．5.对于坐标平面内的点，先将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2,3)经1次斜平移后的点的坐标为(3,5).已知点A的坐标为(1,0).如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点为点B，点B关于直线l的对称点为点C.若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为(7,6)，则点B的坐标为______及n的值为______．6.用m根火柴可以拼成如图1所示的x个正方形，还可以拼成如图2所示的2y个正方形，那么用含x的代数式表示y，得______．7.若y是关于x的一次函数，当x的值减小1，y的值就减小2，则当x的值增加2时，y的值增加______．8.已知x满足−5≤x≤5，函数y1=x+1，y2=−2x+4，对任意一个x，对应的y1，y2中的较小值记作m，则m的最大值是______．9.已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(−1,0)，B(5,0)，C(2,2)，D(0,2)，直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，则k的值为______．10.已知直线y1=x，y2=13x+1，y3=−45x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为______ ．11.在平面直角坐标系中，有A(3,−2)，B(4,2)两点，现另取一点C(1,n)，当n=______时，AC+BC的值最小．12.对于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义一种运算：A⊕B=(x1+x2)+(y1+y2).例如，A(−5,4)，B(2,−3)，A⊕B=(−5+2)+(4−3)=−2，若互不重合的四点C.D，E，F，满足C⊕D=D⊕E= E⊕F=F⊕D.则C，D，E，F四点都在直线______上．13.如图，直线y=−x+4与两坐标轴交A、B两点，点P为线段OA上的动点，连接BP，过点A作AM 垂直于直线BP，垂足为M，当点P从点O运动到点A时，则点M运动路径的长为______．14.已知直线y=−(n+1)n+2x+1n+2(n为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为S n，则S1+S2+S3+⋯+S2012=______．15.正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是______．16.对于一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则一次函数的解析式为______．17.如图，在直角坐标系中，直线y=43x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，C为OB的中点，点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形，P是CD上一个动点，过点P作PH⊥OA于H，Q是点B关于点A的对称点，则BP+PH+HQ的最小值为______．18.如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P(1,1)，C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P 顺时针旋转90°至线段PD，过点D作直线AB⊥x轴，垂足为B，直线AB与直线y=x交于点A，且BD= 2AD，连接CD，直线CD与直线y=x交于点Q，则点Q的坐标为______．19.对于平面直角坐标系中任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，称|x1−x2|+|y1−y2|为P1、P2两点的直角距离，记作：d(P1,P2).若P0(x0,y0)是一定点，Q(x,y)是直线y=kx+b上的一动点，称d(P0,Q)的最小值为P0到直线y=kx+b的直角距离．令P0(2,−3)，O为坐标原点．则：(1)d(O,P0)=______；(2)若P(a,−3)到直线y=x+1的直角距离为6，则a=______．20.在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y)，我们把点P′(−y+1,x+1)叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，A n，….若点A1的坐标为(3,1)，则点A3的坐标为______，点A2014的坐标为______；若点A1的坐标为(a,b)，对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满足的条件为______．答案和解析1.【答案】y =−12x +32【解析】解：∵A(0,4)，B(3,0)，∴OA =4，OB =3，在Rt △OAB 中，AB =√OA 2+OB 2=5，∵△AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴上的点A′处，∴BA′=BA =5，CA′=CA ，∴OA′=BA′−OB =5−3=2，设OC =t ，则CA =CA′=4−t ，在Rt △OA′C 中，∵OC 2+OA′2=CA′2，∴t 2+22=(4−t)2，解得t =32，∴C 点坐标为(0,32)，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，把B(3,0)、C(0,32)代入得{3k +b =0b =32，解得{k =−12b =32， ∴直线BC 的解析式为y =−12x +32．故答案为：y =−12x +32．在Rt △OAB 中，OA =4，OB =3，用勾股定理计算出AB =5，再根据折叠的性质得BA′=BA =5，CA′=CA ，则OA′=BA′−OB =2，设OC =t ，则CA =CA′=4−t ，在Rt △OA′C 中，根据勾股定理得到t 2+22=(4−t)2，解得t =32，则C 点坐标为(0,32)，然后利用待定系数法确定直线BC 的解析式． 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理和待定系数法求一次函数解析式．2.【答案】4504【解析】解：由题意可得，A 1(1,−12)，A 2(1,1)，A 3(−2,1)，A 4(−2,−2)，A 5(4,−2)，A 6(4,4)，…，可得A 4n+2(4n ,4n )∵2018÷4=504…2，∴A 2018在第一象限，∴点A 2018的横坐标为：4504，故答案为：4504．根据题意可以发现题目中各点的坐标变化规律，从而可以解答本题．本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出题目中点的横坐标的变化规律．3.【答案】y=6x+105(0<x≤655)或y=120−15x2(6≤x<8)【解析】解：①当长方体实心铁块的棱长为10cm和ycm的那一面平放在长方体的容器底面时，则铁块浸在水中的高度为8cm，此时，水位上升了(8−x)cm(x<8)，铁块浸在水中的体积为10×8×y=80ycm3，∴80y=30×20×(8−x)，∴y=120−15x2，∵y≤15，∴x≥6，即：y=120−15x2(6≤x<8)，②当长方体实心铁块的棱长为10cm和10cm的那一面平放在长方体的容器底面时，同①的方法得，y=6x+106(0<x≤656)，故答案为：y=6x+105(0<x≤655)或y=120−15x2(6≤x<8)分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．此题主要考查了从实际问题列一次函数关系式，正确找出相等关系是解本题的关键．4.【答案】y=−x+1或y=x−1【解析】解：如图所示，若点C在直线x=3上，则A，C的“相关矩形”与x轴平行的边长度为2，设C(3,y)，就有|y|=2，∴y=±2，当C(3,2)时，直线AC的表达式为y=x−1；当C(3,−2)时，直线AC的表达式为y=−x+1；故答案为：y=−x+1或y=x−1．依据点C在直线x=3上，即可得到A，C的“相关矩形”与x轴平行的边长度为2，设C(3,y)，就有|y|=2，可得y=±2，进而得到直线AC的表达式．本题主要考查了正方形的性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．5.【答案】(5,8) 4【解析】解：连接CM，由中心对称可知：AM=BM，由轴对称可知：MB =MC ，∴AM =CM =BM ，∴∠MAC =∠ACM ，∠MBC =∠MCB ，∵∠MAC +∠ACM +∠MBC +∠MCB =180°，∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形．延长BC 交x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ，∵A(1,0)，C(7,6)，∴AF =CF =6，∴△ACF 是等腰直角三角形，∵∠ACE =90°，∴∠AEC =45°，∴E 点坐标为(13,0)，设直线BE 的解析式为y =kx +b ，∵点C ，E 在直线上，{13k +b =07k +b =6解得{k =−1b =13∴y =−x +13，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴点B(n +1,2n)，由2n =−n −1，解得n =4，∴B(5,8)．故答案为：(5,8)、4．连接CM ，根据中心对称可得：AM =BM ，由轴对称可得：MB =MC ，所以AM =CM =BM ，进而可以证明△ABC 是直角三角形，延长BC 交x 轴于点E ，过点C 作CF ⊥AE 于点F ，可以证明△ACF 是等腰直角三角形，可得E 点坐标，进而可求直线BE 的解析式，再根据点B 由点A 经n 次斜平移得到，得点B(n +1,2n)，代入直线解析式即可求得n 的值，进而可得点B 的坐标．本题考查了坐标与图形的变化−旋转、坐标与图形的变化−平移、坐标与图形的变化−对称，解决本题的关键是综合运用旋转、平移、对称的知识．