3.3 线性方程组解的判定
线性方程组的解的判定
R(C) R(CT ) R(BT MCT ) R(BT ) R(B)
k
- 2 1 0
3 0 2
(k R).
有关矩阵秩的重要结论：
(1) 0 R( Amn ) minm, n
(2) 设矩阵Amn , 若 R( A) s 则存在可逆矩阵P,Q
使得
PAQ
Es o
o
o
即矩阵A可以经过初等变换化为
Es o
o
o
形式。
(3) 若 P,Q 都可逆，则 R( A) R(PA) R( AQ) R(PAQ)
1 - 1 0 - 1 1 2 ~ 0 0 1 - 2 1 2.
0 0 0 0 0
由于RA RB 2, 故方程组有解，且有
x1 x2 x4 1 2
x1 x3
x2 x4 1 2x4 1 2
2
x2 x3
x2 0 x4 0x2 2x4
1
2
x4 0 x2 x4
x2 a2 a3 a4 x5 x3 a3 a4 x5
x4 a4 x5
x5为任意实数 .
定理3 矩阵方程AX B有解的充要条件是
R( A) R( AMB) 证：设 Ams X sn Bmn , 对X、B按列分块，得
X ( X1, X 2 ,L X n ), B (b1,b2 ,L bn ), 则AX B等价于A( X1, X2,L Xn ) (b1,b2,L bn )
(2)当p 2时,有
1 1 2 3 1 1 1 2 3 1
B
~
0 0
1 0
2 0
-1 2
1 4
~
0 0
1 0
2 0
线性代数与概率论第3线性方程组
5 4
即方程组 的解为：
x1
1 4
,
x2
23 4
,
x3
5 4
【例2】解线性方程组：2x1x1 3xx22
5x3
0, 5,
x1 x2 4x3 3,
4x1 5x2 7x3 6.
4
2
0 0 1 3 1
0 0 0
1
0
1 0 0 0 1
0
1
0
0
2
0 0 1 0 1
0
0
0
1
0
于是得原方程组唯一的一组解：
x1=1，x2=2，x3=-1，x4=0. 根据第2章中利用初等行变换求矩阵的秩的 结论，上例中r(A）=r(B）=4，此组有解， 且有唯一解.显然，若r(A）<r(B)，则该线性 方程组无解
第三步，写出所得矩阵对应的方程组，再 整理出方程组的一般解。
实际上，第二步和求逆矩阵的第三步类似。
1、线性方程组AX = b的解的情况归纳如下：
(1.1)AX = b有唯一解 秩(A) 秩(A) n (1.2)AX = b有无穷多解 秩(A) 秩(A) n (1.3)AX = b无解 秩(A) 秩(A)
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
的一组解。称为0解，或平凡解。否则称为 非零解。
方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x1 c1, x2 c2,, xn cn. 也可记为：（c1, c2,, cn）
注意： 方程组的解可能有惟一解，也可能
3.4 线性方程组的解(教案)
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
解法1 对增广矩阵无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
33线性方程组解判定
3.3 线性方程组解的判定在上一节中,我们利用实例讨论了线性方程组解的各种情况,分析以上解方程组的过程,可以得到用消元法解线性方程组的一般步骤：写出线性方程组（1）的增广矩阵.（一）设,否则,将的第1行与另一行交换,使第一行第一列的元素不为0.(二) 第一行乘以()再加到第行上(),使化成如下形式对这个矩阵的第二行到第行,再按以上步骤进行,最后可以得到如下形状的阶梯型矩阵其中注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶梯型矩阵.容易看出, 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间的关系,确定方程组有解的充分条件.方程组(1)相应的阶梯型方程组为（2）其中从上节讨论可知,方程组(2)与原方程组(1)是同解方程组.由(2)可见,化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解.我们只需讨论阶梯型方程组(2)的解的各种情形,便可知道原方程组(1)的解的情形.根据初等变换不改变矩阵秩的性质,有显然,当方程组(2)中,,则(2)中的第个方程“”是矛盾方程，所以方程组(2)无解，从而原方程组(1)也无解.如果方程组(2)中,又有以下两种情况：1.当时，方程组（2）可以写成（3）因为，则满足：依据克莱姆法则，方程组有唯一解.对于上述等价方程组（3）的解，除了利用克莱姆法则求解外，我们还可以从方程组(3)的最后一个方程中解出,再回代到第个方程,求出.如此继续下去,则可求出未知量.(2)当时,方程组(2)可改写成(4)同样对它进行回代过程,则可求出含有个未知量的表达式(5)由此可见,任给个未知量的一组值,就可定出的值,从而得到(4)或(1)的一个解.如果取,其中为任意常数,则方程组(4)有如下无穷多组解：（6）这是（4）的无穷多解的一般形式，也是（1）的无穷多解的一般形式. 个未知量可称为自由未知量.以上解还可以表达为向量形式：=+++(5) 也称(5)式为方程组(1)的解向量.综上所述,可得线性方程组解的判定理论.定理1以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,则。
线性方程组的解的 判定
线性方程组的解的判定
线性方程组的解的判定，是指对线性方程组的解进行判定，以确定其是否有解、是唯一解或者无解。
下面就来详细介绍线性方程组解的判定。
首先，我们来看一下线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程组成的集合，并且每一个方程中变量的指数为1。
例如：2x + 3y = 5, 4x - 6y = 12.
