09 课后答案

α=± B 2
da
= 4α 2 x 2 − 2α − Bx 2 e −αx
征值。
后 答
8. 试求能使 e −αx 为算符 [d2 / dx2−Bx2] 的本征函数的α值，并求本
(
案 网
= −6αxe −αx
2
w.
)
2
co
2
7. 已知函数ψ = xe −αx 为算符 [d2 / dx2−4α2x2] 的本征函数， 求本征
2 × 9.109 × 10 −31 kg × 1.602 × 10 −19 C × 1× 10 3 V
= 3.9 × 10 −11 m
解：假设 u和υ 均为 x 的函数
x 2 ( u + υ ) = x 2 u + x 2υ
∴ x 2 是线性算符 ∴
d 是线性算符 dx
d2 d2 d2 ( ) u + υ = u + υ dx 2 dx 2 dx 2
课
= 4.9 × 10 −6 m
da
后 答
h h = m ⋅ Δυ x 10% 2mT
6.626 × 10 −34 J ⋅ s
w.
6.626 × 10 −34 J ⋅ s h = = 6.6 × 10 − 21 m m ⋅ Δυ x 1 × 10 −10 kg × 10% × 0.01m ⋅ s −1
就子弹的大小（线度约为 1 × 10 −2 m ）而言，如此小的坐标不确定度完全 可以忽略。所以子弹的坐标完全可以被确定。
(2) Δx =
尘埃的线度约为 1 × 10 −9 m ，如(1)理由，其坐标可被确定。
(3) Δx =
=
10% × 2 × 9.109 × 10 −31 kg × 1 × 10 − 24 J
所以 n' = 4 ， n = 3
kh
λ=
ww
w.
8 × 9.109 × 10 −31 kg × (0.8 × 10 −9 m ) × 2.998 × 10 8 m ⋅ s −1 = (4 2 − 3 2 ) × 6.626 × 10 −34 J ⋅ s
2
(n′
= 3.01 × 10 −7 m = 301 nm
⎛ ⎞ 解：ψ 1s = 1 ⎜ Z ⎟ ⎟ π⎜ ⎝ a0 ⎠
3/ 2
e − Zr / a0
后 答
课
=
Z3 3 π a0
∫
∞
0
r 3 e − 2 Zr / a0 dr ∫ sin θdθ
0
kh
4Z 3 = 3 a0
⎛ Z3 =⎜ 3 ⎜π ⎝ a0
∫
∞ 0
⎞ r 3 e − 2 Zr / a0 dr ⎟ ⎟[− (− 1 − 1)](2π− 0) ⎠
解：(1) λ =
6.626 × 10−34 J ⋅ s h h = = = 6.6 × 10−35 m p mυ 0.01 kg × 1 × 103 m ⋅ s −1
(2) λ =
(3) λ =
ww
w.
kh
h = p h 2mT = = 4.9 ×10 − 7 m
h 6.626 × 10 −34 J ⋅ s = = 6.6 × 10 − 22 m mυ 1 × 10 −10 kg × 0.01m ⋅ s −1
∴sinx 是本征函数，本征值为-1。
w.
dx
案 网
d d d (u + υ) = u + υ dx dx dx
不是线性算符
co
5. 下列哪些算符为线性算符？x2, d / dx, d2 / dx2, sin, 以证明。
, log。 试予
m
该波长数量级与光学光栅的栅线间距数量级相差甚远， 所以不能用普通 光学光栅观察到这类电子的衍射现象。 该波长与晶体中晶面间距数量级 相同，晶体可作为它的天然光栅，所以此时能观察到电子的衍射现象。
⎞ −17 ⎟ ⎟ = 2.41×10 J ⎠
2
2. 计算下述粒子的德布罗意波的波长。 (1) 射出的子弹 ( 质量为
0.01 kg ，速度为 1 × 10 3 m ⋅ s −1 )；(2) 空气中的尘埃(质量为 1 × 10 −10 kg ，
1 × 10 4 V 电场加速的显像管(真空)中的电子。
w.
