统计学原理第八章相关与回归分析
统计学第八章练习题
第八章 相关与回归分析一、填空题8.1.1 客观现象之间的数量联系可以归纳为两种不同的类型，一种是 ，另一种是 。
8.1.2 回归分析中对相互联系的两个或多个变量区分为 和 。
8.1.3 是指变量之间存在的严格确定的依存关系。
8.1.4 变量之间客观存在的非严格确定的依存关系，称为 。
8.1.5 按 的多少不同，相关关系可分为单相关、复相关和偏相关。
8.1.6 两个现象的相关，即一个变量对另一个变量的相关关系，称为 。
8.1.7 在某一现象与多个现象相关的场合，当假定其他变量不变时，其中两个变量的相关关系称为 。
8.1.8 按变量之间相关关系的 不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。
8.1.9 按相关关系的 不同可分为线性相关和非线性相关。
8.1.10 线性相关中按 可分为正相关和负相关。
8.1.11 研究一个变量与另一个变量或另一组变量之间相关方向和相关密切程度的统计分析方法，称为 。
8.1.12 当一个现象的数量由小变大，另一个现象的数量也相应由小变大，这种相关称为 。
8.1.13 当一个现象的数量由小变大，而另一个现象的数量相反地由大变小，这种相关称为 。
8.1.14 当两种现象之间的相关只是表面存在，实质上并没有内在的联系时，称之为 。
8.1.15根据相关关系的具体形态，选择一个合适的数学模型来近似地表达变量间平均变化关系的统计分析方法，称为 。
8.1.16 反映变量之间相关关系及关系密切程度的统计分析指标是 。
8.1.17 就是寻找参数01ββ和的估计值01ββ和，使因变量实际值与估计值的残差平方和达到最小。
8.1.18 正如标准差可以说明平均数代表性大小一样， 则可以说明回归线代表性的大小。
8.1.19 回归分析中的显著性检验包括两方面的内容，一是对 的显著性检验；二是对 的显著性检验。
8.1.20 对各回归系数的显著性检验，通常采用 ；对整个回归方程的显著性检验，通常采用 。
回归分析与相关分析
回归分析与相关分析导言回归分析与相关分析是统计学中常用的两种分析方法，用于研究变量之间的关系。
在本文中，我们将对回归分析和相关分析进行详细探讨，并介绍它们的原理、应用和实例。
一、回归分析回归分析是通过建立一个数学模型来描述一个或多个自变量与因变量之间的关系。
它可以帮助我们预测因变量的取值，并理解自变量对因变量的影响程度。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最常见的一种方法，它假设自变量和因变量之间存在线性关系。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳拟合直线，从而预测因变量的取值。
1.2 多元线性回归多元线性回归是对简单线性回归的拓展，它可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
通过最小二乘法，我们可以得到最佳的多元回归方程，从而预测因变量的取值。
1.3 逻辑回归逻辑回归是回归分析在分类问题上的一种应用。
它能够根据自变量的取值，预测因变量的类别。
逻辑回归常用于预测二分类问题，如预测一个学生是否会被大学录取。
二、相关分析相关分析是研究两个或多个变量之间相关关系的一种方法。
它可以帮助我们了解变量之间的关联程度，以及一个变量是否能够作为另一个变量的预测因子。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是一种衡量两个连续变量之间线性相关程度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量无相关关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种衡量两个变量之间的非线性相关程度的统计量。
它的取值范围也在-1到1之间，但它适用于衡量非线性关系和顺序关系。
斯皮尔曼相关系数广泛应用于心理学和社会科学领域。
应用实例为了更好地理解回归分析与相关分析的应用，让我们通过一个实际案例来说明。
假设我们想研究某个国家的人均GDP与教育水平之间的关系。
我们收集了10个州的数据，包括每个州的人均GDP和受教育程度指数。
我们可以利用回归分析来建立一个数学模型，从而预测人均GDP与受教育水平之间的关系。
相关分析与回归分析的基本原理
相关分析与回归分析的基本原理1. 引言相关分析与回归分析是统计学中常用的两种数据分析方法，它们可以帮助研究者理解变量之间的关系，并根据这些关系进行预测。
