2437微积分基础
微积分基础知识PPT演示课件
A lim f ( i )xi
0 i 1
6
4)无穷级数
1 1 1 1 1 lim n n 2 2 4 2 4 1 1 (1 n ) 2 1 lim 2 n 1 1 2
1 2n
7
具备的数学素质：
从实际问题抽象出数学模型的能力
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册) 多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
2
三、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.会运用 数学能力。
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
y a0 a1 x an x 为初等函数
n
y a0 a1x an x 不是初等函数
n
y e sin x 1
x 2
x y x 1 y x, x,
x0 不是初等函数 x0 x 0 可表为 2 故为初等函数. y x , x0 20
１． 定义 设数集 D，若存在对应法则 f ，使对 x D ， 存在唯一确定 y M R 与之对应，则称 f 是定义在数集Ｄ 上的函数。记作 f : D M ( x | y ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f ( x ) ， 全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f ( D) 。 即 f ( D) y | y f ( x), x D 。
o
x
-1
x sgn x x
13
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
大学数学微积分基础知识
大学数学微积分基础知识大学数学微积分基础知识微积分是大学数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
下面是小编分享的大学数学微积分基础知识，一起来看一下吧。
历史从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是积分的思想早在古代就已经产生了。
积分学的早期史公元前7世纪，古希腊科学家、哲学家泰勒斯就对球的面积、体积、与长度等问题的研究就含有微积分思想。
公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德(公元前287~前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有积分学的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线所得的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。
中国古代数学家也产生过积分学的萌芽思想，例如三国时期的刘徽，他对积分学的思想主要有两点：割圆术及求体积问题的设想。
微积分产生到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。
归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。
第二类问题是求曲线的切线的问题。
第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。
第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。
数学首先从对运动(如天文、航海问题等)的研究中引出了一个基本概念，在那以后的二百年里，这个概念在几乎所有的工作中占中心位置，这就是函数——或变量间关系——的概念。
紧接着函数概念的采用，产生了微积分，它是继欧几里得几何之后，全部数学中的一个最大的创造。
围绕着解决上述四个核心的科学问题，微积分问题至少被十七世纪十几个最大的数学家和几十个小一些的数学家探索过。
其创立者一般认为是牛顿和莱布尼茨。
在此，我们主要来介绍这两位大师的工作。
实际上，在牛顿和莱布尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。
十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格;英国的巴罗、瓦里士;德国的开普勒;意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。
微积分基础讲解
微积分基础讲解微积分，这玩意儿听起来就很高级，好像离咱们的生活特别远。
其实啊，没那么神秘。
咱先来说说微分。
