第13章 能量法

FN2 (x)dx + l 2EA
T 2 (x)dx + l 2GIp
M 2 (x)dx l 2EI
Vε A Vε 1A Vε 2 A
F B
l
l
思考：
? F
C
Vε = Vε1 + Vε 2
B
l
l
F B
l
l
F C
对于同一种变形，应变 能计算不能用叠加原理
C
Vε A Vε 1A Vε 2 A
思考： M
∂Vε ∂Fi
= Δi
∫ ∫ ∫ Vε
=
L
FN 2 ( x) dx + 2 EA
T 2(x) dx +
L 2GI P
L
M 2(x) dx
2 EI
∫ Δ i
=
∂Vε ∂Fi
=
L
FN ( x) ∂FN ( x) dx EA ∂Fi
∫ ∫ + T ( x) ∂T ( x) dx + M ( x) ∂M ( x) dx
各广义力处又产生新位移dΔi 。
∑ 此过程外力功的增量为：
dW
=
dFi
⋅ dΔi 2
+
n i =1
Fi
⋅ dΔi
n
略去高阶微量为： dW ∑ = Fi ⋅ dΔi = dVε i =1
d Fi
1
2
3
1
2
3
dΔ1 dΔ2 dΔ3
n
∑ n dW = Fi ⋅ dΔi = dVε B i=1
n
dΔn
将F1, F2, ……, Fn看作第一组力, dF i看作第二组力, 由功的互等定理：
Fi－广义载荷
Δ i－相应广义位移
线弹性体上作用有多个广义力，比例加载，根据叠加原 理，各广义力与相应广义位移成正比。
∑ 外力功：
W
=
1 2
F1Δ1 +
1 2
F2 Δ 2
+Λ
+
1 2
FnΔ
n
=
n i =1
Fi Δ i 2
** 每一外力（广义力）所对应的相应位移（广义位移）并不一 定只由此力引起。
** 外力功与加载顺序无关，只取决于载荷和位移的最终值。
= Δi
∑ Vε = W
= n FiΔi i=1 2
∂Vε ∂Fi
= Δi
意大利工程师—阿尔伯托·卡斯提 安诺(Alberto Castigliano， 1847～1884)
卡式定理：弹性体的应变能Vε对于某一载荷Fi的偏导数，
等于该载荷所对应的广义位移Δi 。
卡式定理应用：
∂Vε ∂Fi
= Δi
δ
Δ
d
δf
F
df
Δ
F
W = ∫ 0 fdδ
z 线性弹性体
材料符合胡克定律，
小变形，外力与位移
成正比。
f = kδ
o
dδ
F = kΔ
(b)
∫ W = Δ kδ dδ = 1 kΔ 2 = 1 F Δ
0
2
2
f
δ
Δ
dδ
f
F
df
对于线弹性体，载荷所作之功为载荷最大值与位移最大值乘积 的一半。
式中力F是广义力（力，力矩）、Δ为广义位移（线位移，角
L GI P ∂Fi
L EI ∂Fi
例1 用卡式定理求C点的挠度。梁为等截面直梁，EI已知。
P
A
B 解：C处恰好有对应的广义力
x
C
a
a
∫ w c
=
∂Vε ∂P
=
L
M ( x ) ∂M(x) EI ∂P
dx
M (x) = P x ;(0 ≤ x ≤ a) 2
∂M (x) = x ; ∂P 2
∫ ∫ wc =
第十三章 能量法
§13–1 外力功、应变能与克拉比隆定理 §13–2 互等定理 §13–3 卡式定理 §13–4 变形体虚功原理 §13–5 莫尔定理(单位载荷法)
§13–1 外力功、应变能与克拉比隆定理 一、应变能的概念
F
F
•外力功( W ):弹性体变形时，外力在相应位移上做的功。
•应变能（ Vε ）：构件因变形贮存能量。
拉压杆： 桁架结构：
∫ ∫ Δi
=
∂Vε ∂Fi
=
∂ ∂Fi
⎜⎜⎝⎛
l
FN 2 (x)dx 2EA
⎟⎟⎠⎞
=
FN (x) ∂FN (x) dx l EA ∂Fi
∑ ∑ Δi
=
∂Vε ∂Fi
=
∂ ∂Fi
⎜⎜⎝⎛
n i =1
FN i2li 2EAi
⎟⎟⎠⎞ =
n i =1
FN ili EAi
∂FN i ∂Fi
•弹性体功能原理： Vε = W （能量守恒定律） •功能原理成立条件：载体由零逐渐缓慢增加，动能 与热能等的变化可忽略不计。
二、外力功
z 刚体
W = FΔ
W = F Δ cosα
z 一般弹性体 F F
载荷 f : 0 → F 相应位移 δ : 0 → Δ
Δ
W = ∫ 0 fdδ
O
F
dδ
(a)
f
Δ
第一组力（ F1, F2, ……, Fn）在第二组力（dF i）引 起的位移上(dΔi)所作的功，
等于第二组力dFi在第一组力引起的位移上(Δi)所作 的功。
n
= ∑ Fi ⋅ dΔi