对于线性方程组的解的判定，有三种常用的方法：
1. 通解法：通解法是求解线性方程组的一种常用方法，即令原方程组的所有方程式左端相加，右端相减，得到一个新的等式。
然后再将此等式化为标准形式，即将所有变量的系数变为正数，最后将方程组解为一个共同的标准型，从而得出线性方程组的解。
2. 秩的判定法：秩的判定法是根据矩阵的秩来判断线性方程组的解。
可以将线性方程组转换为矩阵形式，计算出矩阵的秩，然后根据矩阵的秩来判断线性方程组是否有解。
3. 间接判定法：间接判定法是一种在解线性方程组时，对方程组的解进行判定的一种方法。
这种方法既不求解方程组，也不求矩阵的秩，而是计算出方程组的系数矩阵的行列式，根据行列式的值来判定方程组是否有解，这
种方法的优点是求解简单易懂，但是缺点是计算量大，无法直接判断方程组是否有唯一解。
以上就是线性方程组解的判定的详细介绍，它是一种重要的数学解决问题的方法，可以有效地判定线性方程组的解是否有解，是唯一解或者无解，从而给出解决问题的有效方案。
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解
3.向量组的线性相关性与线性方程组的解§3.1 线性方程组解的判定1.定理3.1:n 元线性方程组AX=b ，其中A=(a 12a 12a 1n a 21a 22a 2na m1a m2a mn),x=( x 1x 2??x n ) ,b=( b 1b 2??b m )(1)无解的充要条件是R(A)＜R(A,b)；(2)有惟一解的充要条件是R(A)=R(A,b)=n ，(3)有无穷多解的充要条件是R(A)=R(A,b)＜n.注：(1)R(A,b)先化为行阶梯形，判别。
有解时再化为行最简形求解。
(2)R(A)=m 时，AX=b 有解。
(3)R(A)=r 时，有n-r 个自由未知量，未必是后面n-r 个。
2.定理3.2:n 元线性方程组AX=0(1)有惟一解（只有零解）的充要条件是R(A)=n ； (2)有无穷多解(有非零解)充要条件是R(A)＜n .注：(1)m ＜n,AX=0必有非零解。
3.定理3.3:矩阵方程AX=B 有解的充要条件是R(A)=R(A,B) 求解线性方程组例1. {4x 1+2x 2?x 3=23x 1?x 2+2x 3 =1011x 1+3x 2 =8例2. {2x 1+x 2?x 3+x 4 =14x 1+2x 2?2x 3+x 4=22x 1+x 2 ?x 3?x 4 =1例3. 求解齐次线性方程组{3x 1+ 4x 2?5x 3+ 7x 4 =02x 1?3x 2+3x 3? 2x 4 =04x 1+11x 2?13x 3+16x 4=07x 1?2x 2+ x 3+ 3x 4 =0例4.写出一个以X=C 1(2?310)+C 2(?2401)为通解的齐次线性方程组。
例5（每年）.（1）λ取何值时，非齐次线性方程组{ λx 1+x 2+x 3=1x 1+λx 2+x 3=λx 1+x 2+λx 3=λ2（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并在有无穷多组解时求出通解.（2）非齐次线性方程组{x 1+x 2+2x 3=02x 1+x 2+ax 3=13x 1+2x 2+4x 3=b当a,b 取何值时，（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷多组解？并求出通解.例5(12/13学年).设A=(λ110λ?1011λ), b=(a11),已知Ax=b 存在两个不同的解：(1)求λ,a;(2)求Ax=b 的通解。
线性方程组的解的性质与判定
线性方程组解的性质与判定在控制系统中的应用，可以用于分析系统的稳定性。 通过线性方程组解的性质与判定，可以确定控制系统的响应时间，优化控制效果。 在控制工程中，线性方程组解的性质与判定可以用于设计控制器，提高系统的性能指标。 在处理复杂控制系统时，线性方程组解的性质与判定能够提供有效的解决方案，简化计算过程。
逻辑回归模型：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳分类边界，实现分类任务。
支持向量机：利用线性方程组解的性质与判定，找到支持向量，实现分类和回归任务。
决策树和随机森林：通过线性方程组解的判定条件，确定最佳划分标准，构建决策树和随机 森林模型。
PART FOUR
线性方程组解的性质与判定的研究历史 当前研究的主要方向和重点 近年来的重要研究成果和突破 未来研究展望和挑战
