数值计算与最优化复习2答案
数值计算课后答案2
习 题 二 解 答1．用二分法求方程x 3-2x 2—4x-7=0在区间[3,4］内的根，精确到10-3，即误差不超过31102-⨯。
分析：精确到10—3与误差不超过10-3不同。
解：因为f （3）＝—10＜0,f （4)=9＞0，所以，方程在区间[3，4］上有根。
由34311*1022222n n n n n n b a b a x x -----≤===<⨯ 有2n-1＞1000,又为210＝1024＞1000， 所以n ＝11，即只需要二分11次即可。
x *≈x 11=3。
632。
指出：（1）注意精确度的不同表述.精确到10-3和误差不超过10—3是不同的. (2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：（3）用秦九韶算法计算f （x n )比较简单。
1＊．求方程x 3-2x 2-4x-7=0的隔根区间。
解:令32247y x x x =---， 则2344322()()y x x x x '=--=+-当23443220()()y x x x x '=--=+-=时，有12223,x x =-=。
因为214902150327(),()y y -=-<=-<，所以方程在区间223(,)-上无根； 因为21490327()y -=-<，而函数在23(,)-∞-上单调增,函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为2150()y =-<，函数在（2,+∞）上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根,而（3）=-10〈0，y(4）=9>0,所以方程在区间（3，4）有一个根。
所以，该方程有一个根，隔根区间是（3。
4）。
2．证明1sin 0x x --=在［0,1]内有一个根,使用二分法求误差不大于41102-⨯的根,需要迭代多少次？分析:证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点.解：令()1sin f x x x =--，因为(0)10sin 010,(1)11sin1sin10f f =--=>=--=-<， 则(0)(1)0f f <，由零点定理，函数f （x)在［0,1]区间有一个根。
数值计算与最优化试卷(lu) - 答案
湖南大学课程考试试卷课程名称：《数值计算与最优化》 试卷编号：C 考试时间：120分钟一．填空题 （每空3分，共30分）1、Matlab 中，绘制线性二维图的命令是（ plot ）。
2、123456789A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，index=[1 3]，B=A(index,:)，B=( 123789⎡⎤⎢⎥⎣⎦)。
3、111031272A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，对A 进行LU 分解，L=( 100010231⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦)，U=( 111031004⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦)。
4、2()5f x x =+，则[1,2,3,4]f =( 0 )。
5、正方形的边长大约为100cm ，为了使测量面积误差不超过1cm 2，测量时边长误差不能超过（ 0.0005）厘米。
6、当阶n 为偶数时，Newton-Cotes 求积公式至少有（ n+1 ）次代数精度。
7、在Legendre 多项式中，P 2(x)=(21(31)2x - )。
8、()sin f x x =，()cos g x x =，在[,]ππ-上的内积(,)f g =( 0 )。
9、用松驰迭代法解方程组，要求迭代收敛，松驰因子应满足( 02w << )。
二．判断题（每个2分，共10分）1、 3.1415926535π=，则 3.1415具有5位有效数字。
（ ╳ ）2、如果矩阵A 的特征值为（1，3，5），则1(3)A I -+的特征值为111(,,)468。
（ √ ） 3、利用Jaccobi 迭代法求解Ax=b ，如果1()1I D A ρ--<，则迭代收敛。
（ √ ） 4、n 个节点的高斯求积公式具有2n+1次代数精度。
（ √ ） 5、(2,4,5)T x =-，1||||11x =，2||||5x =。
（ ╳ ）三．计算题（6个题中任选4个，每个10分，共40分,但学生自己必须注明做哪4个题，否则不给分）1、用列主元法求解方程组1231212332641077556x x x x x x x x -++=⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩ 解：增广矩阵形式 3264107075156-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（2分）选主元 1070732645156-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦消元 1070700.16 6.10 2.55 2.5-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3分）选主元 107070 2.55 2.500.16 6.1-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦消元107070 2.55 2.500 6.2 6.2-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ （3分） 回代解得3211,1,0x x x ==-=（2分）2、给定f(x)用Newton解：给出均差表 (5分)3()22(1) 2.5(1)( 1.2)8.333333(1)( 1.2)( 1.4)N x x x x x x x =+----+---（3分）3(1.1)(1.1)22(1.11) 2.5(1.11)(1.1 1.2)8.333333(1.11)(1.1 1.2)(1.1 1.4) 2.25f N ≈=+----+---=（2分）3、利用牛顿法求解3()310f x x x =--=在02x =附近的实根，准确到四位有效数字。
