刚体动力学
刚体动力学
●
刚体基本动力学量
现在取 Axyz 坐标系为一个平动参考系 , 则刚体上的 R 点相对速度为 v r R =× R
dV
【定理】刚体相对动量为 p r =× mt R C
证明：pr =∫ v r R dV =∫ × R R dV
=×∫ R R dV =×m t RC（证毕）
⇒ L'A =∫ R2 I − R R ⋅ R dV =[∫ R2 I − R R R dV ]⋅
= J A⋅
（证毕）
1 1 ' 【定理】刚体相对动能为 T r = ⋅L A= ⋅J A⋅ 2 2
证明： T r=
1 1 2 v r R dV = ∫ v r⋅v r R dV ∫ 2 2 1 1 × R ⋅ v R dV = R × v r ⋅ R dV ∫ ∫ r 2 2
【推论】匀质刚体如果有一过 A 的镜像对称面，则过 A 且 与该镜像面垂直的轴是主轴；如果过 A 有两个正交的 镜像面，则两镜像面过 A 点的法线以及镜像面的交线 构成主轴系；匀质旋转体的旋转轴和任意与之正交的 两正交轴构成主轴系 . （请自己根据定义证明） 【定理】假定角速度在主轴坐标系下表示为
d d' J A⋅ 是矢量， J A⋅ = J A⋅× J A⋅ dt dt
⇒⋯⇒ J A⋅ = J XZ X J YZ Y J ZZ Z = ˙ Z ˙
d e ⋅M A ⇒ Z⋅ J A⋅= J ZZ = ≡M Z ¨ Z dt
2
J lk = J kl
（证毕）
因为：
lk =kl , Rl R k = Rk Rl
注：一般把 Jlk 称为惯量系数，由于对称性，只有 6 个是独立的 注：如果 AXYZ 不是固连在刚体上的坐标系，则 R 相对 AXYZ 有 转动，那么在 AXYZ 上看到的质量分布一般会随时间改变， 故在这个坐标系中惯量系数依赖于时间 . 注：如果 AXYZ 不是固连在刚体上的坐标系，在少数有良好对称性 的情况下 AXYZ 上看到的质量分布可能不随时间改变，此时在 这个坐标系中惯量系数是常数 .
刚体的静力学和动力学的联系
刚体的静力学和动力学的联系刚体是指其内部各个点之间的相对位置保持不变的物体。
当刚体处于静止状态时，我们可以通过静力学来描述其平衡情况，当刚体处于运动状态时，我们则需要运用动力学来揭示其运动规律。
静力学主要研究力对物体的作用，以及物体处于平衡状态下力的平衡条件。
动力学则研究力对物体的运动状态的影响，通过牛顿定律揭示物体在受力作用下的加速度变化。
静力学与动力学是联系紧密的，两者之间存在着辩证的关系。
静力学与动力学的联系主要表现在以下几个方面：1. 静力平衡与动力平衡的关系静力学研究的静力平衡是指物体受到的力的合力为零，物体处于平衡状态下。
动力学研究的动力平衡是指物体所受合外力等于物体的质量乘以加速度，物体处于匀速运动状态下。
在静力平衡的基础上，当物体受到外力且其受力合力为零时，物体将处于动力平衡状态。
2. 静力学与动力学的力的分析方法静力学研究的力的分析方法主要包括分解力、合成力和力的平衡条件等，用来确定物体所受力的大小和方向。
动力学的力的分析方法主要是使用牛顿第二定律，通过力的合成和分解来计算物体的加速度和速度变化。
静力学和动力学的力的分析方法在物体受力分析中是相互补充的。
3. 静力学和动力学的问题转化静力学和动力学在物体受力问题的解决中具有相互转化的关系。
有时候，我们可以利用静力学的方法解决动力学问题，例如在计算斜面上物体滑动的问题中，可以通过静力学的方法计算物体受力平衡的条件。
同样地，有时候也可以借助动力学的方法解决静力学问题，例如在计算物体在斜坡上静止不滑动的问题中，可以通过动力学的方法计算物体所受合外力的大小，从而判断物体是否处于平衡状态。
综上所述，静力学和动力学是联系紧密的，两者之间相互依存、相互补充。
静力学研究物体力的平衡条件，动力学则研究物体受到力的影响下的运动状态。
通过静力学和动力学的分析方法，我们能够更好地理解和解决物体受力与运动的问题。
这种联系和衔接为我们研究物理学问题提供了重要的理论基础和分析工具。
《刚体动力学 》课件
牛顿第二定律
物体的加速度与作用在物 体上的力成正比，与物体 的质量成反比。
牛顿第三定律
对于任何两个相互作用的 物体，作用力和反作用力 总是大小相等，方向相反 ，作用在同一条直线上。
刚体的平动
刚体的平动是指刚体在空间中 的位置随时间的变化而变化， 而刚体的形状和大小保持不变
的运动。
刚体的平动具有三个自由度 ，即三个方向的平动。
05
刚体的动力学方程