本文将介绍相关分析和回归分析的基本原理，包括其定义、应用场景以及计算方法。
2. 相关分析2.1 定义相关分析是一种用来研究两个或多个变量之间关系的统计方法。
它通过计算相关系数来衡量变量之间的相关性。
相关系数的取值范围为-1到1，其中-1表示完全的负相关，1表示完全的正相关，0表示无相关关系。
2.2 应用场景相关分析可应用于许多领域，如市场研究、医学研究、金融分析等。
例如，在市场研究中，我们可以使用相关分析来研究产品销量与广告投入之间的关系，了解其相关性，并根据相关性进行决策。
2.3 计算方法计算两个变量之间的相关系数可以使用皮尔逊相关系数或斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量，而斯皮尔曼相关系数适用于有序变量或非线性关系。
3. 回归分析3.1 定义回归分析是一种用来研究变量之间关系的统计方法，其基本思想是通过构建适当的数学模型来描述一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以帮助预测未来的观察值，并理解变量之间的因果关系。
3.2 应用场景回归分析可以应用于各种预测和建模的场景。
例如，在金融领域，回归分析可以用来预测股票价格的变动，了解影响股价的各种因素，并根据这些因素进行投资决策。
3.3 计算方法回归分析通常使用最小二乘法来拟合变量间的线性关系。
在回归分析中，自变量可以是单个变量或多个变量，而因变量是需要预测或解释的变量。
通过最小化残差平方和，可以得到最佳拟合的回归模型。
4. 相关分析与回归分析的联系与区别4.1 联系相关分析和回归分析都是用来研究变量之间关系的统计方法，它们都可以帮助研究者理解变量之间的相关性和影响程度。
4.2 区别相关分析主要关注变量之间的相关性，通过计算相关系数来衡量相关性的强度和方向；而回归分析则更加关注自变量对因变量的影响程度和预测能力，适用于建立因果关系和预测模型。
统计学中的相关性和回归分析
统计学中的相关性和回归分析统计学中，相关性和回归分析是两个重要的概念和方法。
它们旨在揭示变量之间的关系，并可以用来预测和解释观察结果。
本文将介绍相关性和回归分析的基本原理、应用及其在实践中的意义。
一、相关性分析相关性是指一组变量之间的关联程度。
相关性分析可以帮助我们理解变量之间的关系，以及这种关系的强度和方向。
常用的相关性指标有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数等。
皮尔逊相关系数是最常见的衡量变量之间线性关系的指标。
它的取值范围在-1到1之间，其中-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关。
例如，在研究身高和体重之间的关系时，如果相关系数为0.8，则说明身高和体重呈现较强的正相关。
斯皮尔曼相关系数则不要求变量呈现线性关系，而是通过对变量的序列进行排序，从而找到它们之间的关联程度。
它的取值也在-1到1之间，含义与皮尔逊相关系数类似。
判定系数是用于衡量回归模型的拟合程度的指标。
它表示被解释变量的方差中可由回归模型解释的部分所占的比例。
判定系数的取值范围在0到1之间，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
二、回归分析回归分析是一种用于建立变量之间关系的统计方法。
它通过建立一个数学模型来解释和预测依赖变量和自变量之间的关系。
回归模型可以是线性的，也可以是非线性的。
线性回归是最常见的回归分析方法之一。
它假设自变量和因变量之间存在着线性关系，并通过最小二乘法来估计模型中的参数。
线性回归模型通常表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn，其中y为因变量，x1、x2等为自变量，β0、β1等为模型的参数。
非线性回归则适用于自变量和因变量之间存在非线性关系的情况。
非线性回归模型可以是多项式回归、指数回归、对数回归等。
回归分析在实践中有广泛的应用。
例如，在市场营销中，回归分析可以用来预测销售量与广告投入之间的关系；在医学研究中，回归分析可以用来探究疾病发展与遗传因素之间的联系。
统计学原理 相关与回归分析
粮食产量y 随机的
降雨量
土质
种子 耕作技术
X3
X4 X5
可 控 的
（二）相关的种类
完全相关 函数关系是相关关系的一种特例。 不完全相关 相关分析的基本内容
度相 关 密 切 程
y 完全由x的数值唯一确定，函数关系。
不相关
相 关 的 性 质
x、y值变化各自独立，变量间没有相关
关系
正相关 x 负相关
y
x