数值计算与最优化原理
数值计算与最优化原理
数值计算与最优化原理是数学中的重要分支之一，其应用领域涵盖了工程、计算机科学、金融以及自然科学等多个领域。
数值计算主要通过对离散化问题进行求解来获得实际问题的数值解，而最优化原理则是寻求函数的最优解，其在控制理论、经济学以及量子力学等领域中有广泛应用。
数值计算和最优化方法在实际应用中经常被结合使用，因为通过数值计算可以得到函数值，而最优化方法可以利用这些函数值来寻找最优解。
其中最小二乘法是最优化方法中的重要工具，其应用领域包括数据拟合、信号处理以及计算机视觉等多个领域。
除了最小二乘法，数值计算与最优化问题还有其他重要的算法，如梯度下降算法、共轭梯度算法和牛顿法等。
这些算法都可以用于寻找函数的最优解。
需要注意的是，这些算法的应用需要具备一定的数学基础和编程能力，因此需要进行深入的学习和实践。
总之，数值计算与最优化原理在实际应用中发挥着重要的作用，其所涉及的算法和理论都是数学发展的重要成果。
在今后的研究和实践中，我们需要不断地探索和创新，以更好地应用这些理论和算法来解决实际问题。
数值计算与最优化复习1答案
《数算与最化》复值计优习1一．填空题1、Matlab中，清除屏幕的命令是（ clc ）。
2、y=100:-4:1,length(y)=( 25 )。
3、设y有5位有效数字，绝对误差限为( 0.5ⅹ10-4 )。
4、设pi的相对误差限≤0.000125,pi的有效数字位为( 4 )。
5、x i =i(i=1,2,3),f(x i )=x i ^3,f(x 1,x 2,x 3)=( 6 )。
6、用抛物型求积公式计算⎰-++114)12(dx x x 的值为( 8/3 )。
7、f(x)=x 3-6x 2+5x+1=0的Newton迭代公式为( x k+1=x k -(x k ^3-6x k ^2+5x k +1)/(3x k ^2-12x k +5) )。
8、A-qI的最大特征值为n，A的最大特征值为( n+q )。
9、Euler方法的局部离散误差为( O(h 2) )。
10、B的最小特征值为m，B -1-zI的最大特征值为( 1/m-z )。
11、用松驰迭代法解方程组，要求迭代收敛，松驰因子应满足( 0<w<2 )。
12、4次Newton-cotes求积公式的代数精度为( 5 )。
二．1、四阶Runge-Kutta方法的局部离散误差为O(h 5)。
（ √ ）2、非线性规划中的目标函数只能是非线性函数，约束函数可以为非线性函数。
（ ⅹ ）3、clear是Matlab中清内存变量命令。
（ √ ）4、Gauss型求积公式的代数精度不一定比Newton-cotes求积公式代数精度高。
(√ )三．计算题1、已测得直角三角形的斜边c和一直角边a的近似值为c *=5 , a *=3 ,若最大可能的误差分别是±0.15和±0.12，试求直角边所对应的角A可能的绝对误差？解：A=arcsin(a/c)2、设x 0=-1 , x 1=0 , x 2=1 , x 3=2 , Lagrange 插值，并求出x=1.5时的值，估计出误差的范围。
最优化习题答案及复习资料
6
,12
T
)
17 17
g
=(
6
,12
T
)
2 17 17
β g d = −
(d ) d 1
T
A
2
(1) T
(1)
A
(1)
=
1 298
− 90
d g β d (2) = −
+
2
1
(1)
=
−
289 210 289
α 线性搜索得步长：
= 1.7
2
x x α d (3) = (2) +
2 (2) = 11
x(1) = (1,1,1)T
.验证
d x x d (1) =(1,0,-1)是 f(x)在点 (1) 处的一个下降方向,并计算 min f( (1) +t (1) )
t>0
证明:
∇f (x) =
(2
x1,3x
2 2
+
2
x3−1,4
x
3+
2
x
2−1)T
∇f (x1) = (2,4,5)T
2
d
∇f
(
x
=
x2
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x2) ′( x1)
或者
x
=
x1
−
(x2 − x1) f ′(x2) −
f f
′( x1) ′( x1)
证明：1）设ϕ(x) = a x2 + bx + c （ a ≠ 0 ）
则 ϕ ′(x) = 2ax + b
ϕ ′(x1) = 2a x1 + b = f ′(x1)
陈宝林最优化课后习题答案 第二章
陈宝林最优化课后习题答案第二章2.1 简答题1.最优化问题的基本模型是什么？最优化问题的基本模型是数学规划模型。
数学规划模型主要由目标函数、约束条件和决策变量组成，通过最大化或最小化目标函数，同时满足约束条件来寻求最优解。
2.什么是线性规划问题？线性规划（Linear Programming）是一类特殊的数学规划问题，其目标函数和约束条件都是线性的情况下，被称为线性规划问题。
线性规划问题可以用线性方程组和线性不等式组来表示，并且满足一定的约束条件。
3.什么是优化问题的可行解？优化问题的可行解是指满足约束条件的解。
在一个最优化问题中，除了要找到最优解外，还需要保证这个解满足所有的约束条件。
4.什么是最优解？最优解是在所有可行解中，使目标函数达到最大或最小值的解。
最优解可以通过求解优化问题的解析解、数值解或者近似解得出。
2.2 计算题1.使用单纯形法求解下列线性规划问题：max z = 5x1 + 6x2s.t.2x1 + x2 <= 8x1 + x2 <= 5x1, x2 >= 0单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效算法。
下面是使用单纯形法求解该线性规划问题的步骤：Step 1:初始化单纯形表。