6.【答案】y =35x −15【解析】解：由图1可知：一个正方形有4条边，两个正方形有4+3条边，∴m =1+3x ，由图2可知：一组图形有7条边，两组图形有7+5条边，∴m =2+5y ，所以：1+3x =2+5y即y =0.6x −0.2．分别根据图1，求出组装x 个正方形用的火柴数量，即m 与x 之间的关系，再根据图2找到y 与m 之间的等量关系，最后利用m 相同写出关于x ，y 的方程，整理即可表示出y 与x 之间的关系．读懂题意，根据实际意义列出关于两个变量之间的等式是求得函数关系式的关键．本题要注意分别找到x ，y 与m 之间的相等关系，利用m 作为等量关系列方程整理即可表示．7.【答案】4【解析】解：∵y是关于x的一次函数，设y=kx+b，∵当x的值减小1，y的值就减小2，∴y−2=k(x−1)+b=kx−k+b，即y=kx−k+b+2．又∵y=kx+b，∴−k+b+2=b，即−k+2=0，∴k=2．当x的值增加2时，∴y=(x+2)k+b=kx+b+2k=kx+b+4，∴当x的值增加2时，y的值增加4．故答案为：4．先根据题意列出关于k的方程，求出k的值即可得出结论．本题考查的是一次函数的性质，先根据题意得出k的值是解答此题的关键．8.【答案】2【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，找出当x=1时，m取最大值是解题的关键．令y1=y2，求出x值，由该值在−5≤x≤5中即可得知，当x=1时，m取最大值，将x=1代入y1=x+ 1即可得出结论．【解答】解：令y1=y2，则x+1=−2x+4，解得：x=1，当x=1时，y1=y2=2．∵对任意一个x，对应的y1，y2中的较小值记作m，且x满足−5≤x≤5，∴m的最大值是2．故答案为：2．9.【答案】−23【解析】解：直线y=kx+2恒过(0,2)即D点，梯形的面积为：(6+2)×22=8，直线y=kx+2与x轴的交点为E(−2k,0)，如图：∵直线y=kx+2将梯形分成面积相等的两部分，∴S△AED=12×AE×OD=12×(−2k+1)×2=12×8=4，∴k=−23．故答案为：−23．首先根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积，利用直线将梯形分成相等的两部分，求得直线与梯形的边围成的三角形的面积，进而求得其解析式即可．本题考查直线的交点，梯形的面积与三角形的面积公式的应用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．10.【答案】3717【解析】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A(32,32)；B(259,259)；C(6017,37 17)当x<32，y=y1；当32≤x<259，y=y2；当259≤x<6017，y=y2；当x≥6017，y=y3．∵y总取y1，y2，y3中的最小值，∴y的取值为图中红线所描述的部分，则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标3717，∴y最大=3717．y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．此题主要考查了一次函数与一次不等式的综合应用，要先画出函数的图象根据数形结合解题，锻炼了学生数形结合的思想方法．11.【答案】−25【解析】解：作点A关于x=1的对称点A′(−1,−2)，连接A′B交x=1于C，可求出直线A′B的函数解析式为y=45x−65，把C的坐标(1,n)代入解析式可得n=−25．先作出点A关于x=1的对称点A′，再连接A′B，求出直线A′B的函数解析式，再把x=1代入即可得．此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．12.【答案】y=−x+k(k为常数)【解析】解：∵对于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，A⊕B=(x1+x2)+(y1+y2)，如果设C(x3,y3)，D(x4,y4)，E(x5,y5)，F(x6,y6)，那么C⊕D=(x3+x4)+(y3+y4)，D⊕E=(x4+x5)+(y4+y5)，E⊕F=(x5+x6)+(y5+y6)，F⊕D=(x4+x6)+(y4+y6)，又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴(x3+x4)+(y3+y4)=(x4+x5)+(y4+y5)=(x5+x6)+(y5+y6)=(x4+x6)+(y4+y6)，∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C(x3,y3)，D(x4,y4)，E(x5,y5)，F(x6,y6)都在直线y=−x+k(k为常数)上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故答案为y=−x+k(k为常数)．如果设C(x3,y3)，D(x4,y4)，E(x5,y5)，F(x6,y6)，先根据新定义运算得出x3+y3=x4+y4=x5+y5= x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则可得结果．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．13.【答案】√2π【解析】【解答】解：∵AM垂直于直线BP，∴∠BMA=90°，∴点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的OA⏜，连接ON，∵直线y=−x+4与两坐标轴交A、B两点，∴OA=OB=4，∴ON⊥AB，∴∠ONA=90°，∵AB=√OA2+OB2=4√2，∴ON=2√2，∴OA⏜=90π180⋅2√2=√2π．故答案为：√2π.【分析】本题考查了一次函数的综合题，涉及了两坐标轴交点坐标及点的运动轨迹，难点在于根据∠BMC=90°，判断出点M的运动路径是解题的关键，同学们要注意培养自己解答综合题的能力．根据直线与两坐标轴交点坐标的特点可得A、B两点坐标，由题意可得点M的路径是以AB的中点N为圆心，AB长的一半为半径的OA⏜，求出OA⏜的长度即可．14.【答案】5032014【解析】解：令x=0，则y=1n+2，令y=0，则−n+1n+2x+1n+2=0，解得x=1n+1，所以，S n=12⋅1n+1⋅1n+2=12(1n+1−1n+2)，所以，S 1+S 2+S 3+⋯+S 2012=12(12−13+13−14+14−15+⋯+12013−12014)=12(12−12014)=5032014． 故答案为：5032014．令x =0，y =0分别求出与y 轴、x 轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S n ，再利用拆项法整理求解即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S n ，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．15.【答案】(63,32)【解析】方法一：解：∵直线y =x +1，x =0时，y =1，∴A 1B 1=1，点B 2的坐标为(3,2)，∴A 1的纵坐标是：1=20，A 1的横坐标是：0=20−1，∴A 2的纵坐标是：1+1=21，A 2的横坐标是：1=21−1，∴A 3的纵坐标是：2+2=4=22，A 3的横坐标是：1+2=3=22−1，∴A 4的纵坐标是：4+4=8=23，A 4的横坐标是：1+2+4=7=23−1，即点A 4的坐标为(7,8)．据此可以得到A n 的纵坐标是：2n−1，横坐标是：2n−1−1．即点A n 的坐标为(2n−1−1,2n−1).∴点A 6的坐标为(25−1,25).∴点B 6的坐标是：(26−1,25)即(63,32)．故答案为：(63,32)．方法二：∵B 1C 1=1，B 2C 2=2，∴q =2，a 1=1，∴B 6C 6=25=32，∴OC 1=1=21=1，OC 2=1+2=22−1，OC 3=1+2+4=23−1…OC 6=26−1=63，∴B 6(63,32)．首先利用直线的解析式，分别求得A 1，A 2，A 3，A 4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点A n 的坐标，即可得出点B 6的坐标．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．16.【答案】y =x +2或y =−x +7【解析】解：∵对于一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，∴点(1,3)、(4,6)在一次函数y =kx +b 的图象上或点(1,6)、(4,3)在一次函数y =kx +b 的图象上． 当点(1,3)、(4,6)在一次函数y =kx +b 的图象上时，{k +b =34k +b =6，解得：{k =1b =2， ∴此时一次函数的解析式为y =x +2；当(1,6)、(4,3)在一次函数y =kx +b 的图象上时，{k +b =64k +b =3，解得：{k =−1b =7，此时一次函数的解析式为y=−x+7．故答案为：y=x+2或y=−x+7．由一次函数的单调性即可得知点(1,3)、(4,6)在一次函数y=kx+b的图象上或点(1,6)、(4,3)在一次函数y=kx+b的图象上，根据点的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，此题得解．本题考查了一次函数的性质以及待定系数法求一次函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键．17.【答案】6√2+2【解析】解：如图，连接CH，x+4分别交x轴，y轴于A，B两点，∵直线y=43∴OB=4，OA=3，∵C是OB的中点，∴BC=OC=2，∵∠PHO=∠COH=∠DCO=90°，∴四边形PHOC是矩形，∴PH=OC=BC=2，∵PH//BC，∴四边形PBCH是平行四边形，∴BP=CH，∴BP+PH+HQ=CH+HQ+2，要使CH+HQ的值最小，只须C、H、Q三点共线即可，∵点Q是点B关于点A的对称点，∴Q(−6,−4)，又∵点C(0,2)，根据勾股定理可得CQ=√(2+4)2+62=6√2，此时，BP+PH+HQ=CH+HQ+PH=CQ+2=6√2+2，即BP+PH+HQ的最小值为6√2+2；故答案为：6√2+2．