高考数学复数
数学复数高考知识点总结
数学复数高考知识点总结一、复数的概念和表示方法1.1 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
1.2 复数的表示方法复数可以用直角坐标系和极坐标系表示。
在直角坐标系中，复数z=a+bi可以表示为有序数(a,b)，其中a为实部，b为虚部；在极坐标系中，复数z=a+bi可以表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。
1.3 复数的加减法复数的加减法与实数的加减法类似，实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
1.4 复数的乘法复数的乘法可利用分配律和i²=-1进行计算，即(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²=(ac-bd)+(ad+bc)i。
1.5 复数的除法复数的除法需要将除数与被除数同时乘以共轭复数，然后利用分配律进行计算。
1.6 复数的共轭复数z=a+bi的共轭是z的实部不变，虚部取负数，即z的共轭为a-bi。
1.7 复数的模和幅角复数z=a+bi的模是z距离原点的长度，又可以表示为|z|=√(a²+b²)；复数z的幅角是z与正实轴之间的夹角，一般取在-π<θ≤π的区间内。
1.8 二次根式对于复数z=a+bi，其二次根式为±√z=±(√r)(cos(θ/2)+isin(θ/2))，其中r为z的模，θ为z 的幅角。
二、复数的应用2.1 复数的几何意义复数可以表示平面上的点，实部代表横坐标，虚部代表纵坐标；复数的模代表点到原点的距离，复数的幅角代表点与正实轴之间的夹角。
2.2 解析式解析式是指利用复数形式的代数式表示函数值，在一些复杂的数学问题中，可以利用复数的解析式简化计算。
2.3 需解方程部分方程的解需要引入复数，如一元二次方程的解可能为复数，解方程时需考虑复数根的情况。
2.4 矩阵计算在一些特定矩阵的计算中，可能出现复数，需要利用复数的运算规则进行计算。
高考数学应试技巧之复数
高考数学应试技巧之复数数学作为高考的必考科目之一，对于许多学生来说是一个极大的挑战。
尤其是在复数的应用中，许多学生常常感到棘手。
复数是高考数学中的一个重要知识点，也是一个需要深入理解和掌握的知识点。
本文将介绍几个复数的应试技巧，并提供一些例题帮助读者更好地掌握复数的应用。
一、基本定义复数是指形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 分别为实数，i 表示虚数单位，它满足 i²=-1。
实数和虚数是复数中的两个部分，实数 a 被称为复数的实部，虚数 b 被称为复数的虚部。
二、极坐标表示法复数在极坐标表示法中的表示方式是：z=r(cosθ+isinθ)，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的幅角。
在使用极坐标表示法求解问题时，可以利用三角函数的相关知识进行计算。
例题：已知复数 z=1+2i，求其极坐标形式。
解：复数的模为r=√(1²+2²)=√5，复数的幅角为cosθ=1/√5，sinθ=2/√5，因此θ=arctan(2/1)。
所以，复数 z 的极坐标表示形式为z=√5(cosθ+isinθ)=√5(cos(arctan(2))+isin(arctan(2)))。
三、共轭复数共轭复数是指保持实部不变但虚部变号的复数，可以表示为z*=a-bi。
共轭复数的一个重要性质是，任何实数的平方都是非负的，因此，复数与其共轭复数的乘积的实部是一个非负实数。
例题：已知 z=1+2i，求其共轭复数 z*。
解：由定义可知，z*=1-2i。
四、四则运算（1）加减法复数的加减法与实数的加减法类似，只是加减的对象从实数变成了复数。
需要注意的是，复数的实部与虚部分别相加减。
例题：已知 z1=1+2i，z2=3-4i，求 z1+z2 和 z1-z2。
解：z1+z2=(1+2i)+(3-4i)=4-2iz1-z2=(1+2i)-(3-4i)=-2+6i（2）乘法复数的乘法需要特别注意的是，(a+bi)×(c+di)=ac+adi+bci+bdi²，其中 i²=-1。
高考数学专题《复数》习题含答案解析
专题10.2 复数1．（2020·全国高考真题（理））复数113i-的虚部是（ ）A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D 【解析】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i =-的虚部为310.故选：D.2．（2020·全国高考真题（文））（1–i ）4=（ ）A ．–4B ．4C ．–4i D ．4i【答案】A 【解析】422222(1)[(1)](12)(2)4i i i i i -=-=-+=-=-.故选：A.3．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数z 满足(1)2i z -=，则z =（ ）A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】D 【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可得：()()()()2121211112i i z i i i i ++====+--+.故选：D.4．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ）A ．62i -B ．42i-C ．62i+D ．42i+【答案】C 【分析】练基础利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.【详解】因为2z i =-，故2z i =+，故()()()2222=4+42262z z i i i i i i i+=-+--=+故选：C.5．（2021·全国·高考真题（文））已知2(1)32i z i -=+，则z =（ ）A ．312i--B ．312i-+C ．32i-+D ．32i--【答案】B 【分析】由已知得322iz i+=-，根据复数除法运算法则，即可求解.【详解】2(1)232i z iz i -=-=+，32(32)23312222i i i i z i i i i ++⋅-+====-+--⋅.故选：B.6．（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ）A ．12i -B ．12i+C ．1i+D ．1i-【答案】C 【分析】设z a bi =+，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于a 、b 的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数z .【详解】设z a bi =+，则z a bi =-，则()()234646z z z z a bi i ++-=+=+，所以，4466a b =⎧⎨=⎩，解得1a b ==，因此，1z i =+.故选：C.7．（2021·全国·高考真题（文））设i 43i z =+，则z =（ ）A ．–34i -B ．34i-+C ．34i-D ．34i+【答案】C 【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z 的值.【详解】由题意可得：()2434343341i i i i z i i i ++-====--.故选：C.8．（2021·浙江·高考真题）已知a R ∈，()13ai i i +=+，(i 为虚数单位)，则a =（ ）A ．1-B ．1C ．3-D ．3【答案】C 【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a 的值.【详解】()213ai i i ai i a a i i +=-=-+=++=，利用复数相等的充分必要条件可得：3,3a a -=∴=-.故选：C.9．（2019·北京高考真题（文））已知复数z =2+i ，则（ ）ABC ．3D ．5【答案】D 【解析】∵ 故选D.10．（2019·全国高考真题（文））设，则=（ ）A．2B CD ．1【答案】C 【解析】因为，所以，所以，故选C ．1．（2010·山东高考真题（文））已知 ，，其中 为虚数单位，则=（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】z z ⋅=z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=3i12iz -=+z 312iz i -=+(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-z ==2a ib i i+=+,a b ∈R i +a b 练提升因为 ，，所以，则，故选B.2．（全国高考真题（理））复数的共轭复数是( )A ．B ．ｉC ．D ．【答案】A 【解析】，故其共轭复数为.所以选A.3．（2018·全国高考真题（理））设，则（ ）A ．B ．C ．D【答案】C 【解析】，则，故选c.4．