dFi ⋅Δi = dW = dVε
i =1
1
2
3
1
2
3
n
B
n
dFi ⋅Δi = dW = dVε
dW dFi
= dVε dFi
B
1
2
45º A
P
§13-2 互等定理
1.功的互等定理(线弹性体)
F1
1
F1
1
Δ11 Δ12
F2 2
Δ21 Δ22
F2 2
F1 1
F2 2
Δ11 Δ12 Δ21 Δ22
W1
=
F1 2
Δ 11 +
F2 2
Δ 22
+
F1Δ 12
W2
=
F2 2
Δ 22+
F1 2
Δ 11
+ F2 Δ 21
F1Δ 12 = F2 Δ 21
EA
EA
= (2 2 +1)Pa EA
思考：如何求水平位移？
B
FN1 = 2P(拉力） FN 2 = −P(压力）
1
2
45º
FN1 = 2P(拉力） ∂FN1 = 0
A F ∂F
P
FN 2 = F − P ∂FN 2 = 1 ∂F
∑ xc
=
∂Vε ∂F
= n FN ili ∂FN i i=1 EAi ∂F
l
M 2( x) dx
=
F 2l3
+
FMel 2
+
Me2l
0 2EI
6EI 2EI 2EI
Vε
≠ Vε ,F
+ Vε ,Me
=
F 2l3 6EI
+
M
2 e
l
2EI
多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算
F
解:(2) 计算外力所作之总功
M A
• 挠度 • 转角
wA
=
wA,F
+ wA,Me
=
Fl 3 3EI
dx
弯曲变形的外力功与应变能
外力功 W = Mθ
lM
2
应变能：一般情形（轴力发生变化）： C
z
y
dVε
=
dW
=
M(x )dθ
2
dθ = M (x)dx
EI
dθ
M(x)
∫ Vε
=
L M (x)2 ⋅ dx 0 2EI
= M 2L 2EI
dx
1 = M (x) = dθ ρ EI dx
基本变形下的外力功及杆件的变形能的计算
结论：梁的应变能等于外力所做总功
例2：求图示桁架结构的应变能
∫ ∴ Vε
=
L FN (x)2 ⋅ dx 0 2 EA
∑n
∴ Vε =
i =1
FNi 2li2 2EA
∴ Vε
=
P2a + 2EA
P2a + (− 2EA
2P)2 2EA
2a
= ( 2 +1)P2a EA
练习题：计算下列结构的应变能。
M ( x ) ∂M(x) dx = 2
L EI ∂P
EI
a Px
x dx
=
Pa 3
(↓)
0 22
6 EI
利用弯曲变形知识求 思考：还可以利用哪些方法求？
W = Vε
例2：图示桁架结构，各杆的拉压刚度为EA，求节点A的铅垂位移。
B
解：求铅垂位移
1
∑ ∑ Δi
=
∂Vε ∂Fi
=
∂ ∂Fi
⎜⎜⎝⎛
n i =1
2.位移互等定理： F1Δ 12 = F2 Δ 21
如果： F1 = F2 则： Δ 12 = Δ 21
对于线弹性体，当两个力(广义的) 数值相等时，则第一 个力在第二个力作用处引起的位移，数值上等于第二个力在第 一个力作用处引起的位移，称为位移互等定理。
例3：图示悬臂梁，自由端承受铅垂载荷，现需要测量截面1、 2、3、4、5的挠度，但仅有一个测量千分表可供使用，设计 实验方案。
= FN 2 ⋅ L 2EA
FN(x) dδ
扭转变形的外力功与应变能
外力功 W = Mφ φ = Tl
2
GI P
应变能：一般情形（轴力发生变化）：
dVε
= dW
=
T(x )dϕ
2
dφ = T (x)dx
GI P
∫ Vε
=
L T (x)2 ⋅ dx 0 2GI P
= T2⋅L 2GI P
T(x)
dϕ
解：可以通过移动 千分表，依次测 量，但不方便，容 易引起测量误差。
F 1 2 34 5
Δ
F
将千分表安在自由端， 将载荷依次施加在各测
Δ'
量面，
FΔ = FΔ'
根据位移互等定理，每次在自由端测得挠度值，即为载荷F
在自由端时在相应截面引起的挠度值。
§13－3 卡氏定理
设图中材料为线性弹性体，求与广义力Fi对应的广义位
F B
? Vε = Vε1 + Vε 2
l
l
C
B l
M
对于各种载荷引起的不 C 同变形，应变能计算可
l
以用叠加原理
F
B
C
l
l
例1：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算梁的 应变能与外力所做之总功。弯曲刚度为EI。
解:（1）计算梁的应变
F
能(x轴从A向左)