案 网
co
2 nπ l x⎤ ⎡1 =C ⎢ x− sin 4nπ l ⎥ ⎣2 ⎦0 l = C2 ⋅ =1 2
2
l
m
= C2∫
l
nπ x dx l 1 − cos(2nπ x / l) dx 2
l
·160·
思考题和习题解答
~ = 82259.56 cm −1 ， 波 长 ( 折 合 质 量 μ = 9.104 × 10−31 kg ， 实 验 值 ν
2 ∴ d 2 是线性算符
后 答
sin(u + υ ) ≠ sin u + sin υ
∴sin 不是线性算符 ∴
u +υ ≠ u + υ
log( u + υ ) ≠ log u + log υ
x
$ ( x ) = λ u ( x ) ，则 u ( x ) 是 F $ 的本征函数， λ 是 F $ 的本征值。 解：若 Fu
第9章
量子力学基础
习 题 解 答
1. 若电子的波长为 1 × 10 −10 m ，计算该电子的动能（用 J 作单位） 。 解： υ = h mλ
T=
1 1 ⎛h⎞ mυ 2 = ⎜ ⎟ 2 2m ⎝ λ ⎠
2
⎛ 6.626 ×10 −34 J ⋅ s 1 ⎜ = −10 2 × 9.109 ×10 −31 kg ⎜ ⎝ 1× 10 m
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(4) λ =
=
h 2mT 6.626 ×10 −34 J ⋅ s 2 × 9.109 ×10 -31 kg ×1.602 ×10 −19 C ×1× 10 4 V
= 1.23 × 10 −11 m
3. 假定题 2.(1)、(2)和(3)中各粒子运动速度的不确定度 Δυ x 为各自
解：(1) Δx =
a0 → 1.01a0 的小体积内电子出现的概率 。 （该体积内ψ 可近似当作常数）
2 2 2 解： P = ψ 1s dτ = ψ 1s dτ = ψ 1s
∫
∫
∫ ∫ ∫ dxdydz = ψ
a0
1.01a0
2 1s
(0.01a 0 )3
3
其中
2 ψ 1s =
所以
14. 已知氢原子 2p z 轨道波函数为
分子中的电子运动范围只有 1 × 10 −10 m ，而其坐标不确定度大于此值，
4. 在 1 × 10 3 V 电场中加速的电子，能否用普通光学光栅(栅线间距
为 10 −6 m ) 观察到电子的衍射现象？若用晶体作为光栅 ( 晶面间距为
ww
w.
10 −11 m )，又如何？
kh
说明电子的坐标完全不确定。
·158·
思考题和习题解答
d2 2 cos x = −2 cos x dx 2
d2 dx
2
∴ 2cosx 是本征函数，本征值为-1。
x 3 = 6x
∴ x 3 不是本征函数。
d2 [ sin x + cos x ] = −[ sin x + cos x ] dx 2
征值为-1。
∴ sin x + cos x 是本征函数， 本
吸收光的谱线的波数和 11. 计算氢原子基态到第一激发态跃迁时，
课
8ml 2 解：λ = hc = hc 2 ΔE n' 2 − n 2 h
(
8ml 2 c
2
− n2 )h
da
)
后 答
10. 在右面的分子离子中运动的 6 个π电子， 可近似作为一维势箱 中的粒子，若假定该分子离子中共轭链长为 0.8 nm 。试求该分子离子由 基态跃迁至第一激发态时 ( 相当 + H H 于电子从 n = 3 的轨道跃迁到 && − CH & − CH & − CH & −N & N 吸收光的波长 （实 n = 4 的轨道)， H H 验值为 309 nm） 。
值。
2 2 解： ⎡ d − 4α 2 x 2 ⎤ xe −αx 2 = d xe −αx 2 − 4α 2 x 3 e −αx 2 ⎢ 2 ⎥ dx 2 ⎣ dx ⎦
2 2 2
(
)
= −2αxe −αx − 4αxe −αx + 4α 2 x 3 e −αx − 4α 2 x 3 e −αx
所以本征值为 − 6α 。
案 网
co
6.626 × 10 −34 J ⋅ s h = = 6.6 × 10 −34 m m ⋅ Δυ x 0.01 kg × 10% × 1 × 10 3 m ⋅ s −1
