[二分法,求解,变量,其他论文文档]二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现
c语言计算机编程三种方法求解非线性方程
本科专业学年论文题目：非线性方程求解比较姓名：何娟专业：计算机科学技术系班级：08级本科（2）班指导老师：刘晓娜完成日期：2010年11 月21 日题 目：非线性方程求解比较摘 要本文给出了三种求解非线性方程的方法，分别是二分法，牛顿迭代法，割弦法。
二分法巧妙地利用插值得到的点以及有根区间中点这两点处的函数值，缩小隔根区间，以期望得到更快的收敛速度。
牛顿迭代法是非线性方程根的一种常见的数值方法,对于非线性方程的单重零点来说，牛顿迭代法一般具有局部二阶收敛性,但是当所求的根X*是F(X)的M 重根时,M 是大于等于2的整数,此时牛顿迭代法只有一阶收敛性。
弦截法是将牛顿迭代公式中用差商F(k x )-F(1-k x )/ （k x - 1-k x ）代替导数'()k F x 。
本文给出了算法改进的具体步骤及算法流程图相关的数值结果也说明了方法的有效性。
关 键 词 : 二分法；牛顿迭代法；割弦法；非线性方程目录第一章绪论- 3 -第二章求解非线性方程的三种常见算法……………………………- 4-2.1 二分法………………………………………………………-4 -2.2 牛顿迭代法……………………………………………………- 5 -2.3 割弦法- 6 -第三章求解非线性方程的三种算法比较- 8 -3.1 二分法求解方法- 8 -3.2 牛顿迭代法求解- 10 -3.3 割弦法求解- 11 -参考文献- 14 -第一章绪论在科技飞速发展的今天，计算机已经成为我们生活中不可缺少的一部分了，在我们生活与生产中扮演越来越重要的角色，而科学计算已经成为科学计算的重要方法之一，其应用范围已渗透到所有科学领域，作为科学与工程计算的数学工具，计算方法已成为高等院校数学与应用数学，信息与计算科学，应用物理学等必修课。
在永恒变化发展的自然界与人类社会中，在研究其内部规律的各个科学领域中，更深刻、更精确地描述其内部规律的数学工具之一，就是非线性方程。
非线性方程解法二分法实验报告
第七章非线性方程解法⒈二分法考察有根区间[a, b]，取中点x0=(b+a)/2 将它分为两半，假设中点x0不是f(x)的零点，然后进行根的搜索，即查找f(x0)与f(a)是否同号，如果确系同号，说明所求的根x*在x0的右侧，这是令a1= x0，b1=b;否则x*必在x0的左侧，这是令a1=a,b1=x0,不管出现哪一种情况，新的有根区间[a1, b1]的长度仅为[a, b]的一半。
.重复以上做法得新近似根x1,…这样不断将区间分半,得到一系列区间[an , bn],和近似根(区间中点)nx,n=0,1,2,3…,nx误差为(b-a)/2n+1.这样的方法称为二分法。
下面是一个关于二分法的例子。
例1求f(x)=x3- x-1=0在区间[1,1.5]内的一个实根，要求准确到小数点后的第二位.这里a=1,b=1.5,而f(a)<0,f(b)>0。
取[a,b]的中点x0=1.25，将区间二等分，由于f(x0 )<0, 既f(x0 )与f(a)同号，故所求的根x*必在x0 右侧，这是应令a1＝x0 =1.25, b1=b=1.5,而得到新的有根区间［a1，b1］，这样继续结果如下表：x6.实际上x5就有三位有效数字了.二分法实验(1)上机题目：二分法的应用实验目的：熟悉二分法并在计算机上实现实验要求：①上机前充分准备，复习有关内容，写出计算步骤，查对程序；②完成实验后写出完整的实验报告，内容应该包括：所用的算法语言，算法步骤陈述，变量说明，程序清单，输出计算结果，结果分析等等；③用编好的程序在Ｍatlab环境中执行。
算法说明：①找出计算f(x)在有限根区间[a, b]端点的值，f(a),f(b)②计算计算f(x)在区间中点（2ba+）处的值f(2ba+) .③判断若f(2ba+)=0，则2ba+即是根，计算过程结束，否则检验若f(2ba+)f(a)<0,则以2ba+代替b,否则以2ba+代替a.反复执行步骤②和步骤③，直到区间[a, b]长度小于允许误差ξ，此时中点2ba+即为所求近似根。
二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现
二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现论文关键词：二分法单变量非线性方程收敛性误差论文摘要：本文主要通过一个实例来研究单变量非线性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收敛性，根据误差估计确定二分次数并进行求解。
同时实现atlab和语言程序编写。
从而掌握过程的基本形式和二分法的基本思想，在以后的学习过程中得以应用。
1.引言在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。
而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。
对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。
因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。
近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。
我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。
2.二分法一般地，对于函数f(x),如果存在实数,当x=时f()=0,那么把x=叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],现在假设f(a)0,f(b)0,ab①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=b，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)0,给定精确度ξ.2.求区间(a,b)的中点.3.计算f().(1)若f()=0,则就是函数的零点;(2)若f(a)·f()0,则令b=;(3)若f()·f(b)0,则令a=.4.判断是否达到精确度ξ:即若┃a-b┃ξ,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.由于计算过程的具体运算复杂，但每一步的方式相同，所以可通过编写程序来运算。