x+4先确定OA和OB的长，证明四边形PHOC是矩形，得PH=OC=BC=2，再证明根据直线y=43四边形PBCH是平行四边形，则BP=CH，在BP+PH+HQ中，PH=2是定值，所以只要CH+HQ的值最小就可以，当C、H、Q在同一直线上时，CH+HQ的值最小，利用平行四边形的性质求出即可．本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强．18.【答案】(94,94) 【解析】解：过P 作MN ⊥y 轴，交y 轴于M ，交AB 于N ，过D 作DH ⊥y 轴，交y 轴于H ， ∠CMP =∠DNP =∠CPD =90°，∴∠MCP +∠CPM =90°，∠MPC +∠DPN =90°，∴∠MCP =∠DPN ，∵P(1,1)，∴OM =BN =1，PM =1，在△MCP 和△NPD 中{∠CMP =∠DNP ∠MCP =∠DPN PC =PD∴△MCP≌△NPD(AAS)，∴DN =PM ，PN =CM ，∵BD =2AD ，∴设AD =a ，BD =2a ，∵P(1,1)，∴DN =2a −1，则2a −1=1，a =1，即BD =2．∵直线y =x ，∴AB =OB =3，在Rt △DNP 中，由勾股定理得：PC =PD =√(3−1)2+(2−1)2=√5，在Rt △MCP 中，由勾股定理得：CM =√(√5)2−12=2，则C 的坐标是(0,3)，设直线CD 的解析式是y =kx +3，把D(3,2)代入得：k =−13，即直线CD 的解析式是y =−13x +3，即方程组{y =−13x +3y =x 得：{x =94y =94， 即Q 的坐标是(94,94)，②当点C 在y 轴的负半轴上时，作PN ⊥AD 于N ，交y 轴于H ，此时不满足BD =2AD ，故答案为：(94,9 4 ).过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交AB于N，过D作DH⊥y轴，交y轴于H，∠CMP=∠DNP=∠CPD=90°，求出∠MCP=∠DPN，证△MCP≌△NPD，推出DN=PM，PN=CM，设AD=a，求出DN=2a−1，得出2a−1=1，求出a=1，得出D的坐标，在Rt△DNP中，由勾股定理求出PC= PD=√5，在Rt△MCP中，由勾股定理求出CM=2，得出C的坐标，设直线CD的解析式是y=kx+ 3，把D(3,2)代入求出直线CD的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．19.【答案】(1)5；(2)2或−10．【解析】解：(1)∵P0(2,−3)，O为坐标原点，∴d(O,P0)=|0−2|+|0−(−3)|=5．故答案为：5；(2)∵P(a,−3)到直线y=x+1的直角距离为6，∴设直线y=x+1上一点Q(x,x+1)，则d(P,Q)=6，∴|a−x|+|−3−x−1|=6，即|a−x|+|x+4|=6，当a−x≥0，x≥−4时，原式=a−x+x+4=6，解得a=2；当a−x<0，x<−4时，原式=x−a−x−4=6，解得a=−10．故答案为：2或−10．【分析】(1)根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论；(2)先根据题意得出关于x的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上给点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．20.【答案】(−3,1)；(0,4)；−1<a<1且0<b<2【解析】解：∵A1的坐标为(3,1)，∴A2(0,4)，A3(−3,1)，A4(0,−2)，A5(3,1)，…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2014÷4=503余2，∴点A 2014的坐标与A 2的坐标相同，为(0,4)；∵点A 1的坐标为(a,b)，∴A 2(−b +1,a +1)，A 3(−a,−b +2)，A 4(b −1,−a +1)，A 5(a,b)，…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵对于任意的正整数n ，点A n 均在x 轴上方，∴{a +1>0−a +1>0，{−b +2>0b >0， 解得−1<a <1，0<b <2．故答案为：(−3,1)，(0,4)；−1<a <1且0<b <2．根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2014除以4，根据商和余数的情况确定点A 2014的坐标即可；再写出点A 1(a,b)的“伴随点”，然后根据x 轴上方的点的纵坐标大于0列出不等式组求解即可．本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．。
鄞州中学自主招生数学卷 三位一体
数 学 试 题说明：1、本卷满分120分，考试时间为90分钟；2、全卷分试题卷和答题卷，答案必须写在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效；3、不能使用计算器．一、选择题（每小题5分，共40分）1．若0≠ab ，则等式ab a b a 135-=--成立的条件是（ ） A 、00>>b a , B 、00><b a , C 、00<>b a , D 、00<<b a ,2．已知2662212-=-=-=c b a ,,，那么c b a ,,的大小关系是（ ）A 、c b a <<B 、b a c <<C 、a b c <<D 、c a b <<3．下列四个判定平行四边形的命题的题设：①一组对边相等且一组对角相等的四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形，其中是真命题的个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、44．如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=（其中021>>k k ）在第一象限内的图像依次是1c 和2c ，设点P 在1c 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2c 于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交2c 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）A 、k 1＋k 2B 、k 1－k 2C 、k 1·k 2D 、21k k5．如图，在ABC Rt ∆中，点D 为斜边AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上，︒=∠90EDF ,如果2121=-==CF BF CE AE ,,,则斜边AB 的长为（ ） A 、23 B 、33 C 、6 D 、536.如图，在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如A ，B ，C 三个顶点形成BAC ACB ABC ∠∠∠,,）,一共可作出168个角，那么这些角中最小的一个一定是（ ）A 、小于或等于︒20B 、小于或等于︒522.C 、小于或等于︒25D 、小于或等于︒527.7．如图，在矩形ABCD 中，AB=3,BC=2,以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ ）A 、36B 、32C 、31 D 、1010 8．ABC Rt ∆的三个顶点ABC 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则h 满足（ ）A 、1<hB 、1=hC 、21<<hD 、2>h二、填空题（每小题5分，共40分）9．分式123--x x 的值为整数，则整数x 的值为 ． 10．设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们恰好全等的概率为 ．11．关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-<-1270x m x 的整数解共有5个，则m 的取值范围是 ． 12．已知四个整数数据：10、x 、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是，则这组数据的中位数是 ．13．如图，AB ∥DE ，FC ⊥CD 于点C ，︒=∠︒=∠130107CDE abc ,,点G 在BC 的延长线上，则FCG ∠的度数是 度．14．如图，⊙O 与ABC Rt ∆的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE ∥BC,已知AE=22，AC=23，BC=6,则⊙O 的半径是 ．15．如图，在第一象限内存在等腰直角︒=∠90A OAB ,∆,点A 的纵坐标为2，在第一象限内OAB ∆的右侧作BCD ∆，使它与OAB ∆全等，直角顶点C 在x 轴上，当点A 运动时，点D 恰好在某条直线l 上运动，则直线l 的解析式为 ．16．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 ．三、解答题（第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，共40分）17．如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB=AC=AE,请你说明以下式成立的理由：DBE CAD ∠=∠2 ．18．如图抛物线)(02>+=a bx ax y 与双曲线x k y =相交于点A 、B ，已知点A 的坐标为（1,4），点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点），求实数k b a ,,d 的值．19．已知：))(())(())((a x c x c x b x b x a x ++++++++是关于x 的完全平方式，试猜想c b a ,,应满足的数量关系，并证明你的猜想．20．已知正ABC ∆,AB=2，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，以相同的速度作直线运动，且点P 沿射线AB 方向运动，点Q 沿射线BC 方向运动，设AP 的长为x 想，PCQ ∆的面积为s ，（1）求s 关于x 的函数关系式；（2）当PCQ ∆的面积和ABC ∆的面积相等时AP 的长为多少？。