x1x2s1s2bz-5-6000s1-2-110-8s2-1-101-5Step 2:选取入基变量和出基变量。
选取入基变量为x1，出基变量为s1。
Step 3:基变换。
将x1从入基变量变为出基变量，将s1从出基变量变为入基变量。
x1x2s1s2bz0-115040s111/2-104s201/2111Step 4:判断是否达到最优解。
如果目标函数的系数都为非负数，则达到最优解，并停止计算。
Step 5:计算新的单纯形表。
x1x2s1s2bz0-25/23/25/235/2x11/21/4-1/203/2s2-1/21/43/21/21/2Step 6:重复步骤2-5，直到达到最优解。
最优化计算方法与实现 复习题
最优化计算方法与实现 复习题 （工程硕士用） 一、 填空题（1）MATLAB 在数值运算具备了比其他软件更全面、更强大的_____________功能（2）语句(5,4)b ones =的功能是_________________________________。
（3）A 为矩阵，语句A(r,:)表示_____________________（4）在MATLAB 中，实现循环结构，用__________________或___________语句。
（5）建立优化问题数学模型的三要素包括：____________________________________(6) 用MATLAB 求解最优化问题数学模型时，问题的类型一般都是___________________。
（7）函数optimset 的主要功能是_______________________。
（创建或优化选项参数结构） （8）优化工具箱要求非线性不等式约束为____________________________。
（9）在函数调用格式：[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)中，A 表示____________________，Aeq 表示_______________________，lb 表示___________________，ub 表示_______________。
（10）在Matlab 中,求解无约束优化问题的多变量函数有_________________________________________ （11）将代数式0.8cos(/8)| 1.5|e π-++写成MATLAB 语言的表达式______________________（12）整数规划包含四种类型，分别是_____________________________________________. (13)线性规划的主流解法是__________________________________。
最优化方法及其应用课后答案(郭科_陈聆_魏友华)
1 2((⎨最优化方法部分课后习题解答1.一直优化问题的数学模型为：习题一min f (x ) = (x − 3)2 + (x − 4)2⎧g (x ) = x − x − 5 ≥ 0 ⎪ 11 2 2 ⎪试用图解法求出：s .t . ⎨g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 ≥ 0 ⎪g (x ) = x ≥ 0 ⎪ 3 1 ⎪⎩g 4 (x ) = x 2 ≥ 0（1） 无约束最优点，并求出最优值。
（2） 约束最优点，并求出其最优值。
（3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 −x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ *解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0（2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是在约束集合即可行域中找一点 (x 1 ,x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可以看出，当 x *=15 , 5) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。
4 4⎧g (x ) = x − x − 5 = 0⎧ 15 ⎪x 1 = 其中：点为 g 1 (x) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ⎪ 1 1 2⎨ 2 求解得到： ⎨ 4 5即最优点为 x *= ⎪⎩g 2 (x ) = −x 1 − x 2 + 5 = 015 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65⎪x = ⎪⎩ 244 4 8（3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。
2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为：max f (x ) = x 1x 2 x 3⎧x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S ⎪ s .t . ⎪x 1 > 0 ⎪x 2 > 0 ⎪⎩x 3 > 0该优化问题属于三维的优化问题。
最优化方法习题答案
月份 4 5 6
买进单价/(元/件) 17 16.5 17
售出单价/(元/件) 18 18 19
解：设 xi 表示每个月进货量， yi 表示相应月份售货量，其中 i 1,2,3 ，则有数学模型：
max z 18y1 18y2 19y3 17x1 16.5x2 17x3
x1 600 200
x1 y1 x2 600 200
x1
x2
x3
x4
x5 x6
x7
10+2M
15+M
12+M
0
0 -M 0
z
x4
5
3
1
1
00
09
x5
-5
6
15
0
10
0 15
x7
2
1
1
0
0 -1
15
以 x1 为换入变量， x 4 为换出变量