x2 26896 28900 31329 24336 25600 27556
y2
62540 73695 420857
70225 83521 463382
55696 65025 382469
合计
2114
从表上可以看出，随着个人收入的增加，消 费支出有明显的增长趋势，二者存在一定的依存 关系。正相关关系。 2、相关图（散点图） 直角坐标系第一象限
1、相关表
单变量分组相关表
分组相关表
双变量分组相关表
先做定性分析——相关资料排序——列在一张表上
个人收入x 164 170 177 182 192 207 225 243 265 289
消费支出y 156 160 166 170 178 188 202 218 236 255 1929
xy 25584 27200 29382
yc = 25.32 + 0.7927 300 = 263.13万元
（三）估计标准误差Syx P197
Syx = Syx =
=
(y - yc) 2 n-2 y2 - a y -b xy n-2
382469 -25.32 1929 -0.7927 420857
10 - 2
统计学原理第八章 相关与回归分析
一、相关系数
（二）相关系数的计算
2．简单相关系数的取值范围 第一，当r>0时，表示两个变量呈正相关，当r<0时，表示两变量负相关。 第二，当r=1或r=-1时，表明两变量之间为完全的相关，即为函数关系。 第三，当r=0时，表明两变量之间没有相关关系。如果r =0，则表明两个现象之间完 全没有直线相关关系。（但并不表明两个现象之间没有非线性相关）
21
§3 一元线性回归分析
➢ 在相关分析中，已知两个变量之间有直线相关关系。 ➢ 就需要确定一个数学表达式反映因变量与自变量之间的关系。 ➢ 有了这种数学表达式就便于进行解析，当有了自变量的一定数值，
就可以估计因变量的数值平均来说将会有怎样的变动。 ➢ 这样的数学表达式称为回归方程式。 ➢ 由于变量之间关系的复杂性，回归方程式也有多种类型和形式。 ➢ 一元线性回归方程式是指一个自变量且相关形式为直线。
• 由于研究对象的不同，相关系数有多种定义方式，较为常用的是皮尔 逊相关系数。
• 相关表和相关图可反映两个变量之间的相互关系及其相关方向，但无 法确切地表明两个变量之间相关的程度。
• 相关系数是用以反映变量之间相关关系密切程度的统计指标。 • 相关系数是按积差方法计算，同样以两变量与各自平均值的离差为基
程度的大小，由于变量之间是对等的，因此相关系数是惟一确定的；而在 回归分析中，对于互为因果关系的两个变量，则有可能存在两个回归方程。 当x为自变量、y为因变量时，称y倚x的回归方程，当y为自变量、x为因变 量时，称x倚y的回归方程。
24
第三节 回归分析的基本问题
二、回归分析与相关分析的关系
（二）回归分析与相关分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和
MBA管理统计学(中科大万红燕)第八章回归分析和相关分析
2010-7-23
销售额
12
第二节 相关分析
例1解:
xi = 2139, ∑ yi = 11966, ∑ xi2 = 179291 ∑ yi2 = 6947974, ∑ xi y i = 1055391, n = 30 ∑ r= n∑ xi yi ∑ xi ∑ yi (∑ xi ) 2 n∑ yi2 (∑ yi ) 2
2010-7-23
4
第一节 相关与回归分析的基本概念
三.相关分析与回归分析
相关分析和回归分析是研究现象之间相关关系 的两种基本方法. 相关分析:研究两个或两个以上随机变量之间 相关关系密切程度和相关方向的统计分析方法. 回归分析:研究某一随机变量(因变量)与其 他一个或几个变量(自变量)之间数量变动关 系形式的统计分析方法.
一.一元线性回归模型的建立 设因变量y(通常是随机变量)和一个自变量 (非随机变量)X之间有某种相关关系.在x的 不全相同的取值点x1,x2,…,xn作为独立观 察得到y的个观察值y1,y2,… ,yn记为( x1, y1 )( x2 , y2 ), … ,(xn , yn ). 根据这组数据寻求X与Y之间关系. 设一元线性回归模型为:yi=a+bxi+ ei
r=0.955248
2010-7-23 14
第二节 相关分析
25000 税收收入(亿元 亿元) 20000 15000 10000 5000 0
0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000
GDP(亿元)
2010-7-23
15
第二节 相关分析
二.有序数据的相关系数(等级相关系数)
2010-7-23
8
《统计学原理》第8章 相关与回归分析..