2020鄞州中学三位一体数学试题
1 2020鄞州中学三位一体自主招生综合检测卷理科综合（I.数学部分）本卷共36题，共计180分（填空选择4分/题，解答题3分/小题）考试时间180分钟请将答案作答于答题卷上，否则一律作废【阿氏圆推荐公式：r=a λ÷|λ²-1|（a=AB ，|PA|=λ|PB|）】1.如图1，点P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，若∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OP OB OA =⋅，就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角.（1）如图2，已知∠MON =90°，点P 为∠MON 的平分线上一点，以点P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于A ，B 两点，且∠APB =135°. 求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连结AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；（3）如图3，C 是函数)0(3>=x xy 图象上的一个动点，过点C 的直线CD 分别交x 轴和y 轴于点A ，B 两点，且满足BC =2CA ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标.2.如图，在ABC ∆中，AC BC AB 2=+，求2tan 2tanC A ∠⋅∠的值。
3.如图，在△ABC 中，AB ＝2AC ，BC ＝4，则△ABC 的面积最大值为_____．4.当01x <<时，则141x x +-的最小值是________．5.如图，△ABC 中，∠︒=90BAC ，D 在CB 延长线上，6=AD ，4=DB ，5=BC ，则DAB ∠tan 的值是（ ）.A 43 .B 32 .C 13132 .D 13133 6.如图，⊙O 的半径为3，A 为半径OM 上一点，OA ＝2，B 、C 为⊙O 上不同的两点，AB ⊥AC ，则BC 的最大值为（ ）A ．2＋14B ．6C ．5D ．4 27.如图，在ABC ∆中，D BC AC ACB ,,90=︒=∠是AC 上一点，F E 、在BC BD 、的延长线上，且︒=∠=∠90BEF BAE ，若3,2==EF DE ，则=BD __________（图见下页）28.如图正方形内接于为弧上的一点，分别交于点，且PBMN⊥，设aPBD=∠，求的值。
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷(含答案)
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若xy ≠−1，且{4x 2+9x +3=03y 2−9y +4=0，则x y = ______．2.11+2+11+2+3+11+2+3+4+⋯+11+2+3+⋯+2024= ______．3.已知正实数a ，b ，c 满足a +b +c =6，则 a 2+18+ b 2+32+ c 2+50的最小值为______．4.已知函数y =|x 2+2x−a +3|，当−2≤x ≤1时，y 有最大值5，则a 的值为______．5.已知△ABC 中，BC 上的一点D ，2BD =CD ，∠DAC =30°，则∠ABD 的最大值为______．6.若点T 为线段BC 中点，AT ⊥DT ，且AT =2，DT =1，AB//CD ，BC = 13，则AB CD = ____．7.如图，在△ABC 中，G ，E 分别在AB ，AC 上，连结BE 交AF 于O ，若BO OE =92，AE EC =12，G ，O ，C 共线，△GEF 的面积为11，则△OBC 的面积为______．8.已知整数x ，y ，z 满足xy +yz +zx =118，则x 2+y 2+z 2的最小值为______．9.已知x ，y ，z 是大于1的正整数，且(x +1y )(y +1z )(z +1x )为整数，则x +y +z = ___．10.已知EA 、EC 为圆O 的两条切线，连结DE 交圆于点B ，若BC =6，AB =3，∠ABD =30°，则BD = ______．二、解答题：本题共2小题，共16分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.(本小题8分)已知P(3,4)，矩形OAPB 的A ，B 顶点分别在x 轴，y 轴上，反比例函数y =kx (x >0,k >0)与矩形的BP ，AP 分别交于D ，C ，△COD 的面积为4.5．(1)判断并证明直线CD 与AB 的关系．(2)求k 的值．(3)若E ，F 分别为直线AB 和反比例函数上的动点，M 为EF 中点，求OM 的最小值．12.(本小题8分)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，OH⊥BC于H．(1)求证：2OH=AD．(2)证明：B，O，D，C四点共圆．(3)若BE=2CE=2，求DE．参考答案1.−342.202320253.184.1或75.90°6.37.308.1189.1210.4 311.解：(1)如图1，CD//AB ，理由如下：由题意得，C(3,k 3)，D(k 4,4)，∴BD =k 4，AC =k 3，∴PD =PB−BD =3−k 4=12−k 4，PC =PA−AC =4−k 3=12−k 3，∴PD PC =34，∴PD PC =PB PA ，∵∠P =∠P ，∴△PCD ∽△PAB ，∴∠PDC =∠PBA ，∴CD//AB ；(2)如图2，作DG ⊥OA 于G ，∵S △AOC =S △DOG =12k ，∴S △COD =S 四边形AOCD −S △AOC =(S △DOG +S 梯形ACDG )−S △AO C =S 梯形ACDG ，∴12(AC +DG)⋅PD =4.5，∴(4+k 3)⋅(3−k 4)=9，∴k 1=6，k 2=−6(舍去)，∴k =6；(3)如图2，取点A′(−3,0)，B′(0,−4)，则直线A′B′与直线AB 关于O 对称，连接EO ，并延长交A′B′于H ，连接FH ，则OE =OH ，∵M 是EF 的中点，∴OM =12FH ，∴当FH 最小时，OM 最小，作直线QH//AB ，交y 轴与Q ，且使QR 与双曲线y =6x 在第一象限的图象相切，切点为F′，作B′R ⊥QR 于R ，作F′T ，则FH 的最小值是F′T 的长，∵直线AB 的解析式为：y =−43x +4，∴设直线QR 的解析式为：y =−43x +m ，由−43x +m =6x 整理得，4x 2−3mx +18=0，∴Δ=(−3m )2−4×4×18=0，∴m 1=4 2，m 2=−4 2(舍去)，∴OQ =4 2，∴QB′=4 2+4，∵∠AOB =90°，OA =3，OB =4，∴AB =5，∴sin ∠RQB′=sin ∠ABO =OB AB =45，∴F′H =B′R =BQ ⋅sin ∠RQB′=162+165，∴OM 最小=12F′H =8 2+85． 12.解：(1)根据题意，以O 为圆心，OB 为半径作圆O ，延长BO 交圆于点F ，延长BD 交AC 于点M ，连接OC ，CD ，AF ，FC ，∵BF是直径，∴FA⊥AB，FC⊥BC，∵D为垂心，∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，∴FA//CD，FC//AD，∴AFCD是平行四边形，∴AF=CD，∵∠BAC=60°，OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴OH=1OB，2r，设半径为r，BM=32∴BC=3r，CF，又∵OH=12∴AD=2OH；(2)∵D为垂心，∴BD⊥AC，CD⊥AB，AD⊥BC，∴∠ACD=30°，∴∠CDM=60°，∴∠BDC=120°，∵∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=30°，∴B、C、D、O四点共圆；(3)设DE=x，∵BE=2CE=2，∴CE=1，∵在直角△BFC中，∠OBC=30°，BC=3，BF2=FC2+BC2，∴CF=3，BF=23，∴AD=3，在直角△ABE中，AB2=AE2+BE2，即：AB2=(x+3)2+22，在直角△CDE 中，CD 2=DE 2+CE 2，即：CD 2=x 2+12，∵CD =AF ，∴AF 2=x 2+1，在△ABF 中，BF 2=AF 2+AB 2，即：(2 3)2=(x 2+1)+[(x + 3)2+22])，∴x 2+ 3x−2=0，∴x = 11− 32或x =− 11− 32(舍去)，∴DE = 11− 32．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(23)-教师用卷