x1
x2
x3
x4
x5 x6
x7
0
z
x1 1
9 M 5
0.6
x5 0
9
x7 0
-0.2
10 3M 5
0.2
2 2M 5
（3） min z 2x1 3x2 x3 x1 4x2 2x3 8
s.t.3x1 2x2 6 x1, x2 , x3 0
解：引入剩余变量 x 4 , x5 和人工变量 x6 , x7 ,利用两阶段法得到辅助线性规划 max w x6 x7 max z' 2x1 3x2 x3
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
z'
5
0
1
数学优化参考答案
数学优化参考答案数学优化参考答案数学优化是数学中的一个重要分支，它研究如何在给定的约束条件下，寻找最优解。
数学优化在现实生活中有着广泛的应用，如经济学中的最优资源分配、工程学中的最优设计等。
在本文中，我将为大家提供一些数学优化问题的参考答案，以帮助大家更好地理解和应用这一领域的知识。
一、线性规划问题线性规划是数学优化中最常见的问题之一。
其数学模型可以表示为：最小化：C^T * X约束条件：A * X <= B其中，C和X是n维列向量，A是m×n维矩阵，B是m维列向量。
X是我们要求解的变量。
1. 简单线性规划问题的解答：例如，我们要最小化目标函数Z = 2x + 3y，同时满足以下约束条件：x + y >= 52x + y >= 8x, y >= 0解答：首先，我们将目标函数转化为标准形式：最小化：Z = 2x + 3y约束条件：-x - y <= -5-2x - y <= -8x, y >= 0然后，我们可以使用单纯形法或者内点法等算法求解该线性规划问题，得到最优解为Z = 14，x = 3，y = 2。
2. 整数线性规划问题的解答：整数线性规划是线性规划问题的一种扩展形式，要求变量的取值必须为整数。
解决整数线性规划问题的方法有很多，如分枝定界法、割平面法等。
例如，我们要最小化目标函数Z = 2x + 3y，同时满足以下约束条件：x + y >= 52x + y >= 8x, y为整数解答：我们可以使用分枝定界法求解该整数线性规划问题。
首先，我们将目标函数转化为标准形式，并求得相应的线性规划问题的最优解为Z = 14，x = 3.5，y = 2.5。
然后，我们对x和y进行分枝，将其分别取整数部分和上下界之间的值进行求解。
最终，得到最优解为Z = 14，x = 3，y = 2。
二、非线性规划问题非线性规划是数学优化中另一个重要的问题类型。
最优化习题答案
1.1设经验模型为xxy 2211βββ++=，且已知N 个数据()x x ii21,，),...,2,1(N i y i=.选择β，β1和β2，使按模型计算出的值与实测值偏离的平方和最小，试导出相应的最优化问题。
解：;2,1,0,0..,,,)...,2,1(,221022211022110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=>=++=++=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ΛΛΛΛΛi t s N i N i i i i y y y x x x x i i ββββββββββN 1i N1i i y y y i i min min y y 变量为表示。
问题就转化为求实测数据用个数据，所以得到因为有，表示，即用设由经验模型得到的值1.2 (1)43)(221+=x x x f 21x x e21222143)(x x e x x x x f +=∂∂ 21121246)(x x e x x x x x f +=∂∂ 4)(2122212x x e x x x f =∂∂ 21212122124 46)(x x x x e x x e x x x x f ++=∂∂∂ 21212121224 46)(x x x x e x x e x x x x f ++=∂∂∂ 2121122246)(x x e x x x x f +=∂∂ 所以梯度为：)46,43()(2121121222x x x x e x x x ex x x f ++=∇Hesse 矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++21212121212121121********* 464 464x x x x x x x x x x x x e x x e x x e x e x x e x ex（2）)ln()(222121x x x x x f ++=2221212112)(x x x x x x x x f +++=∂∂ 2221211222)(x x x x xx x x f +++=∂∂ ()()()222212121212222212122212122212122221212212221212122244222)2()(2)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++--=++---++=+++-++=∂∂()()2222121222121222212121212221212124-)2)(2()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=++++-++=∂∂∂ ()()2222121222121222212121212221211224-)2)(2()()(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++++=++++-++=∂∂∂ ()()()222212122211222212121212222212122221212122221212222244222)2()(2)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ++--=++---++=+++-++=∂∂ 所以梯度为：)2,2()(2221211222212121x x x x x x x x x x x x x f ++++++=∇ Hesse 矩阵为：()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--++++++++++--22221212221122221212221212222121222121222212121212224-4-22x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x习题1.3设有向量值函数 12112222112sin cos ()(,),2x x x x f x f x x e x x x ++⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪+⎝⎭求()f x 在任一点12(,)x x 的Jacobi 矩阵.