单纯形法

四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
s.t.⎧ AX ≤ b ⎨X ≥ 0 ⎩
s.t.⎧ AX ≥ b ⎨X ≥ 0 ⎩
⎧ AX + IX s = b s.t.⎨ ⎩X , X s ≥ 0
⎧ AX − IX s = b s.t.⎨ ⎩X , X s ≥ 0
T
注意：
⎛ B −1b ⎞ 的。 当取X N = 0时，有X B = B −1b, X = ⎜ ⎟. ⎝ 0 ⎠ ⎛ B −1b ⎞为线性规划的一个基本解； 称AX = b的解X = ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠
基本解仅是资源约束的解，并未要求其非负，因此其未必可行。 基可行解 若基解X≥0，则称为基可行解。
计算检验数均非正，当 前解为最优。
问题：当模型规模较大时，计算量很大。 事实上，单纯形法的实现是在单纯形表上完成的。
练习1.4 对于下ห้องสมุดไป่ตู้的线性规划
min z = − x1 + 2 x2 ⎧ x1 − x2 ≥ −2 ⎪ ⎨ x1 + 2 x2 ≤ 6 ⎪ x1 , x2 ≥ 0 ⎩
（1）用图解法求解； （2）将模型化为标准型； （3）用单纯形法步骤求出其最优解，并指出求解过程中 每一个基可行解相当于可行域的哪一个角点。
问题：用什么检验？ 用目标 把目标函数用非基变量表示：
= C B B −1 b + (C N − C B B −1 N ) X N
检验数向量，记为σ。当σ ≤0时，当前解为最优解。
σ j = c j − C B B −1 P j 方法： （1）计算每个xj的检验数
问题：非最优的 特征为何？—— （2）若所有σj ≤0 ，则当前解为最优； 否则，至少有σk >0 ，转3。
x B1 = ⎡1 0⎤，其相应的基向量为P3 , P4 , 基变量为x3 , x4，X B1 = ⎛ 3 ⎞; ⎜x ⎟ ⎢ 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎝ 4⎠ ⎡1 2 ⎤ B2 = ⎢ ⎥ , 其相应的基向量为 P1 , P2 , ⎣ 2 − 1⎦ ⎛ x1 ⎞ 基变量为 x1 , x2 , X B2 = ⎜ ⎟ 。 ⎝ x2 ⎠
, Pn）
进基 − − 保证“改善”− − 令 σ k > 0对应的 Pk 进基；
出基 − −保证“可行” − − 由X B = B −1b − B −1 NX N ≥ 0可决定出基。
换基方法
（1）进基：取 σ k = max{σ j > 0} 对应的Pk进基。
( B −1 b ) i ( B −1 Pk ) i > 0} （2）出基：取 θ l = min{ −1 i ( B Pk ) i
第二个约束减松弛变量 得标准型：
x7 、Min z → Max z ' ( z ' = − z )
Max
z ' = x1 − 2 x 2 + 3 x4 − 3 x5
⎧ x1 + x 2 + x4 − x5 + x6 = 7 ⎪x −x +x −x −x =2 ⎪ 1 2 4 5 7 s .t .⎨ ⎪− 3 x1 + x 2 + 2 x4 − 2 x5 = 5 ⎪ x1 , x 2 , x4 , , x7 ≥ 0 ⎩
基本解与基可行解的关系
可行解
基可行解
基解
结论：LP的基可行解对应于可行域的顶点。
3.基本定理
(1)线性规划的可行域是一个凸多面体。
(2)线性规划的最优解（若存在的话）必能在可行域的角点获得。 (3)线性规划可行域的角点与基本可行解一一对应。
三、单纯形法的基本方法
基本方法： 确定初始基可行解
检验是否最优？ N 转到另一更好的 基可行解 方法前提：模型化为标准型
m Cn 个。 一般地，m×n 阶矩阵A中基的个数最多有多少个？——
(3)、基本解与基本可行解 基本解
当A中的基B取定后，不妨设B表示A中的前m列， 则可记A = B N ）相应地X = ( X B （ , XN ) ⎛ X B ⎞ 可见：一个 约束中的AX = b可表示为 ( B N ) ⎜ ⎟=b ⎝ X N ⎠ 基本解是由 −1 −1 即X B = B b − B NX N 一个基决定
§2
单纯形法
单纯形法是求解线性规划的主要算法，1947年由美国斯坦 福大学教授丹捷格（G.B. Dantzig）提出。
尽管在其后的几十年中，又有一些算法问世，但单纯形法 以其简单实用的特色始终保持着绝对的“市场”占有率。
§2 单纯形法 一、线性规划的标准型
1、标准形式
Max Z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn =b1 s.t. …… ……
对应的Pl进基。 得新基，转2。
j
以例1.1为例，用单纯形法求出其最优解， （1）先将模型化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 = 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x1 + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ + x5 = 300 3x1 + 10 x 2 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
Am× n的秩为m m ≤ n） （ b ≥ 0。
2、非标准型 （1）Min Z = CX （2）约束条件
标准型 Max Z' = -CX
•
“≤”型约束，加松弛变量；
松弛变 量
例如： 9 x1 +4x2≤360 问题：它的实际意义是什么？ —— 煤资源的“剩余”。
9 x1 +4x2+ x3=360
令x1=0，得基本解 令x2=0，得基本解 令x3=0，得基本解 令x4=0，得基本解
3 基本解的个数≤ C 4 = 4 。
X1=(0, 3, 2, -1)T, 对应于A点； X2=(3, 0, 1, -8)T, 对应于B点； 基 X3=(2, 1, 0, 5)T, 对应于F点； 可 X4=(1/3, 8/3, 5/3, 0)T, 对应于D点； 行 解
至少有某个检验数σ k > 0。
3. 换基迭代（基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行解， 相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此， 本步骤也称为基变换。
⎧ 改善：z1 > z0 基变换的原则： ⎨ 可行：B1−1b ≥ 0 ⎩
进基
变换的方法：（ P1 ,
, Pl ,
出基
, Pk ,
Y
停
1. 初始可行基B0的确定
若A中含有I：B0=I 若A中不含I：人工变量法
问题：若B0=I，则X0=？——
− ⎛ B0 1b ⎞ ⎛ b ⎞ X0 = ⎜ ⎟ = ⎜ 0 ⎟ ≥ 0, 可行。 ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠
2. 最优性检验
矩阵 分块
⎛ XB ⎞ X B = B −1b − B −1 NX N ⎟=b ( B , N )⎜ AX = b ⎜X ⎟ ⎝ N⎠ ⎛ XB ⎞ ∴ Z = CX = (C B , C N )⎜ ⎜ X ⎟ = CB X B + CN X N ⎟ ⎝ N⎠ = C B ( B −1b − B −1 NX N ) + C N X N
问题：松弛变量在目标中的系数为何？ —— 0。 （3）自由变量xj 进行变量替换： xj= xj ' - xj ' ' ，其中xj ' 、 xj ' ' ≥0
例3、将如下问题化为标准型
Min z = − x1 + 2 x 2 − 3 x 3 ⎧ x1 + x 2 + x 3 ≤ 7 ⎪ x −x +x ≥2 ⎪ 1 2 3 s .t .⎨ ⎪ − 3 x1 + x 2 + 2 x 3 = 5 ⎪ x1 , x 2 ≥ 0, x 3无约束 ⎩ 解：令 x3 = x4 − x5 、第一个约束加松弛变量 x6 、