微分有点像把一个东西拆成特别特别小的部分去看。
就好比你有一个大蛋糕，你想知道这个蛋糕每一小口的甜度是多少。
这个蛋糕就是一个函数，每一小口就是这个函数的微分。
比如说，一个简单的函数像y = x²，你想知道x变化一点点的时候，y是怎么变的呢？这时候微分就派上用场了。
就像你在这个蛋糕上切下超级薄的一片，看看这一片的情况。
你会发现，这个微分啊，就像是一个放大镜，能让你看到函数在某一个点附近特别细微的变化。
这在实际生活里也有用啊，你想啊，如果一个汽车的速度是随着时间变化的一个函数，那微分就能告诉你在某一个瞬间这个汽车速度的变化情况，是不是挺神奇的？那积分呢？积分就像是把这些小部分又给合起来。
还拿蛋糕举例，你要是知道了每一小口蛋糕的甜度，然后你把这些小部分的甜度都加起来，就能知道整个蛋糕的甜度了。
在数学里，如果你有很多个小的微分部分，把它们加起来就得到了积分。
比如说，你想知道一个曲线和坐标轴围成的面积是多少，积分就能搞定。
就像你要知道这个蛋糕的横截面积一样，你把一片片的小面积加起来就好了。
这在物理里也很有用啊。
比如说，你知道了力随时间的变化是一个函数，那积分就能告诉你这个力在一段时间内做的功是多少。
这就好比你知道了每一小步的力量，然后把这些力量加起来就知道总共做了多少功。
微积分的基础里啊，还有极限这个概念。
极限就像是一个目标，一个东西一直朝着这个目标靠近，但是可能永远也达不到这个目标。
就好比你在追一个跑得特别快的小动物，你一直在靠近它，但是可能永远也抓不到它。
在数学里，像函数y = 1/x，当x越来越大的时候，y就越来越接近0，这个0就是这个函数当x趋向于无穷大时的极限。
极限是微积分的基石呢，如果没有极限的概念，微分和积分就像没有根的树，立不住。
导数也是微积分里的一个大头。
导数其实和微分关系特别紧密。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分简单知识点总结
微积分简单知识点总结微积分的基本概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点的变化率，而积分则描述了函数在一定区间内的累积效应。
导数和积分是微积分的两个基本概念，它们之间通过微积分基本定理建立了联系。
在微积分中，除了导数和积分，还有极限、微分方程、泰勒级数等概念，它们都是微积分的重要内容。
微积分的学习需要掌握一些基本的概念和方法。
首先是要掌握函数的概念，函数是自变量和因变量之间的对应关系，它是微积分研究的基本对象。
其次是要理解导数和积分的概念及其意义，导数描述了函数在某一点的变化率，而积分描述了函数在一定区间内的累积效应。
另外，微积分中的极限和微分方程、泰勒级数等概念也是学习微积分的重点内容。
最后，要掌握微积分的计算方法，包括导数和积分的计算方法，以及一些常见函数的导数和积分。
微积分在实际应用中有很多重要的作用。
在物理学中，微积分的应用包括描述物体的运动和变形规律，求解力学、电磁学、热力学等问题。
在工程学中，微积分的应用包括求解工程问题、优化设计等。
在经济学和管理学中，微积分的应用包括求解生产函数和效用函数，分析市场供求关系等。
在生物学和医学中，微积分的应用包括描述生物体的生长发育规律，分析生物体的代谢过程等。
可见，微积分在各个领域都有着广泛的应用，是一门非常重要的学科。
总之，微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是变化的规律和积分的概念。
微积分的基本概念包括导数和积分，它们之间通过微积分基本定理建立了联系。
微积分的学习需要掌握一些基本的概念和方法，包括函数的概念、导数和积分的概念及其意义、微积分中的极限和微分方程、泰勒级数等概念，以及微积分的计算方法。
微积分在实际应用中有着广泛的作用，包括物理学、工程学、经济学和管理学、生物学和医学等各个领域。
因此，学习微积分是非常重要的，它不仅可以增强我们的数学思维能力，而且对我们的日常生活和工作都有着深远的影响。
国家开放大学电大专科《建筑工程项目招投标与合同管理》单项选择题题库及答案(试卷号
国家开放大学电大专科《建筑工程项目招投标与合同管理》单项选择题题库及答案（试卷号国家开放大学电大专科《建筑工程项目招投标与合同管理》单项选择题题库及答案（试卷号：2464）盗传必究单项选择题1．按照规定，招标人和中标人应当自中标通知书发出之日起()日之内订立书面合同。
A．20B．30C25D．352．()属于投标人的权益。
A．平等地获得招标信息B．组织和参与招投标活动，其行为对招标人或投标人产生效力C．依据招标文件规定，审定投标人的资质D．依法收取招标代理业务3．建设工程标底是指招标人根据国家有关规定计算出来的造价，是建设工程的()。
A．计划价格B．预期价格C．实际价格D．合同价格4．整个招标过程的结果性阶段是()，包括：开标、评标、定标、签约等工作。
