饿狼追兔问题

高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题第一章摘要概述本文以狼追击兔子这一现实情况为背景，并合理的加以数学假设，着重实际与模型的结合，现有一只兔子和一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设当狼发现兔子时，兔子同时也发现了狼，这时二者一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，狼朝同样的方向在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

建立狼的运动轨迹微分模型。

通过画出的兔子与狼的运动轨迹图形，用解析方法及数值方法求解，兔子能否安全回到巢穴？经过分析与求解，得知兔子无危险。

在自然科学和技术科学中往往遇到大量的微分方程问题。

通过对高阶微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

论文最后对模型的优缺点进行了分析和评价，并提出了模型的改进方向和思路。

关键字微分方程饿狼追兔数学建模第二章模型的背景问题描述随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。

实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。

恶狼追兔的问题属于实际的情景问题，具有一定的时代气息。

数学模型一般是实际事物的一种数学简化。

它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。

是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，建立教学模型的过程，是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。

有助于我们提高用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高我们分析问题和解决问题的能力，提高我们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使我们在今后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高我们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。

利用高阶常微分方程模型—饿狼追兔问题现有一只兔子、一匹狼，兔子位于狼的正西100米处，假设兔子与狼同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而狼在追兔子。

已知兔子、狼是匀速跑且狼的速度是兔子的两倍。

要求：（1）建立狼的运动轨迹微分模型。

（2）画出兔子与狼的运动轨迹图形。

（3）用解析方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？（4）用数值方法求解，问兔子能否安全回到巢穴？微分方程就是联系着自变量，未知函数以及他的导数的关系式。

在自然科学和技术科学中往往遇到大量的微分方程问题。

通过对高阶微分方程的分析，我们对题目里提出的问题建立了符合实际的数学模型，在模型的求解过程中应用数学软件MATLAB等计算工具，编写相应的程序，解决实际问题。

第三章模型假设及符号说明1．狼和兔子是匀速运动的。

2．狼追击兔子的轨迹看作是一条光滑的曲线，即将动点P 的轨迹看作一条曲线。

3．在兔子未达到巢穴前狼和兔子都是运动的。

4．狼在追击过程中始终朝向兔子V: 狼的速度V0: 兔子的速度S1：兔子运动的路程S2: 狼运动的路程T: 狼追击兔子的时刻P：T时刻兔子的坐标Q：T时刻狼的坐标第四章分析与建立模型狼追兔子问题是欧洲文艺复兴时代的著名人物达.芬奇提出的一个数学问题。

当一个兔子正在它的洞穴南面60码处觅食时，一只恶狼出现在兔子正东的100码处。

当两只动物同时发现对方以后，兔子奔向自己的洞穴，狼以快于兔子一倍的速度紧追兔子不放。

狼在追赶过程中所形成的轨迹就是追击曲线。

狼是否会在兔子跑回洞穴之前追赶上兔子？一个兔子正在悠闲的吃草,它的洞在距离它现在吃草处正北方的60米处,在兔子的正东面100米处有一头饿狼正潜伏着观察兔子多时了.突然,兔子发现了狼的存在.兔子拼命的沿直线向洞逃跑,兔子知道不赶快进洞命休已,狼和兔子同时启动并且死死盯着兔子扑去.兔子跑的虽然快,但狼的速度是兔子速度的2倍.假如兔子和狼都匀速运动.图4-1初始时刻(t=0)兔子位于原点(0,0)，饿狼位于(100,0)；兔子以常速度v0沿y 轴跑，饿狼在t时刻的位置为(x,y)，其速度为v-=2v0；饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则：饿狼在t时刻其追赶曲线的切线方程为Y-y=(dy/dx)*(X-x)=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(X-x)其中(X,Y)为切线上动点。

又饿狼在追兔子过程中一直向着兔子的方向，则t时刻兔子(0,v0t)在切线上，所以v0t-y=[(dy/dt)/(dx/dt)]*(0-x)从而饿狼追赶轨迹由下方程组确定(dx/dt)*( v0t-y)= (dy/dt)*(-x) (1)(dx/dt)2+(dy/dt)2=v12 (2)由(1)有(dy/dx)*(-x)= v0t-y，两边对t求导并化简(d2y/dx2)* (dx/dt) *(-x)= v0 (3)由(2)有(dx/dt)2{1+[(dy/dt)/(dx/dt)]2}=v12即dx/dt=-v1/[1+(dy/dx)2]1/2代入(3)，并把v1=2v0代入并化简得(d2y/dx2)*x=[1+(dy/dx)2]1/2/2(4)function dy = rigid(t,y)dy = zeros(3,1); % a column vectordy(1) = y(2) * y(3);dy(2) = -y(1) * y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);设置选项：options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);求解得：[t,Y] = ode45(@rigid,[0 12],[0 1 1],options);画出解函数曲线图形：plot(T,Y(:,1),'-',T,Y(:,2),'-.',T,Y(:,3),'.')tspan=100:-0.1:0.1;%以狼的x坐标为自变量y0=[0 0];%下面只知道狼是否追上兔子，但是不易推得兔子刚刚到达窝边时，狼与兔之间的距离[T,Y] = ode45('odefunlt',tspan,y0);n=size(Y,1);disp('狼的坐标(x=0.1)')disp(Y(n,1))%通过追击曲线计算当狼的横坐标为0.1(即tspan=0.1)时，狼的纵坐标。