近年来的研究热 点和重点
在各个领域的应 用情况
未来研究的发展 趋势和展望
深入研究线性方程组解的性质与判定的关系，为实际应用提供更准确的数学模型。 探索更高效的算法和计算方法，提高线性方程组求解的效率和精度。 结合人工智能和大数据技术，对大规模线性方程组进行高效求解和优化。 拓展线性方程组解的性质与判定的应用领域，如物理、工程、经济等领域。
汇报人：XX
线性方程组解的 性质与判定可用 于数据清洗，识 别异常值和缺失 值。
在数据分析中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于确定数据分布 和趋势。
在机器学习中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于特征选择和降 维处理。
在数据预测中， 线性方程组解的 性质与判定可用 于建立预测模型 和优化算法。
线性回归模型：利用线性方程组解的性质与判定，确定最佳拟合直线，提高预测精度。
02
注意事项：在使用系数矩阵判定法时，需要注意 计算秩的正确性和准确性，以避免误判。
3-3线性代数
1 2 3 1 1 r2 3r1 1 2 3 1 1 r3 2r1 B = 3 1 5 3 2 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r3 r2 0 0 4 0 1 2 5 0
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x2 x3 + x4 = 0 . x1 x2 + x3 3 x4 = 1 x x 2x + 3x = 1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1 1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
x1 1 0 1 2 x2 0 0 1 x = c1 0 + c2 2 + 1 2 . (c1 , c2 ∈ R ) 3 0 1 0 x 4
例4 解非齐次线性方程组
2 x1 + 4 x2 x3 = 7, 2 x2 2 x3 = 2, x + 2 x x = 2. 2 3 1
且 1 0 B~ 0 0 1 1 0 0 2 3 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 3 1 2 0 0
与原方程组同解的方程 组为
x1 = 8, x 2 + 2 x 3 = 3, x = 2, 4
(c1 , c2 ∈ R)
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 2 x2 + 3 x3 x4 = 1, 3 x1 x2 + 5 x3 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x 2 x = 3. 1 2 3 4 解 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定
线性方程组解的判定是一个重要的数学问题，它涉及到对一组未知量的求解。
解的判定问题的主要内容如下：
1. 系数矩阵存在不等式：在求解线性方程组时，首先要判断系数矩阵是否存在不等式，即是否存在元素值为负的情况：若存在，则解不存在；如果全部元素值都不为负，则判定解存在。
2. 是否存在无穷解：通常情况下，一个线性方程组只有唯一解，即只有一组解。
但也有可能存在无穷多解，即系数矩阵存在元素值全为0，此时解可以是任意一组数，因此可以判定存在无穷解。
3. 闭解的确定：当系数矩阵存在不等式或存在元素值全为0时，可以判定存在无穷解；当系数矩阵存在唯一解时，需要通过计算、符号识别和几何意义的结合，来确定具体的闭解。
4. 压缩可行性：压缩可行性判定法是指将求解所求出来的解，压缩在基本解所构成的空间上，以便表达出更复杂的结果。
5. 方程式系数：也可以通过方程式系数的分析，来判定方程组的解的存在与否，这是一种常用的判定方法。
从上述内容可以看到，线性方程组解的判定是一个复杂的数学问题，要想判断线性方程组的解的存在性，需要结合不等式判定、无穷解判定、压缩可行性判定以及方程式系数等步骤，一步步进行判断，才能正确地确定某个线性方程组的解的存在性。
1线性代数 3.3线性方程组的解
x1 x2 x3 x4 0,
例4
求解方程组
x1 x2 x3 3 x4 1,
x1 x2 2 x3 3 x4 1 2.