A．招标准备阶段B．招标实施阶段C．定标签约阶段D．履约阶段5．施工招标文件的内容一般不包括()。
A．工程质量及工期要求B．资格预审条件C．合同条件D．投标须知6．为了提高中标的可能性和中标后利益，在保证工程质量的前提下，进行合理报价，根据投标报价的原则，降低投标报价不可以采取()方法。
A．设定降价系数B．降低管理费C．降低利润率D．降低规费和税金7．招标人和中标人按照招标文件和中标人的投标文件订立书面合同后，中标人()。
A．应当按照合同约定履行义务，完成中标项目B．可将中标项目分解后分别向他人转让C．可向他人转让中标项目D．可将中标项目中的部分主体工作分包给他人完成8．评标工作是由(A．招标人B．评标委员会C．公证机关D．当地招标管理部门9．建设部和国家工商行政管理局联合发布了两个设计合同示范文本，《建设工程设计合同》中条款内容差异的主要原因是由于《建设工程设计合同》委托的工作内容不同，即承包工程项目的()任务。
A．勘察、设计B．设计、施工C．专业工程设计D．民用建筑工程设计10.工程师在收到承包商递交的索赔报告和有关资料后()天内未给予答复或未对承包商作进一步要求，则视为该项索赔已被认可。
微积分的入门指南
微积分的入门指南微积分，作为数学中的一个重要分支，是研究变化和积累过程的数学工具。
它在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。
对于初学者来说，掌握微积分的基本概念和技巧是非常重要的。
本文将为您提供微积分的入门指南。
一、微积分的基本概念微积分的核心概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，可以用来求解函数的切线和极值，是微积分的基础。
积分则是导数的逆运算，表示变化率在一段区间上的累积结果，常用于计算曲线下的面积和求解定积分。
二、导数的计算求解导数时，可以使用求导法则和求导公式。
常见的求导法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则。
求导公式则是通过对特定函数进行求导得到的结果，如指数函数、对数函数、三角函数等。
掌握这些法则和公式，可以帮助我们更轻松地计算导数。
三、导数的应用导数在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，通过对物体的位移函数求导，可以得到物体的速度函数；再对速度函数求导，可以得到物体的加速度函数。
这种通过导数来描述物体运动规律的方法，被称为微分学。
除此之外，导数还可以用于求解函数的最大值和最小值，优化问题等。
四、积分的计算用积分来求解曲线下的面积是积分的一项重要应用。
当我们知道函数在某一区间上的变化率时，可以通过积分来求解函数在该区间上的累积结果。
计算积分时，可以使用不定积分和定积分。
不定积分是对函数求解原函数的过程，而定积分则是在指定区间上计算函数与坐标轴所围成的面积。
五、微积分的基本定理微积分的基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和微分方程的求解。
牛顿-莱布尼茨公式描述了定积分和不定积分的关系，将积分与导数联系在了一起。
微分方程则是描述函数和它的导数之间关系的方程，是自然科学和工程学中广泛应用的数学工具。
六、数列和级数微积分还涉及到数列和级数的概念。
数列是由一系列有序的数按一定规律排列而成的集合，级数则是数列的和。
掌握数列和级数的性质和求解方法，可以帮助我们研究数学序列的趋势以及数学序列的收敛性质。
国家开放大学(电大)2018年春季学期“开放本科”期末考试 试题与答案-微积分初步
2. C
3. A
4. A
5. B
二、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）
6. x2
78
. .
一
3x
9. cosx2+c 10. 3
三、计算题（每小题 11 分，本题共 44 分）
11. 计算极限 lim
工 -3
解：原式 =lim
工亡七 3
2
__ l
x2-7x+I2 x2 —9
(x
— 4)(x-3)
sinxdx = -cosx+c
cosxdxБайду номын сангаас=sinx+c
COS X
dx =tanx +c
(cotx)'= - - : 2
SIU X
1
［上dx=-cotx+c sm x
828
得分 1 评卷人
一、单项选择题（每小题 4 分，本题共 20 分）
1. 下列各函数对中，（
）中的两个函数相等．
A. f(x) =
dy
D.
-— =(x+y)y d工
dy
得分 1 评卷人
二、填空题（每小题 4 分，本题共 20 分）
6.
函数 f(x+Z)= 正十 4x+4, 则 f(x)=
7. lim
工-o
sin2x =3, 则 k= kx xz
8.
9.