刚体的动力学方程
牛顿第二定律
刚体的加速度与作用力成正比，与刚体质量 成反比。
刚体的转动定律
刚体的角加速度与作用力矩成正比，与刚体 对转动轴的转动惯量成反比。
刚体的动量方程
刚体的动量变化率等于作用力对时间的积分 。
刚体的自由度与约束
自由度
描述刚体运动的独立变量，如平动自由度和转动 自由度。
约束
限制刚体运动的条件，如固定约束、滑动约束等 。
约束方程
描述刚体运动受约束的数学表达式。
刚体的动力学方程的求解方法
解析法
通过代数运算求解动力学方程，适用于简单问 题。
数值法
通过迭代逼近求解动力学方程，适用于复杂问 题。
近似法
通过近似模型求解动力学方程，适用于实际问题。
06
刚体动力学中的问题与实例 分析
人工智能和机器学习的发展将为刚体 动力学的研究提供新的思路和方法， 有助于解决复杂动力学问题。
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船舶工程
在船舶工程中，刚体动力学 用于研究船舶的航行稳定性 、推进效率以及船舶结构的 安全性等。
兵器科学与技术
在兵器科学与技术领域，刚 体动力学用于研究弹药的发 射动力学、火炮的射击精度 和稳定性等。
第七章 刚体动力学(讲义)
MO = ∑ MO ( Fi ) = ∑ (ri × Fi )
i =1 i =1
n
n
注意，主矩的的计算与参考点的选取有关。例如，将参考点由 O 改成 O′ ，于是
MO = ∑ ri × Fi = ∑
i =1 i =1
n
n
(ri′ + OO′) × Fi = ∑ (ri′ × Fi ) + OO′ × ∑ Fi
R = ∑ Fi
i =1
n
这是个自由矢量，它只给出矢量的大小和方向，不过问作用点的位置。 对力系的矩也可作类似的讨论。对于共点力系，合力的矩等于各个力对同一点的矩的矢量 和，即
MO ( F) = r × F = r × ∑ Fi = ∑ (r × Fi )
i =1 i =1
n
n
一般的力系中不一定存在合力，因此也就谈不上求合力的矩。但是每个力相对于同一参考 点的力矩是矢量，我们可以求这些矢量的和，并称为主矩，记为 MO ，即有
（II）刚体绕质心的转动：
dLc = ∑ ric × Fi （对质心的角动量定理） dt i
第一个式子求质心运动等同于质点动力学，可以解出刚体的平动运动部分（三个方程解三个运 动变量） 。第二个式子又可求出刚体的转动角速度 ω （ L 与 ω 有一定的关系） ，于是刚体的运动 就完全确定了。由角动量定理求刚体的转动角速度是重点讨论的内容。 7．2 作用在刚体上的力和力矩 通常矢量指的是所谓自由矢量（free vector） ：只有大小和方向，它可以平行自由移动。 作为物理量的矢量则不然，例如，力矢量 F ，为了完全确定这个力，还要说明力的作用点， 若用 r 表示作用点的话，则要有两个矢量 F 和 r ，这个力才完全被确定下来。这种矢量被称为定 位矢量（bound vector） 。除了力矢量是定位矢量外，质点的速度和加速度等也是定位矢量的例 子。 还有一种矢量，称为滑动矢量（sliding vector） ，它可在包含该矢量的一直线上自由移动。 例如，作用在刚体上的力（见下面的讨论） 。
4-2刚体的转动-刚体动力学解析
mB g
1 m A mB mC 2 m Am B g T1 1 m A m B mC 2
物体B由静止出发作匀速直线运动
2mB gy v 2ay 1 m A mB mC 2
考虑滑轮与轴承间的摩擦力
由初始条件 : t 0时, 0 0, 0 0得 :
0
3g d sind 2l 0
3g (1 cos ) 2l
例4:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ， 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的 轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
例2.质量为 m A 的物体A静止在光滑的水 平面上,它和一轻绳相连接,此绳跨过一半 径为R、质量为 mC 的园柱形滑轮C,并系在 另一质量为 m B 的物体B上,滑轮与轴承间 A 的摩擦力不计.问： C (1)两物体的线加 速度? 水平和铅直 B 两段绳的张力？ (2)B由静止下落距离y时速率？ (3)若滑轮与轴承间的摩擦力矩为 M ,再 求线加速度及绳的张力.