解：有定义1.3.3可知，111222123312()()()()'()()()f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂=⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂ ⎪∂∂⎝⎭11()f x x ∂∂=1cos x 12()f x x ∂∂=2sin x - 21()f x x ∂∂=1222x xe + 22()f x x ∂∂=122x x e + 31()f x x ∂∂=124x x + 32()f x x ∂∂=2x所以12121222122cos sin '()24x x x xx x f x e e x x x ++-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭1.9判断下列函数是否为凸函数或凹函数：()()()()21222121212121101052251021x x x x x x x f x x x x x x f -+-+-=+-+=（1）解：Hesse 矩阵：()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂222122212212x x f x x x f x x x f x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡0222 不是凸函数也不是凹函数。
最优化-刘志斌-课后习题3-5参考答案要点word版本
最优化-刘志斌-课后习题3-5参考答案要点练习题三1、用0.618法求解问题12)(min 30+-=≥t t t t ϕ的近似最优解，已知)(t ϕ的单谷区间为]3,0[，要求最后区间精度0.5ε=。
答：t=0.8115；最小值-0.0886.（调用golds.m 函数）（见例题讲解5） 2、求无约束非线性规划问题min ),,(321x x x f =123222124x x x x -++ 的最优解解一：由极值存在的必要条件求出稳定点： 1122f x x ∂=-∂，228f x x ∂=∂，332f x x ∂=∂，则由()0f x ∇=得11x =，20x =，30x = 再用充分条件进行检验：2212f x ∂=∂，2228f x ∂=∂，2232fx ∂=∂，2120f x x ∂=∂∂，2130f x x ∂=∂∂，2230f x x ∂=∂∂ 即2200080002f ⎛⎫⎪∇= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵得极小点为T *(1,0,0)x =，最优值为-1。
解二：目标函数改写成min ),,(321x x x f =222123(1)41x x x -++- 易知最优解为（1,0,0），最优值为-1。
3、用最速下降法求解无约束非线性规划问题。
2221212122)(m in x x x x x x X f +++-=其中T x x X ),(21=，给定初始点T X )0,0(0=。
解一：目标函数()f x 的梯度112122()()142()122()()f x x x x f x x x f x x ∂⎡⎤⎢⎥∂++⎡⎤⎢⎥∇==⎢⎥-++∂⎢⎥⎣⎦⎢⎥∂⎣⎦(0)1()1f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦令搜索方向(1)(0)1()1d f X -⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦再从(0)X 出发，沿(1)d 方向作一维寻优，令步长变量为λ，最优步长为1λ，则有(0)(1)0101Xdλλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦故(0)(1)2221()()()2()2()2()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--+-+-+=-=令'1()220ϕλλ=-=可得11λ= (1)(0)(1)1011011X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 求出(1)X 点之后，与上类似地，进行第二次迭代：(1)1()1f X -⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 令(2)(1)1()1d f X ⎡⎤=-∇=⎢⎥⎣⎦令步长变量为λ，最优步长为2λ，则有(1)(2)111111X d λλλλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 故(1)(2)2222()()(1)(1)2(1)2(1)(1)(1)521()f x f X d λλλλλλλλλϕλ=+=--++-+-+++=--=令'2()1020ϕλλ=-=可得 215λ= (2)(1)(2)2110.8111 1.25X X d λ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦(2)0.2()0.2f X ⎡⎤∇=⎢⎥-⎣⎦ 此时所达到的精度(2)()0.2828f X ∇≈ 本题最优解11.5X *-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，()1,25f X *=-解二：利用matlab 程序求解首先建立目标函数及其梯度函数的M 文件 function f=fun(x)f=x(1)-x(2)+2*x(1)*x(1)+2*x(1)*x(2)+x(2)*x(2); function g=gfun(x)g=[1+4*x(1)+2*x(2),-1+2*x(1) +2* x(2) ]; 调用grad.m 文件 x0=[0,0];[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) 结果x=[ -1.0000 ,1.5000] val= -1.2500 k=33即迭代33次的到最优解x=[ -1.0000 ,1.5000]；最优值val= -1.2500。
数值计算与最优化复习3答案
数值计算与最优化复习题课程名称：数值计算与最优化；课程编码： 08582一． 填空（1）测量圆的直径，结果为10±0.1mm ，则圆的面积为 7854.0± 15.7 (结果保留5位有效数字)，圆的周长为 314.2± 0. 3 (结果保留4位有效数字)。
（2）f(x)=x 3,已知f(1)=1,f(1.2)=1.728,f(1.5)=3.375.则用线性插值计算f(1.3)= 2.09 (结果保留3位有效数字),用二次插值计算f(1.3)= 2.20 .(结果保留3位有效数字)。
（3）在[0，1]区间给出f(x)=e -x的等距节点函数表,步长h=0.02，按线性插值计算f(x)的值。
则计算结果的截断误差为 0.00005 (结果保留3位有效数字)，如果需要结果具有6位有效数字，则步长h 应该为0.002 (结果保留3位有效数字)。
（4）计算积分⎰⎰==110)(sin dx x f dx x xI ，且定义f(0)=1。
则用梯形公式的结果为： 0.921 (结果保留3位有效数字)，用Simpson 公式结果为 0.946(结果保留3位有效数字)。
（5）Newton 迭代法求非线性方程32=x 的根,则迭代格式为_x n+1=(x n 2+3)/(2x n )_________,并且具有 2 阶收敛。
（6）解n 阶线性方程组的Gauss 消去法，消去过程需要 n(n+1)(2n+1)/6 次乘除法，回带过程需要 n(n-1)/2 次乘除法。
（7）)12,4,0,3(-=T x ，则=1x 10 ，2x=∞x4 。
(8)如果矩阵A 的特征值分别为（1，4，3），则（A+2I ）-1的特征值分别为 (1/3,1/6,1/5) 。
(9)在解线性方程组的迭代法中，迭代格式X=MX+F 收敛的条件为 p(m)<1 。
(10)数值方法解常微分方程的梯形公式的局部截断误差为 O(h 3) ，整体误差为 O(h 2) 。
最优化方法与工程数值计算
最优化方法与工程数值计算最优化方法与工程数值计算随着计算机技术的不断发展，数值计算在工程领域中变得越来越重要。
而在数值计算中，最优化方法被广泛应用于解决实际问题中的优化问题。
本文将介绍最优化方法以及它在工程数值计算中的应用。
一、最优化方法的基本概念最优化方法是指在满足一定约束条件下，使某个目标函数取得最大值或最小值的方法。
最优化问题可以用数学模型来描述，具体形式如下：$$\min_{x\in D} f(x)$$其中 $x\in R^n$，$f(x)$ 是目标函数，$D$ 是定义域。
二、最优化方法的分类根据约束条件的不同，最优化方法可以分为无约束优化和有约束优化两种。
1. 无约束优化无约束优化是指在不受任何约束条件的情况下，使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最常用的方法有梯度下降法、黄金分割法、牛顿法等。
梯度下降法是一种机器学习中常用的优化方法，其基本思想是以当前点的负梯度方向作为搜索方向，通过迭代逐步接近极小值点。
该方法在优化函数平稳的区域表现较好，但在函数存在局部极小值的情况下容易陷入局部最优解。
2. 有约束优化有约束优化是指在受到一定约束条件的情况下，使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最常用的方法为拉格朗日乘子法。
拉格朗日乘子法是在目标函数外加约束条件的前提下，将其转化为一个无约束优化问题，然后引入拉格朗日乘子，求得目标函数的极值。
该方法适用于约束条件为等式的情况。
三、最优化方法在工程领域中的应用最优化方法在工程领域中有广泛的应用。
例如，在机械设计中，最优化方法可用于优化结构、减少重量、降低成本等；在电力系统中，最优化方法可用于计算电网的输电能力，以及优化功率系统的运行参数；在化学工程中，最优化方法可用于优化生产过程，提高化学效率等。
最优化方法的应用与工程数值计算息息相关，因为往往需要使用最优化方法来求解实际工程问题中的最优解。
同时，由于实际工程问题往往存在多个约束条件，这就需要使用带约束的最优化方法进行求解。
最优化计算方法课后习题集答案解析
解：取 ， 时，DFP法的第一步与最速下降法相同
， ，
，
以下作第二次迭代
，
其中，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ，
以下作第三次迭代
，
，
所以
令 ， 利用 ，求得
所以 ， 因为 ，于是停止
即为最优解。
习题四
包括题目： P95页 3；4；8；9(1)；12选做；13选做
3题解如下
3.考虑问题 ，其中
X1,x2,x3≥0 （3）
求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.
解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a>0，使对∀t∈（0，a）能有
X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T
（1）
s.t.
（2）
s.t.