函数 y=
— 2x-3
x
—l
的间断点是
f
d(cosx2)=
10. 微分方程 xy"1 + (y')4cosx =e工 +y 的阶数为
《微积分基本定理》课件
证明方法三：使用不定积分和定积分的性质
总结词
利用不定积分和定积分的性质来证明微积分基本定理 。
详细描述
首先，我们知道不定积分的定义是$int f(x) dx = F(x) + C$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，$C$是常 数。然后，根据定积分的性质，我们知道 $int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$。因此，我们可以 将微积分基本定理的结论表示为$int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{Delta x to 0} sum_{i=1}^{n} f(xi_i) Delta x$ ，其中$xi_i$是每个小区间的中点，$Delta x$是每个 小区间的宽度。最后，我们利用不定积分的定义和极 限的性质来证明这个结论。
我们可以将积分看作是计算曲线下方的面积。对于一个给 定的函数，我们可以在坐标系中画出其图像。然后，将积 分区间分成若干个小区间，每个小区间的宽度为$Delta x$ ，高度为$f(x)$。因此，每个小矩形的高度与宽度的乘积 即为该小区间的面积。所有小矩形的面积之和即为整个曲 线下方的面积，即函数的积分值。
广义微积分基本定理的应用
广义微积分基本定理在数学分析和实变函数等领域中有 着重要的应用，例如在证明某些积分的收敛性和求解某 些特殊类型的积分等。
THANKS
感谢观看
微积分基本定理是微积分学中的核心定理，它建立了函数积分与导数之间 的联系，为解决各种问题提供了重要的方法和思路。
微积分基本定理的背景
微积分基本定理的起源可以追溯到17世纪，当 时科学家们开始研究如何求解各种物理问题， 如速度、加速度、面积和体积等。
牛顿和莱布尼茨等科学家在研究这些问题时， 发现了微积分基本定理，从而为解决这些问题 提供了重要的方法和工具。
微积分初步学习题库
2437微积分初步习题一、填空题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数x x x f -++=4)2ln(1)(的定义域是]4,1()1,2(-⋃--．⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k 2 ．⒊曲线xy e =在点)1,0(处的切线方程是1+=x y ．⒋=+⎰e12d )1ln(d d x x x 0．⒌微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =．6函数24)2(2-+=+x x x f ，则=)(x f 62-x ．7.当→x 0时，xx x f 1sin)(=为无穷小量. 8.若y = x (x – 1)(x – 2)(x – 3)，则y '(1) = 2-． 9.=+-⎰-x x x d )135(1132．10.微分方程1)0(,=='y y y 的特解为xy e =.11.函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f 12-x ．1⒉=∞→xx x 1sinlim 1 ． 1⒊曲线x y =在点)1,1(处的切线方程是2121+=x y ． 1⒋若⎰+=c x x x f 2sin d )(，则=')(x f in2x 4s -．1⒌微分方程x y xyy cos 4)(7)5(3=+''的阶数为 5 ．16.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 32+x ．17.若函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(2x k x x x f ,在0=x 处连续，则=k 2 ．18.函数2)1(2+=x y 的单调增加区间是).1[∞+-． 19.=⎰∞-dx e x 0221． 20.微分方程x y xy y sin 4)(5)4(3=+''的阶数为 4 ．21.设函数54)2(2++=+x x x f ，则=)(x f 12+x ．22.设函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≠+=0,10,2sin )(x x k xx x f 在x = 0处连续，则k =1-． 23.曲线1e )(+=xx f 在)2,0(点的斜率是 1 ．24.=+-⎰-x x x d )235(113 4 ．25.微分方程0)(42=+'+'''y y y x 的阶数是 3 ．26.函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 答案：2>x 且3≠x .27.函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃-- 28.函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f29.若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k 30.函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f31.函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x32.=∞→xx x 1sin lim ．答案：133.若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k34.曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 答案：2135.曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ．答案：e x y +=36.已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ．答案：3ln 33)(2xx x f +='， )3(f '=27（)3ln 1+37.已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x - 38.若xx x f -=e )(，则='')0(f ．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(，='')0(f 2-39.函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞40.函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a 二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ A ）．A ．偶函数B ．