解 对增广矩阵B施行初等行变换:
1 1 1 1 0 B 1 1 1 3 1
1 1 2 3 1 2
~
1 0
1 0
0 1
1 2
1 2 1 2,
c1
br
1
r1 1
br
2
r2 0
n
br ,n 0
r
cr
r1
0
1
0
r
2
0
0
1 n
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 b11 xr1 b1,nr xn
x
r
br1 xr1
br ,nr xn
3 x3 3 x3
5 x4 2 x4
5x5 0 x5 0
3 x1 x2 5 x3 6 x4 7 x5 0
解 对系数矩阵施 行初等行变换
1 1 1 4 3
A
2 1
1 1
3 3
5 2
5 1
3 1 5 6 7
1 1 1 4 3 1 1 1 4 3
~
0 0
1 2
1 2
若至少有一个bi 0(i 1, 2, , m), 则称方程组(3.3)为非齐次线性方程组;
能使每个方程变为恒等式的n个数 x1, x2 , xn 称为
方程组的解.
至少有一个解的方程组称为相容的. 如果方程组没有解,就称这个方程组不相容.
具有惟一解的方程组称为确定方程组. 具有多于一个解的方程组称为不定方程组.
线性方程组解的判定与解的结构
***学院数学分析课程论文线性方程组解的判定与解的结构院系数学与统计学院专业数学与应用数学（师范）姓名*******年级 2009级学号200906034***指导教师 ** 2011年6月线性方程组解的判定与解的结构姓名******（重庆三峡学院数学与计算机科学学院09级数本？班）摘 要：线性方程组是否有解，用系数矩阵和增广矩阵的秩来刻画．在方程组有解且有 多个解的情况下，解的结构就是了解解与解之间的关系． 关键词：矩阵； 秩； 线性方程组； 解引言通过系数矩阵和增广矩阵的秩是否相同来给出判定线性方程组的解的判别条件．在了解了线性方程组的判别条件之后，我们进一步讨论解的结构．对于齐次线性方程组，解的线性组合还是方程组的解．在线性方程组有无穷个解时可用有限多个解表示出来．另外以下还涉及到线性方程组通解的表达方式．1 基本性质下面我们分析一个线性方程组的问题，导出线性方程组有解的判别条件． 对于线性方程组11112211211222221122n n n n s s sn n sa x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ (1)引入向量112111s αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，122222s αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，…12n n nsn αααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦，12s b b b β⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦ 方程（1）可以表示为1122n n x x x αααβ++⋅⋅⋅+=性质 线性方程组⑴有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组α1,α2,…，αn 的线性组合.定理1 线性方程组⑴有解的充分必要条件为它的系数矩阵111212122212n n s s sn a a a a a a A a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭与增广矩阵A =⎛⎝111212122212n ns s sna a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 12s b b b ⎫⎪⎪⎪⎪⎭有相同的秩.证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就说说，β可以经过向量组1α，2α，⋅⋅⋅nα线性表出．由此立即推出，向量组1α，2α，⋅⋅⋅n α与向量组1α，2α，⋅⋅⋅n α，β等价，因而有相同的秩，这两个向量组分别是矩阵A 与A 的列向量组．因此矩阵A 与A 有相同的秩． 再证充分性，设矩阵A 与A 有相同的秩，就是说，它们的列向量1α，2α，⋅⋅⋅n α与1α，2α，⋅⋅⋅n α，β有相同的秩，令它们的秩为r. 1α，2α，⋅⋅⋅n α中的极大线性无关组是由r个向量组成，无妨设1α，2α，⋅⋅⋅r α是它的一个极大线性无关组．显然1α，2α，⋅⋅⋅r α也是向量组1α，2α，⋅⋅⋅n α，β的一个极大线性无关组，因此向量β可以经1α，2α，⋅⋅⋅r α线性表出，既然β可以经1α，2α，⋅⋅⋅r α线性表出，当然它可以经1α，2α，⋅⋅⋅n α线性表出．因此，方程组（1）有解．证毕定理2 对于线性方程组⑴，若()()R A R A r ==，则当r= n 时，有唯一解；当r< n 时,有无穷多解.证明 设D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式（当然它也是A 的一个不为零的子式），为了方便起见，不妨设D 位于A 的左上角.显然， A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第r +1，…，s 行都可以经它们线性表出.因此，方程组⑴与11112211211222221122n n n n r r rn n ra x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ (2)同解.当r =n 时，由克兰姆法则，方程组(2)有唯一解，即方程组⑴有唯一解.当r ﹤n 时，将方程组(2)改写为111122111,111211222222,1121122,11r r r r n n r r r r n nr r rr r r r r r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎧⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎩（3）(3)作为12,r x x x ⋅⋅⋅的一个方程组，它的系数行列式D≠0.由克兰姆法则，对于12,r x x x ⋅⋅⋅的任意一组值，方程组(3),也就是方程组⑴,都有唯一的解.由于自由未知量12,r x x x ⋅⋅⋅可任意取值，所以方程组（1）有无穷多个解． 证毕在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步探讨线性方程组解的结构．所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题．