【精品】浅析二分法及其Matlab和C程序实现
浅析二分法及其Matlab和C程序实现第一部分：二分法浅析用二分法求方程的近似解是紧跟在“函数的零点”之后的教学内容。
从联系的角度看，前面一节，学生已经学习了方程的根与函数的零点之间存在着对立统一的关系，这一节则是介绍一种具体的方法来运用这一关系解决问题。
从整个教材来分析，这一部分的内容是在“函数的应用”这一大章节之下。
新课程标准中强调函数的应用性，这里包括两个方面：一方面是函数在生活实践中的应用，函数建模等内容属于这个范畴；另一方面则是函数在数学自身范围内的应用，“二分法”即是其中的代表。
基于以上的分析，笔者给出了以下的一些教学建议，与读者朋友们分享。
一、为什么要用二分法就通过试验缩小搜索区间来讲，试验点不一定取中点，取其他的点也可以，那么为什么取中点呢?下面以搜索区间为[0，1]的情况作讨论。
一种对所有搜索区间为[0，1]的方程f(x)=0都适用的方法，即对集合G={f（x）=0，f （x）连续，且f(0)·f(1)<0}中的所有方程都适用的方法.一个合理的假设是：G中所有方程f(x)=0的根在[0，1]上均匀分布.设试验点是c，那么c将[0，1]分成[0，c]和[c，1]两部分，它们的长度分别是c和1-c.由假设，通过试验保留的搜索区间是[0，c]（即方程f(x)=0的根在[0，c]中）的概率是c，通过试验保留的搜索区间是[c，1]的概率是1-c.因此，通过一次试验保留的搜索区间的期望长度为c2+(1-c)2=2c2-2c+1=2(c-)2+，容易看出，当c=的时候，通过一次试验保留的搜索区间的期望长度最小。
这就是取中点作为试验点的原因。
二、引入方法方法1：已知商店里一件商品的利润y与它的价格x之间满足函数关系y=x2-4x+3，请画出这个函数的图像，并思考当价格为多少元的时候商店不盈也不亏.方法2：创设问题情景：蹦极运动.设下落的时间t秒.人离开参照点“礁石尖端”的位移为S(S=0表示人在礁石点处，向下取负，向上取正)，开始下落时，时间t=0，在t ∈[4，6]时的变化如下表：问：这段时间内人有几次通过礁石尖端处?方法3：使用“幸运52”猜测商品价格的游戏作情景．方法4：(1)请同学们思考下面的问题：能否解下列的方程①x2-2x-1=0②lg x=3-x③x4-3x-1=0(2)特殊入手：不解方程求方程x2-2x-1=0的近似解(精确到0.01).方法1、2、3都是以“实际问题”为情境引入.方法4以学生已有的认知水平：会求一元二次方程的实数解，对应二次函数的图像与二轴的交点坐标.让学生探究具体的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像与二轴的交点的横坐标的关系，再探究一般的一元二次方程的根与其对应的一元二次函数的图像与x轴的交点的横坐标的关系.三、函数零点的处理用二分法求方程近似解的理论基础是零点存在定理.下面我们来看看教材上描述的零点存在定理.如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间[a，b]内有零点即存在c∈(a，b)，使f(c)=0.由此可见，定理的题设部分有两个条件：(1)y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线;(2)f(a)f(b)<0.学生在运用这个定理时往往会存在以下疑问：①我怎样去判断某一函数的图像在某一区间是连续不断的呢?②y=f(x)满足条件(1)(2)就一定存在零点，那么是否只存在一个零点呢?③若把条件(2)改为f(a)f(b)>0，则y=f(x)在(a，b)是否就不存在零点呢?对于问题①，我们可以告诉学生我们前面所学的一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数在它们各自的定义域内图像都是连续的.这些函数经过加减乘除或经过复合而成的新的函数在各自的定义域内图像仍然是连续的.对于问题②，主要通过观察函数图像来总结．（1）对全部零点为单重零点既对应方程无重根的情况．y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线且f(a)f(b)<0，则y=f(x)在（a，b）上有奇数个零点．若y=f(x)在区间[a，b]上单调则y=f(x)在(a，b)上有唯一零点．y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线且f(a)f(b)>0，则y=f(x)在(a，b)上有偶数个零点．若y=f(x)在区间[a，b]上单调则y=f(x)在(a，b)上有无零点．可以看出连续函数的零点具有一个很重要的性质：函数的图象如果是连续的，当它通过零点时，函数的值变号，也就是图象要经过该点要穿越x轴.（2）对多重零点的情况从图7、图8可以看出偶数重零点不穿过x轴；奇数重零点穿过x轴．函数若有一零点为多重零点，当该零点为偶重零点时，图象通过该零点时，函数值不变号，也就是图象经过该零点而不穿越x轴.当该零点为奇重零点时，图象经过该点时函数值要变号，也就是图象经过该零点且穿越x轴.处理好这个问题是本节课的关键．四、精度精确度的说明是一个无法避免的问题，而且需要和初中学习的“精确到”有所区分.教学中不可能让学生掌握严格的、形式化的定义，而且教科书对此也作了简化处理：对于达到精确度ε的界定是只要精确值所在区间的长度小于ε，那么这个区间的所有的值就都是满足精确度ε的近似值.那么，如何让学生明白这个含义呢?一个可行的方法就是通过简单例子来说明问题．最后，在学生思考、讨论及进一步分析的基础上给出精确度的含义：“一般地，对于数值x，如果要获得它的满足精确度0.01的近似值，就是找到一个包含x的区间[a，b]，只要|a-b|<0.01即可.”五、二分法的定义与步骤利用二分法求方程的近似解时，学生用二分法求方程的近似解最大的困难就是第一步.第一步确定初始区间不好把握.要引导学生先研究函数的性质，画出函数大致图象，再确定初始区间.如果我们对函数的性质不了解，不能画出大致图象，问题比较麻烦，只能采用尝试的办法去搜索它的初始区间.六、信息技术的使用有意识借助计算器和几何画板帮助学生探究得到零点个数，下面以E xc el为例引导学生求y=ln(2x+6)+3-3x的零点．先用画函数图象工具画出函数图象．