奇函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数⒉当=k （ C ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 ⒊下列结论中（ C ）正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．函数的极值点一定发生在其驻点上.C ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. ⒋下列等式中正确的是（ D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xxa x a = D.)d(2d 1x x x=⒌微分方程x y y x y sin 4)(53='''+''的阶数为（ B ） A. 2； B. 3； C. 4； D. 5 6.数)1ln(1)(-=x x f 的定义域是（ C ）．A ．),1(+∞B ．),1()1,0(+∞⋃C ．),2()2,1(+∞⋃D ．),2()2,0(+∞⋃ 7.曲线1e2+=xy 在2=x 处切线的斜率是（D ）．A ．2B ．2e C ．4e D ．42e 8.下列结论正确的有（ B ）． A ．若f '(x 0) = 0，则x 0必是f (x )的极值点B ．x 0是f (x )的极值点，且f '(x 0)存在，则必有f '(x 0) = 0C ．x 0是f (x )的极值点，则x 0必是f (x )的驻点D ．使)(x f '不存在的点x 0，一定是f (x )的极值点 9.下列无穷积分收敛的是（A ）． A ．⎰∞+-02d e x x B ． ⎰∞+1d 1x xC ．⎰∞+1d 1x xD ． ⎰∞+0d in x x s10.微分方程x y x y y ln cos )(2)4(3=+''的阶数为（D46lim 222----→x x x x 4523lim )2)(2()2)(3(lim 22=--=+-+-=-→-→x x x x x x x x ）． A. 1； B. 2； C. 3； D. 411.设函数x x y sin 2=，则该函数是（ D ）．A ．非奇非偶函数B ．既奇又偶函数C ．偶函数D ．奇函数 12.当0→x 时，下列变量中为无穷小量的是（ C ）. A ．x 1 B ．x x sin C ．)1ln(x + D ．2xx 13.下列函数在指定区间上单调减少的是（ B ）．A ．x cosB ．x -5C ．2x D ． x21⒋ 设c x xx x f +=⎰ln d )(，则=)(x f （ C ）． A. x ln ln B. x x ln C. 2ln 1xx - D. x 2ln1⒌下列微分方程中，（A ）是线性微分方程． A ．x y y x y xln e sin ='-'' B ．xxy y y e 2=+'C ．y y x y e ='+''D ． y y yx '=+ln 216.设函数x x y sin =，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 17.当+∞→x 时，下列变量为无穷小量的是（ A ）.A ．xxsin B ．)1ln(x + C ．x x 1sin D ． x x +118.若函数f (x )在点x 0处可导，则( D )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．函数f (x )在点x 0处连续C ．函数f (x )在点x 0处可微D ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠19.若)0()(>+=x x x x f ，则='⎰x x f d )(（ C ）.A. c x x ++23223 B. c x x ++2C. c x x ++D. c x x ++232322120.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.)(ln d d y x x y ⋅=； B. x y x y+=e d d ； C. y x x y e e d d +=； D. )ln(d d y x xy += 21.函数x x y ln 41+-=的定义域为（D ）． A ．0>x B ．4≠x C ．0>x 且1≠x D ．0>x 且4≠x 22.曲线x x f ln )(=在e =x 对应点处的切线方程是（ C ）．A. x y e 1=B. 1e 1-=x yC. 1e 1+=x yD. 1e e1+-=x y23.下列等式中正确的是（D ）．A . )cos d(d sin x x x = B. )1d(d ln xx x = C. )d(d xx a x a = D. )d(2d 1x x x=24.下列等式成立的是（A ）． A ．)(d )(d dx f x x f x=⎰ B ．)(d )(x f x x f ='⎰ C ．)(d )(d x f x x f =⎰ D ．)()(d x f x f =⎰ 25.下列微分方程中为可分离变量方程的是（B ）A.y x x y +=d d ； B. y xy x y +=d d ； C. x xy x y sin d d +=； D. )(d d x y x xy += 26.设函数2e e xx y +=-，则该函数是（B ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数27.下列函数中为奇函数是（C）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +28.函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ D ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x29.设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （C ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x30.当=k （D ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．331.当=k （B ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1-32.函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（A ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点33.若x x f xcos e )(-=，则)0(f '=（ C ）．A. 2B. 1C. -1D. -234.设，则（ B ）．A ．B ．C ．D ．35.设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （D ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ．x x x f d 2sin )2(cos 2' D ．x x x f d22sin )2(cos '-36.若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （C ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos37.函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ D ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 38.满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（C ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 39.下列结论中（ Ａ ）不正确．A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微.B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导.C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点可能发生在不可导点上. 40.下列函数在指定区间上单调增加的是（B）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈计算极限2386lim 222+-+-→x x x x x ．原式214lim )1)(2()2)(4(lim22-=--=----=→→x x x x x x x x⒉设x x y 3cos ln +=，求y d .)sin (cos 312x x x y -+='x x x xy d )cos sin 31(d 2-=⒊计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-=c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(21 ⒋计算定积分x x d ln 2e 1⎰x x d ln 2e 1⎰-=21ln e x x 1e 1e e 2d 222e 12+=+-=⎰x xx5.计算极限46lim 222----→x x x x ．6.设x x y 3cos 5sin +=，求y d .)sin (cos 35cos 52x x x y -+='x x x 2cos sin 35cos 5-=x x x x y d )cos sin 35cos 5(d 2-= 7.计算不定积分⎰+-x xxx x d sin 33 ⎰+-x x x x x d sin 33= c x x x +--cos 32ln 3238.计算定积分⎰π0d sin 2x x x⎰πd sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππππ=+=+-=⎰x x x x x 9.计算极限623lim 222-++-→x x x x x ．原式5131lim )3)(2()2)(1(lim22=+-=+---=→→x x x x x x x x 10.设xx y 2cos +=，求y d .2ln 221sin x xxy +-='x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=11.计算不定积分x x d )12(10⎰-x x d )12(10⎰-= c x x x +-=--⎰1110)12(221)12(d )12(2112.计算定积分⎰π20d sin x x x⎰20d sin πx x x +-=20cos πx x 1sin d cos 2020==⎰ππx x x13.计算极限234lim 222+--→x x x x ．原式412lim )1)(2()2)(2(lim22=-+=---+=→→x x x x x x x x 14.设x y xcos 2+=，求y dxx y x 21sin 2ln 2⋅-=' .x xxy x d )2sin 2ln 2(d -=15.计算不定积分x x x d e ⎰-解：x xe x d ⎰-= ce xe x e xe x x x x +--=+-----⎰d16.计算定积分x x x d ln 113e 1⎰+ 解：x x x d ln 113e 1⎰+2ln 12)ln 1d(ln 113311=+=++=⎰e e xx x17. 计算极限423lim 222-+-→x x x x解：原式41)2)(2()2)(1(lim2=+---=→x x x x x 18. 计算不定积分x xx d )1(2⎰+解：x xx d )1(2⎰+= c x x x ++=++⎰32)(132)d(1)1(219.计算极限932lim 223---→x x x x ． 解：原式32)3)(3()1)(3(lim3=+-+-=→x x x x x 20.设xy x 1e1+=+，求y '． 解： 2111(21e x x y x -+='+21.计算不定积分x x x d e 112⎰解：cx x xx x x +-=-=⎰⎰1112e 1d e d e 122.计算定积分x x x d cos 2⎰π解：x x x d cos 20⎰π=20sin πx x -x x d sin 20⎰π=20cos 2ππx +=12-π23.423lim 222-+-→x x x x ．解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 24.329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x 25.4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x 26.计算极限x x x 11lim0--→．解：)11(11lim)11()11)(11(lim 11lim 000+---=+-+---=--→→→x x x x x x x x x x x x 21)11(1lim 0-=+--=→x x 27.计算极限x x x 4sin 11lim0--→解：x x x 4sin 11lim 0--→)11(4sin 11lim)11(4sin )11)(11(lim 00+---=+-+---=→→x x x x x x x x x 81)11(4sin 44lim )11(4sin lim 00-=+--=+--=→→x x x x x x x x 28.设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x29.设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=30.设x y x 2e1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+31.