上面我们提到，n 元线性方程组的解是n 维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些问题之间有什么关系呢?我们先看齐次方程组的情形．设111122121122221122000n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （4）是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面两个重要性质:性质1 两个解的和还是方程组的解．设()12,,,n k k k ⋅⋅⋅与()12,,,n l l l ⋅⋅⋅是方程组（4）的两个解．这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式，即10nij jj a k==∑ （i=1,2,...,s ）， 10nij jj a l==∑ （i=1,2,...,s ）， 把两个就解的和()1122,,,n n k l k l k l ++⋅⋅⋅+（5）代入方程组，得11()00n nijjijjj j a ck c a kc ====⋅=∑∑ （i=1,2,...,s ）这说明（5）也是方程组的解． 证毕性质2 一个解的倍数还是方程组的解．设()12,,,n k k k ⋅⋅⋅是（4）的一个解，不难看出()12,,,n ck ck ck ⋅⋅⋅还是方程组的解，因为11()00n nijjijjj j a ck c a kc ====⋅=∑∑ （i=1,2,...,s ）由性质1和性质2得：性质3 方程组（4）的解的任一线性组合还是（4）的解．2 基础解系定义 齐次线性方程组（4）的一组解，若满足 1) 12,,,r ηηη⋅⋅⋅线性无关；2)（4）的任一解可由12,,,r ηηη⋅⋅⋅线性表出． 则称12,,,r ηηη⋅⋅⋅为（4）的一个基础解系．3 基础解系的存在性定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于n r -，其中)(A R r =()r R A =．证：若()R A r n =<，不防设1112121222120r r r r rra a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≠⋅⋅⋅⋅⋅⋅2，则方程组（4）与方程组11112211,11121122222,1121122,11r r r r n n r r r r n nr r rr r r r r rn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎧⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=--⋅⋅⋅-⎩（6） 同解,用n r -组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量11(,,,)r r n x x x ++⋯⋯，就得到（6）的解，也就是（4）的n r -个解()()()111121221222,1,2,,,,,1,0,,0,,,,0,1,,0,,,,0,0,,1r r n rn r n r n r r c c c c c c c cc ηηη----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎧⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎩则12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅为方程组(4)的一个基础解系. ⅰ) 12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅线性无关事实上，若11220n r n r k k k ηηη--+⋅⋅⋅+=，即1122n r n r k k k ηηη--+⋅⋅⋅+=()()12*,,*,,,,0,,0,0,0,,0n r k k k -⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅比较最后n r -个分量，得 120n r k k k -==⋅⋅⋅==. 因此, 12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅线性无关.ⅱ) 任取方程组（4）的一个解()12,,,n c c c η=⋅⋅⋅，η可由12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅线性表出． 事实上，由12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅是方程组（4）的解知：1122r r n n r c c c ηηη++-+⋅⋅⋅+也为（4）的解，又1122r r n n r c c c ηηη++-+⋅⋅⋅+=（n r c c ,,,*,*,1 +）它与η的最后n r -个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为 同一个解，即11r n n r c c ηηη+-=++……．由ⅰ) ⅱ)知，12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅为（4）的一个基础解系． 证毕推论 任一与方程组（4）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（4）的基础解系．证明：12,,,t ηηη⋅⋅⋅为（4）的一个基础解系，12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关，且与12,,,t ηηη⋅⋅⋅等价，则s t =，且i α可由12,,,t ηηη⋅⋅⋅线性表出，即i α也为（4）的解向量．任取方程组（4）的一个解向量η，则η可由12,,,t ηηη⋅⋅⋅线性表出，从而η可由12,,,t ααα⋅⋅⋅线性表出．又12,,,t ααα⋅⋅⋅线性无关，所以12,,,t ααα⋅⋅⋅也是基础解系． 证毕4 基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的n r -个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余n r -个未知量移到等式右端，再令右端n r -个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到n r -个解向量12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅，这n r -个解向量12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅构成了方程组的基础解系. 