高一数学复合函数例题

第一篇、复合函数问题

一、复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.

二、复合函数定义域问题：

（一）例题剖析：

(1)、已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域

例1. 设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。 解析：函数f u ()的定义域为（0，1）即u ∈()01，，所以f 的作用范围为（0，1） 又f 对lnx 作用，作用范围不变，所以01<

解得x e ∈()1，，故函数f x (ln )的定义域为（1，e ）

例2. 若函数f x x ()=

+11

，则函数[]f f x ()的定义域为______________。 解析：先求f 的作用范围，由f x x ()=+11，知x ≠-1 即f 的作用范围为{}x R x ∈≠-|1，又f 对f(x)作用

所以f x R f x ()()∈≠-且1，即[]f f x ()中x 应满足x f x ≠-≠-⎧⎨⎩11

() 即x x ≠-+≠-⎧⎨⎪⎩⎪111

1，解得x x ≠-≠-12且 故函数[]f f x ()的定义域为{}x R x x ∈≠-≠-|12且

（2）、已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域

例3. 已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。 解析：f x ()32-的定义域为[]-12，，即[]x ∈-12，，由此得[]3215-∈-x ， 所以f 的作用范围为[]-15，，又f 对x 作用，作用范围不变，所以[]x ∈-15， 即函数f x ()的定义域为[]

-15， 例4. 已知f x x x ()lg 2

2

248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

解析：先求f 的作用范围，由f x x x ()lg 2

2248-=-，知x x 2

280-> 解得x 244->，f 的作用范围为()4，+∞，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x ∈+∞()4，，即f x ()的定义域为()4，+∞

（3）、已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域

思路：设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得g x E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

例5. 若函数f x ()2的定义域为[]

-11，，则f x (log )2的定义域为____________。 解析：f x ()2的定义域为[]-11，，即[]x ∈-11，，由此得2122x ∈⎡⎣⎢⎤

⎦⎥， f 的作用范围为122，⎡⎣⎢⎤⎦

⎥ 又f 对log 2x 作用，所以log 2122x ∈⎡⎣⎢⎤⎦

⎥，，解得[]x ∈24， 即f x (log )2的定义域为[]

24， 三、复合函数单调性问题

（1）引理证明

已知函数))((x g f y =.若)(x g u =在区间b a ,( ）上是减函数，其值域为(c ，d)，又函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数))((x g f y =在区间b a ,( ）上是增函数.

证明：在区间b a ,(）内任取两个数21,x x ，使b x x a <<<21

因为)(x g u =在区间b a ,(）上是减函数，所以)()(21x g x g >,记)(11x g u =, )(22x g u =即),(,21,21d c u u u u ∈>且

因为函数)(u f y =在区间(c,d)上是减函数，所以)()(21u f u f <,即

))(())((21x g f x g f <，

故函数))((x g f y =在区间b a ,(）上是增函数.

（2）．复合函数单调性的判断

复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：

以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.

（3）、复合函数))((x g f y =的单调性判断步骤：

ⅰ 确定函数的定义域；

ⅱ 将复合函数分解成两个简单函数：)(u f y =与)(x g u =。

ⅲ 分别确定分解成的两个函数的单调性；

ⅳ 若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为增函数； 若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数))((x g f y =为减函数。

（4）例题演练

例1、 求函数)32(log 2

2

1--=x x y 的单调区间，并用单调定义给予证明 解：定义域 130322

-<>⇒>--x x x x 或

单调减区间是),3(+∞ 设2121),3(,x x x x <+∞∈且 则 )32(log 121211--=x x y )32(log 222212--=x x y

---)32(121x x )32(222--x x =)2)((1212-+-x x x x

∵312>>x x ∴012>-x x 0212>-+x x

∴)32(121--x x >)32(222--x x 又底数12

10<<

∴012<-y y 即 12y y <

∴y 在),3(+∞上是减函数 同理可证：y 在)1,(--∞上是增函数