m
速度的 10%，试问这些粒子的坐标能否被确定。
第9章
量子力学基础
·157·
解： λ =
=
h = p
h 2mT 6.626 × 10 −34 J ⋅ s
3 ψ 2 p = 4 2π a0
z
(
)
−1
(r
a 0 ) exp(− r 2a 0 ) cos θ
(2) 求轨道角动量的绝对值 M ；
(3) M z = mh = 0 ，说明 M 垂直于 z 轴，夹角为 90°。
明该节面过原点，所以节面为 xy 平面。
15. 氢原子 1s 态本征函数ψ (r ) = Ne −αr ，其中 N 和 α 为常数。(1)
λ = 1215664 . nm )。
4 ⎛ 1 ⎞ ~ = Δ E = − μe 解：ν ⎜ ⎟ 2 2 ⎜ 2 hc hc ⋅ 8ε 0 h ⎝ n2 − n12 ⎟ ⎠
=−
(6.626 × 10
9.104 × 10 −31 kg × 1.602 × 10 −19 C
− 34
J ⋅ s × 2.998 × 10 8 m ⋅ s −1 1
2
课
2 2 2 d2 2 ⎤ −αx 2 解： ⎡ = 4α 2 x 2e −αx − 2αe −αx − Bx 2e −αx ⎢ 2 − Bx ⎥ e ⎣ dx ⎦
若 e −αx 是算符的本征函数 则
2
ww
w.
即
kh
4α 2 x 2 − 2α − Bx 2 = 常数 4α 2 x 2 − Bx 2 = 0
4 3 − 2 Zr / a 0
∫
∞
0
r e
ww
w.
3 a 2 0 3 氦离子 Z = 2 ， r = a 0 4
氢原子 Z = 1 ， r =
da
π
∗ 2 r = ∫ ψ 1s rψ 1s dτ = ∫ ψ 1s rdτ = ∫∫∫
Z 3 − 2 Zr / a0 2 e r r sin θdrdθdφ 3 π a0
2
m
第9章
量子力学基础
·159·
本征值为 m B 。
9. 长度为 l 的一维势箱中粒子运动的波函数为ψ = C sin(nπx / l ) ，
试求常数 C 。
解： P = ∫ ψ 2 dx = ∫ C 2 sin 2
0 0 l
0
∴
C = 2/l
2 2 2 2 2 1 1 n2 n3 ， n 2 n3 n 4 ， 分子中有 6 个π电子， 基态是 n1 第一激发态是 n1
6.626 ×10 −34 J ⋅ s
da
2 × 9.109 ×10 -31 kg ×1×10 − 24 J
课
后 答
速 度 为 0.01 m ⋅ s −1 ) ； (3) 分 子 中 的 电 子 ( 动 能 为 1 × 10 −24 J ) ； (4) 经
w.
案 网
co
m
·156·
思考题和习题解答
d2 x e = ex dx 2 d2
w.
dx 2 sin x = − sin x
ww
kh
试求出本征值。 6. 下列哪些函数是算符 d2 / dx2 的本征函数？若是， 3 e , sin x , 2 cos x , x , sin x + cos x 。
da课Biblioteka ∴log 不是线性算符∴ e x 是本征函数，本征值为 1。
−12
)
(
)
4
3
×
8 × 8.854 ×10
(
C ⋅N ⋅m
2
−1
−2 2
)
⎛ 1 1⎞ ×⎜ 2 − 2 ⎟ ⎝2 1 ⎠
= 8.172 × 10 6 m −1 = 8.172 × 10 4 cm −1 1 . λ = ~ = 1224 × 10 −7 m = 122.4 nm ν
12. 计算氢原子和氦离子在 1s 态时电子离核的平均距离。 利用 Γ −
Z3 ⎛ a ⎞ 3 a dr = 3 ⎜ 0 ⎟ ⋅ (4 − 1)! = ⋅ 0 2 Z a 0 ⎝ 2Z ⎠
w.
( )
∫
2π 0
案 网
函数积分公式 Γ(n ) = ∫ x n −1 e − x dx = (n − 1)! 。 0
∞
dφ
co
m
第9章
量子力学基础
·161·
3 13. 氢原子的基态波函数为ψ 1s = (1 / π a0 )e − r / a0 ，求 x、y、z 均为