（1）解：非线性规划的K-T条件如下：
（1）
（2）
（3）
再加上约束条件 （4）
为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：
①若（4）式等号不成立，即 ，那么由（2）式得 ，将 代入（1）式解得 ， ，所得值不满足 的条件，故舍去。
②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得 ， ，代入（4）式有：
JBi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
di0
1
1
0
-5/6
-1/6
1
10/6
4
0
0
38/6
2
0
1
-9/6
数值计算课后习题答案(全)
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
最优化方法练习题答案
最优化⽅法练习题答案精⼼整理练习题⼀1、建⽴优化模型应考虑哪些要素? 答：决策变量、⽬标函数和约束条件。
2、讨论优化模型最优解的存在性、迭代算法的收敛性及停⽌准则。
min ()f x D ∈，对于则有(f ?1例2.1解：*2、研究线性规划的对偶理论和⽅法（包括对偶规划模型形式、对偶理论和对偶单纯形法）。
答：略。
3、⽤单纯形法求解下列线性规划问题：（1）≥≤+-≤++≤-++-=0,,43222..min32131321321321x x x x x x x x x x x t s x x x z ；（2）=≥=++=+-=+-+-=)5,,2,1(052222..4min 53243232132Λi x x x x x x x x x x t s x x z i解：（1）引⼊松弛变量x 4，x 5，x 6因检验数σj >0，表明已求得最优解：*(0,8/3,1/3,0,0,11/3)X =，去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：*(0,8/3,1/3)X =。
（2）根据题意选取x 1，x 4，x 5，为基变量：因检验数σ2<0最⼩，故确定x 2为换⼊⾮基变量，以x 2的系数列的正分量对应去除常数列，最⼩⽐值所在⾏对应的基变量x 4作为换出的基变量。
4根据题意约束条件1和2可以合并为1，引⼊松弛变量x 3，x 4，构造新问题。
因检验数σj>0，表明已求得最优解：*(3/5,6/5)X 。
Matlab调⽤代码：Matlab调⽤代码：f=[-10;-15;-12];A=[5,3,1;-5,6,15;-2,-1,-1];b=[9;15;-5];lb=[0;0;0];x=linprog(f,A,b,[],[],lb)输出结果：原题⽆可⾏解。
5、⽤内点法和Matlab软件求解下列线性规划问题：解：⽤内点法的过程⾃⼰书写，参考答案：最优解[4/3 7/3 0] X=；最优值5 Matlab调⽤代码：f=[2;1;1];Aeq=[1,2,2;2,1,0];beq=[6;5]; Array 6解：（x=33y=-39最优解[33]；最优值39（2）调⽤matlab编译程序bbmethodf=[-7;-9];G=[-13;71];h=[6;35][x,y]=bbmethod(f,G,h,[],[],[0;0],[],[1;0],1)x=50y=-35最优解[50]；最优值357、⽤隐枚举法和Matlab软件求解下列问题：0）（1，2.1，1，输出结果x=1fval=2（2）调⽤代码：f=[-3;-2;5;2;3]; %价值向量fA=[1,1,1,2,1;7,0,3,-4,3;-11,6,0,-3,3]; %不等式约束系数矩阵A，[]中的分号“；”%为⾏分隔符b=[4;8;-1]; %不等式约束右端常数向量b[x,fval]=bintprog(f,A,b,[],[]); %调⽤函数bintprog。
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《数值计算与最优化》期末考试复习2
一、填空（每题3分×12题）
1．经过四舍五入得出1 6.1025x =，280.115x =，试问它们分别具有 5 ， 5 位有效数字。
1x +2x 的绝对误差限是 0.5ⅹ101-5+0.5ⅹ102-5 。
2．设()1(0)n n n f x a x a =+≠，则011[,,...,]n f x x x += 0 。
3．n 个节点的高斯求积公式具有 2n+1 次代数精度。
4．将区间[a,b]分为n 等份，复化梯
形公式为 (b-a)/(2n)(f1+2f2+2f3+..+2fn+f n+1) 。
5．已知矩阵4316A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
，则1||||A = 9 ，||||A ∞= 7 。
6．矩阵369282271218A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
的Crout 分解为A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
527042003- 1
004103
21
7．用迭代法解线性方程组(1)()k k x Bx f +=+,若0230B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，55f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
则此方法 不收敛 （填“收敛”或者“不收敛”）。
8．设Ax=b ，用SOR 迭代法解线性方程组，收敛的条件是（1）A 为 可逆 矩阵；（2）ω的取值范围是 0<ω<2 。
9
10．求方程23x
x e -12ln ln 3k k x x +=+则 发散 。
（填“收敛”或者“发散”） 11．线性规划问题的基可行解X 对应于可行域D 的 基变量 。
12．将下列数学模型123
12312312312
3max 23..72325
,0,z x x x s t x x x x x x x x x x x x =-+-⎧++≤⎪-+≥⎪⎨-++=⎪⎪≥⎩为无约束化为标准型 。
解：min -z=x 1-2x 2+3x 3
s.t. x 1+x 2+x 3+x 4=7
x 1-x 2+x 3-x 5=2
-3x 1+x 2+2x 3=5
二、判断（每题1分×4题）
1． 将3.141作为π的近似值，则它具有4位有效数字。
