§3----解三角形的实际应用举例说课讲解

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第二章 解三角形
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解析： 设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快
截获(在 D 点)走私船，则 CD＝10 3t 海里，BD＝10t 海里．
∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝( 3－1)2＋22－2( 3－1)·2cos 120°＝6，
∴BC＝ 6.
∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC，
§3 解三角形的实际应用举例
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1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测 量和几何计算有关的实际问题．
2.提高应用数学知识解决实际问题的能力．
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1.对解三角形实际应用的考查是本节的热点． 2.本节内容多与实际问题中测量距离、高度、角度、面积等 问题结合考查． 3.各种题型均可出现，以中低档题为主.
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2．对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解 (1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．
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(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线 上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．
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(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角， 如图中B点的方位角为α.
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解析： 易知 C＝180°－75°－45°＝60°，
由正弦定理，得sBinCA＝siAnBC，
所以
BC＝AsBisninCA＝1s0isnin604°5°＝103
6 .
答案：
10 6 3
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5.如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－ 1)海里的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10 3海里/小时的速 度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处 向北偏东 30°方向逃窜，问：缉私船沿什么方向行驶才能最 快截获走私船？并求出所需时间．
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1．基线 (1)定义：在测量上，根据测量 需要适当确定的线段叫做基 线．
(2) 性 质 ： 在 测 量 过 程 中 ， 要 根 据 实 际 需 要 选 取 合 适 的 基线长度 ，使测量具有较高的 精确度 ． 一 般 来 说 ， 基线越长，测量的精确度越 高 ．
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解析： 易知∠ACB＝120°， 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°＝2a2－2a2×－21＝ 3a2. ∴AB＝ 3a.
答案： 3a cm
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4.如图，海上有A、B、C三个小岛，其中A、B两个小岛相距 10 n mile从A岛望C岛和B岛成45°的视角，从B岛望C岛和A岛成 75°的视角，则BC的距离为________n mile.
由 余弦定理求出A、B；再利用
A＋B＋C＝180°求出角C，在
有解时只有一解
由 正弦定理 求出B；由 A＋B＋C＝180°求出角C；
再利用 正弦定理或余弦定理 求c，可有两解、一解或无解
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2.在正弦定理、余弦定理及其变形公式中 (1)求边 a 的公式有 a＝bssiinnBA＝ b2＋c2－2bccos A＝ 2Rsin A(R 为 △ABC 外接圆半径) (2)求角 A 的公式有 sin A＝asibn B，cos A＝b2＋2cb2c－a2.
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1．以下图示是表示北偏西135°的是( )
答案： C
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2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗 杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别 表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )
A．d1＞d2
B．d1＜d2
∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝2sin
120°＝ 6
22，
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∴∠ABC＝45°，
∴B 点在 C 点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
∵sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD，
∴sin∠BCD＝BD·siCn∠D CBD
＝10tsin 10
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(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90° 的水平角，如南偏西 60°，指以正南方向为始边，顺时针方 向向西旋转 60°.如图中∠ABC 为北偏东 60°或为东偏北 30°.
3．正弦定理、余弦定理在实际测量中应用很广，主要学习 它们在测量 距离 、 高度 、 角度 等问题中的一些应用．
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1．通过前面的学习，我们已经知道，在三角形的三条边和 三个角共六个元素中，要知道三个(其中至少有一个边)才能解该 三角形，按已知条件可分为四种情况：
已知条件 应用定理
一般解法
一边和两 角(如a，B， 正弦定理
C)
由 A＋B＋C＝180°，求角A；由 正弦定理 求出b与c，在有解
132t 0°＝12，
∴∠BCD＝30°.
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由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，得∠D＝30°， ∴BD＝BC，即 10t＝ 6，∴t＝106小时．
时只有一解
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已知条件
两边和夹角 (如a，b，C)
三边(a，b， c)
两边和其中 一边的对角 (如a，b，A)
应用定理 余弦定理 正弦定理
余弦定理
正弦定理 余弦定理
一般解法
由 余弦定理求第ห้องสมุดไป่ตู้边c；由 正弦定理求出一边所对的角；
再由A＋B＋C＝180°求出另一角， 在有解时只有一解
C．d1＞20 m
D．d2＜20 m
解析： 由 tan50°＝2d01°，tan40°＝2d02及 tan50°＞tan40°
可知，d1＜d2.
答案： B
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3．如下图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离 都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________．