1 1 2 a RT2 RT1 M J mC R mC Ra 2 R 2 ( 4)
解(1)(2)(4),即可得 a,T
《刚体动力学》课件
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应用场景：碰撞、打击、爆炸等 角动量定理 角动量定理
定义：角动量是物体转动惯量和角速度的乘积 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼。
角动量定理公式：L=Iω
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应用场景：行星运动、陀螺仪等
刚体的滚动和滑动摩擦
刚体滚动：刚体在平面内绕固定点转动，滚动摩擦力产生的原因和影响
刚体滑动摩擦：刚体在平面内滑动时产生的摩擦力，滑动摩擦系数与接触面材料和粗糙度等因素 的关系
刚体滚动和滑动摩擦的应用实例：例如，汽车轮胎与地面之间的滚动摩擦力，以及机械零件之间 的滑动摩擦力等
刚体滚动和滑动摩擦的实验研究：通过实验研究刚体滚动和滑动摩擦力的影响因素和规律，为实 际应用提供理论支持
04
刚体动力学基本原理
牛顿第二定律
定义：物体加速度的大小跟作用 力成正比，跟物体的质量成反比
应用：解释物体运动状态变化的 原因
添加标题
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公式：F=ma
添加标题
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注意事项：只适用于宏观低速运 动的物体
动量定理和角动量定理
定义：动量是物体质量与速度的乘积
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刚体动力学研究内容
刚体的定义和性质 刚体运动的基本形式 刚体动力学的基本方程 刚体动力学的研究方法
刚体动力学发展历程
早期发展：古代力学对刚体的研究 经典力学时期：牛顿、伽利略等经典力学大师对刚体动力学的研究 弹性力学时期：弹性力学的发展对刚体动力学的影响 现代发展：计算机技术和数值模拟方法在刚体动力学中的应用
课程内容：刚体 的平动、转动、 碰撞等动力、力学等相关专 业的本科生和研 究生
刚体的一般运动的运动学和与动力学动力学
加速度
刚体在一段时间内速度的 变化率，表示刚体速度变 化的快慢。
刚体的平动
平动
刚体在运动过程中，其上任意两 点都沿着同一直线作等距离的移 动。
平动特点
刚体上各点的速度和加速度都相 等，与参考系的选择无关。
刚体的转动
转动
刚体绕某一定点做圆周运动。
转动特点
刚体上各点的速度和加速度大小相等，方向不同。
阻尼振动
阻尼振动是指由于阻力作用而使振动系统受到损 耗的振动。
受迫振动
受迫振动是指在外力作用下产生的振动。
刚体的稳定性和平衡性
静态平衡
刚体在静止状态下，如果受到微小扰 动后能恢复到原来的平衡位置，则称 该平衡为静态平衡。
动态平衡
刚体在运动状态下，如果受到微小扰 动后能保持原来的运动状态不变，则 称该平衡为动态平衡。
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刚体的平衡
总结词
刚体的平衡是指刚体在运动或静止时，其上各点的加速度均为零的状态。
详细描述
刚体的平衡可以通过力的合成和分解来分析。当刚体处于平衡状态时，其上各点的加速度均为零，即合外力为零。 根据力的平移定理，可以将力的作用点平移至刚体的质心，从而将刚体平衡问题转化为质点平衡问题。同时，根 据力矩平衡条件，可以得出刚体平衡的条件为合外力矩为零。
力矩和角速度
总结词
力矩是力和力臂的乘积，它描述了力对刚体转动的效应；角速度是描述刚体转动快慢的 物理量。
详细描述
力矩是力和力臂的乘积，其方向垂直于力和力臂所在的平面。力矩可以改变刚体的转动 状态，包括转动方向和角速度大小。角速度是描述刚体绕固定点转动的快慢的物理量， 其方向与转动方向相同。公式表示为M=FL，其中M表示力矩，F表示力，L表示力臂。
刚体动力学2
J = ∑ mi ri 2
转动惯量
转动定律
M = Jβ
刚体是特殊质点系，转动定律和质心运 动定律非常相似：
G G M = Jβ
G G F = mac
4
§3.3 转动惯量
一、转动惯量的物理意义 转动惯量特点
J = ∑ mi ri = ∑ J i
2
第 第三 三章 章
转动惯量是转 动惯性的量度
质量是平动 惯性的量度
桌面支持力对轴不产生力矩，摩 擦力矩使圆盘转动停止。 设转动方向为正，转动定律
o
ω0
R