（2009·重庆高考真题（理））已知复数的实部为，虚部为2，则的共轭复数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意得：所以，共轭负数为2+i 故选B5．（2017·山东高考真题（理））已知，是虚数单位，若，，22222a i ai i ai b i i i+--==-=+-,a b ∈R 2211b b a a ==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩+1a b =212ii+-i -35i-35i()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+i -1i2i 1iz -=++||z =0121()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+i 2i i =-+=1z =z 1-5iz2i -2i+2i--2i-+R a ∈i z a =4z z ⋅=则（ ）A ．1或B或C ．D【答案】A 【解析】由得，所以，故选A.6．（2021·广东龙岗·高三期中）已知复数z 满足()2i 34i z +=+（其中i 为虚数单位），则复数z =（ ）A ．2i -B ．2i-+C ．2i+D ．2i--【答案】C 【分析】根据复数除法运算求出z ，即可得出答案.【详解】()2i 35z +=+= ，()()()52i 52i 2i 2i 2i z -∴===-++-，则2i z =+.故选：C.7．（2021·安徽·合肥一六八中学高一期中）欧拉公式i s co in s i x e x x +=(i 是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，i 3e π表示的复数位于复平面中的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】先由欧拉公式计算可得312e π=，然后根据复数的几何意义作出判断即可.【详解】根据题意i s co in s i xe x x +=，故i3is n 1cos 33i 2e πππ=+=，对应点12⎛ ⎝，在第一象限.故选：A .8．【多选题】（2021·全国·模拟预测）已知复数z =（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（）A ．复数z 在复平面内对应的点坐标为()sin 3cos3,sin 3cos3+-a =1-,4z a z z =+⋅=234a +=1a =±B ．z 的虚部为C ．2z z ⋅=D ．z ⋅为纯虚数【答案】CD 【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的几何意义以及四则运算法则即可求解.【详解】复数3cos3i sin 3cos3z =++-．因为334ππ<<，所以sin 3cos3304π⎛⎫+=+< ⎪⎝⎭，sin 3cos30->，所以原式()()sin 3cos3i sin 3cos3=-++-，所以选项A 错误；复数z B错误；222z z ⋅=+=，所以选项C 正确；z ⋅=()i 1sin 61sin 62i⋅=++-=，所以选项D 正确.故选：CD.9．【多选题】（2021·河北武强中学高三月考）已知复数cos isin z θθ=+（其中i 为虚数单位），下列说法正确的是（ ）A ．1z z ⋅=B ．1z z+为实数C ．若83πθ=，则复数z 在复平面上对应的点落在第一象限D ．若(0,)θπ∈，复数z 是纯虚数，则2πθ=【答案】ABD 【分析】对选项A ，根据计算1z z ⋅=即可判断A 正确，对选项B ，根据12cos z zθ+=即可判断B 正确，对选项C ，根据88cosisin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限，即可判断C 错误，对选项D ，根据z 是纯虚数得到2πθ=即可判断D 正确.【详解】对选项A ，()()()2222cos isin cos isin cos isin cos sin 1z z θθθθθθθθ⋅=+-=-=+=，故A 正确.对选项B ，因为11cos isin cos isin z z θθθθ+=+++()()cos isin cos isin cos isin cos isin θθθθθθθθ-=+++-cos isin cos isin 2cos θθθθθ=++-=，所以1z z+为实数.故B 正确.对选项C ，因为83πθ=为第二象限角，所以8cos03π<，8sin 03π>，所以88cos isin 33z ππ=+在复平面对应的点落在第二象限.故C 错误.对选项D ，复数z 是纯虚数，则cos 0sin 0θθ=⎧⎨≠⎩，又因为(0,)θπ∈，所以2πθ=，故D 正确.故选：ABD10．（2021·福建·厦门一中模拟预测）在复平面内，复数(,)z a bi a b R =+∈对应向量OZ（O为坐标原点），设||OZ r =，以射线Ox 为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则(cos sin )z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：1111(cos sin )z r i θθ=+，2222(cos sin )z r i θθ=+，则12121212[cos()sin()]z z rr i θθθθ=+++，由棣莫弗定理可以推导出复数乘方公式：[(cos sin )](cos sin )n n r i r n i n θθθθ+=+，已知4)z i =，则||z =______；若复数ω满足()*10n n ω-=∈N ，则称复数ω为n 次单位根，若复数ω是6次单位根，且ω∉R ，请写出一个满足条件的ω=______．【答案】16 ()22cossin 1,2,4,566k k i k ππ+= 【分析】2(cos sin )66i i ππ+=+，则4222(cos sin )33z i ππ=+，再由||||z z =求解，由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，即可取一个符合题意的θ，即可得解．【详解】解： 2(cos sin )66i i ππ=+，∴4422)2(cos sin )33z i i ππ==+，则4||||216z z ===．由题意知61ω=，设cos sin i ωθθ=+，则6cos 6sin 61i ωθθ=+=，所以sin 60cos 61θθ=⎧⎨=⎩，又ω∉R ，所以sin 0θ≠，故可取3πθ=，则cossin33i ππω=+故答案为：16，cossin33i ππω=+（答案不唯一）．1．（2021·江苏·高考真题）若复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部等于（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．-4【答案】C 【分析】利用复数的运算性质，化简得出12z i =-.【详解】若复数z 满足()1i 3i z +=-，则()()()()3i 1i 3i 12i 1i 1i 1i z ---===-++-，所以z 的虚部等于2-.故选：C.2．（2021·全国·高考真题）复数2i13i--在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法可化简2i13i--，从而可求对应的点的位置.【详解】()()2i 13i 2i 55i 1i13i 10102-+-++===-，所以该复数对应的点为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，该点在第一象限，故选：A.3．（2020·全国高考真题（理））若z=1+i ，则|z 2–2z |=（ ）A ．0B ．1C D ．2练真题【答案】D 【解析】由题意可得：()2212z i i =+=，则()222212z z i i -=-+=-.故2222z z -=-=.故选：D.4．（2020·全国高考真题（文））若312i i z =++，则||=z （ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C 【解析】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以z ==故选：C ．5.（2019·全国高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】由得则对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．6.（2018·江苏高考真题）若复数满足，其中i 是虚数单位，则的实部为________．【答案】2【解析】因为，则，则的实部为.z 32,z i =-+32,z i =--32,z i =--z i 12i z ⋅=+z i 12i z ⋅=+12i2i iz +==-z 2。
第12章复数章末题型归纳总结 高考数学
又∠ ∈ , ，所以∠ = .