二、函数关系
1、变量之间存在严格的数量依存关系
2、这种关系可通过精确的数学方程式表达出来
3、变量之间确定性的依存关系 如：园的面积S和半径R之间的关系
S R
2
长方形的周长和两条边的关系 L 2x y
4
三、相关关系的种类
根据涉及的因素多少：单相关和复相关 根据相关的表现形态：线性相关和曲线相关 根据相关的变化方向：正相关和复相关 根据相关的程度：完全相关、不完全相关和不
9
二、相关系数的简便算法
相关系数 r,
r
n x x
2
n xy x y
2 2
n y y
2
10
三、相关系数说明的相关关系的密切程度
1、-1≤r≤1 2、如果r>0，线性正相关；r<0，线性负相关 3、如果r=0，则不存在线性关系 4、如果r<0.3 ，不相关 5、如果0.3<r<0.5，低度相关 6、0.5<r<0.8，显著相关 7、r>0.8，高度相关
4、相关分析的主要内容
2
一、相关关系
1、现象之间在数量上的相互依存关系 2、这种依存关系不能用精确的关系式表示出来 3、是变量之间随机性的依存关系；可以是因果关 系、互为因果关系、也可能是共变关系。 如：吸烟和得肺病之间有相关关系不良生活习惯 和身体健康之间有相关关系努力学习和考试成绩 之间有相关关系等 绝大多数现象之间存在相关关系
249 267 289
329 406 451 513
1998 1999 2000
2001 2002 2003
1068.8 1169.2 1250.7
1429.5 1725.9 2099.5
第八章 相关与回归分析 《统计学原理》PPT课件
二、相关系数
（一）相关系数的概念 （二）相关系数的计算 （三）相关系数的检验
（一）相关系数的概念
相关系数是在两个变量直线相关的 条件下，测定变量之间相关方向和相关 密切程度的统计指标，通常用r表示，其 全称是直线积差相关系数。
定义式：
r
2 xy
1 n
x
x
y
y
x y
1 n
x
x
2
1 n
y
y
2
x xy y x x 2 y y2
（二）按现象之间的相关方向划分正相关 和负相关。
（三）按现象之间相关的形式划分为直线 相关与曲线相关。
（四）按现象之间相关的程度划分为不相 关、不完全相关和完全相关。
三、相关分析的内容
（一）确定现象之间是关系的方向和密切程度
第二节 简单线性相关分析
➢相关关系：当一个或几个相互联系的变量取
一定数值时，与之相对应的另一变量的值虽然 不确定，但仍按某种规律在一定的范围内变化。 变量间的这种相互关系，称为具有不确定性的 相关关系。
（二）函数关系与相关关系的区别与联系
1.区别：具有相关关系的变量之间的数量关系不 确定，而具有函数关系的变量之间的数量关系 是确定的。
➢ 如果r =0，则表明两个现象之间完全没有直线相 关关系。（但并不表明两个现象之间没有非线性 相关）
➢ 相关系数的绝对值 r 在0.3以下是无直线相关，
在0.3—0.5是低度直线相关，在0.5—0.8是显著相 关，0.8以上是高度相关。
第三节 一元线性回归分析
一、回归分析的概念 二、回归的种类 三、相关分析与回归分析的关系 四、一元线性回归 五、一元线性回归方程的检验 六、回归估计标准误差 七、利用一元线性回归方程进行预测
[课件]统计学：第八章 相关与回归分析PPT
![[课件]统计学：第八章 相关与回归分析PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/f088c63d650e52ea551898e9.png)