dω −M f = J β = J dt
14
第三 三章 章 设圆盘的体密度 ρ ，厚度 l，在圆盘上 第 半径r处，取宽为dr的细圆环为质元。 质量dm=ρdV=2πrlρdr ，摩擦力df=μN=μgdm G G G 2 d M = 2 πμρ glr dr 力矩 dM f = r × df 大小 f
转 动 定 律
第 第三 三章 章
o x 1 2 M = Fy = J β = ml β 3 y F = F = ma x方向上的质心运动定理 ∑ x cx c
【解】只有F的力矩引起转动，转动定律
线量和角量关系，细杆的质心在l/2处
F y
l acx = ac = β 2
解得
2 y= l 3
17
【例】 如图所示，两物体的质量
J = ∑ mi ri
2
2
J = ∫r dm
质量体分布 dm ρ= dV J = ∫V r 2 ρ d V
6
一些常见刚体的转动惯量 一些常见刚体的转动惯量
第 第三 三章 章
细杆
1 2 J = ml 12
高中物理竞赛辅导之刚体动力学
其轴的转动惯量与圆盘的相同。
球体绕其直径的转动惯量
将均质球体分割成一系
列彼此平行且都与对称轴垂
直得圆盘，则有
JO
1 dm r 2 2
1 2
r 2dz
r
2
R 1( R2 z2 )2 dz
R 2
8 R5 2 mR2
15
5
z
r
z
dz R
om
JO
2 mR2 5
设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕 通过质心而平行于轴O的转动惯量为Jc，则有
0 t 2 gt R
达到纯滚动时有： vc R
解得作纯滚动经历的时间：
t v0 2g h R
3 g
3 g
2）达到纯滚动时经历的距离：
x
v0t
1 2
at 2
v02
3 g
1 2
g
v02
3g 2
5v02
5h R
18 g 9
例 5 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
J 1 ml2 3
球壳： 转轴沿直径
J 2 mr2 3
竿
子
长
些
还
是
短
些
较
安
飞轮的质量为什么
全
大都分布于外轮缘？
？
例1 一长为 l 质量为 m 匀质细杆竖直放置，其
下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动. 由于此竖
直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰
动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动.
压力N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试
刚体动力学
刚体动力学
刚体动力学是指研究力和质量对刚体运动的影响，它涉及物理
和数学，主要研究力对物体运动的影响。
它广泛应用于工程和物理领域，用于描述物体在局部或全局中的运动状态。
如何利用运动学理论
来分析和解释物理世界中物体的运动轨迹，最终揭示物体运动的物理
原理至关重要。
在刚体动力学的概念中，物体的运动被建模为一种力对对对象的
瞬时影响。
通过应用力，物体的运动可以得到估计。
瞬时力是指在特
定时空会给物体造成瞬时影响的力。
可以从特征定律出发，将其用于
物体运动分析。
这些定律涉及到物理力学，牛顿力学和拉普拉斯力学，上述定律可将物体的运动状态的分类。
与此同时，通过测量物体的加
速度、速度和位移，有可能解释其运动轨迹，解析物体的运动和定义
有关的物理参数，这些物理参数的累积可以描述物体的运动状态，从
而揭示物体运动的原理。
刚体动力学的原理也可以用来处理运动学中更加抽象的问题，例
如变换，尤其是物体受力时联合受力的问题。
此外，它还可以用于研
究物理系统中某些复杂的力的运动模式，包括动量、角动量、能量和
声学等。
可以说，它是物理上最基本的模型，用于解释物体的局部或
全局运动。
利用刚体动力学的原理，可以研究物体运动在各种复杂条
件下的变化，从而揭示物体运动的物理原理。
常见刚体运动的动力学分析方法
常见刚体运动的动力学分析方法刚体是指在运动过程中保持形状不变的物体，它的运动可以通过动力学分析方法来研究。
本文将介绍常见的刚体运动的动力学分析方法。
一、平面刚体运动的动力学分析方法在平面刚体运动中，刚体在平面上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。
常见的动力学分析方法包括线动量定理、角动量定理和动能定理。
1. 线动量定理线动量定理描述了刚体在平面上的线动量变化与合外力矩之间的关系。