故答案为：
−
，
= ，
试卷讲评课件
例11.(2024 ⋅高一·江苏·专题练习)在复平面内，O是原点，向量OZ对应
的复数是−1 +
− 2
复数为_____.
π
i，将OZ绕点O按逆时针方向旋转 ，则所得向量对应的
4
【解析】如图，由题意可知 = −, ，与
经典题型六：复数的三角表示
模块三：数学思想与方法
①分类与整合思想②等价转换思想③
数形结合的思想
试卷讲评课件
模块一：本章知识思维导图
试卷讲评课件
模块二：典型例题
经典题型一：复数的概念
例1.(2024
z
⋅高三·河南商丘·阶段练习)若复数z满足 为纯虚数，且
2+i
z = 1，则z的虚部为(
√
2 5
A.±
若 = ，则有 = , = , ∴ = ，反之由 = ，
推不出 = ，如 = ＋, = − 时， = ，故C正确；
D中两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴
错.
选.
试卷讲评课件
【解析】复数 = + ，则 = +
= − + = −，
−=
又是实数，因此
，解得 = −，
= −
所以实数的值是−.
试卷讲评课件
z1
z1
(2)若 是纯虚数，求
z2
z2
+
z1 2
z2
+
z1 3
高考数学冲刺复数的三角形式与指数形式
高考数学冲刺复数的三角形式与指数形式高考数学冲刺：复数的三角形式与指数形式在高考数学的复习冲刺阶段，复数的三角形式与指数形式是一个重要的知识点。
对于许多同学来说，这部分内容可能会感到有些抽象和难以理解，但只要我们掌握了其核心概念和运算方法，就能在考试中轻松应对相关问题。
首先，让我们来了解一下复数的基本概念。
复数通常用 z ＝ a ＋ bi的形式表示，其中 a 称为实部，b 称为虚部，i 是虚数单位，满足 i²＝－1 。
当我们在平面直角坐标系中表示复数时，实部 a 对应 x 轴，虚部b 对应 y 轴，这样就构成了一个复数平面。
接下来，我们引入复数的三角形式。
复数的三角形式为 z ＝r(cosθ＋isinθ) ，其中 r 表示复数的模，θ 表示复数的辐角。
模 r 的计算公式为 r ＝√（a²＋ b²) ，辐角θ 的计算公式为θ ＝ arctan(b ／ a) （需要根据 a 和 b 的正负来确定θ所在的象限）。
那么，为什么要引入三角形式呢？这是因为三角形式在解决一些与复数相关的问题时具有独特的优势。
例如，在进行复数的乘法运算时，如果使用三角形式，计算会变得更加简便。
假设我们有两个复数 z₁＝r₁(cosθ₁＋isinθ₁) 和 z₂＝ r₂(cosθ₂＋isinθ₂) ，那么它们的乘积z₁z₂＝ r₁r₂cos(θ₁＋θ₂) ＋isin(θ₁＋θ₂) 。
可以看到，通过三角形式，复数的乘法运算就转化为了模相乘、辐角相加的形式，大大简化了计算过程。
再来说说复数的指数形式。
复数的指数形式为 z ＝re^iθ ，其中 e是自然对数的底数。
指数形式与三角形式是等价的，通过欧拉公式e^iθ ＝cosθ ＋isinθ ，我们可以在它们之间进行相互转换。
在高考中，经常会出现涉及复数三角形式和指数形式的题目，比如求复数的模、辐角，或者利用三角形式和指数形式进行复数的运算等。
下面我们通过一些具体的例子来看看如何解决这些问题。
高考数学《复数》真题练习含答案
高考数学《复数》真题练习含答案一、选择题1．[2024·新课标Ⅰ卷]若z z －1＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由z z －1 ＝1＋i ，可得z －1＋1z －1 ＝1＋i ，即1＋1z －1 ＝1＋i ，所以1z －1＝i ，所以z －1＝1i＝－i ，所以z ＝1－i ，故选C. 2．[2024·新课标Ⅱ卷]已知z ＝－1－i ，则|z |＝( )A ．0B ．1C ．2D ．2答案：C解析：由z ＝－1－i ，得|z |＝（－1）2＋（－1）2 ＝2 .故选C.3．[2023·新课标Ⅱ卷]在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：因为(1＋3i)(3－i)＝3－i ＋9i －3i 2＝6＋8i ，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限，故选A.4．[2023·新课标Ⅰ卷]已知z ＝1－i 2＋2i，则z －z － ＝( ) A ．－i B ．iC ．0D ．1答案：A解析：因为z ＝1－i 2＋2i ＝（1－i ）22（1＋i ）（1－i ） ＝－12 i ，所以z － ＝12 i ，所以z －z － ＝－12 i －12i ＝－i.故选A. 5．|2＋i 2＋2i 3|＝( )A ．1B ．2C ．5D ．5答案：C解析：|2＋i 2＋2i 3|＝|2－1－2i|＝|1－2i|＝5 .故选C.6．设z ＝2＋i 1＋i 2＋i5 ，则z － ＝( ) A ．1－2i B ．1＋2iC ．2－iD ．2＋i答案：B解析：z ＝2＋i 1＋i 2＋i 5 ＝2＋i 1－1＋i ＝－i ()2＋i －i 2 ＝1－2i ，所以z － ＝1＋2i.故选B.7．[2022·全国甲卷(理)，1]若z ＝－1＋3 i ，则z z z －－1＝( ) A ．－1＋3 i B ．－1－3 iC ．－13 ＋33 iD ．－13 －33i 答案：C解析：因为z ＝－1＋3 i ，所以z z z －－1＝－1＋3i （－1＋3i ）（－1－3i ）－1 ＝－1＋3i 1＋3－1 ＝－13 ＋33i.故选C. 8．[2023·全国甲卷(文)]5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ）＝( ) A ．－1 B ．1C ．1－iD ．1＋i答案：C解析：由题意知，5（1＋i 3）（2＋i ）（2－i ） ＝5（1－i ）22－i2 ＝5（1－i ）5 ＝1－i ，故选C. 9．(多选)[2024·山东菏泽期中]已知复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)，下列说法正确的是( )A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．|z |＝cos θC ．z ·z － ＝1D ．z ＋1z为实数 答案：CD解析：复数z ＝cos θ＋isin θ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 (其中i 为虚数单位)， 复数z 在复平面上对应的点(cos θ，sin θ)不可能落在第二象限，所以A 不正确； |z |＝cos 2θ＋sin 2θ ＝1，所以B 不正确；z ·z － ＝(cos θ＋isin θ)(cos θ－isin θ)＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以C 正确；z ＋1z ＝cos θ＋isin θ＋1cos θ＋isin θ＝cos θ＋isin θ＋cos θ－isin θ＝2cos θ为实数，所以D 正确.二、填空题10．若a ＋b i i(a ，b ∈R )与(2－i)2互为共轭复数，则a －b ＝________． 答案：－7解析：a ＋b i i ＝i （a ＋b i ）i 2 ＝b －a i ，(2－i)2＝3－4i ，因为这两个复数互为共轭复数，所以b ＝3，a ＝－4，所以a －b ＝－4－3＝－7.11．i 是虚数单位，复数6＋7i 1＋2i＝________． 答案：4－i解析：6＋7i 1＋2i ＝（6＋7i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝6－12i ＋7i ＋145 ＝20－5i 5＝4－i. 12．