对信号做数学变换的物理意义

对信号做数学变换的物理意义

班级：测控一班

姓名：张文浩

学号：3012202028

对信号做数学变换的物理意义

信号是运载消息的工具，是消息的载体。从广义上讲，它包含光信号、声信号和电信号等。例如，古代人利用点燃烽火台而产生的滚滚狼烟，向远方军队传递敌人入侵的消息，这属于光信号；当我们说话时，声波传递到他人的耳朵，使他人了解我们的意图，这属于声信号；遨游太空的各种无线电波、四通八达的电话网中的电流等，都可以用来向远方表达各种消息，这属电信号。人们通过对光、声、电信号进行接收，才知道对方要表达的消息。

对信号的分类方法很多，信号按数学关系、取值特征、能量功率、处理分析、所具有的时间函数特性、取值是否为实数等，可以分为确定性信号和非确定性信号（又称随机信号）、连续信号和离散信号（即模拟信号和数字信号）、能量信号和功率信号、时域信号和频域信号、时限信号和频限信号、实信号和复信号等。

科学的任务是解决生活中存在的问题，而信号正是存在于自然界以及我们人类社会中的现象，所以我们要对它进行研究。但是由于信号的不确定性，生活中的信号往往是随机的，杂乱无章的。而且，由于各种原因，在信号传输过程中还存在着某些“不确定性”或“不可预知性”，再加上信号处理过程中不可避免的要受到各种干扰和噪声的影响造成的信号失真，我们最终所处理的信号几乎都是不规则的。

所以我们需要一种方式或方法把看似杂乱无章的信号考虑成有一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号。但是为什么我们要用正弦曲线来代替原来的信号曲线呢？如我们也还可以用方波或三角波来代替呀。分解信号的方法是无穷的，但分解信号的目的是为了更加简单地处理原来的信号。用正余弦来表示原信号会更加简单，因为正余弦拥有原信号所不具有的性质：正弦曲线的保真度。一个正弦曲线信号输入后，输出的仍是正弦曲线，只有幅度和相位可能发生变化，但是频率和波的形状仍是一样的。且只有正弦曲线才拥有这样的性质，正因如此我们才不用方波或三角波来表示。

针对这种情况，为了能够更好的将原信号考虑成近似完美的正余弦信号，我们的前辈想到的方法就是对信号进行数学变换，用数学的方法对信号进行处理，从而变换成我们需要的具有一定振幅、相位、频率的基本正余弦信号。

我们在信号与系统中所学的数学变换主要是傅立叶变换、拉普拉斯变换以及Z变换。其中傅立叶变换是信号处理中最重要、应用最广泛的数学变换。

为什么傅立叶变换最重要呢？就让我们先看看为什么会有傅立叶变换？傅立叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性

的决断：任何连续周期信号都可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在近50年的时间里，拉格朗日坚持认为傅立叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅立叶的工作，幸运的是，傅立叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

谁是对的呢？拉格朗日是对的：正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号。但是，我们可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别，基于此，傅立叶是对的。所以说傅立叶变换能够把任何连续周期信号由一组适当的正弦曲线逼近的表示出来，当然是最重要的了。因此从某种意义上说，傅立叶变换就是函数的第二种描述语言。

而我们所研究的信号处理中的傅立叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。掌握了傅立叶变换，我们就找出了这些振动频率特点，就掌握了在时域或频域中同时思考处理信号问题的方法，这是一种非常重要的能力。与此同时，使用傅立叶变换能够使复杂的信号问题简单化。傅立叶变换的许多特性，如正变换与反变换的共轭对称性，使人们能够方便地在空域和频域之间来回切换，可以在时域或频域中思考问题。

傅里叶变换提供了一种解决问题的方法，一种看待问题的角度。以傅立叶变换为基础的数学变换简化了原本复杂的信号，解决了复杂的信号问题，带领我们进入了信号处理的世界，为我们更好地研究和利用信号提高了方便。所以说对信号进行数学变换有重要的物理意义。那么傅立叶变换对信号的处理具体体现出了什么物理意义呢？

首先，傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的数学算法。要知道傅立叶变换的物理意义，就要先了解傅立叶原理的意义。傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。然后，和傅立叶变换对应的是反傅立叶变换。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处

理、加工。最后再可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。

因此，傅立叶变换的物理意义可以理解为，在时域表示的信号，通过傅立叶变换分解为多个正弦信号的叠加，这样每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征了。傅里叶变换之后的信号通常被称为频谱，频谱又包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，傅立叶变换显得尤为重要。

那么，既然傅立叶变换如此重要，为什么还有拉普拉斯变换及Z变换呢？原因就在傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。因此，拉普拉斯便将傅立叶的理论进行了推广，发展出了拉普拉斯变换。

在自然界，指数信号e x是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。所以说，傅立叶变换可以看成是拉普拉斯变换的一种特殊形式，即所乘的指数信号为e0。也就是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。所以在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。

但是自然界中的信号除了连续信号之外，还有大量的不连续信号，即离散信号。考虑到这个问题，Z变换便应运而生了，Z变换可以说就是针对离散信号与系统的拉普拉斯变换，所以Z变换的重要性也就不言而喻了，当然也就很容易理解Z变换和傅里叶变换以及拉普拉斯变换之间的关系了。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=e Ts。在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。

正是傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换这些数学变换的产生与发展才推动了信号与系统的前进，才带来了我们如今高效、便捷的信息时代。所以说，对信