根据线动量定理，刚体在一个时间间隔内的线动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。
线动量定理的数学表达式为：Δp= ∑F⃗ ×Δt，其中Δp表示线动量的变化量，F⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
2. 角动量定理角动量定理描述了刚体在平面上围绕质心旋转时的角动量变化与合外力矩之间的关系。
根据角动量定理，刚体在一个时间间隔内的角动量变化等于作用在刚体上的合外力矩乘上时间间隔。
角动量定理的数学表达式为：ΔL = ∑τ⃗ ×Δt，其中ΔL表示角动量的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
3. 动能定理动能定理描述了刚体在平面上的动能变化与合外力矩之间的关系。
根据动能定理，刚体在一个时间间隔内的动能变化等于作用在刚体上的合外力矩与刚体的质量乘积乘上时间间隔。
动能定理的数学表达式为：ΔE = ∑τ⃗ ×Δθ，其中ΔE表示动能的变化量，τ⃗表示合外力矩，Δθ表示角位移。
二、空间刚体运动的动力学分析方法在空间刚体运动中，刚体在三维空间上的运动可以分解为质心运动和绕质心的旋转运动。
常见的动力学分析方法包括动量矩定理、角动量矩定理和动能定理。
1. 动量矩定理动量矩定理描述了刚体在空间上的动量矩变化与合外力和合外力矩之间的关系。
根据动量矩定理，刚体在一个时间间隔内的动量矩变化等于作用在刚体上的合外力和合外力矩乘上时间间隔。
动量矩定理的数学表达式为：ΔL = ∑M⃗ ×Δt，其中ΔL表示动量矩的变化量，M⃗表示合外力矩，Δt表示时间间隔。
刚体动力学 有限元
刚体动力学是研究刚体运动的力学学科。
刚体是指形状和大小在运动过程中保持不变的物体，刚体动力学研究刚体在受力作用下的运动规律和动力学特性。
刚体动力学主要包括以下几个方面：
运动学：研究刚体的位移、速度和加速度等与时间的关系，描述刚体的运动状态。
动力学方程：根据牛顿第二定律，建立刚体的动力学方程，描述刚体受到的力和加速度之间的关系。
转动运动：研究刚体绕固定轴进行转动的规律，包括转动惯量、角速度、角加速度等的计算和分析。
能量与动量守恒：研究刚体运动过程中的能量守恒和动量守恒定律，用于分析刚体的碰撞、旋转和平移等情况。
有限元方法（Finite Element Method，简称FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于工程和科学领域，包括力学、结构分析、流体力学等。
有限元方法将连续的物体或结构分割成有限数量的小单元，通过求解这些小单元的力学方程，得到整个物体或结构的力学行为。
在刚体动力学中，有限元方法可以用于建立刚体的数学模型，通过将刚体分割成有限数量的单元，利用数值计算方法求解刚体的运动和力学响应。
这种方法可以有效地模拟复杂的刚体运动和受力情况，帮助分析和优化刚体系统的设计和性能。
有限元方法在刚体动力学中的应用包括刚体结构的动力学分析、碰撞和撞击的模拟、机械系统的优化等。
它提供了一种灵活、高效的数值计算工具，用于解决刚体动力学问题和工程实践中的设计和分析任务。
刚体动力学运动学问题专题讲解
Ml s lS mM
lS
ml S mM
例2质心运动定律来讨论以下问题
一长为l、密度均匀的柔软链条,其单位长度 的质量为λ.将其卷成一堆放在地面.若手提 链条的一端,以匀速v 将其上提.当一端被提 离地面高度为 y 时,求手的提力.
y y yC o
F
c
解:建立图示坐标系
i 竖直方向作用于链条的合外力为
例3
设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在
最高点处爆炸成质量相等的两个碎片,其中一个竖直自由下落,另 一个水平抛出,它们同时落地.问第二个碎片落地点在何处?
解:选弹丸为一系统,爆炸前、 后质心运动轨迹不变.建立 图示坐标系.
2m O
m
m1 m2 m x1 0
xC为弹丸碎片落地时质心 离原点的距离. xC
xC
C
xC
m x
x2
m1 x1 m2 x2 m1 m2
x2 2 xC
7
/12
2. 质心运动定理 dri mi miv i drc d t • 质心的速度 vc dt m m
P mvc —— 质点系的总动量
Pi m
•
质心的加速度和动力学规律
v R
4m gh 2m M R