二、相关关系的种类
把握以下问题： 1、按相关程度划分； 2、按相关方向划分； 3、按相关形式划分； 4、按变量多少划分； 5、按相关性质划分。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 9
1、按相关程度划分
可分为完全相关、不完全相关和不相关 （1 ）完全相关：当一种现象的数量变化完全 由另一个现象的数量变化所确定时，称这两 种现象之间的关系为完全相关，例如圆的周 长 L 决定于它的半径 R ，即 L=2∏R 。在这种 情况下，相关关系即为函数关系，也可以说 函数关系是相关关系的一种特例。
第八章 相关与回归分析
本章分三节： 第一节 相关与回归分析的基本概 念 第二节 一元线性回归分析 第三节 相关分析
2018/12/4
河北工程大学经济管理学院
3
第一节 相关与回归分析的 基本概念
本节需要把握四个问题： 一、函数关系与相关关系； 二、相关关系的种类； 三、相关分析与回归分析； 四、相关表和相关图。
16
三、相关分析与回归分析
把握以下问题： 1、相关分析与回归分析的概念； 2、二者的联系； 3、二者的区别； 4、应用中注意局限性。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 7
3、二者关系
上述函数关系和相关关系之间并不存在 严格的界限，一定条件下可以转化。由 于有测量误差等原因，函数关系在实际 中往往通过相关关系表现出来；反之当 对现象之间的内在联系和规律性了解得 更清楚深刻的时候，相关关系也可能转 化为函数关系。因此，相关关系通常可 以用一定的函数关系表达式去近似地描 述。
2018/12/4 河北工程大学经济管理学院 4
统计学原理第八章相关与回归分析
答案： 9x ? 17 ? kx 可以转化为 (9 ? k)x ? 17 即: x ? 17 ,x 为正整数 ,则 k ? 8或-8 9? k
测一测 3: 【中】 m 为整数，关于 x 的方程 x ? 6 ? mx 的解为正整数，求 m ? _____ 答案： 由原方程得： x ? 6 ， x 是正整数，所以 m ? 1 只能为 6 的正约数，
a ? ____ b ? ____
答案： ?2a ? 12?x ? 5 ? ab . 要使 x 有无穷多个解，则 2a ? 12 ? 0 ab ? 5 ? 0
得到 a ? 6;b ? 5 6
测一测 2： 【中】
已知关于 x 的方程 2a ?x ? 1?? ?5 ? a?x ? 3b 有无数多个解，那么
m?1 m ? 1 ? 1,2,3,6 所以 m ? 0,1, 2,5
2. 两个一元一次方程同解问题
例题 2：⑴ 【易】若方程 ax ? 2x ? 9 与方程 2x ? 1 ? 5 的解相同，则 a 的值为 _________
【答案】 D
第一个方程的解为 x ? 1 ，将 x ? 1 代入到第二个方程中得： 2 ? a ? 1 =0 ，解得 a ? 5 2
答案：原方程可以转化为 ?3 ? m?x ? 4 ? n
⑴ 当 m ? 3,n为任意值时，方程有唯一解；
⑵ 当 m ? 3,n ? 4时，方程有无数解；
⑶ 当 m ? 3, n ? ? 4时，无解
测 一 测 1 ：【 中 】 若 关 于 x 的 方 程 a ?2x ? b?? 12x ? 5 有 无 穷 多 个 解 。 求
a 当 a ? 0,b ? 0时，方程无解
当 a ? 0, b ? 0. 方程的解为任意数 .
