统计学原理第八章相关与回归分析
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相关分析的内容 1.判断现象之间是否存在相关关系； 2.如果存在相关关系，则要进一步判断相
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x + e
第一步：提出假设 第二步：计算检验的统计量t 第三步：进行统计决策
• 通常采用 t 分布检验
• 该检验可以用于小样本， 也可以用于大样本。
第一步：提出假设。假设样本是从一个不相关的 总体中抽样的，即：
H 0： 0；H1： 0
第二步：计算检验的统计量：
| t | t 2
t | r | n 2 ~ t(n 2) 1 r2
度(x3)之间的关系 ❖ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ❖ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
二、 相关关系的种类
（一）根据自变量的多少分为：
单相关、复相关和偏相关 （二）根据相关关系的形态分为
线性相关、非线性相关。 （三）根据变量间变化方向的不同分为
正相关和负相关
三、相关分析与回归分析的内容
相关关系
1. 变量间关系不能用函数
关系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由
另一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有
几个
4. 各观测点分布在直线周 围
x
❖ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 ❖ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ❖ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温
3. 各观测点落在一条线上
y x
• 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2
• 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表 示为 y = px (p 为单价)
▪ 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消 耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
H 0： 0；H1： 0
第二步：计算检验的统计量：
| t | t 2
n2
31 2
t | r |
| 0.96744 |
19.45
1 r2
1 0.96744 2
第三步：统计决策。显著性水平为0.05的t 值为 2.0453，故拒绝原假设，表明现金收入和支 出两个变量之间存在显著的线性关系。
• 第三节 一元线性回归分析
第三步：进行统计决策。若
| t | t 2
则拒绝原假设，表明总体的两个变量之间存在显 著的线性关系。
例题分析
• 根据2006年全国各省区的现金收入和现 金支出的数据：
• 1.绘制相关图； • 2.计算相关系数； • 3.对相关系数进行显著性检验。
第一步：提出假设。假设样本是从一个不相关的 总体中抽样的，即：
第八章 相关与回归分析
主要内容：
一、相关与回归分析概述 二、相关分析 三、一元线性回归分析 四、Excel 的应用
第一节 相关与回归分析概述
• 一、变量间的关系
•函数关系 •相关关系
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
2. 设有两个变量 x 和 y ，变 量 y 随变量 x 一起变化， 并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的 关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量， y 称为因变量
1.分析的内容不同； 2.变量的地位不同； 3.变量的性质不同。
回归分析和相关分析的联系
1.研究对象相同——具有相关关系的现象 2.在应用时常常相互补充
相关分析和回归分析又称为相关关系分析或相 关分析。
•第二节 相关分析
一、相关关系的描述工具
• （一）相关表 • （二）相关图 • （三）相关系数
程称为回归方程 ❖ 一元线性回归方程的形式如下
E( y ) = b0+ b1 x
▪ 方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 ▪ b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 ▪ b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个
• b0 和 b1 称为模型的参数 • y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 • 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变
化
• 误差项 e 是随机变量
• 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
• 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
回归方程
❖ 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方
不相关
二、相关系数
反映现象关系密切程度的指标； （一）计算公式：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
（二）相关系数r的性质：
1.相关系数r的取值范围 –1≤r≤1。
2.若为正，则两变量呈正线性相关； 若为负，则两变量呈负线性相关。
3.如果r的绝对值为1，表示两个变量完全线性相 关（函数关系）； 如果，则r=0表示两个变量没有线性关系（不 能说明两个变量没有关系，因为有可能存在曲 线相关关系）
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x + e
第一步：提出假设 第二步：计算检验的统计量t 第三步：进行统计决策
• 通常采用 t 分布检验
• 该检验可以用于小样本， 也可以用于大样本。
第一步：提出假设。假设样本是从一个不相关的 总体中抽样的，即：
H 0： 0；H1： 0
第二步：计算检验的统计量：
| t | t 2
t | r | n 2 ~ t(n 2) 1 r2
度(x3)之间的关系 ❖ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ❖ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
二、 相关关系的种类
（一）根据自变量的多少分为：
单相关、复相关和偏相关 （二）根据相关关系的形态分为
线性相关、非线性相关。 （三）根据变量间变化方向的不同分为
正相关和负相关
三、相关分析与回归分析的内容
相关关系
1. 变量间关系不能用函数
关系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由
另一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有
几个
4. 各观测点分布在直线周 围
x
❖ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 ❖ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ❖ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温
3. 各观测点落在一条线上
y x
• 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2
• 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表 示为 y = px (p 为单价)
▪ 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消 耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
H 0： 0；H1： 0
第二步：计算检验的统计量：
| t | t 2
n2
31 2
t | r |
| 0.96744 |
19.45
1 r2
1 0.96744 2
第三步：统计决策。显著性水平为0.05的t 值为 2.0453，故拒绝原假设，表明现金收入和支 出两个变量之间存在显著的线性关系。
• 第三节 一元线性回归分析
第三步：进行统计决策。若
| t | t 2
则拒绝原假设，表明总体的两个变量之间存在显 著的线性关系。
例题分析
• 根据2006年全国各省区的现金收入和现 金支出的数据：
• 1.绘制相关图； • 2.计算相关系数； • 3.对相关系数进行显著性检验。
第一步：提出假设。假设样本是从一个不相关的 总体中抽样的，即：
第八章 相关与回归分析
主要内容：
一、相关与回归分析概述 二、相关分析 三、一元线性回归分析 四、Excel 的应用
第一节 相关与回归分析概述
• 一、变量间的关系
•函数关系 •相关关系
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
2. 设有两个变量 x 和 y ，变 量 y 随变量 x 一起变化， 并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的 关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量， y 称为因变量
1.分析的内容不同； 2.变量的地位不同； 3.变量的性质不同。
回归分析和相关分析的联系
1.研究对象相同——具有相关关系的现象 2.在应用时常常相互补充
相关分析和回归分析又称为相关关系分析或相 关分析。
•第二节 相关分析
一、相关关系的描述工具
• （一）相关表 • （二）相关图 • （三）相关系数
程称为回归方程 ❖ 一元线性回归方程的形式如下
E( y ) = b0+ b1 x
▪ 方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 ▪ b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 ▪ b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个
• b0 和 b1 称为模型的参数 • y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 • 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变
化
• 误差项 e 是随机变量
• 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
• 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
回归方程
❖ 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方
不相关
二、相关系数
反映现象关系密切程度的指标； （一）计算公式：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
（二）相关系数r的性质：
1.相关系数r的取值范围 –1≤r≤1。
2.若为正，则两变量呈正线性相关； 若为负，则两变量呈负线性相关。
3.如果r的绝对值为1，表示两个变量完全线性相 关（函数关系）； 如果，则r=0表示两个变量没有线性关系（不 能说明两个变量没有关系，因为有可能存在曲 线相关关系）