例题3 一质量为m、半径为R的均质圆柱，在水 平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力 的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，如图所 示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。 解：设静摩擦力 f 的方向如 图所示，则由质心运动方程
l ac
F
圆柱对质心的转动定律：
二、质心
1. 质心
质心运动定理
第3章 刚体动力学
T2 m2g m2a2
对m
T2r T1r I
其中
I
1 2
mr 2
T1
m1
a1
m1 g
T2
正
m2
m2 g
a2
m2 m1
a1 a2 a a at r 绳子没有相对滑动
a (m2 m1)g (m1 m2 m 2)
(m2 m1)g
(m1
m2
1 2
m)r
对 m1 对m2 对m
第3章 刚体动力学
牛顿力学的基本概念、基本定律和定理适用于任意的 质点系, 有非常广泛的应用领域。 本章介绍牛顿力学的基本概念和有关定理在一类特 殊的质点系——“刚体”中的初步应用。
主要内容包括：刚体的定义、刚体的定点转动定理、 刚体的定轴转动定理、刚体的转动惯量、刚体定轴转 动的动能定理、刚体定轴转动的角动量定理以及角动 量守恒定律。
23
8.刚体的定轴转动定理应用举例
例1：一质量为m、半径为R的圆盘可以绕通过中心的轴
自由地转动, 一根弦线绕在盘的边缘,
如果: (1)用一个9.8N的力向下拉弦线;
(2)用一个质量为m’=1kg的物体挂在弦上;分别求出圆盘
的角加速度。
m R
m
R
T m
F
a
mg
(1) 圆盘的转动惯量为I=mR2/2 圆盘所受到的合外力
RT mR2 / 2
两式相加得 Rmg mR2 / 2 mR2
2mg
(m 2m)R
例2
两边绳子的拉力相等必需满足三个条件
①、滑轮的质量不计
m
②、无阻力 ③、绳子的质量不计
rO
解：按牛顿运动定律和转动定律
对m1 T1 m1g m1a1
刚体动力学的基本概念
刚体动力学的基本概念第二篇动力学第五章刚体动力学的基本概念一、目的要求 1．深入地理解力、刚体、平衡和约束等重要概念。
2．静力学公理（或力的基本性质）是静力学的理论基础，要求深入理解。
3. 能正确地将力沿坐标轴分解和求力在坐标轴上的投影，对合力投影定理有清晰的理解。
4. 理解力对点之矩的概念，并能熟练地计算。
5．深入理解力偶和力偶矩的概念，明确力偶的性质和力偶的等效条件。
6．明确和掌握约束的基本特征及约束反力的画法。
7．熟练而正确地对单个物体与物体系统进行受力分析，画出受力图。
二、基本内容 1．重要概念 1）平衡：物体机械运动的一种特殊状态。
在静力学中，若物体相对于地面保持静止或作匀速直线平动，则称物体处于平衡。
2）刚体：在力作用下不变形的物体。
刚体是静力学中的理想化力学模型。
3）约束：1/ 11对非自由体的运动所加的限制条件。
在刚体静力学中指限制研究对象运动的物体。
约束对非自由体施加的力称为约束反力。
约束反力的方向总是与约束所能阻碍的物体的运动或运动趋势的方向相反。
4）力：物体之间的相互机械作用。
其作用效果可使物体的运动状态发生改变和使物体产生变形。
前者称为力的运动效应或外效应，后者称为力的变形效应或内效应，理论力学只研究力的外效应。
力对物体作用的效应取决于力的大小、方向、作用点这三个要素，且满足平行四边形法则，故力是定位矢量。
5）力的分类：集中力、分布力；主动力、约束反力 6）力系：同时作用于物体上的一群力称为力系。
按其作用线所在的位置，力系可以分为平面力系和空间力系，按其作用线的相互关系，力系分为共线力系、平行力系、汇交力系和任意力系等等。
7）等效力系：分别作用于同一刚体上的两组力系，如果它们对该刚体的作用效果完全相同，则此两组力系互为等效力系。
8）平衡力系：若物体在某力系作用下保持平衡，则称此力系为平衡力系。
9）力的合成与分解：若力系与一个力FR等效，则力FR称为力系的合力，而力系中的各力称为合力FR的分力。
物理-刚体平面运动动力学
【平面运动】刚体上各点均在平面ຫໍສະໝຸດ 运动， 且这些平面均与一固定平面平行。
例：圆柱体沿直线路径的滚动。
一、刚体平面运动的动力学方程
刚体的平面运动可分解为
随质心的平动 绕过质心且垂直于固定平面的轴的转动
ω C
一、刚体平面运动的动力学方程
1、质心的运动
——刚体的质量 ——合外力
2l
故有
N2
f
Wl Pl1 2l
cot
梯子不滑动的条件 f N1
Wl Pl1 cot (W P) 2l
线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力.
