命题及其关系,充分条件与必要条件复习课件

一
四种命题的关系及真假判断
【例 1】有下列四个命题： (1)“若 xy＝1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； (2)“面积相等的三角形全等”的否命题； (3)“若 m≤1，则方程 x2－2x＋m＝0 有实数解”的逆否
命题； (4)“若 A∩B＝A，则 A⊆B”的逆否命题． 其中真命题个数为( A．1 B．2 ) C．3 D．4
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2.下列四个命题中，正确的是( D ) A．{0}∈R B．2 11≤{x|x≤3 5} C．2 11∉{x|x≤3 5} D．{2 11}⊆{x|x≤3 5}
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解析：A 中，集合{0}与 R 之间的关系是“⊆”，所以 选项 A 错误；B 中，元素 2 11与集合{x|x≤3 5}之间的关系 是“∈”或“∉”，所以选项 B 错误；C 中，2 11＝ 44， 3 5＝ 45，所以 2 11＜3 5，即 2 11∈{x|x≤3 5}，所以 选项 C 错误；D 中，因为 2 11＜3 5，所以集合{2 11}⊆ {x|x≤3 5}．所以选项 D 正确．
第 2讲
命题及其关系，充分Βιβλιοθήκη Baidu件与必要条件
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1.设 m，n 是整数，则“m，n 均为偶数”是“m＋n 是 偶数”的(
A )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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解析：m，n 均为偶数，则 m＋n 为偶数，即“m，n 均 为偶数⇒m＋n 是偶数”为真命题， 但 m＋n 为偶数推不出 m， n 均为偶数，如 m＝1，n＝1.“m，n 均为偶数”是“m＋n 是偶数”的充分而不必要条件，故选 A.
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解析：由题意知，A、B、C 的关系用下图来表示．
由上图结合“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则 易得：“x∈C”是“x∈A”的必要不充分条件，故① 错误，②正确，③错误，④错误．
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4.给定下列命题： ①若 k＞0，则方程 x2＋2x－k＝0 有实数根； ②若 x＋y≠8，则 x≠2 或 y≠6； ③“矩形的对角线相等”的逆命题； ④“若 xy＝0，则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题． 其中真命题的序号是 .
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解析：原命题“对于正数 a，若 a＞1，则 lg a＞0”是真 命题； 逆命题“对于正数 a， 若 lg a＞0， 则 a＞1”是真命题； 否命题“对于正数 a，若 a≤1，则 lg a≤0”是真命题；逆否 命题“对于正数 a，若 lg a≤0，则 a≤1”是真命题．故答案 为 4.
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【思路点拨】根据倒数的定义判断(1)即可；写出否命题， 然后判断(2)的真假；写出逆否命题，通过解得方程无解的 条件来判断(3)；利用命题与逆否命题真假相同来判断(4)．
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【解答过程】 (1)原命题的逆命题是： 若 x， y 互为倒数， 则 xy＝1，根据倒数的定义，是真命题；(2)原命题的否命题 是：面积不相等的三角形不全等，是真命题；(3)原命题的逆 否命题是：方程 x2－2x＋m＝0 没有实数解，则 m＞1，因为 Δ＝4－4m＜0⇒m＞1，所以是真命题；(4)因为 A∩B＝A，则 A⊆B 是真命题，所以它的逆否命题是真命题． 答案： D
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【跟踪训练 2】若“x∈[2,5]或 x∈{x|x＜1 或 x＞4}”是假 命题，则 x 的取值范围是 .
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解析：若“x∈[2,5]或 x∈{x|x＜1 或 x＞4}”是假命题， 则它的否命题为真命题即{x|x＜2 或 x＞5}且{x|1≤x≤4}是真 命题，所以 x 的取值范围是[1,2)．
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【跟踪训练 1】 (2014· 陕西)原命题为“若 z1， z2 互为共轭 复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假 性的判断依次如下，正确的是( A．真，假，真 C．真，真，假 ) B．假，假，真 D．假，假，假
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解析：根据共轭复数的定义，命题“若 z1，z2 互为共轭 复数，则|z1|＝|z2|”是真命题；其逆命题是： “若|z1|＝|z2|， 则 z1，z2 互为共轭复数”，例如|1|＝|－1|，而 1 与－1 不是 互为共轭复数，所以逆命题是假命题；根据否命题与逆命题 是互为逆否命题，命题与其逆否命题同真同假，所以原命题 的否命题是假命题；逆否命题是真命题．故选 B.
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解析：①因为 Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①是真命 题； ②其逆否命题为真，故②是真命题； ③逆命题： “对角线相等的四边形是矩形”， 是假命题； ④否命题：“若 xy≠0，则 x、y 都不为零”，是真命题． 故答案为①②④.
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5.命题“对于正数 a， 若 a＞1， 则 lg a＞0”及其逆命题、 否命题、逆否命题四个命题中真命题的个数为 4 .
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3. 若非空集合 A、B、C 满足 A∪B＝C，且 B 不是 A 的 子集，则下列说法中正确的是 ② (填序号)． ①“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件； ②“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件； ③“x∈C”是“x∈A”的充要条件； ④“x ∈ C”既不是“x ∈ A”的充分条件也不是“x ∈ A”的必要条件．
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【解答过程】当命题 p 成立时，直线 l1：x－y－1＝0 与 直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，故两直线的斜率相等，所以 a＝ －1.当 q 成立时，a＝－1，直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x ＋ay－2＝0 平行，故命题 p 成立．综上，p 是 q 的充要条件． 答案：A
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【温馨提示】 (1)熟悉四种命题的概念是判断四种命题 真假的关键；(2)当判断一个命题的真假时，若命题简单可 直接判断；否则，利用其逆否命题进行真假判断；(3)正确 的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例， 这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向， 有时举出反例可能比进行推理论证更困难， 二者同样重要．
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二
充分条件、必要条件的判断
【例 2】已知 p：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－
2＝0 平行，q：a＝－1，则 p 是 q 的( A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
)
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【思路点拨】当命题 p 成立时，利用两直线平行，斜率相 等，能推出 q 成立；当 q 成立时，利用斜率相等，在纵轴 上的截距不相等，能推出命题 p 成立．故 p 是 q 的充要条 件．