《线性代数复习资料》习题三.docx

第三章习题

一、选择题

1.设4为加X/2矩阵，则Ar = O有非零解的充分必要条件是( )

(A)r(A) = n (B) r(A) = m (C) r(A) < n (D) r(A) < m

2.设A是加m矩阵，Ax = O是非齐次线性方程组Ax = b对应的齐次方程组，那么

下列叙述正确的是( )

(A)如果Ar = O只有零解，那么Ax = b有唯一解

(B)如果Ax = O有非零解，那么= b有无穷多个解

(C)如果Ax = b有无穷多个解，那么心=0只有零解

(D)如果Ax = h有无穷多个解，那么山=0有非零解

3.设A为m矩阵，则有( )

(A)若m

(B)若加5则A Y =0有非零解,且含有n-m个自由末知量

(C)若A有几阶子式不为零，则Ax = h有唯一解

(D)若A有几阶子式不为零，则Ar = 0仅有零解

3x + Ay - z = 0 4•方程组<4y + z = 0 有非零解，贝U=( )

Ax-5y- z = 0

(A) A = 0 (B) 2 = 1 (C) A = -l (D)久=一3或久=一1

5.向量组0,闵,・・・,冬(5>2)线性无关的充分必要条件是( ).

(A)0,闵,…,％都不是零向量

(B)0,°2，・・・,匕任意两个向量的分量不成比例

(C)0,①每一个向量均不可由其余向量线性表示

(D)0,$,至少有一个向量不可由其余向量线性表示

6.设向量0 =a，bi，cJs二他厶心),0] =(ci\,b\,C\,d),02二他厶心,％)，下列命题中正确的是( )

(A)若线性相关，则必有0|,02线性相关

(B)若0,的线性无关,则必有久02线性无关

(C)若A，%线性相关，则必有0,也线性无关

(D)若0|,禹线性无关，则必有线性相关

7•向量组0,°2,…,％G»2)的秩不为零的充分必要条件是( )

(A)e，俐,…,％中没有线性相关的部分组

(B)0,6^2,…,％中至少有一个非零向量

(C)es，…,％全是非零向量

(D)…，a$全是零向量

&向量组0,。2,％线性无关的充耍条件是( )

(A)向量组屮不含0向量

(B)向量组的秩等于它所含向量的个数

(C)向量组中任意厂-1个向量无关

(D)向量组屮存在一个向量，它不能由其余向量线性表示

9 •若加个77维向量线性无关，贝9( )

(A)再增加一个向量后也线性无关

(B)去掉一个向量后仍线性无关

(C)其中只有一个向量不能被其余的线性表示

(D)以上都不对

10.

设A为加m矩阵，则齐次线性方程组Ar = 0仅有零解的充分条件是( )

(A)A的列向量组线性无关(B) A的列向量组线性相关

(C) A的行向量组线性无关(D) A的行向量组线性相关

11.已知0可由勺乞，為线性表示，但0不能由Qi©线性表示，则下面结论止确

的是( )

(A)购能由勺。2，0线性表示，但不能由0,^2线性表示

(B)购能由0,°2，0线性表示，也能由。|，。2线性表示

(C)①不能由0线性表示，也不能由线性表示

(D)他不能由0，以2，0线性表示，但能由线性表示

12. 设A 为方阵，贝iJ|A|= 0的必要条件是(

(A) A 屮有两行(列)元素对应成比例 (B) A 的任一行向量为其它行向量的线性组合 (C) A 中必有一行向量为其它行向量的线性组合 (D) A 屮至少有有两一行元素全为零

二、填空题:

1 ,且秩(A)=2,则 a=

(5

3丿

2. 设a x = (1,0,1), a 2 = (0-1-1) a 3 = (1,1,1), 0 = (3,5,6),则 0被a p a 2,a 3线性表

示的表示式为 _____________ .

3 •向量a = (°丄-1)和0 = (b, -2,2)线性相关的充要条件是 __________ ・ 4. 设© = (-1,3,1),如=(2,1,0)偽=(1，4,1)，则 ©Sa 线性 _____________ 关。 5. 已知向量组q =(1,3,1)4= (0丄1)

4 =(14灯线性相关贝"二 _______________

X, + 2 兀2 一 2 兀3 = 0

7.设线性方程组2西-吃+尬3 =0的系数矩阵为A,设B 为3阶方阵，BH0,

3x, + x 2 - x 3 = 0

—0,贝U= ____________

9•已知4是5x4矩阵，且线性方程组Ax = h 有唯一解，则r(A)= ____________ 三、计算题

14.设乞，a?是Ax = O 的解，(3\,

(A) 2e +0］是Ar = O 的解

(C) =0

02是Ax = b 的解，则(

)

(B) 0| + 02是仏=方的解 (D) 0| — 02是山=方的解

6.己知向量组® =

5 % *的秩为厶则数心

kx x + x 2- x 3 =0

&若齐次线性方程组山+也-心=0只有零解, 则£的范围为 4

7

1・・给定向量组:6T, =(l,2,3,l)r ,6r 2=(3,-l,2,-4)r ,^=(-l,2,l,3)r ,

勺=(—2,3 丄 5几他=(2,1,5,4)厂

(1)求向量组a },a 2,a 3,a 4, a 5的秩，并判断该向量组的线性相关性; (2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示。

并写出表示式。

兀]+七+ 2兀+ 3% = 1

3. 当恥取何值时，线性方程组茫+牝+6兀3+兀4=3无解，有唯一解，有无

3召-x 2 - a® +15兀4 =3

X -5X 2 一

10兀3 + 12兀=b

穷多解？在方程组有无穷多解时，求方程组的所有解。 四、证明题

1. 是齐次线性方程组Ax = O 的一个基础解系，证明：0\=a

、,

02二G] +02，03 = "1 +色+"3也是加=0的一个基础解系。

<1

>

T

1

=

2

= 3

(1、

< 1、

(1 ) -1

2

,0二

1 。+

2 ,。4 =

4

方+ 3 < 1 )

W + 8丿

< 5 >

试问(1)当为何值时,

0能由a 4唯一的线性表示?

(2)当d"为何值时，

0不能由a^a 2,a 3, a 4线性表示?

(3)当Q"为何值时,

0能由a 2, aa 4线性表示，但表示法不唯一,

2 •设向量组$