设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 32.设)(x y y =是由方程422=-+xy y x 确定的隐函数，求y d .解：方程两边对x 求导，得0)(22='+-'+y x y y y xxy xy y --='22于是得到x x y xy y d 22d --=33.设2e e cos y x y x =++，求y d ．解：方程两边对x 求导，得y y y x y x '='++-2e e sinyx y yx2e e sin --=' 于是得到x yx y y xd 2e e sin d --=34.求微分方程yx y +='e 的通解解：将原方程分离变量 x y xy d e ed =x y x y d e d e =-两端积分得通解为C x y +=--e e35.求微分方程y y y x ln ='满足e )1(=y 的特解.解：将原方程分离变量x x yy yd ln d = 两端积分得 lnln y = ln C x通解为 y = e Cx将e )1(=y 代入通解，得1=C ，故特解为y = e x36.求微分方程xx y y ln 1=-'的通解. 解 此方程为一阶线性微分方程，且xx Q x x P ln 1)(,1)(=-=， 则方程的通解为)ln (ln )d ln 1()d e ln 1(e d 1d 1C x x C x xx x C x x y x x xx +=+=+⎰⎰=⎰⎰-37.求微分方程12+=+'x x y y 满足初始条件47)1(=y 的特解．解 此方程为一阶线性微分方程，且1)(,1)(2+==x x Q xx P ，则方程的通解为)2141(1)d )1((1)d e)1((e242d 12d 1C x x x C x x x x C x x y xx xx ++=++=+⎰+⎰=⎰⎰-将初始条件47)1(=y 代入通解，得1=C ，于是满足初始条件的为 )12141(124++=x x x y 四、应用题1．欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='x x y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ， 说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h2．用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？ 解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ，因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）3.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设长方体底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x x x x xh x y 432108442222+=⋅+=+=令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 因为问题存在最小值，且驻点唯一，所以6=x 是函数的极小值点，即当6=x ，336108==h 时用料最省. 4.某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S ，由已知h r V 2π=，于是2rVh π=，则其表面积为 rVr rh r S 2π2π2π222+=+= 22π4r V r S -=' 令0='S ，解得唯一驻点3π2V r =，由实际问题可知，当3π2V r =时可使用料最省，此时3π4V h =，即当容器的底半径与高分别为3π2V 与3π4V时，用料最省．5、欲用围墙围成面积为216平方米的一快矩形的土地，并在中间用一堵墙将其隔成两块矩形（如图所示），问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解：设土地一边长为x ，另一边长为x216，共用材料为y 于是 y =3xx x x 43232162+=+ 24323xy -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省.6、欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，问该容器的底边和高为多少时用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，用材料为y ，由已知22108,108xh h x == x x xx x xh x y 432108442222+=⋅+=+= 令043222=-='xx y ，解得6=x 是唯一驻点， 且04322263>⨯+=''=x x y ，说明6=x 是函数的极小值点，所以当6=x ，336108==h 时用料最省。
英德电大2015年1月期末考试本专科安排表
法学
21
2254
闭卷
系统开发规范与文档编写
计算机信息管理
24
2439
闭卷
电工电子技术
数控或机械制造
48
2508
半开卷
学前儿童语言教育
学前教育
226
2702
开卷
中国特色社会主义理论体系概论
农村行政管理,乡镇企业管理
5
2744
闭卷
农村环境保护
农村行政管理
一村一
7
08：30--10：10
半开卷
企业集团财务管理
会计学
18
9401
开卷
监督与监察
行政管理
50
2143
闭卷
西方经济学
行政管理,会计学
专科
1
2195
闭卷
人力资源管理
行政管理
177
1
2505
闭卷
学前儿童社会教育
学前教育
133
2723
闭卷
农村政策法规
农村行政管理，乡镇企业管理
6
5250
开卷
儿童文学
小学教育
3
1
2015年1月19日（周一）
学前儿童科学教育
学前教育
243
2528
闭卷
监督学
行政管理
123
2724
闭卷
市场营销原理与实务
农村行政管理，乡镇企业管理
一村一
46
11:00——12：40
2007
闭卷（机考）
计算机应用基础
14秋计算机1班，2班(名单见无纸化考试表3）
专科
48
11：00—-13:00
微积分基本定理_图文_图文
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
数学基础-微积分基础 PPT课件
x
x
2020/2/25
3
补充知识 微积分#39;( x) lim y lim f ( x0 x) f ( x0 )
x0 x x0
x
其他表示： dy , df , d f ( x) dx dx dx
二阶导的表示：
y''
f ''(x)
5.1.2 变力做功
设力与物体运动方向一致，力与位置函数关系如
图，求物体从 sa到sb处力对其所做的功。
将sb san等 分 ， 间 隔 为s, 在 每 个 小 F(s)
间 隔中 视F (si )为 恒量 ， 在 每个 小 间
隔 内力 做 功 为: A F (si ) s.