数据的相关性与回归分析
数据的相关性与回归分析数据的相关性与回归分析是统计学中重要的概念和方法，用于探究变量之间的关系以及预测未知变量的值。
在本文中，我们将介绍相关性和回归分析的基本概念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相关性的概念与计算相关性是用来衡量两个变量之间关系的强度和方向的指标。
一般来说，相关性的取值范围在-1到1之间，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示无相关关系。
计算相关性的常用方法是皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）。
皮尔逊相关系数可以通过下面的公式计算得到：r = (Σ[(xi - ȳ)(yi - ȳ)]) / (sqrt(Σ(xi - ȳ)²) * sqrt(Σ(yi - ȳ)²))其中，r表示相关系数，xi与yi分别表示第i个观测值的两个变量的取值，ȳ表示所有yi的均值。
二、回归分析的基本原理回归分析是一种建立变量之间关系模型的方法，它可以通过已知数据来预测未知变量的值。
回归分析的基本原理是建立一个方程来描述自变量和因变量之间的关系，通过该方程来进行预测或推断。
在回归分析中，通常假设自变量和因变量之间服从线性关系。
简单线性回归是其中最基本的形式，它的方程可以表示为：y = β0 + β1x + ε其中，y表示因变量的值，x表示自变量的值，β0和β1表示回归系数，ε表示误差项。
三、回归模型的建立和评估为了建立回归模型，我们需要有足够的数据来拟合该模型，并进行评估。
常用的评估指标有均方误差（Mean Squared Error）和确定系数（Coefficient of Determination）等。
均方误差可以通过下面的公式计算得到：MSE = Σ(yi - ŷi)² / n其中，yi表示观测值的实际值，ŷi表示回归模型预测的值，n表示观测值的个数。
确定系数可以通过下面的公式计算得到：R² = 1 - (Σ(yi - ŷi)² / Σ(yi - ȳ)²)其中，ȳ表示观测值的平均值。
统计学原理第8章相关与回归分析[精]
![统计学原理第8章相关与回归分析[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/3898d2394a7302768e9939a6.png)
估计标准误差就是因变量的估计值yc与实际值y之间差异 公 的平均程度。记为Syx,它的基本公式为:
式
或
式中,Syx表示估计标准误差;下标yx表示y依x的回归方程; y是因变量的实际值;yc是因变量的估计值。
例8.4以例8.1的资料计算估计标准误差。
步骤： 1.设计一张计算表,将已知x的值代入回归方程求出对应的yc的值 2.计算离差y-yc并加以平方求和 3.求出估计标准误差Syx。
数关系。
当r=0时,表示x与y完全没有线性相关。
当0<|r|<1时,表示x与y存在着一定的线性相关。一般分四个
等级,判断标准如下:
若0<|r|<0.3,则称x与y为微弱相关;
若0.3<|r|<0.5, 则称x与y为低度相关;
若0.5<|r|<0.8, 则称x与y为显著相关;
若0.8<|r|<1, 则称x与y为高度相关。
8.3.2简单直线回归方程
a, b是待定参数 利用最小二乘法 得到a，b求值，再反解得到方程式
建立回归直线的过程：列计算表,求出∑xy,∑x2,∑y2,x,y; 计算Lxy,Lxx和Lyy的值;求出b和a的值并写出方程
例 8.2某工厂某产品的产量与单位成本资料见表8.2,试 求单位成本依产量的回归直线方程。
★ 填空题 (1) 现象之间的相关关系，从相关因素的个数看，可分为()和()；从相关的形式
的两个回归方程。() (9) 估计标准误差指的就是因变量的估计值yc与实际值y之间的平均误差程度。() (10) 在任何相关条件下，都可以用相关系数r说明变量之间相关的密切程度。() (11) 若变量x与y的相关系数r1=-0.8，变量p与q的相关系数r2=-0.92，由于r1>r2，
卫生统计学课件---直线相关与回归
3、相关的显著性程度与相关的密切程度不同
相关的显著程度（即统计意义的程度）和相 关的密切程度是两个不同的概念。变量间 相关的显著性越高，概率越小，在判断变 量间具有相关关系时，犯第一类错误的可 能性越小。而相关的密切程度高低，是相 关系数具有统计意义的前提下，根据相关 系数绝对值的大小来判断的。
4、作回归分析时要恰当确定自变量与因变量
2、求у和 χ
∑X 47.28χ= ==4.7Fra bibliotek8n 10
∑Y 1392.2
у= =
=139.22
n 10
3、计算离均差平方和∑(X－χ)2及离均差积和 ∑(X－χ)(Y－у)
∑(X－χ)2= ∑X2－(∑X)2/n=224.31－ (47.28)2/10=0.77
∑(X－χ)(Y－у)= ∑XY－∑X∑Y/n =6594.26－47.28×1392.2/10=11.94 4、计算回归系数b和截距a
二、直线回归
（一）直线回归的概念 直线回归又称简单回归，是描述和分析两变量间线
性依存关系的一种统计方法。两个变量之间有一 定的数量关系，但又非函数关系，称作回归关系。 如前所述，20岁男青年红细胞数与血红蛋白含量 的关系，只知道两者存在正相关关系，但不能说， 红细胞数是多时，血红蛋白一定是多少。如果想 要进一步由红细胞数估计血红蛋白含量，需要再 作回归分析。直线回归分析的主要任务就是找出 最合适的直线回归方程，以确定一条最接近于各 实测点的直线，来描述两个变量之间的回归关系。 直线回归的表达式为