确定初始区间为[1，2]，然后确定第一次迭代时每个单元格的公式，最后填充即可：x1(x1+x2)/2x2f(x1)f((x1+x2)/2)f(x2)f(x1)f(x2)f((x1+x2)/2)f(x1)f((x1+x2)/2)f(x2)精度迭代次数11.522.0794420.001072-3.69741-7.6885581540.002229483-0.00396111.51.7520.001072-1.58723-3.69741-0.003964201-0.0017017555.8686460.521.51.6251.750.001072-0.73642-1.58723-0.001701755-0.0007895521.1688620.2531.51.56251.6250.001072-0.35445-0.73642-0.000789552-0.0003800290.2610250.12541.51.531251.56250.001072-0.1735-0.35445-0.000380029-0.0001860160.0614970.062551.51.5156251.531250.001072-0.08543-0.1735-0.000186016-9.15918E-050.0148220.0312561.51.5078131.5156250.001072-0.04198-0.08543-9.15918E-05-4.50126E-050.0035870.01562571.51.5039061.5078130.001072-0.02041-0.04198-4.50126E-05-2.18796E-050.0008570.81.51.5019531.5039060.001072-0.00966-0.02041-2.18796E-05-1.03521E-050.0001970.91.51.5009771.5019530.001072-0.00429-0.00966-1.03521E-05-4.59805E-064.14E-050.001953125101.51.5004881.5009770.001072-0.00161-0.00429-4.59805E-06-1.72346E-066.89E-060.000976563111.51.5002441.5004880.001072-0.00027-0.00161-1.72346E-06-2.8677E-074.3E-070.000488281121.51.5001221.5002440.0010720.000402-0.00027-2.8677E-074.31423E-07-1.1E-070.000244141131.5001221.5001831.5002440.0004026.75E-05-0.00027-1.07627E-072.71495E-08-1.8E-080.141.5001831.5002141.5002446.75E-05-1E-04-0.00027-1.80465E-08-6.74688E-092.67E-086.10352E-05151.5001831.5001981.5002146.75E-05-1.6E-05-1E-04-6.74688E-09-1.09724E-091.63E-093.05176E-05161.5001831.5001911.5001986.75E-052.56E-05-1.6E-05-1.09724E-091.72755E-09-4.2E-101.52588E-05171.5001911.5001951.5001982.56E-054.67E-06-1.6E-05-4.16389E-101.19598E-10-7.6E-117.62939E-06181.5001951.5001961.5001984.67E-06-5.8E-06-1.6E-05-7.59619E-11-2.70718E-119.43E-113.8147E-06191.5001951.5001961.5001964.67E-06-5.6E-07-5.8E-06-2.70718E-11-2.62675E-123.26E-121.90735E-06201.5001951.5001951.5001964.67E-062.05E-06-5.6E-07-2.62675E-129.59574E-12 -1.2E-129.53674E-07211.5001951.5001951.5001962.05E-067.46E-07-5.6E-07-1.15526E-121.53249E-12-4.2E-134.76837E-0722七、二分法思想的应用注意用二分法的思想解决其他问题．（2006浙江16题）设f(x)=3ax，f(0)＞0，f(1)＞0，求证：(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；(Ⅱ)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.证明：（I）（略）（II）解法1：抛物线的顶点坐标为，利用二分法思想在的两边乘以，得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。
二分法非线性方程求解
1、编程实现以下科学计算算法，并举一例应用之（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等编著，电子工业出版社，2009年） “二分法非线性方程求解”二分法的具体求解步骤如下。
（1）计算函数f(x)在区间[a,b]中点的函数值f((a+b)/2)，并作下面的判断： 如果0)2()(<+ba f a f ，转到（2）； 如果0)2()(>+b a f a f ，令 2ba a +=，转到（1）； 如果 0)2()(=+b a f a f ，则 2ba x +=为一个跟。
（2）如果 ε<+-|2|b a a （ε为预先给定的精度），则43ab x +=为一个根，否则令2ba b +=，转到（1）。
在MATLAB 中编程实现的二分法函数为：HalfInterval 。
功能：用二分法求函数在某个区间上的一个零点。
调用格式：root=HalfInterval(f,a,b,eps). 其中，f 函数名； a 为区间左端点； b 为区间右端点；eps 为根的精度； root 为求出的函数零点。