F l
ac
Rm
f
随堂练习
圆柱在竖直面内作平面运动。 由质心运动定理：
F f maC
又由对质心轴的转动定理：
Fl fR 1 mR 2
2
纯滚动的运动学判据 aC R
以上三式联立，可解得
2F(R 3mR 2
l)；
f (R 2l) F 3R
则梯子的倾角？
Mq Ogf
x
随堂练习
设梯子不滑动时与地面的夹角为q， y N2 C
水平方向的力平衡： N 2 f 竖直方向的力平衡： N1 W P
为简化计算，取C为力矩的参考点，
2 fl sin Wl cos Pl1 cos
m g
l1 N1
Mq x
Ogf
解之得
f Wl Pl1 cot
由质心的运动定理决定
C
aC
——代表刚体作整体平移运动的加速度
一、刚体平面运动的动力学方程
对刚体的平面运动 y
在固定平面投影
Fx
m
刚体动力学
1 ml 2 12
5
将棒的端点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴
为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
m dm = dx
l
y
dx
o
x
l
=J
∫0l= x2 ml dx
1= m x3 l 3l 0
1 ml 2 3
6
常用的几个J
C R m 均匀圆环：
JC = mR2
C R m 均匀圆盘：
4
例：求长度为 l ，质量为m的均匀细棒对过中点
和端点轴的转动惯量。
解：将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy, 取y 轴 为转轴。在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为
m dm = dx
l
y
−l
o
2
+l x
2
J
∫−+= ll//22 x2 ml dx
1= m x3 +l / 2
3l
−l / 2
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。
14
例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，一端有一固定的光 滑水平轴，可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置
，求由此下摆 θ 角时的角加速度和角速度。
解 棒下摆为加速过程，
l/2
外力矩为重力对O的力矩。
O
重力作用在棒的重心，当
θ
x
棒处在下摆θ 角时，重力
与转动惯量有关的因素：
刚体的质量、刚体的形状(质量分布)、转轴的位置3。
转动惯量的求法：
若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号 用积分号代替
J = ∫ r 2dm = ∫∫∫r 2ρdV
线密度、面密度、体密度
分析刚体的运动学和动力学问题
分析刚体的运动学和动力学问题下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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动力学中的质点与刚体的区别
动力学中的质点与刚体的区别在动力学中，质点和刚体是两个重要的概念，它们在运动学和力学中起着不同的作用和描述方式。
本文将就质点和刚体在动力学中的区别进行详细阐述。
1. 质点的定义与特点质点是动力学中最简单的模型，将物体看作一个质点可以忽略物体的大小和形状，只关注其质量和位置。
质点有以下特点：1.1 忽略大小和形状：质点是一个理想化的模型，不考虑物体的实际形态和尺寸，将其简化为一个点。
1.2 只关注质量和位置：质点的描述主要关注物体的质量，即物体所具有的质量大小；以及物体的位置，即物体所处的空间位置。
1.3 运动轨迹确定：质点的运动轨迹可以用一个点表示，因为质点不具有形状和大小，只有位置的改变。
2. 刚体的定义与特点刚体与质点相比，是一个更复杂的模型。
刚体可以看作是由无数个质点组成的物体，具有一定的形状和大小，刚体有以下特点：2.1 有形状和大小：刚体在运动过程中保持其形状和大小不变，即使受到外力的作用也不会发生形变。
2.2 有自由度：刚体在运动时可以有三个平移自由度和三个旋转自由度，可以沿三个坐标轴做平移运动，同时也可以绕三个坐标轴做旋转运动。
2.3 有转动惯量：刚体的转动惯量是描述其旋转运动惯性的物理量，与刚体的质量以及形状分布有关。
3. 质点和刚体的运动描述质点和刚体的运动描述方式不同：3.1 质点的描述：质点在运动学中可以用坐标系表示其位置，如笛卡尔坐标系或极坐标系，动力学中可以用位矢和速度矢量表示其位置和速度。
3.2 刚体的描述：刚体的运动需要考虑其平移和旋转运动，可以用位矢和角度表示其位置和姿态，以及线速度和角速度表示其运动状态。
4. 质点和刚体的运动方程质点和刚体的运动方程也不同：4.1 质点的运动方程：质点在动力学中的运动方程可以用牛顿第二定律来描述，即F=ma，其中F表示作用在质点上的合力，m表示质点的质量，a表示质点的加速度。
4.2 刚体的运动方程：刚体的运动方程分为平移和旋转两部分，平移运动由牛顿第二定律描述，旋转运动由牛顿第二定律的角动量形式来描述。
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M •R
T m
mg
16
例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过
角 时的角加速度和角速度。
解 重力集中在质心，其力矩为
Mo
mg
l cos
6
A
Io
1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
Mo 3g cos
2r
dt
F=ma=-m2r
M=rF=-m2rr =0
29
例题2.2 光滑水平桌面，绳通过孔o拉着小球
m以o作半径r的匀速圆周运动，现向下缓慢拉绳，
求半径从r变为r/2过程中拉力的功。
解 小球对o点的角动量守恒：
mr2 o= m(r/2)2
=4o
o
由动能定理，拉力的功为
二. 刚体的角动量及守恒守律
1.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动, 质量为Δmi的质