设复数z 1，z 2 满足|z 1|＝|z 2|＝2，z 1＋z 2＝3 ＋i ，则|z 1－z 2|＝________． 答案：23解析：设复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝4，又z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ＝3 ＋i ，∴a ＋c ＝3 ，b ＋d ＝1，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝a 2＋c 2＋b 2＋d 2＋2ac ＋2bd ＝4，∴8＋2ac ＋2bd ＝4，即2ac ＋2bd ＝－4，∴|z 1－z 2|＝（a －c ）2＋（b －d ）2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋d 2－（2ac ＋2bd ） ＝8－（－4） ＝23 .[能力提升] 13．(多选)[2024·九省联考]已知复数z ，w 均不为0，则( )A ．z 2＝|z |2B ．z z － ＝z 2|z |2C ．z －w ＝z － －w －D ．⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w 答案：BCD解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，w ＝c ＋d i(c ，d ∈R )；对A ：z 2＝(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2＝a 2－b 2＋2ab i ，|z |2＝(a 2＋b 2 )2＝a 2＋b 2，故A 错误；对B: z z － ＝z 2z －·z ，又z － ·z ＝||z 2，即有z z － ＝z 2|z |2 ，故B 正确； 对C ：z －w ＝a ＋b i －c －d i ＝a －c ＋(b －d )i ，则z －w ＝a －c －(b －d )i ，z － ＝a －b i ，w －＝c －d i ，则z － －w － ＝a －b i －c ＋d i ＝a －c －(b －d )i ，即有z －w ＝z － －w － ，故C 正确； 对D ：⎪⎪⎪⎪z w ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b i c ＋d i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（a ＋b i ）（c －d i ）（c ＋d i ）（c －d i ） ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac ＋bd －（ad －bc ）i c 2＋d 2 ＝（ac ＋bd c 2＋d 2）2＋（ad －bc c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＋a 2d 2－2abcd ＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2（c 2＋d 2）2 ＝a 2c 2＋b 2d 2＋a 2d 2＋b 2c 2c 2＋d 2 ，||z ||w ＝a 2＋b 2c 2＋d2 ＝a 2＋b 2×c 2＋d 2c 2＋d 2 ＝（a 2＋b 2）（c 2＋d 2）c 2＋d 2 ＝a 2c 2＋b 2c 2＋a 2d 2＋b 2d 2c 2＋d 2 ，故⎪⎪⎪⎪z w ＝||z ||w ，故D 正确．故选BCD. 14．[2022·全国乙卷(理)，2]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝－1，b ＝－2答案：A解析：由z ＝1－2i 可知z － ＝1＋2i.由z ＋a z － ＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.故选A. 15．[2023·全国甲卷(理)]设a ∈R ，(a ＋i)(1－a i)＝2，则a ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案：C解析：∵(a ＋i)(1－a i)＝a ＋i －a 2i －a i 2＝2a ＋(1－a 2)i ＝2，∴2a ＝2且1－a 2＝0，解得a ＝1，故选C.16．已知z (1＋i)＝1＋a i ，i 为虚数单位，若z 为纯虚数，则实数a ＝________． 答案：－1解析：方法一 因为z (1＋i)＝1＋a i ，所以z ＝1＋a i 1＋i ＝（1＋a i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝（1＋a ）＋（a －1）i 2，因为z 为纯虚数， 所以1＋a 2 ＝0且a －12≠0，解得a ＝－1. 方法二 因为z 为纯虚数，所以可设z ＝b i(b ∈R ，且b ≠0)，则z (1＋i)＝1＋a i ，即b i(1＋i)＝1＋a i ，所以－b ＋b i＝1＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝1b ＝a ，解得a ＝b ＝－1.。
复数总结知识点高考数学
复数总结知识点高考数学一、复数的概念复数是指形如a+bi的数，其中a和b分别是实数部分和虚数部分，i是虚数单位，满足i^2=-1。
可以看出，实数可以看作是复数中虚数部分为0的特殊情况。
二、复数的加减在复数形式下，两个复数相加或相减，只需要按照实部和虚部分别相加或相减即可。
例如：(a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i三、复数的乘法复数的乘法需要用到虚数单位i的乘法规则i^2=-1。
将两个复数相乘，按照分开实数和虚数部分相乘，然后利用i^2=-1简化计算。
例如：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i四、复数的除法复数的除法，通常需要将除数和被除数都用复数的共轭表示式分子/分母，然后利用复数的乘法进行计算，最后将结果化简为标准形式。
例如：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di)/(c^2+d^2) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)/(c^2+d^2)i五、复数的模复数的模指的是复数到原点的距离，用|z|表示。
对于复数a+bi，它的模为√(a^2+b^2)，即z的模等于它的实部a与虚部b的平方和的平方根。
复数模的性质：1) |z1z2| = |z1||z2|2) |z1/z2| = |z1|/|z2|六、复数的幂复数的幂运算可以直接套用实数的幂运算，但需要注意虚数单位i的幂次满足周期性规律。
具体计算时，先将底数化为极坐标形式，然后根据幂运算的规律进行计算。
例如：(a+bi)^n = (r(cosθ+isinθ))^n = r^n(cosnθ+isinnθ)七、复数的共轭复数的共轭是将实数部分不变，而虚数部分取负号得到的复数。
例如：复数a+bi的共轭为a-bi总结：复数是高考数学中的基础知识点，掌握复数的加减乘除、模和幂等运算规则对于解题至关重要。
高考数学复数的概念及运算课件
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(_a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋___b_c). i
