陈希孺《机会数学》第十一章 抽样方法

3.2抽样的方法

上一节讲述了抽样方法简单的发展情况，归结起来，无非是两个要点：1.在某些(不是一切)情况下，用抽取群体中的一部分个体进行调查的方法来取代全面调查；2.个体(即样本)的抽取应遵守机会均等的原则：群体中每一个体有同等机会被抽出。这种将样本的选定委之于机会的抽样，叫做随机抽样。这里我们来讲讲随机抽样如何实施的问题。可以说，随机抽样在纸面上写来轻松容易，而具体实施起来却麻烦多多，这恐怕也是此法不易推开的一个原因。

说纸面上讲来容易，是因为随机抽样，就其最基本的形态说，不过是“抽签”或我们在第一章中已多次提到过的“盒中抽球”的模型。设某社区有人口1万，要作其1％的抽样调查。先将这l万人自l至10 000编号，每人各有一个号。准备1万个大小质地一样的球(或纸片也可以，此处只做说明，不计较实行的难易)，其上分别写上数字l 至l0 000将球放入一不透明的大口袋中，充分扰乱后，从中抽出100个——也可以100个一次抽出，也可以一个一个抽，但每次抽的球，下次抽时不放回去，这叫做“不放回抽样”。这100个球上的数字所对应的那100个人，即构成样本。

这样的抽样法叫做“简单随机抽样”，因为其形式简单，“机会均等”的性质一目了然，但它并非在实施上是最简单的一种随机抽样方法。正相反，从一定意义说，这种“简单随机抽样”。在实施上常是最复杂的一种随机抽样方法，因此在大型的抽样调查工作中很少应用，而往往用一些变通的方法(仍保持“机会均等”这一性质)来代替之。但这并不降低简单随机抽样方法的重要性，因为其理论比较简单，且更复杂的抽样方法的理论是以之为基础的，这问题到稍后再谈。

在实施这一方法时，有3件事要做：l．给调查对象的群体中的每一个体编号；2.准备“抽签”的工具，实行“抽签”；3.对样本中每一个体，去测量或调查所关注的指标。这事完成后就是所得数据的分析问题，暂且不谈。

先说第一件事，在大群体中，这是一个老大的麻烦。比如抽样调查一个省农民的经济状况，涉及个体数以千万计，要对每一个体编上号谈何容易，就是包括几千人的群体也非轻而易举。这一步看来没有什么简省的方法可以代替，当然，组织上的工作做得好

可以使工作有条不紊减少错误。第三件事也不容易，这里有两个问题：样本中的个体在地域上散布很广，比如有一个偏远的角落有几个样本，也必须专程前往。在使用通讯调查时这麻烦可以减少，但通讯调查中“调查对象不回答”的问题，会比当面访问更严重，而只根据愿回答者所提供的资料，其统计分析会产生偏差，这是抽样调查的理论和应用中一个困难问题。其次，当调查对象是人(即使调查对象是企业之类的机构，但仍要人来回答问题)时，得到所关注的指标的可靠数据有时也不易。如果调查对象只是个体的身高之类的资料，问题可能好办些，但若内容涉及隐私或敏感问题，如个人收入情况，是否吸过毒之类，被调查者不一定愿意说出真实情况。这时就要想些办法，比方说，设计合适的问题单，即一张包含一些不那么敏感的问题的单子，但问题都与调查关注之点有某种关联，按被调查者对这些问题的回答去做出估量，有时不得不采取煞费苦心的办法。在C．R．劳著、石坚等译的《统计与真理》一书中，有一个有趣的例子，介绍了怎样用一种迂回的办法去估计人群中吸食大麻者的比率。

为免除因抽签而准备纸条或球等等的麻烦，统计学家设计了一种叫做“随机数表”的东西，那是以本完全由数字0.1，…，9组成的表，其中每个数字都是用随机的方式决定的。理想的随机数表应按照如下的方式制作：准备10个大小质地一样的球，放入一个不透明的袋子里，球上分别写上数字0，1，…，9；将球充分扰乱后，从袋中抽出一个球，将球上的数字记在纸的第一行最左边的位置。把球放回去，充分扰乱，再抽出一个，将球上的数字记在第一行第2个位置。按照这个办法无限次地重复下去，你想要得到多少数字都可以。把所得数字按行、列依次排列，满了一页再排下一页，就可以得到一本包含多页的随机数字的书，这就是随机数表。第一个这样的表是英国统训学家梯培特于1927年所出版。该书共26页，含41 600个数字，次页所载是该书某页的一部分（转录自C.R.劳著、石坚等译《统计真理》一书）。它是按4个数字一组排列，5组成一单元，这种排列是为了使用上的方便。

我们来举例说明此表如何用于抽样。设有一个由90个体组成的群体，要从中随机抽出l0个作为样本。把群体中的个体按0至89编号，查随机数表，例如此处所附的一页看表的最左边的两列，组成一些2位数，由上至下依次是：

78，32，29，83，55，26，32，27，74，53，92，58，28，51，…

①但梯培特的随机数表并非用抽签式的方法制成，据说是利用某种现成的统计数字经过加工排列而得。

其中32重复出现，只保留一个，92超过了89，不能要。去掉这后，读出l0个既无重复且都不超过89的数，即

78,32，29，83,55,26,27,74，53，58，这些号所对应的个体被选人样本。如果样本量不止10，就要继续往下读，找出28，51等。如2列不够，再启用表的3、4列，得16，04等．直到取足所需个数为止。如果群体的个体数多于100但不多于l000就要把

表的3个列联合使用，得78l，320等号。若群体的个体数多于1 000但不多于10 000，则要联合4列使用．依此类推。为了获得更好的效果，每次使用时不必从表的第l页开始，可“随机”翻到表的某一页在一页内，也不必从左上角开始，可“随机”从该页上的某个位置开始。

现在。人们也广泛地利用计算机产生随机数字．那是根据一定的算法而产生的，严格讲来，不是上面所讲的那种随机数，因此也常被叫做“伪随机数”。不过，它在统计性质上很接近于真正的随机数，不影响其应用。计算机虽然精巧且神通广大，却是不能产生上述严格意义下的随机数的．根本原因在于，“机会均等”是一个无法严格定义的概念。用“球在盒中被充分扰乱”，是实现“机会均等”的一种做法。如在第一章中所述，这也只是在感觉上我们觉得如此，因为，所谓“充分扰乱”，也不是一个可以严格定义的概念。

以上讲的随机数是十进位的，也可以考虑制作其他形式的随机数表。例如只含0，l 这两个数字的随机数表，其每个位置或0或l，以同等的机会出现。

随机数表有很多用处，除上述用于抽样外。另一个重要应用是模拟一定的概率模型。时常，一种概率模型的性质在理论上去探讨很难，这时，通过模拟可以在统计上对其性质做出估量，这有点相似于用频率估计概率。表面上看，随机数只适用于模拟“机会均等”的情形，但经过数学上的转化，以这种情形为基础，可用于模拟更为复杂的模型。随机数的另一个有趣的应用是用于编制密码：同一个密码如用的时间过久，则易于为人所破译，比较保险的办法是按一种随机的方式不停地更换，而更换的方式(称为密钥)，由机器产生，除非失密，不易为敌方所了解。例如，可以把要传送的每个符号编成由0、l组成的某个序列。如(比方说)“他”这个字可以编为

0100011001000ll 1 (1)

共1 6个数字。但是在发出前，先按发送和接收方都了解的密钥，比方说

1 00111100010011 0 (2)