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（23）一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1.正数4−2√3的算术平方根是()A. 1+√3B. −1+√3C. 2+√3D. −2+√3【答案】B【解析】解：∵4−2√3=(√3)2−2√3+1=(√3−1)2∴正数4−2√3的算术平方根是√3−1∵−1+√3=√3−1∴B正确．故选：B．先将正数4−2√3写成完全平方的形式，再根据算术平方根的定义得解即可．本题考查了算术平方根的意义及配方法在无理式中的应用，正确运用配方法是解答本题的关键．2.已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则化简|b2−a+a2+b−2aba−b|的结果是()A. a−b−1B. a+b−1C. −a+b+1D. −a−b+1【答案】C【解析】解：原式=|(a−b)2−(a−b)a−b|=|(a−b)(a−b−1)a−b|=|a−b−1|，由数轴可得，a−b<0，原式=−(a−b−1)=−a+b+1．故选：C．直接利用完全平方公式以及分式的性质化简，再利用绝对值的性质得出答案．此题主要考查了约分以及数轴，正确化简分式是解题关键．3.如图是5个小正方形纸片拼成的图形，现将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有()A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对【答案】B【解析】解：如图所示：在拼出的所有不同位置的轴对称图形中，全等的图形共有1对， 故选：B ．将其中一个小正方形纸片平移，使它与原图中剩下的小正方形纸片有一条或两条边重合后拼成一个轴对称图形，进而得出结论． 本题主要考查了利用平移设计图案，确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离，连续作图即可设计出美丽的图案．通过改变平移的方向和距离可使图案变得丰富多彩．4. 关于x 的代数式(x +a)(x +b)(x +c)的化简结果为x 3+mx +2，其中a ，b ，c ，m都是整数，则m 的值为( ) A. −3 B. −2 C. −1 D. 不确定 【答案】A【解析】解：∵(x +a)(x +b)(x +c)， =[x 2+(a +b)x +ab](x +c)，=x 3+(a +b)x 2+abx +cx 2+(a +b)cx +abc ， =x 3+(a +b +c)x 2+(ab +ac +bc)x +abc ， =x 3+mx +2，∴x 3+(a +b +c)x 2+(ab +ac +bc)x +abc 不合x 2的项， ∴{a +b +c =0ab +ac +bc =m abc =2， ∴c =−a −b ，∴ab(−a −b)=2， ∴{ab =1−a −b =2或{ab =2−a −b =1或{ab =−1−a −b =−2或{ab =−2−a −b =−1，∵a 、b 、c 、m 都是整数， ∴a =−1，b =−1，c =2， ∴m =1−2−2=−3， 故选：A ．直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．5. 如图，在▱ABCD 中，点E 在CD 边上，AD =DE =EC ，BD 交AE 于点F ，点O 在线段AB 上，以OA 为半径的⊙O 与BD 恰好相切于点F ，并交AB 于点G ，交AD于点H ，则DHBG 的值为( )A. 49B. 12C. √33D. 35【答案】B【解析】解：如图：连接OF，FG，HF∵AD=DE=EC ∴AB=2AD，∠DAE=∠DEA∵四边形ABCD是平行四边形∴DC//AB，DC=AB∴∠DEA=∠FAO=∠DAE，∵BD是切线∴OF⊥BD即∠OFB=90°∵OA=OF∴∠OAF=∠OFA∴∠OFA=∠DAE∴DA//OF∴∠ADB=∠OFB=90°∵sin∠DBA=ADAB=AD2AD=12∴∠ABD=30°∴∠DAB=60°且∠DAE=∠FAO∴∠DAE=∠FAO=30°∴∠FAO=∠DBA=30°∴AF=BF∵AB是直径∴∠AFG=90°∴∠AGF=60°∴∠GFB=∠GBF=30°∴BG=FG∵AGFH是圆内接四边形∴∠DHF=∠AGF=60°∴∠AHF=∠FGB且∠DAE=∠FGB，AF=BF∴△AHF≌△BFG∴BG=HF∵cos∠DHF=DH FH=12∴DH BG=12故选：B．如图：连接OF，FG，HF，由AD=DE=EC，可得CD=AB=2AD，∠DAE=∠DEA，由BD是切线可证AD⊥BD，由sin∠DBA=ADAB =AD2AD=12可得∠ABD=30°，可证△FGB≌△AHF，可得GB=HF，根据三角函数可求DHBG的值本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，切线的性质，根据三角函数求出∠ADB=30°是本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）6.有两个相同的布袋，第一个布袋里装有3个红球1个白球，第二个布袋里装有1个红球1个白球，这6个球除颜色外都相同，现从这两个布袋中分别摸出1个球，摸出的2个球都是红球的概率为______．【答案】38【解析】解：根据题意，画树状图为：所有等可能的结果有8个：(红1，红4)、(红1，白)(红2，红4)、(红2，白2)、(红3，红4)、(红3，白2)、(白1，红4)、(白1，白2)．摸出的2个球都是红球的有3个，所以摸出的2个球都是红球的概率为38．故答案为：38．根据题意画出树状图即可求得摸出的2个球都是红球的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB延长线上一点，BE=12AB，连接EC，ED，则tan∠CED的值为______．【答案】47【解析】解：过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，∵在正方形ABCD中，∠BCD=∠ABC=90°，∴∠CBE=∠F=90°，∴∠FDC+∠DCF=∠DCF+∠BCE=90°，∴∠FDC=∠BCE，∴△CDF∽△ECB，∴CDCE =DFBC=CFBE，设CD=BC=AD=AB=a，∴BE=12AB=12a，∴CE=√BC2+BE2=√a2+(12a)2=√52a，∴√52a=DFa=CF12a，∴DF=2√55a，CF=√55a，∴EF=CE+CF=7√510a，∴tan∠CED=DFEF =2√557√510=47，故答案为：47过D作DF⊥EC交EC的延长线于F，根据余角的性质得到∠FDC=∠BCE，根据相似三角形的性质得到CDCE =DFBC=CFBE，设CD=BC=AD=AB=a，根据勾股定理得到CE=√BC2+BE2=√a2+(12a)2=√52a，求得EF=CE+CF=7√510a，根据三角函数的定义即可得到结论．本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．8.关于x的不等式组{2x−5<0x−a>0无整数解，则a的取值范围为______．【答案】2≤a<52【解析】解：不等式组整理得：{x<52 x>a不等式组的解集是：a<x<52∵不等式组无整数解∴2≤a<5 2先求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，根据“无整数解”这个条件分析答案即可．此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．9.如图，直线y=ax+b与反比例函数y=cx(c<0)的图象交于A，B两点，在反比例函数y=dx(d>0)图象的第一象限分支上取一点C，若△ABC是以原点O为重心的等边三角形，则cdab4的值为______．【答案】12【解析】解：连接OC延长与AB交于点D，直线y=ax+b与x轴、y轴分别交于点E、F，连接AO，BO，∵O是等边三角形△ABC的重心，∴CD⊥AB，CO=2DO，D是AB的中点，∴∠OAE=∠OBF=30°，直线y=ax+b与反比例函数y=cx(c<0)的图象交于A，B两点，作AM⊥y轴，BN⊥x轴，连接OA、OB、AN、BM，∴S△AOM=12|c|=S△BON，∴S△AOM=S△AMN，S△BON=S△BMN，∴S△AMN=S△BMN，∴MN//AB，∴四边形MNBF，AMNE是平行四边形，∴MN=AE=BF，∴AE=BF，∴△AEO≌△BOF(SAS)，∴EO=OF，∴△EOF是等腰直角三角形，∴a=−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由A，B是y=−x+b与反比例函数y=cx(c<0)的图象交点，{y=−x+b y=cx，∴x2−bx+c=0，∴x1+x2=b，∴y1+y2=b，∵D是AB的中点，∴D(b2,b2 )，∵CO=2DO，∴C(−b,−b)，将C(−b,−b)代入y=dx，得到b2=d，在Rt△BCD中，CD=−3√22b，BD=CDtan30°=−√62b，∵OF=−b，∴DF=−√22b，∴BF=√2−√62b，∴B(1−√32b,1+√32b)，将B(1−√32b,1+√32b)代入y=cx，得到c=−12b2，∴cdab4=−12b2⋅b2(−1)b4=12；故答案为12．连接OC延长与AB交于点D，直线y=ax+b与x轴、y轴分别交于点E、F，连接AO，BO；证明△AEO≌△BOF(SAS)，得到a=−1；y=−x+b与反比例函数y=cx联立方程组后得到x1+x2=b，y1+y2=b，可以确定D(b2,b2)，C(−b,−b)，将C点坐标代入y=dx，得到b2=d，在Rt△BCD中，CD=−3√22b，BD=CDtan30°=−√62b，BF=√2−√62b，进而求出B(1−√32b,1+√32b)，将B点坐标代入y=cx，得到c=−12b2，所以cdab4=12；本题考查一次函数和反比例函数的图象及性质，三角形的重心性质，三角形全等，直角三角形函数值；熟练掌握函数交点的求法是解题的关键．三、解答题（本大题共2小题，共30.0分）10.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(1,0)，B(5,0)两点，直线y=−x+m过点B，与抛物线交于另一点C，点D在线段BC上，∠CAD=45°．(1)求AC的长；(2)求点D的坐标；(3)求△CAD外接圆的面积．【答案】解：(1)函数表达式为：y=−(x−1)(x−5)=−x2+6x−5…①，将点B坐标代入y=−x+m并解得：m=5，即直线的表达式为：y=−x+5…②，联立①②并解得：m=2或5，故点C(2,3)，则AC=√(1−2)2+(0−3)2=√10，同理BC=3√2；(2)∵直线的表达式为：y=−x+5，则∠ABD=45°=∠CAD，∠ACB=∠ACB，∴△CAD∽△CBA，∴ACBC =CDCA，即：√103√2=3√2−BD√10，解得：BD=√18，则点D(113,43 )；(3)设圆的圆心坐标为P(x,y)，半径为R 则PA=PC=PD，即：(x −1)2+y 2=(x −2)2+(y −3)2=(x −73)2+(y −43)2=R 2， 解得：x =12，y =116，R 2=6518， △CAD 外接圆的面积=πR 2=65π18．