饿狼追兔问题

高阶常微分方程模型—饿狼追兔问

题

第一章摘要

概述

本文以狼追击兔子这一现实情况为背景，并合理的加以数学假设，着重实际与模型的结合，现有一只兔子和一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设当狼发现兔子时，兔子同时也发现了狼，这时二者一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，狼朝同样的方向在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。建立狼的运动轨迹微分模型。通过画出的兔子与狼的运动轨迹图形，用解析方法及数值方法求解，兔子能否安全回到巢穴？经过分析与求解，得知兔子无危险。在自然科学和技术科学中往往遇到大量的微分方程问题。通过对高阶微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。论文最后对模型的优缺点进行了分析和评价，并提出了模型的改进方向和思路。关键字微分方程饿狼追兔数学建模

第二章模型的背景问题描述

随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。恶狼追兔的问题属于实际的情景问题，具有一定的时代气息。

数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。有助于我们提高用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高我们分析问题和解决问题的能力，提高我们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使我们在今后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高我们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题

现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？

（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？

微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。在自然科学

和技术科学中往往遇到大量的微分方程问题。通过对高阶微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

第三章模型假设及符号说明

1．狼和兔子是匀速运动的。

2．狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P 的轨迹看作一条曲线。

3．在兔子未达到巢穴前狼和兔子都是运动的。

4．狼在追击过程中始终朝向兔子

V: 狼的速度

V0: 兔子的速度

S1：兔子运动的路程

S2: 狼运动的路程

T: 狼追击兔子的时刻

P：T时刻兔子的坐标

Q：T时刻狼的坐标

第四章分析与建立模型

狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？

一个兔子正在悠闲的吃草,它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了.突然,兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动.

图4-1

初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y 轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v-=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：

饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为

Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)

其中(X,Y)为切线上动点。

又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)

从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定

(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)

(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)

由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边对t求导并化简

(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)

由(2)有(dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12

即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2

代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得

(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2(4)

function dy = rigid(t,y)

dy = zeros(3,1); % a column vector

dy(1) = y(2) * y(3);

dy(2) = -y(1) * y(3);

dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);

设置选项：

options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);

求解得：