(4)
除
法
：
z1 z2
＝
a＋bi c＋di
＝
a＋bic－di c＋dic－di
11．4 复数的概念及运算
考点梳理
一、复数的有关概念
1．复数的概念
形如 a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中 a，b 分别是它的
_实__部___和__虚__部__.若__b_＝__0_，则 a＋bi 为实数，若_b_≠__0__，则 a＋
bi 为虚数，若_a_＝__0__且__b_≠__0_，则 a＋bi 为纯虚数．
4．a 为正实数，i 为虚数单位，|a＋i i|＝2，则 a＝(
)
A．2 B. 3
C. 2 D．1
解析：由已知|a＋i i|＝2 得|a＋i i|＝|(a＋i)·(－i)|＝|1－ai|＝2， 所以 1＋a2＝2，∵a＞0，∴a＝ 3.
答案：B
5．若复数 z＝11＋－ii＋m·11－＋ii(i 为虚数单位)为实数，则实数 m ＝________.
3．要记住一些常用的结果，如
i、－12＋
3 2i
的有关性质等
可简化运算步骤提高运算速度．
•失误与防范 1．判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考 虑它的实部是否有意义． 2．对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判 别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程， 用复数相等的条件进行求解． 3．两个虚数不能比较大小． 4．利用复数相等 a＋bi＝c＋di 列方程时，注意 a，b，c，d ∈R 的前提条件． 5．z2＜0 在复数范围内有可能成立，例如：当 z＝3i 时 z2＝ －9＜0.
2024全国高考真题数学汇编：复数的四则运算
2024全国高考真题数学汇编复数的四则运算一、单选题1．（2024全国高考真题）若1i 1z z ，则z （）A ．1i B ．1i C ．1iD ．1i 2．（2024全国高考真题）设z ，则z z （）A ．2 BC ．D ．23．（2024北京高考真题）已知1i i z ，则z （）．A ．1i B ．1i C ．1i D ．1i4．（2024全国高考真题）若5i z ，则 i z z （）A ．10iB ．2iC ．10D ．2二、填空题5．（2024天津高考真题）已知i 是虚数单位，复数 i 2i ．6．（2024上海高考真题）已知虚数z ，其实部为1，且 2z m m zR ，则实数m 为．参考答案1．C【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.【详解】因为11111i 111z z z z z ，所以111i i z .故选：C.2．D 【分析】先根据共轭复数的定义写出z ，然后根据复数的乘法计算.【详解】依题意得，z ，故22i 2z z .故选：D3．C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得 i 1i i 1z .故选：C.4．A【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z ，则 i 10i z z .故选：A5．7【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.【详解】i 2i 527 .故答案为：7.6．2【分析】设1i,R z b b 且0b ，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设1i z b ，b R 且0b .则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b，m R ，22323101b m b b b b，解得2m ，故答案为：2.。
高考数学知识点速记复数的运算与性质
高考数学知识点速记复数的运算与性质在高考数学中，复数是一个重要的知识点。
复数的运算与性质不仅是数学学科中的基础内容，也是解决许多数学问题的有力工具。
让我们一起来快速了解一下复数的运算与性质。
一、复数的定义形如\（a ＋ bi\）（＼（a\）、＼（b\）均为实数）的数称为复数，其中\（a\）被称为实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）被称为虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）就是实数；当\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ≠ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）被称为纯虚数。
二、复数的几何意义在平面直角坐标系中，以\（x\）轴为实轴，＼（y\）轴为虚轴，建立复平面。
复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a, b)＼），向量\（＼overrightarrow{OZ}＼）的坐标也是\（（a, b)＼）。
三、复数的运算1、复数的加法设\（z_1 ＝ a ＋ bi\），＼（z_2 ＝ c ＋ di\），则\（z_1 ＋ z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）。
复数的加法满足交换律和结合律，即\（z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1\），＼（（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＼）。
2、复数的减法＼（z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i\）3、复数的乘法＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝ ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2 ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法＼＼begin{align}＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac adi ＋ bci bdi^2}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{（ac ＋ bd) ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼end{align}＼四、复数的性质1、共轭复数当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
专题2.1复数的概念(七个重难点突破)高考数学
故答案为：④.
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试卷讲评课件
2 + 2i/2i + 2
6.以2 + i的实部为虚部，2i + 1的虚部为实部的复数为_____________.
【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】因为 + 的实部为2， + 的虚部为2，故所求复数为 + .
及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.