【解析】(1)由2个函数表达式联立求出点C(2,3)，即可求解； (2)△CAD∽△CBA ，ACBC =CDCA ，即：√103√2=3√2−BD√10，解得：BD =8√18，即可求解；(3)由则PA =PC =PD ，求得：x =12，y =116，R 2=6518，即可求解． 本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、圆的基本知识、三角形相似等，其中(2)，利用三角形相似求解数据，是本题的难点．11. 在▱ABCD 中，AB 边的长为a ，对角线AC 的长为b ，以点A 为顶点的∠θ绕点A 旋转，且在旋转过程中始终保持∠θ的两边分别与BC ，DC 的延长线相交，设交点分别为E ，F ．(1)如图，当四边形ABCD 为正方形，且∠θ=45°时， ①求证：△ACF∽△ECA ．②试用a 或b 的代表式表示△CEF 的面积．(2)当四边形ABCD 为菱形，且∠BAD ≠90°时，记S △ECF =S 1；当四边形ABCD 为矩形，且b ≠√2a 时，记S △ECF =S 2.请找出一个合适的∠θ，使得当∠θ转动时，在S 1和S 2中存在始终不变的值，并用关于a ，b 的代数式表示此时cos∠θ和S △ECFS 四边形ABCD的值．【答案】(1)①证明：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ACD =∠BCA =45°，∠DCB =∠DCE =∠BCF =90°，∵∠EAF =∠FAC +∠CAE =45°，∠ACB =∠AEC +∠CAE =45°， ∴∠FAC =∠AEC ，∵∠ACF =∠ACE =90°+45°=135°， ∴△ACF∽△ECA ．②解：∵△ACF∽△ECA ， ∴ACEC =CFAC ， ∴AC 2=EC ⋅CF ，∴S △ECF =12⋅EC ⋅CF =12⋅b 2．(2)存在．S1是定值．当θ=12∠BAD时，S1是定值．理由：连接BD，作BP⊥DF于P，FQ⊥BC于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA=∠CAD=∠BCA=∠ACD，∴∠ACE=∠ACF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠EAF=∠ACD，∴∠FAC+∠EAC=∠FAC+∠AFC，∴∠CAE=∠AFC，∴△ACE∽△FCA，∴ACFC =ECAC，∴EC⋅CF=AC2，∴S△ECFS四边形ABCD =12⋅EC⋅CF⋅sin∠FCQCD⋅BC⋅sin∠BCP=12⋅b2a2=b22a2，∵cosθ=cos∠BAO=OAAB =12ba=b2a．【解析】(1)①证明∠CAF=∠AFC，∠ACE=∠ACF即可解决问题．②利用相似三角形的性质求解即可．(2)存在．S1是定值．当θ=12∠BAD时，S1是定值．证明△ACE∽FCA，利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查了正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2024年浙江宁波鄞州中学强基自主招生数学试卷真题(含答案详解)
2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
1.若，且，则______.2.______.3.已知正实数a，b，c满足，则的最小值为______.4.已知函数，当时，y有最大值5，则a的值为______.5.已知中，BC上的一点D，，，则的最大值为______.6.若点T为线段BC中点，，且，，，，则______.7.如图，在中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若，，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为______.8.已知整数x，y，z满足，则的最小值为______.9.已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数，则______.10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若，，，则______.二、解答题：本题共2小题，共16分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题8分已知，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的BP，AP分别交于D，C，的面积为判断并证明直线CD与AB的关系.求k的值.若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值.12.本小题8分如图，在中，，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，于求证：证明：B，O，D，C四点共圆.若，求答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，，是方程的两个根，，故答案为根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中x，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，是方程的两个根，得到结果．2.【答案】【解析】解：原式故答案为：将改写为，改写为，…，再利用裂项相消法即可解决问题．本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，…，及熟知裂项相消法是解题的关键．3.【答案】18【解析】解：构造图示的三个直角三角形，即，，，满足，，，，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时，在中故答案为本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，即为AG长，本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．4.【答案】1或7【解析】解：由题意，的对称轴是直线，当时，又当时，，当时，，①当最大值为，或不合题意；②当最大值为，或，均不合题意；③当最大值为，不合题意或综上，或故答案为：1或依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．5.【答案】【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作于E，，设，则，，，点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，当AB与圆O相切时，有最大值，此时：，是等边三角形，，，，，又，，，四边形AOEB是平行四边形，又，四边形AOEB是矩形，，故答案为：由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，有最大值，由“HL”可证，可得，可证四边形AOEB是矩形，可得，即可求解．本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的运动轨迹是解题的关键．6.【答案】3【解析】解：如图，过T作延长DT交AB于，，为线段BC中点，，在和中，，≌，，，面积，，，，，，，故答案为：先画出图形，过T作延长DT交AB于由，得，再证明≌，得，，由面积，得，，，，，，最后再计算即可．本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键．7.【答案】30【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，证明：过A作交BC延长线于点M，则，，；塞瓦定理：如图，，证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在中，COG是梅涅线，①在中，BOE是梅涅线，②根据梅涅劳斯定理，在中，COG是梅涅线，，，，，，，，根据塞瓦定理可得，，，而，，故答案为：根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解．本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．8.【答案】118【解析】解：，，，，，，即，故答案为：根据，得出，从而得出结论．本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．9.【答案】12【解析】解：、y、z是大于1的正整数，是分数，为假分数，为整数，且分子分母能互相约分，，①当，时，分子中定有7，分母中有7才能进行约分，当时，，故符合题意，，②，时，分子中定有13，分母中有13才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，③，时，分子中定有21，分母中有21才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，…………其余情况依次讨论均不符合题意故答案为：根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数，得出x、y、z的值，进而求和．本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值．10.【答案】【解析】解：连接OA，OD，OC，作，设，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，，，是等边三角形，，，，CE是的切线，，，，，，，，，∽，，同理可证：∽，得出：，，，，，是直径，，，，，，，，，，，，连接OA，OD，OC，作，设，证是等边三角形，得出，证∽，∽，得出，得出CD是直径，再解直角三角形，求出m，即可．本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.