方程组（4）的任一解即通解可表为 1112,,,,t k k k k k P ηηη=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅∈例1 求齐次线性方程组1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-+-=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩ 的一个基础解系．解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：1103111031112100222142634000312424700000----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 于是r 3)(=A ，基础解系中有-n r=5-3=2个向量． ＂于是()3r A =，基础解系中有532n r -=-=个向量．＂ 阶梯形矩阵所对应的方程组为124523454530222030x x x x x x x x x x +--=⎧⎪---=⎨⎪-=⎩ 移项，得1245245534532223x x x x x x x x x x x+-=⎧⎪-=+⎨⎪=⎩ 取351,0x x ==，得一个解向量 1(1,1,1,0,0)η=-； 取350,1x x ==，得另一解向量2751(,,0,,1)663η=.取351,0x x ==得一个解向量1(1,1,1,0,0)η=-； 取350,1x x ==得一个解向量1751(,,0,,1)663η=．12,ηη即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为)(212221P k k k k ∈+ηη对于非齐次线性方程组解11112211211222221122n n n n r r rn n ra x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （7）令0,1,,i i s ==⋅⋅⋅,得111122121122221122000n n n ns s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩ （8） 称（8）为（7）的导出组．5 解的性质性质1 设12,ξξ为方程组（7）的两个解，则12ξξ-为其导出组（8） 的解．证明 ()112,,,n k k k ξ=⋅⋅⋅，()212,,,n l l l ξ=⋅⋅⋅是方程组（7）的两个 解，即11,, 1,2,...,nnij ji ij j i j j a kb a l b i s =====∑∑它们的差是12ξξ- ＝()1122,,,n n k l k l k l --⋅⋅⋅-， 显然有111()0, 1,2,...,nn nij jj ij j ij j i i j j j a kl a k a l b b i s ===-=-=-==∑∑∑即12ξξ-=()1122,,,n n k l k l k l --⋅⋅⋅-是导出组(8)的一个解. 证毕性质2 设ξ为方程组（7）的一个解，η为其导出组（8）的解，则ξη+仍为方程组（7）的解．证明 设ξ=()12,,,n k k k ⋅⋅⋅是方程组(7)的一个解，即1(1,2,)nij ji j a kb i s ===⋅⋅⋅∑又设η=()12,,,n l l l ⋅⋅⋅是导出组(8)的一个解, 即10(1,2,)nij jj a li s ===⋅⋅⋅∑显然111()0(1,2,)nnnij jj ij j ij j i i j j j a kl a k a l b b i s ===+=+=+==⋅⋅⋅∑∑∑．证毕6 解的结构定理 若0γ为（7）的一个特解，则方程组（7）的任一解γ皆可表成0γγη=+，其中η为其导出组（8）的一个解.从而有：方程组（7）的一般解为011n r n r k k γγηη--=++⋅⋅⋅+其中0γ为（7）的一个特解，12,,,n r ηηη-⋅⋅⋅为导出组（8）的一个基础解系．证明 显然00()γγγγ=+-,有性质１知，0γγ-是导出组(4)的一个解，令0γγη-=,则 0γγη=+.证毕推论 方程组（7）在有解的条件下，有唯一解⇔（7）的导出组（8）只有零解．7 求非齐次线性方程组（7）的一般解的步骤1）求出其导出组的基础解系12,,,t ηηη⋅⋅⋅ 2）求出其一个特解0γ3）方程组（7）的一般解为011t t k k γγηη=++⋅⋅⋅+． 例２ 求解方程组1234123412340311232x x x x x x x x x x x x ⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩ 解：221323112.0.5111101111011011/2111310024100021/211231/200121/200000r r r r r r r r r A -+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--−−−→-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭可见()()R A R A =，方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩取240x x ==，则131/2x x == ，即得原方程组的一个特解0(1/2,0,1/2,0)γ=0(12,0,12,0)γ=．下面求导出组的基础解系： 导出组与 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩同解．取241,0x x ==，得1(1,1,0,0)η=； 取240,1x x ==，得2(1,0,2,1)η=． 于是原方程组的通解为0112212,(,)k k k k R γγηη=++∈．参考文献1 北京大学数学系几何与代数小组教研室.高等代数（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，19642 同济大学数学教研室编.线性代数[M].第三版,北京：高等教育出版社,19993 谢帮杰.线性代数[M].北京:人民教育出版社，1978.4 北京大学力学系．高等代数[M]．北京：人民教育出版社，19795 邓建中,刘之行．计算方法[M].西安：西安交通大学出版社,20016 赵德修, 孙清华．线性代数题解精选[M]．