二分法的MATLAB 程序代码如下：function root=HalfInterval(f,a,b,eps) %二分法求函数f 在区间[a,b]上的一个零点 %函数名：f %区间左端点：a %区间右端点：b %根的精度：eps %求出的函数零点：root if (nargin==3) eps=1.0e-4;endf1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a); %两端点的函数值f2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);if(f1==0)root=a;endif(f2==0)root=b;endif(f1*f2>0)disp('两端点函数值乘积大于0!');return;elseroot=FindRoots(f,a,b,eps); %调用求解子程序endfunction r=FindRoots(f,a,b,eps)f_1=subs(sym(f),findsym(sym(f)),a);f_2=subs(sym(f),findsym(sym(f)),b);mf=subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2); %中点函数值if(f-1*mf>0)t=(a+b)/2;r=FindRoots(f,t,b,eps); %右递归elseif(f_1*mf==o)r=(a+b)/2;elseif(abs(b-a)<=eps)r=(b+3*a)/4; %输出根elses=(a+b)/2;r=FindRooots(f,a,b,eps); %左递归endendend流程图：实例应用：采用二分法求方程0133=+-x x 在区间[0，1]上的一个根。
非线性方程的数值解法中的二分法
非线性方程的数值解法中的二分法
二分法，又称秦九韶算法，是一种用来求解非线性方程的有效的数值解法。
它可以有效地将一个不确定的区间划分为两个不相交的子区间，其中一个至少包含方程的一个根，而另一个不包含根，这样重复地使用子区间，就可以缩小包含根的子区间从而求出根。
它具有准确性好、计算量小、理论考虑简单等优点。
因此，二分法逐渐得到了在互联网科技领域的广泛应用，受到了更多关注。
作为一种基础性的数学算法，二分法的基本原理是将一个不确定的区间分成两个相等的小区间，其中一个必定包含方程的一个根，而另一个肯定不包含根，然后针对这两个相邻区间，不断求解，直到最后已经求出根为止。
具体地说，在给定一个区间[a，b]，要求函数f (x)在[a，b]内存在唯一根r，根据贴合定理，只需要计算函数在两个端点的值，并判断它们是否异号，如果异号，则区间[a，b]一定包含根r。
接着，利用c =(a＋ b) / 2将区间[a，b]分成两个小区间[a，c]和[c，b]，逐渐缩小根所在的区间范围，直到最后确定根的准确值。
由于数值计算的准确性高、计算量小、计算过程简单，因此二分法在许多互联网科技应用中大量采用，如自动搜索引擎服务，精准推荐等。
此外，在建模和科学研究中，二分法也被广泛运用，例如求解非线性方程组、解析一元函数最优解等。
综上所述，二分法是一种有效的数值解法，在互联网科技的应用非常广泛，如搜索引擎服务、精准推荐以及科学研究等，它具有计算准确度高、计算量小、理论需要考虑较少的优势，有效地解决非线性方程的求解问题，同时也为科技进步和科学发展作出了贡献。
二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现(精)
二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现论文作者：任珊 2010-10-2720:32:00论文关键词：二分法单变量非线性方程收敛性误差论文摘要：本文主要通过一个实例来研究单变量非线性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收敛性，根据误差估计确定二分次数并进行求解。
同时实现matlab和C语言程序编写。
从而掌握过程的基本形式和二分法的基本思想，在以后的学习过程中得以应用。
1. 引言在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。
而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。
对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。
因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。
近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。
我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。
2. 二分法一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2], 现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
非线性方程求解
非线性方程求解在数学中，非线性方程是一种函数关系，其表达式不能通过一次函数处理得到。
与线性方程不同，非线性方程的解决方案往往更具挑战性，因为它涉及到更复杂的计算过程。
尤其在实际应用中，非线性方程的求解是一个非常重要的问题。
本文将讨论几种常用的非线性方程求解方法。
二分法二分法，也称为折半法，是一种基本的求解非线性方程的方法之一。
它的核心思想是将区间一分为二并判断方程在哪一半具有根。
不断这样做直到最终解得精度足够高为止。
下面是利用二分法求解非线性方程的流程：1. 设定精度值和区间范围2. 取区间的中点并计算函数值3. 如果函数值为0或函数值在给定精度范围内，返回中点值作为精确解4. 如果函数值不为0，则判断函数值的正负性并缩小区间范围5. 重复步骤2-4直到满足给定精度为止当然，这种方法并不总是能够找到方程的解。
在方程存在多个解或者区间范围不合适的情况下，二分法可能会导致求解失败。
但它是一种很好的起点，同时也是更复杂的求解方法中的一个重要组成部分。
牛顿迭代法牛顿迭代法是一种更复杂的求解非线性方程的方法。
它利用泰勒级数和牛顿迭代公式，通过不断迭代来逼近根的位置。
下面是利用牛顿迭代法求解非线性方程的流程：1. 先取一个近似值并计算函数值2. 求出函数的导数3. 利用牛顿迭代公式，计算下一个近似根4. 检查下一个近似根的精度是否满足条件，如果满足，返回当前近似根5. 如果精度不满足，则将新的近似根带入公式，重复步骤2-5当然，牛顿迭代法的收敛性并不总是保证的。
如果迭代过程太过温和，它可能无法收敛到精确解。
如果迭代过程过于暴力，则会出现发散现象，使得求解变得不可能。
其他方法此外，还有一些其他的求解非线性方程的方法，例如黄金分割法、逆二次插值法、牛顿切线法等等。
其中每一种方法都有其优缺点，不同的情况下，不同的方法都可能比其他方法更加适合。