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试卷讲评课件
【详解】∵ 是实数， ∈ , ，�� ≠ ，∴ + − = ，
即 =
−
恒成立.
−
又
∴
=
【详解】由
，解得 = −，故 = −.
+≠
故答案为： = −
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试卷讲评课件
8.已知x是实数，则“复数x x − 1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“
x = 0(或x = 1)
_______________”.
【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.
高考数学真题题型分类解析专题专题02 复数
一、复数的概念
（ ） 叫虚数单位，满足 ，当 时， ． 1 i
i2 = −1 k ∈ Z
i 4k = 1, i 4 k +1 = i, i 4k + 2 = −1, i 4k +3 = −i
（2）形如 a + bi(a, b∈ R) 的数叫复数，记作 a +bi∈C ．
高考数学真题题型分类解析 专题 02 复数
命题解读
考向
高考对复数的考查，重点是复数的运 共轭复数、复数的除法运算
算、概念、复数的模、复数的几何意义 等，难度较低.
复数的乘法运算 复数的几何意义
复数的模
考查统计 2022·新高考Ⅰ卷，2 2023·新高考Ⅰ卷，2 2024 新高考Ⅰ卷，2 2022·新高考Ⅱ卷，2 2023 新高考Ⅱ卷，1 2024·新高考Ⅱ卷，1
综上所述，无论方程的判别式b2 −4ac 的符号如何，韦达定理都成立，于是韦达定理能被推广到复数根的
情况，即实系数一元二次方程ax2 +bx + c = 0（ a 、b 、c∈ R 且a ≠ 0 ）的两个根与系数满足关系
， x1
+
x2
=
−
b a
x1 x2
=
c a
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一、单选题
1．（2024·安徽芜湖·三模）已知复数
=
(1− i)2
−2i
=
= −1− i .
−2i
故选：D
5．（2024·山东德州·三模）已知复数 z 满足： z − i(2 + z) = 0 ，则 z = （ ）
． ． ． ． A −1− i B −1+ i C 1+ i D 1− i 【答案】B
2025届高考数学一轮复习——复数讲义
2025届高考数学一轮复习——复数讲义【高考考情分析】复数是高考的必考内容，多出现在选择题中，近几年多选题、填空题形式也有考查，试题较为简单，属于送分题，主要考查复数的概念和复数的四则运算.【基础知识复习】1.复数的有关概念（1）复数相等：i i a b c d a c +=+⇔=且b d =(,,,)a b c d ∈R .（2）共轭复数：i a b +与i c d +共轭a c ⇔=且b d =-(,,,)a b c d ∈R .（3）复数的模：复数i(,)z a b a b =+∈R 对应的向量OZ 的模叫做z 的模，记作||z 或|i |a b +，即|||i |z a b =+=2.复数的几何意义（1）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应复平面内的点(,)Z a b . （2）复数i(,)z a b a b −−−−→=+∈←−−−−R 一一对应平面向量((0,0),(,))OZ O Z a b . 3.复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则（1）加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；（2）减法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d -=+-+=-+-；（3）乘法：12(i)(i)()()i z z a b c d ac bd bc ad ⋅=+⋅+=-++；（4）除法：122222i (i)(i)i(i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d c d++-+-===++≠++-++. 4.复数加法的运算律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何123,,z z z ∈C ，有1221z z z z +=+，123123()()z z z z z z ++=++.5.复数加、减法的几何意义（1）复数加法的几何意义若复数12,z z 对应的向量12,OZ OZ 不共线，则复数12z z +是以12,OZ OZ 为两邻边的平行四边形的对角线OZ 所对应的复数.（2）复数减法的几何意义复数12z z -是1221OZ OZ Z Z -=所对应的复数.6.复数乘法的运算律：对于任意123z z z ∈C ，，，有交换律：1221z z z z =；结合律：123123()()z z z z z z =；乘法对加法的分配律：1231213()z z z z z z z +=+.【重点难点复习】1.复数的模的运算性质（1）1212z z z z ⋅=⋅；（2）()112220z z z z z =≠； （3）()11n n z z n *=∈N .2.共轭复数的相关运算（1）z z z =⇔为实数，0z z +=且0z z ≠⇔为纯虚数；（2）2222||||zz z z a b ===+；（3）2z z a +=，2i z z b -=；（4）1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，()112220z z z z z ⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭. 【基本方法与技能复习】求解复数相关问题的技巧（1）复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需先把所给复数化为i()a b a b +∈，R 的形式，再根据题意列方程（组）求解.（2）求复数的模时，直接根据复数的模的公式和性质进行计算.（3）复数问题实数化是解决复数问题最基本也是最重要的方法.（4）在复数的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，把含有虚数单位i 的项看作一类同类项，不含i 的项看作另一类同类项；除法运算则需要分母实数化，解题中注意要把i 的幂化成最简形式.（5）由于复数、点、向量之间存在一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.【典型例题复习】1i =+，则z =( ) A.1i -- B.1i -+C.1i -D.1i + 2.【2024年新课标Ⅰ卷】已知1i z =--，则||z =( )3.【2023年新课标Ⅰ卷】已知1i 22i z -=+，则z z -=( ) A.i - B.i C.0 D.14.【2023年新课标Ⅰ卷】在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.【2022年新高考Ⅰ卷】若()i 11z -=，则z z +=( )A.-2B.-1C.1D.26.【2022年新高考Ⅰ卷】(22i)(12i)+-=( )A.24i -+B.24i --C.62i +D.62i - 答案以及解析1.答案：C1i =+，所以(1)(1i)z z =-+，即1i i z z z =-+-，即i 1i z =+，所以1i (1i)(i)1i i i(i)z ++-===--，故选C.1=+=11i 11i (1i)(1i)22z --==-+-11i 22=+=所以z =21i 1i=-+，故选C. 2.答案：C解析：|||1i |z =--==3.答案：A解析：因为1i(1i)(1i)2i1i22i2(1i)(1i)42z----====-++-，所以1i2z=，即iz z-=-.故选A.4.答案：A解析：(13i)(3i)3i9i368i+-=-++=+，在复平面内对应的点的坐标为(6,8)，位于第一象限，故选A.5.答案：D解析：因为i(1)1z-=，所以111iiz=-=+，所以1iz=-，所以(1i)(1i)2z z+=++-=.故选D.6.答案：D解析：(22i)(12i)24i2i462i+-=-++=-，故选D.。