武汉：华中科技大学出版社，2001The Determinant and Structure of Solution ofLinear equationsXingming ****(Class one of Grand 2009, Mathematics and Application Mathematics, College of Maths and Computering Science, Chongqing Three Goreges University )Abstract：Making use of the rank of coefficient matrix and augmented matrix to judge the solution of linear equations. The equations have to solve and a number of cases, the solution of the structure is to understand the relationship between work and solutions.Keywords：matrix; rank ; linear equations; solvement10。
线性方程组解情况判定PPT课件
解空间的性质
解空间是一个向量空间， 具有加法和数乘封闭性。
02
线性方程组解的判定定理
唯一解的判定定理
总结词
当线性方程组的系数矩阵的行列式不为0时，方程组有唯一解。
详细描述
当系数矩阵的行列式不为0时，说明方程组中的方程是线性独立的，即方程组中 的每一个方程都能独立决定一个未知数的值，因此方程组有唯一解。
未知数
需要求解的变量。
线性方程组的解
01
02
03
解的定义
满足所有方程未知数的值 称为解。
解的存在性
对于给定的线性方程组， 可能存在多个解、无解或 无穷多个解。
解的唯一性
如果一个线性方程组有唯 一解，则该解是唯一的。
线性方程组的解空间
解空间的定义
所有解构成的空间称为解 空间。
解空间的维度
解空间的维度等于未知数 的数量。
物理问题中的线性方程组通常比较复杂，需要运用数学工具 和物理知识进行求解。通过求解这些线性方程组，可以深入 理解物理现象的本质和规律。
经济问题中的线性方程组
在经济学中，线性方程组也被广泛应用于各种问题的分析 和求解。例如，在市场分析、生产计划、财政预算等领域 ，线性方程组被用来描述经济关系和规律。
实际应用
在实际问题中，线性方程组广泛应 用于物理、工程、经济等领域，解 的判定对于解决实际问题具有指导 意义。
算法设计与优化
解的判定问题涉及到算法设计与优 化，对于提高计算效率和精度具有 重要意义。
未来研究方向
高维空间
计算复杂性
目前对于高维空间中线性方程组的解 判定研究尚不充分，未来可以加强这 方面的研究。
详细描述
矩阵的逆和行列式在判断线性方程组解的情 况中具有重要作用。通过计算系数矩阵的行 列式和逆，可以判断方程组的解的情况。当 系数行列式不为0时，方程组有唯一解；当 系数行列式为0时，需要进一步分析以确定 解的情况。此外，利用行列式的性质可以简
3.3 线性方程组的消元解法
x1 -2x2+4x3 = 3
2xx22++52xx33
= =
3 8
于是得到
x3=2， x2 =3-2x3 =-1， x1=3+2x2-4x3=-7。
方程组的解为
x1=x2=-
7 1。
x3= 2
—r3-—2r2
x1
-2x2+4x3 x2+2x3
= =
3 3，
x3 = 2 最新课件
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1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
10499
0 0
1 -1 -2 -2 0000
，
00000
R (A )=R (A ,b)=2 4 , 故方程组有无穷多解.
方程组的一般解为
x1 = 9 - 4x3 x2 =- 2 + x3
- 9x4 + 2x4
(x3, x4任意)
则方程组的通解为：
x1=- 9 - 4c1 - 9c2
x2=- 2 + c1 + 2c2
x3 =
c1 c1
x4 =
c2
(c1,c2 R)
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12
铃
例3．解线性方程组
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1 x2 + x3 - 4x4 = 1 。
x1 + 2x2 + 3x3 - x4 = 4 2x1 + 2x2 - x3 - x4 =- 6
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0, x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
）非齐次线性方程组（3.1）的矩阵表示形式为：AX = B其中A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，X = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21，B = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n b b b 21 称A 为方程组（3.1）的系数矩阵，X 为未知矩阵，B 为常数矩阵。
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
线性方程组的解
x1 x 2 xn
故方程组有唯一解, 故方程组有唯一解
= d1 , = d2 , M = dn ,
~ 3. 若R(A) =R(B)= r ＜n,则B中的 r+1= 0 中的d 则 中的 ~ 不出现),于是B对应的方程组 ),于是 对应的方程组B (或dr+1不出现),于是 对应的方程组
d1 d2 M dr d r +1 0 M 0
1. 若R(A)＜R(B), 则r+1行对应矛盾方程 行对应矛盾方程0=1, ＜ 行对应矛盾方程 故方程组无解. 故方程组无解 2. 若R(A) =R(B)= r = n,则B中的 r+1=0(或dr+1 中的d 则 ~中的 ( ~ 不出现), ),且 都不出现,于是B对应方程组 不出现),且bij都不出现,于是 对应方程组
由于参数c 可取任意值, 由于参数 1,···, cn-r可取任意值, 故方程组有 无限多个解.证毕. 无限多个解.证毕. 称为线性方程组的通解. 解(6)称为线性方程组的通解 称为线性方程组的通解
(6)
由定理4容易得出线性方程组理论中两个最 由定理 容易得出线性方程组理论中两个最 基本的定理: 基本的定理 定理5 定理5 n 元非齐次线性方程组 Am×n x = b 有解
的充分必要条件是系数 矩阵 A 的秩等于增广矩 阵 B = ( A, b ) 的秩.