计算步骤如下：
（1）作散点图：见下图。由散点图可见，10 名男青年的红细胞数与血红蛋白含量有直 线趋势。
10名男青年红细胞数与血红蛋白含量的关系
148 146 144 142 140 138 136 134 132 130
统计学原理第八章相关分析与回归分析
21
例1：P354页，第1题
企业 产量 X 单位成 XY
X2
Y2
序号 （4件） 本(元)Y
1
2
52
104
4
2704
2
3
54
162
9
2916
3
4
52
208
16
2704
4
4
48
192
16
2304
5
5
48
240
25
2304
6
6
∑
24
46
276
36
2116
300
1182
106 15048
即：∑X=24，∑Y=300， ∑XY=1182，
• 2） X倚Y的直线方程的确定
• 根据最小平方法的原理：(x xc )2 最小值
• 将xc = c + dy代入上述公式中，分别对c和d 求一阶偏导数，并令偏导数等于0，就可以
得出两个正规方程：
x nc dy yx cy dy2
d
nyx y n y2 (
x
y )2
c x dy
举例：P355，第4题。
• 偏相关：在复相关中，当假定其他变量不 变时，其中两个变量间的相关关系称为偏 相关。例如，在假定人们收入水平不变的 条件下，某种商品的需求与其价格水平的 关系就是一种偏相关。
9
三、相关分析与回归分析
• （一）相关分析 • 是用一个指标（相关系数）来表明现象
之间相互依存的密切程度。 • （二）回归分析 • 是根据相关关系的具体形态，选择一个
• 曲线相关：如果现象之间的相关关系近似 地表现为某种曲线形式时，就称这种相关 关系为曲线相关。
统计学原理第8章相关与回归分析
此x与y间相关的程度比较高。()
27
同步练习
★ 判断题 (1) 根据结果标志对因素标志的不同反映，可以把现象间数量上的依存关系划分为
函数关系和相关关系。() (2) 正相关指的就是因素标志和结果标志的数量变动方向都是上升的。() (3) 相关系数是测定变量间相关密切程度的唯一方法。() (4) 只有当相关系数接近于1时，才能说明两变量之间存在高度相关系数。() (5) 若变量x的值减少，y的值也减少，说明变量x与y之间存在相关关系。() (6) 回归系数b和相关系数r都可以来判断现象之间相关的密切程度。() (7) 若回归直线方程为：yc=160-2.3x，则变量x与y之间存在负的相关关系。() (8) 回归分析中，对于没有明显因果关系的两个变量x与y，可以建立y依x和x依y的
D产量每增加1000件时，单位成本下降78元
E产品的产量随生产用固定资产价值的减少而减少
(4) 测定现象间有无相关关系的方法是()。
A编制相关表 B绘制相关图 C对客观现象作定性分析
D计算估计标准误系数时，()。
A相关的两个变量都是随机的
B相关的两个变量是对等的关系
C相关的两个变量一个是随机的，一个是可以控制的量
特点 在进行回归分析时,必须根据研究目的确定相关的变量中谁为自变 量,谁为因变量。 回归方程的作用在于由自变量的数值来估计因变量的值。一个回 归方程只能作一种推算或估计。 在回归分析中,因变量是随机的,自变量是可以控制的量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关关系的种类和关系的紧密程度； 3.对相关系数进行显著性检验。
回归分析的内容
• 1. 建立反映变量间依存关系的数学模型 即回归方程；
• 2.对回归方程进行显著性检验； • 3.用回归过程进行预测。
回归分析和相关分析的主要区别
4.相关系数的绝对值越接近于1，表示相关 程度越强；越接近于0，表示相关程度越 弱。具体标准为：
R 的绝对值：0.3以下 微弱相关；
0.3-0.5 低度相关；
0.5-0.8 显著相关；
0.8以上 高度相关。
以上结论必须建立在对相关系数的显著性 检验基础之上。
三、相关系数的显著性检验
显著性检验的具体步骤：
资料：
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
相关表
700 9
900 7
600 9
1000 800 89
1200 6
销售量 500
（公斤）
价格 10
（元）
600 9
700 9
800 9
900 7
1000 8
1200 6
相关图（散点图）
完全正线性相关
正线性相关
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
一、一元线性回归方程
❖ 只涉及一个自变量的回归
❖ 因变量y与自变量x之间为线性关系
➢ 被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示
➢ 用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为
自变量，用x表示
❖ 因变量与自变量之间的关系用一个线性方 程来表示
一元线性回归模型
❖ 一元线性回归模型可表示为
y = b0 + b1 x + e
第一步：提出假设 第二步：计算检验的统计量t 第三步：进行统计决策
• 通常采用 t 分布检验
• 该检验可以用于小样本， 也可以用于大样本。