【答案】解：如图1，，理由如下：由题意得，，，，，，，，，，∽，，；如图2，作于G，，，，，，舍去，；如图2，取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，是EF的中点，，当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，直线AB的解析式为：，设直线QR的解析式为：，由整理得，，，，舍去，，，，，，，，，【解析】可表示出，，从而得出，，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得∽，从而，从而得出；作于G，可推出，进一步得出结果；取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，可得出当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，可设直线QR的解析式为：，由整理得，，从而得出求得m的值，进一步得出结果．本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程组之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．12.【答案】解：根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，是直径，，，为垂心，，，，，，是平行四边形，，，，，，设半径为r，，，又，；为垂心，，，，，，，，，、C、D、O四点共圆；设，，，在直角中，，，，，，，在直角中，，即：，在直角中，，即：，，，在中，，即：，，或舍去，【解析】由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到AFCD是平行四边形，从而得到结果；先求出，再结合，，得到四点共圆；设，用x表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果．本题考查了圆的综合应用，涉及到直角三角形勾股定理的应用，圆周角、圆心角、平行四边形的性质的应用，关键是四点共圆的判断，因为共底边的两个三角形的底角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆．。
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷(56)(有答案解析)
2020年浙江省“三位一体”自主招生综合测试试卷（56）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若，则A. 1B.C.D. 1或2.若是关于x的方程的根，则的值为A. B. 8 C. D.3.方程实数根的情况是A. 仅有三个不同实根B. 仅有两个不同实根C. 仅有一个不同实根D. 无实根4.如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，，点E，F分别是线段CD，AB上的动点，设，，则能表示y与x的函数关系的图象是A. B.C. D.5.已知方程有两个相等实根，则的值为A. B. C. D.6.一个容器盛满酒精，第一次倒出10升后，用水加满，第二次倒出6升后，再用水加满，这时容器内的酒精与水的体积之比为7：13，则这个容器的容积为A. 18升B. 20升C. 24升D. 30升7.如图所示，在中，M是边AB的中点，N是边AC上的点，且，CM与BN相交于点K，若的面积等于1，则的面积等于A. 3B.C. 4D.8.用三种不同的颜色，将如图所示的四个区域涂色，每种颜色至少用1次，则相邻的区域不涂同一种颜色的概率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.如图，等腰中，，，则______．10.在半径为1的中，P是上的一点，若，则弦AB的长为______．11.如图，将绕点O按逆时针方向旋转至，使点B恰好落在边上．已知，，则的长是______．12.已知不等式组的整数解仅有1，则实数a的取值范围是______．13.如图，在直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形、、、则第个三角形直角顶点的坐标为______．14.关于只有一个实数根，则a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共56.0分）15.如图，正方形ABCD的中心为O，P为正方形内一点，且．求证：；若正方形的边长为，，求OP的长．16.已知关于x的方程恰好有两个不同实根，求t的值和相应的实根．17.如图，四边形ABCD内接于，，且AB是的直径，交CD的延长线于点E，若，．求的直径；若翻折使点B与E重合的直线折痕交于P，Q两点，求的面积．18.设有一列数，，，，，简记为若数列满足：为正整数，可以把看作n的一次函数；数列定义如下：对于正整数m，是使得不等式成立的所有n中的最大值．若，，求；若，，求满足的m的值；是否存在k和b，使得为正然数？如果存在，求k和b的取值范围；如果不存在，请说明理由，19.已知：过点，的直线与抛物线C：交于P，Q两点，若为坐标原点的面积为．求a的值；若M为抛物线C上的点，设直线AM，BM与抛物线C的另一个交点为，求证：当点M在C上变动时，直线恒过一定点，并求出定点坐标．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，，当时，，当时，．故选：A．首先根据求出x的值，然后把x的值代入即可．本题主要考查代数式求值的知识点，此题难度一般，注意此题中的整体代入思想．2.答案：D解析：解：是关于x的方程的根方程两边同时除以n得：故选：D．先根据是关于x的方程的根，得到关于m和n的一个方程，再根据，得出m和n的数量关系，然后将所给的整式利用因式分解和配方法进行变形，最后将m与n的数量关系代入，即可求得答案．本题考查了由一元二次方程的解得出相关字母的数量关系，再结合因式分解及配方法将所给的等式变形，从而求得代数式的值，本题需要对整式的相关运算公式熟练运用，难度中等．3.答案：C解析：解：原方程整理得，，，方程，其，无解，，，即．故选C．原方程有意义，则，把方程去分母、整理可得，，分解因式得，讨论其根的情况，即可解答．本题考查了二次函数、反比例函数的性质，主要应用了一元二次方程的根与判别式的关系．4.答案：C解析：解：如右图所示，延长CE交AB于设，；和都是直角三角形由勾股定理得：，，，即，这个函数是一个二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为，与x轴的两个交点坐标分别是，，顶点为，自变量．所以C选项中的函数图象与之对应．故选：C．延长CE交AB于G，和都是直角三角形，运用勾股定理列出y与x的函数关系式即可判断出函数图象．本题为几何与函数相结合的题型，同学们应注意运用勾股定理的重要性，它就是解决此题的关键．5.答案：B解析：解：，或，方程有两个相等的实数根，，，，，故选：B．将方程因式分解解得或，再由两个根式相等的，则有，化简即可求解．本题考查一元二次方程的根；能够将已知方程因式分解，求出两个根式解题的关键．6.答案：B解析：解：设这个容器的容积为x升，由题意得：，整理得：，解得：，或舍去，，经检验，是原分式方程的解；即这个容器的容积为20升；故选：B．设这个容器的容积为x升，由题意列出分式方程为，解分式方程，再检验即可．本题考查了分式方程的应用；关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出分式方程．7.答案：C解析：解：连接AK，知，于是三角形AKC的面积为1．又因，于是三角形AKB的面积为2．故三角形ABC的面积为．故选：C．连接AK，分别求出三角形AKC的面积、三角形AKB的面积与的三角形BKC的面积的比值，求出各自的面积，再求三角形ABC的面积．考查了三角形面积的应用．关键掌握同底的三角形面积之比等于对应的高之比．8.答案：B解析：解：根据题意，可以设第一格为1，可列举所有可能：1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，1233．此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种，其余同理，所以四个格的所有可能的结果共有36种，符合条件的结果共有18种，所以相邻的区域不涂同一种颜色的概率为：．故选：B．根据题意，可以设第一格为1，可列举所有可能：1123，1132，1312，1321，1322，1323，1332，1213，1223，1231，1232，此时所有可能的结果又12种，符合条件的有6种，其余同理，最后所有可能的结果共有36种，符合条件的结果共有18种，进而求出概率．本题考查了列举法求概率问题，解决本题的关键是不重不漏列举出所有符合条件的可能结果．9.答案：25解析：解：如图，过点C作的延长线于点D，，，，，，．故答案为：25．过点C作的延长线于点D，根据等腰三角形的两底角相等求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出的度数，然后根据角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．本题考查了直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．10.答案：解析：解：如图，在优弧AB上取一点E，连接AE，作于N．，，，，，，，，，，，，故答案为．如图，在优弧AB上取一点E，连接AE，作于证明，求出AN，利用垂径定理即可解决问题．本题考查圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11.答案：解析：解：过点O作于H，将绕点O按逆时针方向旋转至，，，，，，，，，故答案为：．过点O作于H，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求OH，由勾股定理可求，即可求解．本题考查了旋转的性质，锐角三角函数的应用，灵活运用这些性质是本题的关键．12.答案：解析：解：，，整数解仅有1，，，，故答案为．由已知可得，因为不等式组的整数解只有一个，则有，，解得a即可．本题考查一元一次不等式组；能够根据题意列出满足a的不等式是解题的关键．13.答案：解析：解：，，，由原图到图，相当于向右平移了12个单位长度，三角形的直角顶点的坐标为，这样旋转6次直角顶点是，再旋转一次到三角形，直角顶点仍然是，则三角形的直角顶点的坐标为．则第个三角形直角顶点的坐标为．