连续时间信号的采样

2
h 0 h hT
2

(2).Qs 2Qh
X a ( j) 1
h
0
h
X s ( j)
1T
s h s 2
0
s 2 h s


结论:
1、xs ( jQ)是xa ( jQ) 的周期延拓，周期为 Qs 2 / T ,且幅度上 要乘以主要因子1/ T 。
(t)

1 T
e
jkst
k
X s ( j)

xs
(t
)e

jt
dt


xa
(t
)


1 T
k
e
jk s t

e
jt
dt
1 T
k

xa
(t
)e
j
(ks
)t
dt
1 T
k
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，根据时域
卷积定理y(t) xs (t) h(t) xa (t) 因为
所以
H
(
j)

T 0
s 2 s 2
h(t) F 1 H j 1 H ( j)e jtd
•奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真
还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，
Ωs≥2Ωh
s 2
常称作折叠频率.2Qh称为奈奎斯特速率
•实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采 样频率总是选得比两倍信号最高频率h更大些， 如Ωs >(3--5)h。
•同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器 造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置 低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分 量进入。
二.采样信号的频谱和采样定理
由上可知 xs (t) xa (t) s(t) ，且 s(t) T (t)
(t nT )
n
为周期信号,故可以将 T (t)展开成傅立叶级数,即
T (t)
A e
jkst
k k
,Qs 2 / T
其中 所以
即
s 2h
实现
xs (t)
H ( j)
xa (t)
s 2
H ( j)
T
0
s 2
H j

T
,
s 2
0
, s 2
由于 Y ( j) X s ( j) H ( j) X a ( j) ，故 我们可以在滤波器输出端无失真的恢复信号
2、时域分析
n
为脉宽为 ，周期为T的矩形脉冲周期信号， 为开关闭合时间
，T为采样周期。
s(t)
xa (t)
xs (t)
0
t
0
t
0
t
实际
S(t)
采样：

0
xs (t)
S(t)为脉冲序列
…
t T
1 fs T
t
理想采样
1、 开关闭合时间τ→0时，为理想采样。
2、 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲 激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地 等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。
采样定理解决了在什么条件下，采样信号能够保留原信号全 部信息的问题
如何从采样信号中恢复原来的连续信号？
1、从工程实现的角度，可以利用理想低通滤波器提取原 信 号的频谱。 2、从数学的角度就是函数的插值。
三.信号的恢复与采样内插公式
1.频域分析
xs (t) xa (t) 无失真恢复的条件：满足时域采样定理，
3、实际情况下，τ＝0达不到，但τ<<T时，实际采 样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样物理 过程的抽象，便于数学描述，可集中反映采样过程 的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。
理想采样：当 0 ，s(t) T (t)
(t nT )
n
从而有：
xs (t) xa (t) T (t) xa (t)
(t nT )
n

n
xa
(t
)


(t

nT
)

n
xa
(nT
)


(t

nT
)
T (t)
xs (t)
0
t
0
t
注意区分 xs (t)和x(n) ，它们都是连续信号采样后的离散序列表 示，不同点是：xs (t)实质是连续时间信号，该信号仅在采样周 期的整数倍上取非零值，而 x(n) 为离散时间信号，它只依赖 于变量n，不包含任何有关采样周期或采样频率的信息，也就 是说相当于引入了时间归一化。
2
1
2
sin s t sin t
s
/2
T

e
jt d

s / 2
2 s t

T
t
2
T
因此低通滤波器的输出可表示为：

y(t) xa (t) xs (t) h(t) xs ( )h(t )dt
X
a
(
j(

ks
))
xs (t) 的频谱为
X
s
(
j)

1 T
k
X
a
(
j(

ks
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))
假设 xa (t)为带限信号,最高频率分量为 Qh ,则有
(1).Qs 2Qh
X a ( j) 1
h 0
h

X s ( j) 1T
s 2
s 2
s
h 0
h
s

X (e j ) 1T
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂地 闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。
一、信号采样
xa (t)
采样
xs (t)

xa (t)
xs (t) s (t )
采样过程 xs (t) xa (t) s(t) ，其中s(t)
[u(t nT ) u(t nT )]
Ak

1 T
T T
2 2
T
(t
)e
jk s t
dt
1 T 2
T T 2
n

(t

nT
)e
jk s t
dt
1
T
T T
2 2

(t
)e

jk

s
t
d
t
1 T
T
(t
)

1 T
e
jkst
k
xs
(t)

xa
(t)
T
(t)

xa
2、若xa (t) 为带限信号，最高频率分量为 Qh ，即
X
a
(
j)

X 0
a
(
j)
h h
则当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱无混叠失真， 可以由 xs (t) 无失真的恢复 xa (t) 。
3、反之当采样频率 Qs 2Qh 时的 xs ( jQ) 频谱有混叠失真 ，无法由xs (t) 无失真的恢复xa (t) 。