结论总体来说，求解非线性方程的方法非常复杂。
无论是哪种方法，都需要一定的数学基础和计算机知识。
非线性方程的二分法
1 条件 f ( x) C[a,b],且f (a) f (b) 0
2 主要依据 由连续函数介值定理,则至少存在某个 x* (a,b),
使得f ( x* ) 0,即[a,b]内至少有方程(2.1)的一个根,称[a,b]为f(x)
的一个含根区间。并且有
x* a b b a
有根区间 中点 x n
-(1,2)+ (1,1.5)
x1 1.5 x2 1.25
(1.25,1.5)
x3 1.375
(1.25,1.375) x4 1.313
(1.313,1.375) x5 1.344
(1.344,1.375) x6 1.360
(1.360,1.375) x7 1.368
bk
生成含根区间[ak 1,bk 1] ,满足（2.2）式，即
(1) [ak 1 , bk 1 ] [ak h
(2) bk1 akak1 ak bk1 xk
x
(3) f (ak 1 ) f (bk 1 ) 0
含根区间 [ak 1,bk 1] 满足（2.2）式，即
对
区((间12))[找 a计k ,中算bk点](:,(23f)：)kbif令(xafaki ()ixkf12（ )(2(bhiai即)1k,中 i0b,k点 i0);,的 10,,1函,,数 k,,k值. ）; (3) 生成含根区间：
(2.2)
ak ak
x* xk xk
若f ( x1 ) 0，则x* x1 ,
若f ( x1 ) f (a1 ) 0, 取a2 x1, b2 b1, 若f ( x1 ) f (a1 ) 0, 取a2 a1, b2 x1,
数学实验项目-使用二分法对非线性方程求根
end 程序输出
n=01,当前有根区间是[0.000000,0.500000],近似根为 0.500000,wucha=0.500000 n=02,当前有根区间是[0.250000,0.500000],近似根为 0.250000,wucha=0.250000 n=03,当前有根区间是[0.250000,0.375000],近似根为 0.375000,wucha=0.125000 n=04,当前有根区间是[0.250000,0.312500],近似根为 0.312500,wucha=0.062500 n=05,当前有根区间是[0.250000,0.281250],近似根为 0.281250,wucha=0.031250 n=06,当前有根区间是[0.265625,0.281250],近似根为 0.265625,wucha=0.015625 n=07,当前有根区间是[0.265625,0.273438],近似根为 0.273438,wucha=0.007813 n=08,当前有根区间是[0.265625,0.269531],近似根为 0.269531,wucha=0.003906 n=09,当前有根区间是[0.265625,0.267578],近似根为 0.267578,wucha=0.001953 n=10,当前有根区间是[0.265625,0.266602],近似根为 0.266602,wucha=0.000977 n=11,当前有根区间是[0.266113,0.266602],近似根为 0.266113,wucha=0.000488 n=12,当前有根区间是[0.266113,0.266357],近似根为 0.266357,wucha=0.000244 n=13,当前有根区间是[0.266235,0.266357],近似根为 0.266235,wucha=0.000122 n=14,当前有根区间是[0.266235,0.266296],近似根为 0.266296,wucha=0.000061 n=15,当前有根区间是[0.266235,0.266266],近似根为 0.266266,wucha=0.000031 n=16,当前有根区间是[0.266235,0.266251],近似根为 0.266251,wucha=0.000015 n=17,当前有根区间是[0.266243,0.266251],近似根为 0.266243,wucha=0.000008 n=18,当前有根区间是[0.266247,0.266251],近似根为 0.266247,wucha=0.000004 n=19,当前有根区间是[0.266247,0.266249],近似根为 0.266249,wucha=0.000002 n=20,当前有根区间是[0.266248,0.266249],近似根为 0.266248,wucha=0.000001
运筹学毕业论文选题【范本模板】
运筹学毕业论文选题1。
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2。
非线性连续型效用函数的构造方法及其应用3。
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某企业质量管理信息系统的分析与设计17.线性规划及其对偶理论在工业工程与管理中的应用18。
设备可靠性与维护策略研究19。
某某（120）服务质量及其应用20.模糊矩阵在环境评估中的初步应用21。
模糊评判在电脑中的初步应用22.考虑市场预期的供求关系模型23.用风险预算进行资产配置24。
模糊规划及其在金融分析中的应用25。
在混合分数债券市场中的套利与马尔科夫问题26。
城市表层土壤重金属污染优化处理27。
城市交警（120/119）服务平台的设置与调度问题28。
城市交巡警(120/119）平台设置与调度模型29.大学生数学建模社会实践教育平台30铜仁烟厂合理安排生产及调度问题31.运筹学在生活中的指导与应用32.网络计划技术及其应用33.淘宝买家购物11-11决策分析34.铜仁市大兴区高新技术产业灰色关联度分析35.购买彩票中的概率分析36。
中心极限定理的探究37。
死亡率差异对纯保费的影响38。
关于随机变量概念的研究39.利用药物动力学房室模型分析饮酒（疲劳）驾车问题40。
对现在铜仁市市场上一些易拉罐情况调查设计与优化设计41。
B—S期权定价及基本假设的探究42。
利用LINGO解决运输成本优化问题43.市场的波动性及信息不对称性分析44。
数学实验二（matlab中二分法求解方程）
云南大学数学与统计学实验教学中心实验报告
数学实验（二）
一、实验目的：练习用数值迭代逼近法解非线性方程。
1.区间迭代法：对分法和黄金分割法
2.点的迭代法：简单迭代法
二、实验内容：用二分法（即对分法）编程求解方程。
0123=---x x x
三、实验环境：MATLAB.