（ ⅹ ）
2． 在数值积分中，辛普森公式具有2次代数精度。
（ ⅹ ）
3． 设经过迭代过程1()k k x x ϕ+=收敛于方程()x x ϕ=的根x*,如果迭代误差*k k e x x =-当
k →∞时成立+11/p k k e e C +→ (常数0C ≠), 则迭代过程是p 阶收敛的。
（√ ）
4． 解常微分方程的初值问题的梯形公式为11[(,)(,)]2
n n n n n n h y y f x y f x y ++=+
+。
（ ⅹ ） 5． 设已给出两个节点0x 、1x 上的函数值0()f x 、1()f x ，则1x 点的带余项的两点公式为
1101'()[()()]''()2h f x f x f x f h ξ=-+。
（ √ ）
三、计算（每题10分×5题，以下8题中任选5道题，答题时请标记选择的题号）
1． 已知测量某长方形场地长a=110米，宽b=80米。
若|a-a*|0.1≤(米)，|b-b*|0.1≤(米)。
试
求其面积的绝对误差限和相对误差限。
解：面积的绝对误差=adb+bda=110*0.1+80*0.1=19
面积的相对误差=19/(110*80)=0.002=0.2%
2． 已知sin 0.320.314567=，sin 0.340.333487=，sin 0.360.352274=。
用抛物线插值计
算sin 0.3367的近似值，并估计截断误差。
解：x0=0.32 x1=0.34 x2=0.36
L0(x)=(x-0.34)(x-0.36)/0.0008
L1(x)=(x-0.32)(x-0.36)/(-0.0004)
L2(x)=(x-0.32)(x-0.34)/0.0008
P(x)=sin0.32*L0(x)+sin0.34*L1(x)+sin0.36*L2(x)
=0.314567*(x-0.34)*(x-0.36)/0.0008+0.333487*(x-0.32)*(x-0.36)/(-0.0004)+0.352274*(x-0.32)*(x-0
.34)/0.0008
P(0.3367)=0.3304
截断误差≤f ’’’/3 !(x-x0)(x-x1)(x-x2)
≤(0.3367-0.32)*(0.34-0.3367)*(0.36-0.3367)/6=2.141e-7
3．
解：f(x)=x 2-115=0 f ’(x)=2x
X n+1=x n -f(x n )/f ’(x n )=x n -(x n 2-115)/(2*x n )
令x1=10
得: x2=10.75 x3=10.7238
4． 求矛盾方程组12121
21224113532627
x x x x x x x x +=⎧⎪-=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩的最小二乘解。
解：利用A T AX=A T B
16x 1-3x 2=51
-3x 1+46x 2=48
X 1=3.4250 x 2=1.2669
5． 设有实验数据如下
x | 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
y | 5.10 5.79 6.53 7.45 8.46
求形如bx y ae =(a,b 为常数且a>0)的经验公式拟合以上数据。
解：令u=lny, v=x 方程变成u=lna+bv
X i y i u i v i 2 u i v i
1.0 5.1 1.6292 1 1.6292
1.25 5.79 1.7561 1.5625
2.1876
1.5 6.53 1.8764
2.25 2.8146
1.75 7.45
2.0082
3.0625 3.5143
2.0 8.46 2.1353 4.0 4.2706
∑
7.5 33.33 9.4053 11.8750 14.4164 于是，得到正规方程：
5lna+7.5v=9.4053
7.5lna+11.8750v=14.4164
解方程得:lna=1.1408, b=0.4935 a=3.1293
Y=3.1293e 0.4935x
6． 用LU 分解法解方程组123231
232314282413x x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪++=⎩。
解：L 和U 分别为：
1020100
01 5
0021
0321- L Y=b y=[14,8,-15]’
UX=y x=[1 2 3]’ 7． 用反幂法求矩阵3245A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的按模最小的特征值和相应的特征向量，精确至2位有效数字。
解：x=[1 1]’
[xx,yy]=inv_shift_power(a,x,1,1e-6,15)
Xx=1 yy=[0.71,0.71]’
8． 用单纯形法求解12
121212max 105..349528
,0z x x s t x x x x x x =+⎧+≤⎪⎪+≤⎨⎪≥⎪⎩。
解：原最优问题可转换成：
Min -z=-10x 1-5x 2
s.t. 3x 1+4x 2+x 3=9
5x 1+2x 2+x 4=8
X 1,x 2,x 3,x4≥0
单纯形表如下：
C -10 -5 0 0
X1 x2 x3 x4 b θ
0 x3 3 4 1 0 9 3
0 x4 5 2 0 1 8 8/5
Zj 0 0 0 0 0
λj -10 -5 0 0
x1入基，x4出基
0 x3 0 14/5 1 -3/5 21/5 3/2
-10 x1 1 2/5 0 1/5 8/5 4
Zj -10 -4 0 -2 -16
λj 0 -1 0 2 1
x2进基，x3出基
-5 x2 0 1 5/14 -3/14 3/2
-10 x1 1 0 -1/7 2/7 1
Zj -10 -5 -5/14 -25/14 -35/2
λj 0 5 5/14 25/14
所有λj ≥0，结束，最优解x1=1, x2=3/2, max –z=-35/2
Min z=35/2
四、设已给出三个节点0x ，1x =0x h +，2x =02x h +上的函数值0()f x 、1()f x 、2()f x ，试
推导2x 点的插值型求导公式。
P(x)=f(x0)/(-2h 2)(x-x1)(x-x2)-f(x1)/h 2(x-x0)(x-x2)+f(x2)/(2h 2)(x-x0)(x-x1) P’(x2)=[f(x0)-4f(x1)-3f(x2)]/(-2h)。