二重积分的计算法48979

解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
则
D
:
y
1
2
y x
2 y
2
2 y2
D xyd 1dyy2 xy d x
y
2 y2 x
y
o 1
D
4x
y x2
2 1
1 2
x
2
y
y2
y2 dy
1 2
2 [ y( y 2)2 y5 ] dy
1
1 y4 4 y3 2 y2 1 y6 2 45
d
x
2 y
yx
1
2
1
1 2
x3
1 2
x
dx
9 8
解法2. 将D看作Y–型区域,
则
D
:
1 y 2o yx2
1 x 2x
I
2
dy
1
2yxyd x
2
1
1 2
x
2
y
2d
y
y
2 1
2
y
1 2
y3
dy 9
8
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线
y2 x 及直线 y x 2 所围成的闭区域.
y 2(x)
D
y 1( x)
D
:
1
(
x) a
y x
2
b
(
x)
a
b
y 2(x)
D
y 1( x)
a
b
f ( x, y)d 的值等于以D为底，以曲面z f ( x, y)
D
为顶的圆柱体的体积，
z f ( x0, y)
z f (x, y)
应用计算“平行截
z
面面积为已知的立
体求体积”的方法,
c
d
x 1( y)
c
D
x 2( y)
则
f (x, y) dxdy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
D
c
1(y)
当被积函数 f (x, y)在D上变号时, 由于
f (x, y) f (x, y) f (x, y) f (x, y)
f (x, y)
2
2
f1(x, y)
f2 (x, y) 均非负
x
Dy
:
1
0 y1 1 y2 x 2 y
原式
1
2 y
dy
0
1
1 y2
f ( x, y)dx.
y2 x y 2x x2
例 3
改变积分 2a dx 0
2ax
2axx2 f ( x, y)dy (a 0)
的次序.
解 y
y2
2ax x
2a
y 2ax x2 x a a2 y2
直线与区域边界相交不多于两个交点.
Y型区域的特点： 穿过区域且平行于x 轴的
直线与区域边界相交不多于两个交点.
计算中的技巧（问题）： ①、先画积分区域草图； ②、有无奇偶对称性:
f x, y 关于x奇，D关于y轴对称
0,
f x, y
关于y奇，D关于x轴对称
D
f
x,
y dxdy
2
f
x,
24 3
6 1 8
例6. 计算 sin x dxdy, 其中D 是直线 y x, y 0, Dx
x 所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行,
因此取D 为X – 型域 :
sin x dxdy
Dx
0 x
D : 0 y x
dx
x sin x
0
0x
y y
dy o
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
X-型积分区域 Y-型积分区域
二、利用极坐标计算二重积分
将二重积分化为二次积分 与直系下二次积分互化
一、利用直角坐标计算二重积分
直角坐标系下化二重积分为二次积分
由曲顶柱体体积的计算可知,
当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
D f (x, y) d x d y D f1(x, y) d x d y
D f2 (x, y) d x d y
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有
D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
f ( x, y)dx
2a
2a
2a
a dy y2 f ( x, y)dx.
2a
例4. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1 1
x y
2 x
y
I
2
dx
1
x x
yd
y
1
2 1
1 2
xy2
x
1
A( x0 )
2 ( x0 ) 1 ( x0 )
f
(
x0
,
y)dy.
y
A(x0 )
由此得：
y 2(x)
a
x0
yb
x
1
(
x
)
则
f (x, y) dx dy
b
dx
2 (x) f (x, y) dy
D
a
1( x)
若D为Y –型区域
D
:
1(
y) c
x y
d
2
(
y)
d
x 1( y) D x 2( y)
sin x
xdx或
1 ln x
dx;
ⅲ、二重积分恒等式证明。
④、积分原则：与定积分计算基本一致；
（先对 x 积分，视 y 为常量， 对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？ 穿入穿出不唯一。
例 1
改变积分
1
dx
1x f ( x, y)dy 的次序.
00
解 积分区域如图
0 x1 Dx : 0 x 1 x
2a
Dx
:
0 x 2a 2ax x 2ax x2
a 2a
0 ya
Dy1
:
y2
2a
x
a
a2 y2
2a
Dy2
:
2a
0 y xa
a a2
y2
a
a y 2a
Dy3
:
y2 2a
x
2a
a 2a
= 原式
a
dy
0
a y2
a2 y2
f ( x, y)dx
a
2a
dy 0
a a2 y2
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1
(
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 ,则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
X型区域的特点： 穿过区域且平行于y 轴的
y dxdy
f x, y 关于x偶，
D关于y轴对称
D`1
f x, y 关于y偶，
D关于x轴对称
f x, y f ( x, y), 称f(x,y)关于x为奇， f x, y f ( x, y), 称f(x,y)关于x为偶，
源自文库
③、交换积分次序：
ⅰ、题目本有要求；
ⅱ、出现
eax2 dx或
0 y1 Dy : 0 x 1 y
y 1 x
原式
1 1 y
dy f ( x, y)dx.
00
例 2 改变积分
1
dx
2 x x2
f ( x, y)dy
2
dx
2x f ( x, y)dy的次序.
0
0
1
0
解 积分区域如图
Dx1
:
0
0 x
x1 2x
x2
1 x2 Dx2 : 0 x 2 x