四.实验方法：
程序代码：
function X=fan(a,b)
e=1e-2;
ep=1;
x0=a;
xn=b;
x=0;
k=0;
N=100;
while (ep>e)
x=(x0+xn)/2;
f1=x^3-x^2-x-1;
f2=x0^3-x0^2-x0-1;
f3=xn^3-xn^2-xn-1;
if f1*f2<0
x0=a;
xn=x;
elseif f1*f3<0
x0=x;
xn=b;
end
ep=abs(f1);
k=k+1;
if k>N
break;
end
x
ep
实验结果：
fan(a,b)
x =
1.8572
ep =
0.0993
五、实验过程
1实验步骤
2 关键代码及其解释
3 调试过程
六、实验总结
1．遇到的问题及解决过程
2．产生的错误及原因分析
3．体会和收获。
非线性方程求根二分法优秀文档
要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓“根的搜 索”，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各 个根的近似值。
7.1 二分法
总结上述讨论有下列定理
这样就得到区间分半次数k.
--------(1)
如果存在 x*使 ,一得 f点 (x*)0
且 以等比数列的收敛速度
则称 x*为方(程 1)的根或零点
值得注意的是，为了求出足够精确的近似解，往往需要计算很多次函数值，是一种收敛较慢的方法，通常用求根的粗略近似值，把它
作为后面要讨论的迭代法的初始值。
如果方(1程 )在区[间 a,b]上只有一个根， 重复上述步骤，第k步就得到根 的近似
方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。
本节主要研究单根区间上的求解方法
如果方 (1)程 在区[a间 ,b]上有多个根， 要求出方程的所有实根，往往要先进行所谓“根的搜索”，即先找出有根的区间，然后再在有根区间上求各个根的近似值。
方程的数值解法的收敛性，也与方程根的重数有关。 且 以等比数列的收敛速度
且 以等比数列的收敛速度
为方程的有根区间。 对有根区间
重复上述步骤，即分半求中点，判断函数值符号，则可得到长度又缩小一半的有根区间
且 以等比数列的收敛速度
。
续，且f(a)f(b)<0.
二分法的基本思想，就是逐步将有根区间分 更一般地是，从有限区间的左端点出发，按预定的步长h一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查所在节点上的函
这样就得到区间分半次数k.
给定的精度要求
，由
非线性方程求根的常见方法及其应用
非线性方程求根的常见方法及其应用对于一个非线性方程，其解不一定是唯一的，而且很多情况下解根难以直接求得。
因此，寻找一种可靠、有效的方法来求解非线性方程根是非常重要的。
本文将介绍几种常见的非线性方程求根方法，并且介绍它们的应用场景及求解精度。
一、二分法二分法是一种最基本且易于实现的方法，它能够求解任何单峰函数（函数图像中仅有一个极大值或极小值的函数）的根。
该方法的主要思想是不断缩小根的区间，直到找到根。
具体而言，对于一个单峰函数f(x)，在区间[a,b]上寻找其根。
首先，取中点c=(a+b)/2，计算f(c)。
如果f(c)≈0，则找到了根；否则，根位于[a,c]或[c,b]中的一个区间上，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点是简单易用，适用于大部分单峰函数，并且收敛速度相对较快。
但是，该方法需要区间起点和终点具有异号，否则无法找到根。
二、牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的方法，可用于求解任何无奇点的连续可微函数的根。
该方法的主要思想是将一个复杂的函数不断逼近于一条直线，然后通过直线和x轴的交点来不断逼近函数的根。
具体而言，对于一个连续可微函数f(x)，在初始点x0处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处的导数f'(x0)来确定函数的切线。
然后，找到x轴上离该点最近的交点x1处，并将其作为新的起点，迭代上述过程，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
但是，该方法可能会出现迭代过程不稳定的问题，因此需要谨慎选择初值。
三、割线法割线法是一种类似于牛顿迭代法的方法，其主要思想是通过一条割线来逼近函数的根。
相比于牛顿迭代法，割线法更加适用于函数的导数难以求得的情况。
具体而言，对于一个函数f(x)，在初始点x0和x1处进行求解。
首先，通过f(x)在x=x0处和x=x1处的取值来确定割线，找到x轴上与割线交点x2处，并将其作为新的起点，重复上述步骤，直到找到根。
该方法的主要优点在于速度快、精度高，并且可适用于大多数函数。
算法二分法范文范文
算法二分法范文范文二分法是一种常用的查找算法，也称为折半查找算法。
它的基本思想是将有序数组分成两部分，通过对比中间元素与目标元素的大小关系，再选择在哪一部分继续查找，直到找到目标元素或确定目标元素不存在为止。
二分法的时间复杂度为O(log n)。
下面我们来详细介绍二分法的实现过程：1. 确定查找的范围：选择有序数组的起始位置start和结束位置end，初始时start=0，end=n-1，其中n为数组的长度。
2. 计算中间位置：通过计算中间位置mid，可以得到中间元素midValue。
mid = (start + end) / 2midValue = arr[mid]3.比较中间元素与目标元素的大小。
- 如果midValue等于目标元素，则表示找到了目标元素，返回查找结果。
- 如果midValue大于目标元素，则说明目标元素可能在左半部分，更新end=mid-1，回到步骤2- 如果midValue小于目标元素，则说明目标元素可能在右半部分，更新start=mid+1，回到步骤24. 重复步骤2和步骤3，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。