高考数学中复数在平面几何中的应用有哪些
高考数学中复数在平面几何中的应用有哪些在高考数学的广阔领域中，复数这一重要概念不仅在代数运算中发挥着关键作用，还在平面几何问题的解决中展现出独特的魅力和强大的应用价值。
首先，我们来了解一下复数的基本概念。
复数通常可以表示为 a ＋bi 的形式，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i²＝－1。
在平面直角坐标系中，复数可以与平面上的点一一对应，实部 a 对应 x 轴上的坐标，虚部 b 对应 y 轴上的坐标。
那么，复数在平面几何中到底有哪些具体的应用呢？一个常见的应用是用复数来表示平面上的向量。
假设平面上有一个向量，起点为坐标原点，终点坐标为（a, b)，那么这个向量就可以用复数 a ＋ bi 来表示。
利用复数的加法和数乘运算，我们可以方便地进行向量的加法、减法以及与实数的乘法运算。
比如，有两个向量分别对应复数 z₁＝ 2 ＋ 3i 和 z₂＝ 4 2i，那么它们的和向量对应的复数就是 z₁＋ z₂＝（2 ＋ 4) ＋（3 2)i ＝ 6 ＋i。
复数在平面几何中的另一个重要应用是求两点之间的距离。
对于平面上的两个点 A、B，分别对应复数 z₁＝ a₁＋ b₁i 和 z₂＝ a₂＋b₂i，那么 A、B 两点之间的距离可以表示为｜z₁ z₂|。
例如，点 A 对应复数 1 ＋ 2i，点 B 对应复数 4 3i，那么它们之间的距离就是｜（1 ＋ 2i) （4 3i)｜＝｜－3 ＋ 5i| ＝√（（－3)²＋ 5²) ＝√34。
在求解三角形的问题中，复数也能大显身手。
以三角形的三个顶点对应的复数为 z₁、z₂、z₃，我们可以通过计算复数的差来得到三角形的边所对应的向量，进而利用向量的模长和夹角公式来求解三角形的边长、角度等相关问题。
比如，已知三角形三个顶点分别对应复数 1 ＋ i、2 2i、－1 ＋ 3i，那么边 AB 对应的向量为 z₂ z₁＝（2 2i) （1 ＋ i) ＝ 1 3i，边 BC 对应的向量为 z₃ z₂＝（－1 ＋ 3i) （2 2i) ＝－3 ＋ 5i。
专题2.2复数的四则运算(七个重难点突破)高考数学
【详解】原式= − − + − − − = −.
(2)设z1 = x + 2i，z2 = 3 − yi(x，y ∈ R)，且z1 + z2 = 5 − 6i，求z1 − z2.
【答案】− + .
【详解】因为 = + ， = − ， + = − ，
− = + + − ，
显然 − ≠ ，由 − 为纯虚数，得 + = ，解得 = −，
所以 + = −.
故选：
试卷讲评课件
3.在复平面内，复数z对应的点Z的坐标为 −2sin120∘ , −2cos120∘ ，则
z + 2 3 =(
求 z1 + z2 .
【答案】
【分析】设对应的复数为 ，对应的复数为 ，利用向量运算
和复数的向量表示可解.
试卷讲评课件
【详解】设对应的复数为 ，对应的复数为
，
则 + 对应的复数为 + ， − 对应的
复数为 − ，
因为 = = ，且 − = ，
所以 + + − = − ，
=
+=
所以
，解得
，
=
− = −
所以
− = + − − = − + [ − − ] = − + .
试卷讲评课件
【分析】(1)(2)运用复数加减运算及复数相等求解即可.
③当 = 时， − = − ，
所以 = − + = − + − + − − = − + ，
高考数学必考知识点复数
高考数学必考知识点复数复数是高中数学中的重要概念，也是高考数学中必考的知识点之一。
许多学生对复数有些陌生，不太了解其概念和性质。
本文将详细介绍复数的基本概念、运算规则以及在解决实际问题中的应用等方面，帮助学生更好地掌握这一知识点。
1. 复数的概念复数是由实数和虚数构成的数。
其中，实数可以看作是复数的一部分，而虚数被定义为单位虚数 $i$ 与实数乘积所得。
一个复数可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 分别代表实数部分和虚数部分。
例如，$3+2i$、$-5i$ 都是复数。
2. 复数的运算（1）复数的加法和减法：复数的加法和减法遵循实部相加（减），虚部相加（减）的规则。
即，设复数 $z_1 = a_1+b_1i$，$z_2 = a_2+b_2i$，则有$z_1+z_2 = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i$，$z_1-z_2 = (a_1-a_2) + (b_1-b_2)i$。
（2）复数的乘法：复数的乘法可以使用分配律展开，注意虚数 $i$ 与自身的乘积为 $-1$。
例如，$(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i$。
需要注意的是，复数的乘法满足交换律和结合律。
（3）复数的除法：复数的除法需要将除数分母的虚数部分进行有理化，化为实数形式。
具体操作是将分母的虚数部分与其共轭相乘，即将分母化为实数。
然后将被除数与实数形式的除数进行乘法运算，得到的结果即为商。
例如，$(a+bi)/(c+di) = [(a+bi)(c-di)] / [(c+di)(c-di)]$。
3. 复数的性质（1）复数的模：复数的模表示复数离原点的距离，可以用勾股定理求得。
设复数 $z = a+bi$，则有 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$。
模的性质包括非负性、零模性、模的加法和乘法性质等。
（2）共轭复数：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。
即，设复数 $z = a+bi$，则其共轭复数为 $\bar{z} = a-bi$。
数学高考知识点复数公式
数学高考知识点复数公式复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数部分构成。
在高考数学中，掌握复数的概念和运算是非常重要的。
下面将介绍数学高考中常见的复数公式。
1. 复数的表示复数可表示为 a + bi 的形式，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分，i为虚数单位，满足 i² = -1。
例如，2 + 3i 就是一个复数，其中实数部分为 2，虚数部分为 3。
2. 共轭复数共轭复数是指虚数部分符号相反的复数。
设 z = a + bi 是一个复数，那么它的共轭复数记为z = a - bi。
例如，对于复数 2 + 3i，它的共轭复数为 2 - 3i。
3. 复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，将实数部分分别相加或相减，虚数部分也分别相加或相减。
例如，(2 + 3i) + (4 + 2i) = 6 + 5i，(2 + 3i) - (4 + 2i) = -2 + i。
4. 复数的乘法两个复数相乘时，可应用分配律展开并根据 i² = -1 化简。
例如，(2+ 3i)(4 + 2i) = 8 + 4i + 12i + 6i² = 8 + 4i + 12i - 6 = 2 + 16i。