第五章模型的求解这是一个二阶微分方程，它满足初始条件y(100)=0令p= dy/dx，这dp/dx= d2y/dx2，这(4)化为(dp/dx)*x=[1+p2]1/2/2，可分离变量求得ln{p+[1+p2]1/2/2}=0.5*lnx+c，又p(100)=0，所以c=-ln10，从而p+[1+p2]1/2/2=x1/2/10，这p=( x1/2/10-10/x1/2)/2即dy/dx=( x1/2/10-10/x1/2)/2，从而y=(x-300)*x1/2/30+c，又y(100)=0，则y=(x-300)*x1/2/30+200/3令x=0，得y(0)=200/3<66故兔子无危险狼追赶兔子的过程可以用计算机模拟。

以1秒钟为一个时间步长，模拟狼和兔子的运动过程。

根据题设，初始时刻的狼、兔距离为100米。

所以，初始时刻Q 点和P点的坐标分别为Q(0，0) ，P(100，0)。

让兔子跑60米后结束，观察狼追赶时的路线以及追赶结束时狼兔的距离。

编写程序如下xy=[100,0];uv=[0,0];e=[-1,0];d=100;for k=1:60xy(k+1,:)=xy(k,:)+2*e;uv(k+1,2)=k;e=uv(k+1,:)-xy(k+1,:);d=norm(e);e=e/d;x=xy(:,1);y=xy(:,2);u=uv(k,1);v=uv(k,2);plot(x,y,'black*',u,v,'blacko',0,60,'o'),pause(.5)end运行后狼的运动轨迹如下图：图5-1程序运行后，当兔子跑回窝时，狼兔距离为：d = 8.0953，这说明狼不能追上兔子。

在初始条件不变时（即狼、兔距离为100米，兔子在洞穴南60米），狼的奔跑速度应该为兔子奔跑速度的多少倍，才能使狼在兔跑回洞穴之前追赶上兔子。

修改程序，设狼奔跑速度为兔子奔跑速度的z倍，将其取为程序的输入参数，对不同的z，计算机模拟的结果是不一样的。

z=input('input z= ');xy=[100,0];uv=[0,0];e=[-1,0];d=100;k=1;while d>0.5xy(k+1,:)=xy(k,:)+z*e;uv(k+1,2)=k;e=uv(k+1,:)-xy(k+1,:);d=norm(e);e=e/d;k=k+1;x=xy(:,1);y=xy(:,2);u=uv(k,1);v=uv(k,2);plot(x,y, ' black *',u,v,'blacko',0,60,'o'),pause(.5)enddisp([z,d])通过实验确知：运行程序，输入参数z 等于2.2，程序运行结果为：d = 0.4989 (米)，此时狼以兔子速度的2.2倍速度追赶，能追上兔子。

运行后得狼的运动轨迹:图5-2第六章：模型的检验与修改1.模型的适用范围广，易于推广。

2.基本模型对问题的描述准确、合理、推导严谨，理论性强；3.模型结合实际，具有很高的实用价值。

1.题目给的数据不够多，所以使得该模型无法更加接近实际的情况。

2.由于兔子和狼的耐力速度等个体差异，会导致结果有一定的浮动，致使模型的稳定性不是很高。

由于动物的各种差异是随机分布的，故可利用模拟仿真的方法建立更具有真实性的模型。

第七章模型的应用与推广数学模型的微分方程是在时域范围内用来描述系统及其输入和输出三者之间动态关系的数学表达式。

（1）确定系统的输入量和输出量，（2）根据信号的传递顺序，列写出在运动中各个环节的动态微分方程（3）消除所列微分方程的中间变量，得到描述系统的输入量和输出量之间关系的微分方程。

（4）整理微分方程。

尽力建立系统的线性化数学模型，若系统是一个非线性方程，为了绕过系统造成的数学上的困难。

一是采取忽略次要因素的方法。

二是系统的信号量变化范围不大，就将非线性系统线性化。

线性化就是在一定的范围内，将非线性方程近似或缩小研究范围，将非线性方程当线性方程来处理，即将变量的非线性函数展开成泰勒级数，分解成这些变量在某工作状态的为增量的表达式，然后略去高于一阶为增量的无穷小项，从而求得近似线性函数。

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述.如牛顿第二定律、放射性物质的放射性规律等.我们常利用这些规律对某些实际问题列出微分方程.建立数学模型解决实际问题。