定理6 定理 n 元齐次线性方程组 Am×n x = 0 有非零解
的充分必要条件是系数 矩阵的秩 R( A) < n.
下面把定理5推广到矩阵方程 下面把定理 推广到矩阵方程 定理7 矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是 定理 矩阵方程 有解的充分必要条件是 R(A) =R(A, B) . 矩阵, 矩阵, 证 设A为m×n矩阵 X为n×l矩阵 则B为m×l 为 × 矩阵 为 × 矩阵 为 × 矩阵. 按列分块, 矩阵 把X和B按列分块 记为 和 按列分块
线性方程组有解的判定定理
设 RA RB rr n,
则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行，
把这 r 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,
其余n - r个作为自由未知量,
并令 n - r个自由未知量全取0，
即可得方程组的一个解．
证毕
小结 RA RB n Ax b有唯一解
RA RB n Ax b有无穷多解.
-5 3 4
3
0 0 0 0
即得与原方程组同解的方程组
x1 x2
2 2
x3 x3
5
3 4
3
x4 x4
0, 0,
由此即得
x1 x2
2
x3
5 3
x4
,
-2
x3
-
4 3
x4
,
( x3 , x4 可任意取值).
令 x3 c1, x4 c2，把它写成通常的参数形式
x1
2c1
5 3
解 对增广矩阵B进行初等变换，
1 - 2 3 - 1 1 B 3 -1 5 - 3 2
2 1 2 - 2 3
1 - 2 3 - 1 1
0 5 - 4 0 -1
0 50 -04 0 12
显然，R( A) 2, R(B) 3, 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
c2 ,
x2
-2c1
-
4 3
c2 ,
x3 c1,
x4
c2
,
5
x1 x2 x3 x4
c1
2 -2 1 0
c2
3 -4
3 0
1
.
例２ 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
线性代数7.方程组解的判定、向量的线性运算
定义 n 个有次序的数 a1, a2, , an 所组成的数组称为n维向量， 这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n)
n维实向量
(1,3i,3 i)
3维复向量
n 维向量的表示方法
c2 ,
x3 c1,
x4 c2 ,
或：
x1 x2 x3 x4
5 2c1 3 c2
2c1
4 3
c2
c1
c2
5
c1
2 2 1
c2
3 4
3
.
0
0
1
例 求解非齐次线性方程组
x1 3 x1
2
x2 x23x3 5ຫໍສະໝຸດ 3x4 3 x4R A
R A,b
3
方程组有唯一解
1 1 2 4
当
-2 时，
A,b
r
0
3
3
6
0 0 0 3
R A 2
R
A,b
3
R A
R A,b
方程组无解
1 1 1
当
1 时， A,b
r
0
0
0
由等价方程组：
0 0 0
x1 x2
1
0
0
x3
R A 1
R
A,b
1
1.
R A
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 2
.
x1
x2
2x3
3x4
1
解 写出增广矩阵并进行初等行变换至行阶梯形得：
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消元法解线性方程组的一般步骤：
）的增广矩阵.
（一）设,将的第
()再加到第行上(),使化成如下形式对这个矩阵的第二行到第行
其中
注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶
增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间
其中
化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解
中,,中的第个方程“”是矛盾
中,
当时，方程组（
因为，则满足：
的最后一个方程中解出,再回代到第个方程求出.
则可求出未知量.
当时
则可求出含有个未知量的表
任给个未知量的一组值就可定出的值如果取,其中为任意常数
. 个未知量可称为自由未知量
=+++
以为系数矩阵的元线性方程组,若记增广矩阵为,
若,
若,且有个自由未知量
若,
求增广矩阵与系数矩阵的秩；
对增广矩阵作初等行变换可以同时得到增广矩阵与系数矩阵的
秩.
因为,
对增广矩阵作初等行变换
因为,
将含未知量的项移到等式的右端
设未知量,
(为任意常数对增广矩阵作初等行变换
因为
4 取何值时
当时,,
当时, ,设(为任意常数
5 为何值时线性方程组
对增广矩阵施以初等行变换 =
当且时, ,
当时, ,
当时,,
为系数矩阵，为常数项矩阵
由于增广矩阵的最后一列元素全为零
若,
，则方程组（
对于个方程个未知量的齐次线性方程组,
）若秩,
）若秩,
即时
对于个未知量个方程构成的齐次线性方程组当系数行列式值等于零也就是系数矩阵经过初等行变换化为阶梯型矩阵必有零行从而系数矩阵的秩
对增广矩阵作初等行变换
系数矩阵的秩,
(为自由变量令,
=
对增广矩阵作初等行变换
系数矩阵的秩,
若选择为自由未知量并设得
(为任意实数
=。