如果start>end，则表示目标元素不存在，返回查找结果。
下面我们以一个具体例子来说明二分法的实现过程。
假设我们要在一个有序数组arr=[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10]中查找目标元素71. 初始化start=0，end=92. 计算中间位置mid=(0+9)/2=4，获取中间元素midValue=arr[4]=53. 比较midValue与目标元素的大小。
- 因为midValue小于目标元素7，所以目标元素可能在右半部分。
- 更新start=mid+1=5，end=94. 再次计算中间位置mid=(5+9)/2=7，获取中间元素midValue=arr[7]=85. 比较midValue与目标元素的大小。
- 因为midValue大于目标元素7，所以目标元素可能在左半部分。
数学中的非线性方程求解
数学中的非线性方程求解非线性方程是指未知量与其函数之间不满足线性关系的方程。
解决非线性方程的问题一直是数学领域的研究重点之一，因为非线性方程在自然科学、工程技术以及金融经济等领域中具有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨几种常见的非线性方程求解方法。
一、二分法二分法也称为区间二分法，是求解非线性方程最基本的方法之一。
该方法利用非线性方程连续性的特点，将方程的解所在的区间不断二分并缩小区间范围，最终找到非线性方程的解。
考虑一个一元非线性方程f(x)=0，其中f(x)在区间[a, b]上连续且f(a)与f(b)异号。
根据区间中值定理可知，存在一点c属于(a, b)，使得f(c)=0。
我们可以按以下步骤进行二分法的求解：步骤1：选择区间[a, b]，计算函数值f(a)与f(b)。
步骤2：如果f(a)与f(b)异号，则继续进行下一步。
否则，结束计算，方程无解。
步骤3：计算区间中点c=(a+b)/2，并计算f(c)。
步骤4：如果f(c)接近于0或满足终止条件，则c为方程解。
否则，根据f(a)与f(c)的符号确定新的区间[a, c]或[c, b]。
步骤5：重复步骤3和步骤4，直至满足终止条件。
二、牛顿法牛顿法是一种迭代逼近的方法，通过使用函数的一阶和二阶导数来逼近非线性方程的解。
该方法基于泰勒级数展开，通过不断迭代逼近函数零点的位置。
考虑一个一元非线性方程f(x)=0，我们可以按以下步骤进行牛顿法的求解：步骤1：选择一个初始近似值x0。
步骤2：计算函数f(x)的一阶导数f'(x)和二阶导数f''(x)。
步骤3：使用初始近似值x0和函数导数来进行迭代计算，得到新的近似值x1。
迭代公式为x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)。
步骤4：计算函数f(x1)的值。
步骤5：如果f(x1)接近于0或满足终止条件，则x1为方程解。
否则，将x1作为新的近似值，重复步骤3和步骤4。
步骤6：重复步骤3至步骤5，直至满足终止条件。
(文章)二分法的妙用
二分法的妙用 “二分法”是体现算法思想的重要方法，它的主要用途是运用“逐步逼近”的思想方法求方程的近似解．另外，“二分法”在求解数学综合问题和实际问题中也有许多重要应用．下面举两例说明．例1 已知1x 是方程lg 3x x +=的解，2x 是方程103x x +=的解．（1）求12x x +的值（精确到0.01）；（2）判断12x x +的准确值，并证明之．解：（1）令()lg 3f x x x =+-．∵(1)0f <，(2)0f <，(3)0f >，∴方程()0f x =在区间(23)，内有一个零点． 取区间(23)，的中点1 2.5x =，计算可得(2.5)0f <． ∵(2.5)(3)0f f <·，∴0(2.53)x ∈，． 再取区间(2.53)，的中点2 2.75x =，计算得(2.75)0f >． ∵(2.5)(2.75)0f f <，∴0(2.52.75)x ∈，． 同理可得0(2.52.625)x ∈，，0(2.56252.625)x ∈，，0(2.56252.59375)x ∈，， 0(2.5781252.59375)x ∈，，0(2.58593752.59375)x ∈，．∵此时区间(2.58593752.59375)，的两个端点精确到0.01的近似值都是2.59， ∴方程lg 3x x +=的近似解为2.59．又令()103x g x x =+-．∵(0)0g <，(1)0g >，∴方程()0g x =在区间(01)，内有一个根． 取区间(01)，的中点10.5x =，计算可得(0.5)0g >． ∵(0)(0.5)0g g <·，∴0(00.5)x ∈，． 再取区间(00.5)，的中点20.25x =，计算可得(0.25)0g <．∵(0.25)(0.5)0g g <·， ∴0(0.250.5)x ∈，． 同理可得0(0.3750.5)x ∈，，0(0.3750.4375)x ∈，，0(0.406250.4375)x ∈，， 0(0.406250.421875)x ∈，，0(0.406250.4140625)x ∈，．∵此时区间(0.406250.4140625)，的两个端点精确到0.01的近似值都是0.41， ∴方程103x x +=的近似解为0.41．故12 2.590.41 3.00x x +≈+=．（2）由（1）判断12x x +的准确值为3．证明：如图1，在同一平面直角坐标系内作出函数10x y =，lg y x =，3y x =-的图象．易知，函数lg y x =与3y x =-的图象的交点的横坐标即为1x ，函数10x y =与3y x =-的图象的交点的横坐标即为2x ．∵10x y =与lg y x =的图象关于直线y x =对称， ∴1211(3)3x x x x +=+-=．点评：本题运用“二分法”，借助计算器或计算机快速地进行计算，求出方程的近似解，判断出“x 1+x 2=3”的结论，进而应用图象法给予证明，经历了一次“从特殊到一般”的认识过程．