参数反演的若干预备知识

参数反演的若干预备知识

反问题及其求解的基本方法

“反问题”这一术语，在不同的文献中有其不同的含义，其定义在不同的领域中各有侧重，例如hvDnhM给出微分方程反问题的定义是“微分方程反问题是指从微分方程的解的某些泛函去确定微分方程的系数或右端项”．M毗huk把反问题分为两类，第一类是确定过程的过去状态，例如，已知物体当前的温度去确定初始的温度分布；第二类是借助解的某些泛函，去识别具有已知结构

的算子的系数，例如在SNMbWv5b方程中根据谱函数的性质

去确定二阶微分方程的系数．siMman用工程的术语将反问题分

为四类，即综合、控制、识别与连接输入、系统参数识别．刘家磅

把微分方程反问题分为：待定微分方程的未知系数反演——算子

识别；待定初始条件的反问题——逆时间过程反问题3待定边界

条件的反问题——边界控制反问题；待定边界形态的反问题——

几何反问题；待定右端项的反问题——寻源反问题．

地震勘探反问题主要有反榴积与子波的提取，伪速度、伪密

度、伪速度测井，地震偏移、地震层析成像、Avo、基于波动方活

的介质参数反演等．若按地震过程基本假设，地震勘探反演方法

大致可分为两类：一类是按地震记录等于反射系数和子波招积艾

前提派生出来的反演方法，这类方法有广义逆反演，最大似然这

反演，最小平方反演．BG反演法，广义线性反演和线性规划反演

等；第二类是建立在波动理论基础上的反演方法，这类方法有

Ceyand—bYJ咖散射反演，特征线法，分布参数反演方法，地震

体波cT反演，广义脉冲谱法，D旷WK阑反演方法等等．

目前求解一维反问题的基本方法主要有以下几种：

直接离散求逆法，该方法是根据层状介质的响应逐层求反射

系数．再由反射系数计算出各层的阻抗值．

连续达代法，该方法的基本思想和所求参数与前一种方法是

一致的，所不同的只是在推导过程中使用的是连续函数．而不是

离散数列．其优点是可得到较高的计算精度，但计算工作量较

大．

特征线法，该方法是将波场分解为。亡行波与下行波，并沿波

动方程的特征线将其离散，通过引入上、下行被的关系可求得反

射系数，再由被阻抗与反射系数的关系计算出各层的波阻抗值．

特征线法的优点在于可不必假定入射波为脉冲，可以是任意于

被，而且计算效率高．

脉冲谱方法，是在牛顿迭代法的基础上发展起来的一种解反

问题的达代求解方法，它是将波动方程作FoM贞龄或IjPhce变换，

在频率域得到关于介质参数的变化旦，用以修正介质参数，进行

迭代求解直至满足反问题附加的补充条件．其优点是对介质无须

做任何假定，故适用性较高．

最优控制法，该方法是通过最优控制理论(在时域或频域上)

求取地层的波阻抗分布，与实际地层记录拟合最好的合成理论记

录所用的阻抗分布即为所求的结果。其优点是能够得到穆定的结

果，但计算效率低．

另外还有应用反问题中的补充条件对所求介质参数梯度的求法，选取正则参数与确定正则泛函，将非线性的反问题化为一系

列线性问题来迭代求解的所谓梯度正则化方法，以及为解决全局

最伏而提出的MM扩carlo搜索法等．

求解二维和三级地震反问题的基本方法主要有摄动法、反散

射法和最优控制法等．

摄动法是在微扰动下将非线性问题化为微扰的线性问题来处

理的一种方法．这种方法用于叠后地震记录求解反问题时，是假

定介质参数在一个固定常数(称之为背景参数)的基础上有微小的

变化，地震反射被是由这些微小变化引起的，在假定背景参数为

已知时，可以估算出介质参数的变化旦．若用于叠前地展记录，

此时是利用叠前两种炮检距的地震数据，求出介质的密度和体积

模量的变化量，在将非线性算于线性化时，主要用Bom近似和

B加近似，而基本解常采用wxBJ法来近似，即所谓的bm—

wKBJ线性化反演方法．

反散射方法是把量子力学反散射的原理用于求取介质速度或

速度摄动量的方法，通过把波动方程化为肋d4血印r方程的形式，从而把量子反散射的方法用于地层助探反问题．

最优控制方法，亦可称之为非线性反面方法，其基本思想是

根据最小二乘准则，从目标泛函中导出模型参数的梯应公式，再

利用梯度法或共9B梯度法来实现非线性迭代反演．

有关解反问题及其解的定义等可参见参考文献13]

2泛函分析提要

没又是由某些元素组成的一个集合．如果对于其中的任意两

个元素*和7，定义了一个非负实数P(“，7)，它满足距离

理：

(1)恒等公理：P(：，7)＝o，当且仅当“＝yI

(2)对称公理：P(x，7)：P(yI“)；

(3)三角公理：P(s，7)，P(7，，))P(x，z)，

则称又为距离空间．X中的元素，也称为“点”．

设距离空间x的点列为12D 6，若当n—M时，P(Xo，M)，0，则称‘为点列XD的极限．x中的点列最多只能收敛于一个点“．类似于欧氏空间情形，可将点集论中的开集、闭集、聚点及稠密

等一系列概念搬到距离空间中来．

如果距离空间中的所有点依队ky收敛准则都收敛于本空

间的点，则称此距离空间为完备的．

对于距离空间X中的集合dy，如果射中任一无穷子集都含

有一个子序列，则称册为列紧的．若44中所有收敛序列的极限

都属于肘，则称6f是自列紧的．若空间又是自列紧的，则叫做列紧空间‘

设又是菜元素的集合，火是复(或实)数域

立，便称Z为一复(或实)线性空间：

(1)定义了f中元素之间的加法运算，构成加法群(满足交

换律、结合律及存在零元素与逆元素)；