第一步：提出假设。假设样本是从一个不相关的 总体中抽样的，即：
H 0： 0；H1： 0
第二步：计算检验的统计量：
| t | t 2
t | r | n 2 ~ t(n 2) 1 r2
度(x3)之间的关系 ❖ 商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系 ❖ 商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
二、 相关关系的种类
（一）根据自变量的多少分为：
单相关、复相关和偏相关 （二）根据相关关系的形态分为
线性相关、非线性相关。 （三）根据变量间变化方向的不同分为
正相关和负相关
三、相关分析与回归分析的内容
相关关系
1. 变量间关系不能用函数
关系精确表达
y
2. 一个变量的取值不能由
另一个变量唯一确定
3. 当变量 x 取某个值时， 变量 y 的取值可能有
几个
4. 各观测点分布在直线周 围
x
❖ 父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系 ❖ 收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系 ❖ 粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、温
3. 各观测点落在一条线上
y x
• 圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S=R2
• 某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表 示为 y = px (p 为单价)
▪ 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消 耗(x2) 、原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
H 0： 0；H1： 0
第二步：计算检验的统计量：
| t | t 2
n2
31 2
t | r |
| 0.96744 |
19.45
1 r2
1 0.96744 2
第三步：统计决策。显著性水平为0.05的t 值为 2.0453，故拒绝原假设，表明现金收入和支 出两个变量之间存在显著的线性关系。
• 第三节 一元线性回归分析
第三步：进行统计决策。若
| t | t 2
则拒绝原假设，表明总体的两个变量之间存在显 著的线性关系。
例题分析
• 根据2006年全国各省区的现金收入和现 金支出的数据：
• 1.绘制相关图； • 2.计算相关系数； • 3.对相关系数进行显著性检验。
第一步：提出假设。假设样本是从一个不相关的 总体中抽样的，即：
第八章 相关与回归分析
主要内容：
一、相关与回归分析概述 二、相关分析 三、一元线性回归分析 四、Excel 的应用
第一节 相关与回归分析概述
• 一、变量间的关系
•函数关系 •相关关系
函数关系
1. 是一一对应的确定关系
2. 设有两个变量 x 和 y ，变 量 y 随变量 x 一起变化， 并完全依赖于 x ，当变量 x 取某个数值时， y 依确定的 关系取相应的值，则称 y 是 x 的函数，记为 y = f (x)，其中 x 称为自变量， y 称为因变量
1.分析的内容不同； 2.变量的地位不同； 3.变量的性质不同。
回归分析和相关分析的联系
1.研究对象相同——具有相关关系的现象 2.在应用时常常相互补充
相关分析和回归分析又称为相关关系分析或相 关分析。
•第二节 相关分析
一、相关关系的描述工具
• （一）相关表 • （二）相关图 • （三）相关系数
程称为回归方程 ❖ 一元线性回归方程的形式如下
E( y ) = b0+ b1 x
▪ 方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程 ▪ b0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值 ▪ b1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个
• b0 和 b1 称为模型的参数 • y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项 • 线性部分反映了由于 x 的变化而引起的 y 的变
化
• 误差项 e 是随机变量
• 反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响
• 是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性
回归方程
❖ 描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方
不相关
二、相关系数
反映现象关系密切程度的指标； （一）计算公式：
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
（二）相关系数r的性质：
1.相关系数r的取值范围 –1≤r≤1。
2.若为正，则两变量呈正线性相关； 若为负，则两变量呈负线性相关。
3.如果r的绝对值为1，表示两个变量完全线性相 关（函数关系）； 如果，则r=0表示两个变量没有线性关系（不 能说明两个变量没有关系，因为有可能存在曲 线相关关系）