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
12
例题1.2 质量连续分布: I r 2dm
(1)均质细直棒(质量m、长l)，求通过质心C且
垂直于棒的轴转动的转动惯量。
解
记住！
l
Ic
2 x2m dx 1 ml2
l l
12
2
C dm o x dx x
若棒绕一端o转动，由平行轴
定理， 则转动惯量为
o
Io 2l
2 o2 2
o
B
C
mg
oC l l l 236
17
Mo 3g cos d
Io 2l
dt
又因
d
dt
d d
d
dt
d d
3g cos
2l
d
3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
t1
L1
如果合外力矩零(即M=0), 则
L=常矢量
这就是说,如果质点所受的合外力矩为零时, 则 此质点的角动量矢量保持不变。这一结论叫做质点 角动量守恒定律。
对比： 角动量守恒定律是：M外=0， 则 L =常矢量。
动量守恒定律是： F外=0 ，则 p =常矢量。
26
例题2.1 一质点的质量为m，位矢为：
自转和空气阻力，求：=？(地球质量为M、半径为R)
解 火箭只受引力(保守力)作用，机械能守恒：
1 2
m
o
2
G
Mm R
1 m 2
2
G
Mm 3R
对o点的角动量守恒：
moR = m 3Rsin
解得 sin
R o 2 3(3Ro2 4GM )
A o
md
Mo
3R
R
o
C
32
r =acos t i+bsin t j (式中a、b、 均为常量);
求质点的角动量及它所受的力矩。
z
解
dr
as inti
bcostj
dt
L
r
(m)
mr
k o
j
i
y
x
m(acosti bsintj ) (asinti bcostj )
速度 的大小和方向。
解 故机械能都守恒：
1 2
mo2
1 2
m 2
1 2
k( l
lo
)2
l
om角来自量守恒：mo lo= m lsin
lo
d
解得: =4m/s, =30
m o
31
例题2.4 质量为m的火箭A以o沿地球表面发射出
去, 其轨道与地轴oo交于C点(oC=3R)。不考虑地球的
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 mg
(2)当=90°时， =0，
3g
l
18
例题1.7 匀质圆盘(m、R)以o转动。将
盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ， 求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
解 摩擦力矩:
M
R
0
r
g
m
R
2
2rdr
8
3.平行轴定理
Io=Ic+Md2
Ic 通过刚体质心的轴的转动 惯量
M 刚体系统的总质量 d 两平行轴(o,c)间的距离
Io d Ic
o
C M
9
I r2dm (r r)dm
V
V
V V
(rc l)(rc
(rc 2
2l
rc
l )dm l 2 )dm
t
2
Mdt
冲量矩
t1
合外力矩的冲量(冲量矩)等于质点角动量的增量。
它是质点角动量定理的积分形式。
对比：
t2
M外dt L2 L1
t1
t2
t1 F外dt p2 p1
25
3. 质点角动量守恒守律
t2
L2
Mdt dL L2 L1
Io
1 12
ml
2
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
13
(2)均质细圆环(m, R)对中心轴的转动 惯量:
Ic
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)对中心轴 的转动惯量:
Ic
R
r
0
2m
R 2
2rdr
1 2
mR2
R
dm
r dr
14
M I 刚体定轴转动定理
例题1.3 一转轮在20N.m的外力矩作用下， 10s内转速均匀地由零增大到100rev/min。撤去 外力矩，它经100s停止。求转轮的转动惯量。
1.力矩
M
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
o
力矩的大小: 方向:
M=Frsin
r
F
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F
力矩的大小
o r m
d
M
M=Frsin=Fd
or F
问题:一质量为m的质点沿一直线以 d
速率运动,它对直线上某点的角动量
为 0; 它对与直线相距d的某点的角动量为 md。
22
Lr p
若质点m以角速度沿半径r的圆周运动(如图),质
点对给定点o(圆心)的角动量的大小
L=rpsin=mrsin =md
o r m
d
式中是r 与 两矢量间的夹角。
角动量的方向垂直于矢径r 和 所组成的平面,指 向是r 经小于180o的角转到 时右螺旋的前进方向。
21
质点对o点的角 动量(动量矩)为
L
Lr p
角动量L的大小
L=rpsin=mrsin=md
mabsin2tk mabcos 2tk
mabk
i i 0 j i k
i j k
j j0 27
r =acos t i+bsin t j
dr
as
inti
bcostj
dt
L r (m ) mr
i
jk
=m a cost bsint 0
a sint bcost 0
=mabk
28
质点所受的力矩:
M=rF
r =acos t i+bsin t j
dr
asinti
bcostj
dt
a
d
2 (acosti
bsintj )
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
20
§3.2 力矩的时间累积效应角动量守恒定律
一. 质点角动量守恒定律
1. 质点的角动量
设质点的位矢为r，动量为p=m ，则质点对o点的
角动量(也称动量矩)为
L r p r ( m )
L
角动量L的大小
1.刚体的平动和转动
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
m ro
A
1 2
m
2
1 2
mo2
F