M A
M ( x) = Me + Fx
x
∫ Vε =
换句话说，一种基本变形的对应内力在其他
基本变形上作的功为零。
T(x)
• 圆截面杆或杆系
dx
M(x)
FN(x)
Fs(x)
d Vε
= FN (x)dδ + T (x)dϕ + M (x)dθ
2
2
2
= FN2 (x)dx + T 2 (x)dx + M 2 (x)dx
2EA
2GIp
2EI
∫ ∫ ∫ Vε
=
本定理也适用于非比例加载，但只适用于线弹性体
拉压变形的外力功与应变能
外力功 W = FΔ
2
Δ = Fl EA
应变能：一般情形（轴力发生变化）：
dW = FN (x)dδ
2
dδ = FN (x)dx
EA
dW = FN (x)2 ⋅ dx 2EA
= dV ε
dx
∫ ∴ Vε =
L FN (x)2 ⋅ dx 0 2EA
FN i2li 2EAi
⎟⎟⎠⎞ =
n i =1
FN ili EAi
∂FN i ∂Fi
2 45º A FN1 = 2P(拉力） FN 2 = −P(压力）
P ∂FN1 = 2 ∂P
∂FN 2 = −1 ∂P
∑ fc
=
∂Vε ∂P
= n FN ili ∂FN i i=1 EAi ∂P
= 2P 2a ⋅ 2 + − Pa ⋅ (−1)
+
Mel2 2EI
θA
= θ A,F
θ + A,Me
=
Fl 2 2EI
+
Mel EI
• 外力功 W = FwA + Meθ A = F 2l 3 + FMel 2 + Me2l
2
2 6EI 2EI 2EI
外载荷所作的功不能利用叠加原理计算。因为一般情况 下，各载荷所作的功并非仅由该载荷引起。只有当两种载 荷的变形能互不影响时才能叠加。
变形类型
拉压
扭转
弯曲
外力功
1 FΔl 2
应变能(内力为 常力）
FN2 l 2EA
∫ 应变能(内力为
变力）
FN 2 (x)dx l 2EA
1 Tφ
2 T 2l 2GI P
∫ T 2(x)
dx l 2GIP
1M θ
2 M 2l 2EI
∫ M 2(x)
dx l 2EI
内力2
∫ 统一形式： Vε = l 2刚度dx
位移）。
广义力与广义位移
广义力：力，力偶，一对大小相等、方向 相反的力或转向相反的力偶等。
l
相应位移：载荷作用点沿载荷
作用方向的位移分量。
C
z
广义位移： 线位移，角位移，相 对线位移，相对角位移等。
Fy
A
C
D
思考：图示均布载荷q 对应的广义位移？
q
A
B
l
相应广义位移：面积
三、克拉比隆定理(多个外载作用)
应变能特点
内力2
∫ Vε = l 2刚度dx
（1）应变能是状态函数，且恒为正值。
（2）应变能与载荷不是线性关系，不能用叠加原理。
（3）整个结构的应变能等于结构中各杆件应变能 的总合。
组合变形的应变能
思考：组合变形的总应变能能否由各基本变形的应变能叠 加，为什么？
答：能够。因为各基本变形的应变能不耦合。
平面弯曲的梁：
∫ ∫ Δi
=
∂Vε ∂Fi
=
∂ ∂Fi
⎜⎜⎝⎛
l
M
2 (x)dx 2EI
⎟⎟⎠⎞
=
M (x) ∂M (x) dx
l EI ∂Fi
轴类构件：
∫ ∫ Δi
=
பைடு நூலகம்
∂Vε ∂Fi
=
∂ ∂Fi
⎜⎜⎝⎛
l
T
2 (x)dx 2GI P
⎟⎟⎠⎞
=
T (x) ∂T (x) dx
l GIP ∂Fi
一般结构的卡氏定理：
移Δi 。
1
2
3
n
B
1
2
3
n
根据克拉比隆定理，由于应变能只与最后荷载有关，而 与加载顺序无关。外力功与应变能为：
∑ Vε = W
= n FiΔi i=1 2
d Fi
1
2
3
n
B
1
2
3
n
dΔ1 dΔ2 dΔ3
dΔn
∑ Vε
=W
= n FiΔi i=1 2
假定第i个荷载Fi有一微小增量d Fi，则线弹性体继续变形，
=
− Pa EA
⋅1
=
−
Pa EA
负号表明与力F方向相反。
例3：图示刚架各杆的弯曲刚度均为EI，试用卡氏定理求C截面的铅
垂位移。
F1Δ 12 = F2 Δ 21
对于线弹性体，F1在F2引起的位移上所作的功，等于F2在F1
引起的位移上所作的功。
FP2
FPm
FP1
…
FP：第一组力
ΔP 1
ΔP 2
ΔP m
FS2 FS1
ΔS 1 ΔS 2
FSn
…
ΔS n
FS：第二组力
第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力 在第一组力引起的位移上所作的功。