5. 复数的除法两个复数相除时，可利用共轭复数将分母有理化，然后根据乘法的性质进行计算。
例如，(2 + 3i) / (4 + 2i) = (2 + 3i)(4 - 2i) / (4² - (2i)²) = (8+ 14i + 6) / (16 + 4) = (14 + 14i) / 20 = 7/10 + 7i/10。
6. 复数的模复数的模表示复数到原点的距离，记为 |z|。
对于一个复数 z = a + bi，其模为|z| = √(a² + b²)。
例如，对于复数 2 + 3i，其模为|2 + 3i| = √(2² +3²) = √13。
数学高考复数知识点总结
数学高考复数知识点总结
复数的加减：当两复数相加时，实部相加，虚部相加。
当两复数相减时，实部相减，虚部
相减。
容易记住的是，虚数单位i的平方等于-1，即i^2=-1。
复数的乘法：两个复数相乘时，可以先将它们化为分别含有实部和虚部的形式，然后应用
分配律，最后与虚数单位i的平方等于-1的性质化简。
复数的除法：复数的除法与实数之间的除法有些相似，不同的地方在于要将除数和被除数
都化为含有实部和虚部的形式，在实际操作时可以将除数的分母有理化。
共轭复数：一个复数的共轭复数是保持实部不变，但虚部改变符号的复数。
即，如果一个
复数为a+bi，那么它的共轭复数就是a-bi。
它们的乘积是一个实数。
复数平方根：在求复数的平方根时，需要将复数化为含有实部和虚部的形式，然后利用平
方法求出平方根的实部和虚部。
指数表示与欧拉公式：欧拉公式是数学中一个非常重要的公式，在复平面中，指数函数可
以用欧拉公式表示，即e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)。
这一性质在复数的求导和积分中非常有用。
复数在数理科学中的应用非常广泛，例如在电路中的交流电分析中，谐波振动的研究中等。
因此，复数知识也是高考数学中非常重要的内容。
总结来说，复数是数学中非常重要的一个概念。
掌握复数的基本运算规则，能够灵活运用
共轭复数，求复数的平方根，以及应用欧拉公式的相关知识，对于高考数学复数部分的考
试至关重要。
希望广大考生能够加强对复数知识的学习，做好相关的练习，从而在高考中
取得优异的成绩。
高考数学关于复数的知识点
高考数学关于复数的知识点复数，作为高中数学中的一个重要知识点，是指形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
在高考数学中，复数的概念和运算是必考的内容。
本文将介绍几个与复数相关的知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则以及复数方程的求解方法等。
一、复数的定义复数可以用来表示没有实数解的方程，其定义形式为a+bi。
其中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部。
复数集合包括了实数集合，因为实数可以看作虚部为0的复数。
二、复数的表示形式复数可以有多种表示形式，例如代数形式、拆项形式和三角形式等。
代数形式是复数的基本表示形式，即a+bi。
拆项形式是将复数拆分成实部和虚部两个部分，例如：a+bi = a + b(i)三角形式是将复数表示为一个模长和一个辐角的形式，即z =|z|(cosθ + isinθ)，其中|z|称为模长，θ称为辐角。
三、复数的运算规则复数的加法可以按照实部相加、虚部相加的规则进行。
例如：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i复数的减法可以按照实部相减、虚部相减的规则进行。
例如：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i复数的乘法需要使用分配律展开，然后利用虚数单位的平方等于-1进行化简。
例如：(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法则需要进行有理化，将除法转化为乘法。
例如：(a+bi) ÷ (c+di) = (a+bi) × (c-di) ÷ (c+di)四、复数方程的求解方法对于形如az^2+bz+c=0的复数方程，可以运用求根公式进行求解。
其中，z为复数，且a、b、c为实数。
根据求根公式，可以得到两个根z1和z2的值。
具体求解步骤如下：1. 计算Δ=b^2-4ac，如果Δ大于等于0，则存在实数解；如果Δ小于0，则存在虚数解。
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2016年高考数学理试题分类汇编
复数
1、（2016年北京高考）设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.
【答案】1-.
2、（2016年山东高考）若复数z 满足232i,z z +=-其中i 为虚数单位，则z =
（A ）1+2i
（B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i -- 【答案】B
3、（2016年上海高考）设i i Z 23+=
，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 【答案】-3
4、（2016年天津高考）已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则
a b
的值为_______. 【答案】2
5、（2016年全国I 高考）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y +
（A ）1（B （C D ）2
【答案】B
6、（2016年全国II 高考）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（）
（A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--，
【答案】A
7、（2016年全国III 高考）若12z i =+，则41
i zz =- (A)1(B)-1(C)i(D)-i
【答案】C
程序框图
1、（2016年北京高考）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】B
2、（2016年山东高考）执行右边的程序框图，若输入的a ,b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为
________.
【答案】3
3、（2016年四川高考）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。
若输入n，x的值分别为3，2.则输出v的值为（）A．9 B．18C．20 D．35
【答案】B
4、（2016年天津高考）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）
（A）2 （B）4 （C）6 （D）8
【答案】B
5、（2016年全国I 高考）执行右面的程序框图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足
（A ）2y x =（B ）3y x =
（C ）4y x =（D ）5y x =
【答案】C
6、（2016年全国II 高考）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =
（A ）7（B ）12（C ）17（D ）34
【答案】C
7、（2016年全国III 高考）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =
（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6
【答案】B。