故答案为：观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，第7个直角三角形的直角顶点与第6个直角三角形的直角顶点重合，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解．本题考查了坐标与图形变化旋转，观察出每三次旋转为一个循环组依次循环，并且下一组的第一个直角三角形与上一组的最后一个直角三角形的直角顶点重合是解题的关键，也是本题的难点．14.答案：解析：解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：，则，，即或．所以有：或．关于只有一个实数根，方程没有实数根，即，，解得．所以a的取值范围是．故答案为．先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：，然后利用求根公式解得或；于是有或，再利用原方程只有一个实数根，确定方程没有实数根，即，最后解a的不等式得到a的取值范围．本题考查了一元二次方程a，b，c为常数根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．同时考查了转化得思想方法在解方程中的应用．15.答案：解：连接OA，OB，正方形ABCD的中心为O，，，，，P，O，B四点共圆，；，，，，，，在PB上截取，连接OG，，P，O，B四点共圆，，，≌，，，，，，，．解析：连接OA，OB，根据正方形的性质得到，推出A，P，O，B四点共圆，根据圆周角定理即可得到结论；根据余角的性质得到，根据三角函数的定义得到，在PB上截取，连接OG，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理即可得到结论．本题考查了正方形的性质，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．16.答案：解：由得到：，作出函数的图象，如图所示：．由图得：当或0时符合题意，当即时，，；当即时，，．解析：作出函数图象，根据图象，求函数与函数有一个交点时t的值，问题转化为求绝对值方程的解．本题考查了一元二次方程根的分布．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，降低了题的难度与梯度，减少了繁琐的计算过程．17.答案：解：连接AC，且，，，是的直径，，，，，，，∽，，，设，则，解得：，舍去，即：，在中，，，，，∽，；设BE与PQ交于G，AB与PQ交于F，，，，翻折使点B与E重合，，，，，∽，，，，，过O作于H，，，∽，，，，连接OQ，，，的面积．解析：证AE是的切线，即证即可；根据切割线定理，可将DE的长求出，再由∽可将AB的长求出；设BE与PQ交于G，AB与PQ交于F，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，过O作于H，由相似三角形的性质得到，连接OQ，于是得到结论．本题考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18.答案：解：，，，，，；，，，，，或4022；存在．，，，若，则不成立；若，则不成立；，即，则，．解析：由已知，可得，则；由已知可得，则，可求m的值为4021或4022；，，则；分三种情况求解：若不成立；若不成立；是成立．本题考查一次函数的性质；理解题意，能将一次函数与不等式结合是解题的关键．19.答案：解：设直线AB的解析式为，，，，，直线AB的解析式为，抛物线的解析式为，联立消去y得，，设点P的横坐标为c，点Q的横坐标为d，，，，为坐标原点的面积为，，舍去或；由知，，抛物线的解析式为，设点，，直线MA的解析式为，联立解得，点M的纵横坐标或，点，，直线MB的解析式为，联立解得，点M的纵横坐标或，，设直线的解析式为，，，直线的解析式为，当时，，即：当点M在抛物线C上变动时，直线恒过一定点．解析：先确定出直线AB的解析式，联立抛物线解析式，消去y得出关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系得出，cd，进而得出，最后用三角形POQ的面积建立方程求解，即可得出结论；设点，利用待定系数法求出直线MA，MB的解析式，再联立抛物线解析式求出点，的坐标，最后用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，直线和抛物线的交点坐标的求法，三角形面积的计算，求出点，的坐标是解本题的关键．。
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鄞州中学自主招生数学
卷三位一体
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
数 学 试 题 说明：1、本卷满分120分，考试时间为90分钟； 2、全卷分试题卷和答题卷，答案必须写在答题卷的相应位置上，做在试题卷上无效；
3、不能使用计算器．
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．若0≠ab ，则等式ab
a b a 135-=--成立的条件是（ ） A 、00>>b a , B 、00><b a , C 、00<>b a , D 、00<<b a ,
2．已知2662212-=-=-=c b a ,,，那么c b a ,,的大小关系是（ ）
A 、c b a <<
B 、b a c <<
C 、a b c <<
D 、c a b <<
3．下列四个判定平行四边形的命题的题设：①一组对边相等且一组对角相等的四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形，其中是真命题的个数为（ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
4．如图，两个反比例函数x k y 1=和x
k y 2=（其中021>>k k ）在第一象限内的图像依次是1c 和2c ，设点P 在1c 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2c 于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交2c 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（ ）
A 、k 1＋k 2
B 、k 1－k 2
C 、k 1·k 2
D 、2
1k k
5．如图，在ABC Rt ∆中，点D 为斜边AB 的中点，点E 、F 分别在AC 、BC 上，
︒=∠90EDF ,如果2
121=-==CF BF CE AE ,,,则斜边AB 的长为（ ） A 、23 B 、33 C 、6 D 、53
6.如图，在一个凸八边形中，每三个顶点形成三个角（如A ，B ，C 三个顶点形成BAC ACB ABC ∠∠∠,,）,一共可作出168个角，那么这些角中最小的一个一定是（ ）
A 、小于或等于︒20
B 、小于或等于︒522.
C 、小于或等于︒25
D 、小于或等于︒527.
7．如图，在矩形ABCD 中，AB=3,BC=2,以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ ）
A 、36
B 、32
C 、3
1 D 、1010 8．ABC Rt ∆的三个顶点ABC 均在抛物线2x y =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则h 满足（ ）
A 、1<h
B 、1=h
C 、21<<h
D 、2>h
二、填空题（每小题5分，共40分）
9．分式1
23--x x 的值为整数，则整数x 的值为 ． 10．设正方形ABCD 的中心为O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们恰好全等的概率为 ．
11．关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-<-1
270x m x 的整数解共有5个，则m 的取值范围
是 ．
12．已知四个整数数据：10、x 、8、12，若这组数据的众数和平均数的差的绝对值是，则这组数据的中位数是 ．
13．如图，AB ∥DE ，FC ⊥CD 于点C ，︒=∠︒=∠130107CDE abc ,,点G 在BC 的延长线上，则FCG ∠的度数是 度．
14．如图，⊙O 与ABC Rt ∆的斜边AB 相切于点D ，与直角边AC 相交于点E ，且DE ∥BC,已知AE=22，AC=23，BC=6,则⊙O 的半径是 ．
15．如图，在第一象限内存在等腰直角︒=∠90A OAB ,∆,点A 的纵坐标为2，在第一象限内OAB ∆的右侧作BCD ∆，使它与OAB ∆全等，直角顶点C 在x 轴上，当点A 运动时，点D 恰好在某条直线l 上运动，则直线l 的解析式
为 ．
16．边长为整数的等腰三角形一腰上的中线将其周长分为1∶2两部分，那么所有这些等腰三角形中，面积最小的三角形的面积是 ．
三、解答题（第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，共40分）
17．如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB=AC=AE,请你说明以下式成立的理由：DBE CAD ∠=∠2 ．
18．如图抛物线)(02>+=a bx ax y 与双曲线x
k y =相交于点A 、B ，已知点A 的坐标为（1,4），点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点），求实数k b a ,,d 的值．
19．已知：)
a
x
b
x
+
+
+
+是关于x的完全平方
+
+
+
b
x+
)(
(
)
(
x
)
)(
c
)(
x
c
(a
x
式，试猜想c
a,
,应满足的数量关系，并证明你的猜想．
b
20．已知正ABC
∆,AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同的速度作直线运动，且点P沿射线AB方向运动，点Q沿射线BC方向运动，设AP的长为x想，PCQ
∆的面积为s，（1）求s关于x的函数关系式；
（2）当PCQ
∆的面积和ABC
∆的面积相等时AP的长为多少。