例2 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆，10km 长，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？要把故障可能发生的范围缩小到50~100m 左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？解析：运用“二分法”的原理进行查找．如图2，设闸门和指挥部的所在处分别为点A B ，，他首先从中点C 查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC 段正常，断定故障在BC 段；再到BC 段中点D 查，这次发现BD 段正常，可见故障在CD 段，再到CD 段中点E 来查，……，这样每查一次就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，就可将故障发生的范围缩小到50~100m 左右，即一两根电线杆附近．点评：本题是“二分法”在解答实际问题中的具体作用，说明了“二分法”解题应用的潜能．。
计算方法中二分法论文
有关二分法计算线性方程根的问题1、二分法求解的提出及其背景由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数的零点（即的根），对于为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）．我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》，北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》，南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载.在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果．1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解．1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程．人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其它的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题。
求解非线性方程的数值解有二分法、迭代法、牛顿—雷扶生方法、正割法和抛物线法。
下面我们就来讨论二分法求解非线性方程数值解的问题。
2、在求解过程中需要用到的定理：1、（1）设f(x)于[a,b]上连续;（2）且f(a)•f(b)<0；则存在有x*∈(a,b)，使f(x*)于(a,b)内存在实的零点。
2、给定方程f(x)=0，设f(x)于[a,b]上连续，且f(a)•f(b)<0，则由二分法产生的序列{x}收敛于方程f(x)=0的根x*,且具有性质k-x*|≦(b-a)/2k（k=1,2,3,…）|xk3、二分法的描述：设有非线性方程f(x=0),其中，f(x)为[a,b]上的连续函数且设f(a)•f(b)<0（不妨设该方程在[a,b]内仅有一个实根）。
二分法具体方法如下：运用上述定理2，设ε>0为给定精度要求，则由|xk-x*|≦(b-a)/2k<ε得半分次数k>[㏑(b-a)-㏑ε]/㏑2.记a 1=a,b 1=b;第一步：k=1，计算x 1=(a 1+b 1)/2及f(x 1),如果f(a 1)〃f(x 1)<0则根一定在[ a 1,x 1]≡[a 2,b 2]内，否则根一定在区间[x 1,b 1] ≡[a 2,b 2]内(若f(x)=0,则x 1=x *)。
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二分法求解单变量非线性方程及其应用与实现
论文关键词：二分法单变量非线性方程收敛性误差
论文摘要：本文主要通过一个实例来研究单变量非线性方程f（x）=0的二分法求解及此方法的收敛性，根据误差估计确定二分次数并进行求解。
同时实现matlab和C语言程序编写。
从而掌握过程的基本形式和二分法的基本思想，在以后的学习过程中得以应用。
1. 引言
在科学研究与工程技术中常会遇到求解非线性方程f(x)=0的问题。
而方程f(x)是多项式或超越函数又分为代数方程或超越方程。
对于不高于四次的代数方程已有求根公式，而高于四次的代数方程则无精确的求根公式，至于超越方程就更无法求其精确解了。
因此，如何求得满足一定精度要求的方程的近似根也就成为了我们迫切需要解决的问题。
近年来，随着数学科学研究的不断进展，又更新了许多方程求解的方法。
我们知道，对于单变量非线性方程f（x）=0，一般都可采用迭代法求根，由此产生了二分法。
2. 二分法
一般地，对于函数f(x),如果存在实数c,当x=c时f(c)=0,那么把x=c叫做函数f(x)的零点。
解方程即要求f(x)的所有零点。
先找到a、b，使f(a)，f(b)异号，说明在区间(a,b)内一定有零点，然后求f[(a+b)/2],
现在假设f(a)<0,f(b)>0,a<b
①如果f[(a+b)/2]=0，该点就是零点，
如果f[(a+b)/2]<0,则在区间（(a+b)/2，b)内有零点，(a+b)/2=>a，从①开始继续使用中点函数值判断。
如果f[(a+b)/2]>0，则在区间(a,(a+b)/2)内有零点，(a+b)/2=>b，从①开始继续使用中
点函数值判断。
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。
给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:
1. 确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ξ.
2. 求区间(a,b)的中点c.。