力从sa到sb之间所做功为：
v(
x)
du u( x) dx [v( x)]2
dv dx
定理四 d u[(v( x)] du dv
dx
dv dx
2020/2/25
8
补充知识 微积分初步 例题
1、求y x2 a2(a为常数）的导数
2、求y ln x (a为常数）的导数。 a
3、求y ax2(a为常数）的导数。
4.1 自变量的微分—自变量的无限小增量
x dx
4.2 函数的微分—函数的导数乘以自变量的微分
dy f '( x)dx f '( x) dy
dx
2020/2/25
11
补充知识 5、积分
微积分初步
v(t)
5.1 两个例子
5.1.1 变速直线运动的路程计算
ta tb 质点走的路程
f '(x) 1 x
微积分的基本定理
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x) 5 ,
原式
1
2xdx
2
5dx 6.
0
1
o1
上一页
2x
13 下一页
例6 求 2 max{x, x2 }dx. 2
y
解 由图形可知
y x2
f ( x) max{x, x2 }
y x
x2 2 x 0
2
o 1 2x
x
0 x1 ,
dx a( x)
证：F ( x) 0 b( x) f (t)dt a(x) 0
b( x)
a( x)
0 f (t)dt 0 f (t)dt,
F ( x) f b( x)b( x) f a( x)a( x)
上一页
4 下一页
例1
1 et2 dt
求 lim x0
cos x
x2
.
分析：这是
0 0
型不定式，应用洛必达法则.
解： d 1 et2 dt d cos x et2 dt,
dx cos x
dx 1
ecos2 x (cos x) sin x ecos2 x ,
lim
x0
1 et2 dt
cos x
x2
sin x ecos2 x
lim
x0
2x
1. 2e
上一页
5 下一页
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
上一页
9 下一页
二、牛顿—莱布尼兹公式
定理 5.2
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
微积分的基本定理 课件
0
解析：
2 cos2x2dx＝
2
1＋cos 2
xdx＝
2 1
2 cos xdx＝12x 2 ＋12sin x 2 ＝π4＋12.
0
0
0
答案：π4＋12
(4)利用函数性质求定积分．
1
2
例：
lg11＋－xxdx＝________.
－1
2
解析：记 f(x)＝lg11＋－xx，易知定义域为(－1,1)，因为 f(－x)
a
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图②，则
bfxdx
＝
a
_－__S_下__．
(3)当曲边梯形的面积在x轴上方、x轴下方均存在时，如图
③，则bf(x)dx＝ a
S上－S下
；若S上＝S下，则abfxdx＝
0
.
求简单函数的定积分
[例 1] 求下列定积分：
(1)2(x2＋2x＋3)dx； 1
(2)
0
(cos x－ex)dx；
－π
(3) 2 sin2x2dx.
0
[解]
(1)
2
(x2＋2x＋3)dx
1
＝2x2dx＋22xdx＋23dx
1
1
1
＝x33 2 ＋x2 2 ＋3x 2 ＝235.
1
1
1
(2)
0
(cos x－ex)dx＝0 cos xdx－0 exdx
－π
－π
－π
0
＝sin x
0
－ex
＝e1π－1.
－
－
(3)sin2x2＝1－c2os x，
而12x－12sin x′＝12－12cos x，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
试卷代号：2437
国家开放大学(中央广播电视大学)2015春季学期“开放专科”期末考试
微积分基础试题
2015年7月
题号一二三四五总分分数
页脚内容1
一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)
1．函数，的定义域是( )．A．(1，+∞) B．(0，1)U(1，+oo)
C．(1，2)U(2，+∞) D．(0，2)U(2，+∞)
2．曲线在z一2处切线的斜率是( )．
3．下列函数在指定区间(一∞，+oo)上单调减少的是( )．
4·若等式成立，则，f(x)=( )．
5．函数是微分方程( )的解．
二、填空题(每小题4分，本题共20分)
页脚内容2
三、计算题l本题共44分，每小题11分)
四、应用题(本题16分)
15．欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省?
页脚内容3
试卷代号：2437
国家开放大学(中央广播电视大学)2015春季学期“开放专科”期末考试
微积分基础试题答案及评分标准
(供参考)
一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)
1．C 2．B 3．D 4．A 5．C
二、填空题(每小题4分，本题共20分)
6．
7．1
8．一6
9．6
10．4
三、计算题(本题共44分，每小题11分)
页脚内容4
四、应用题{本题16分)
15．解：设土地一边长为x ，另一边长为，共用材料为y
于是y=3x+=3x+
y’=3一
令y’=0得唯一驻点x=12(x= 一12舍去)
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18时，所用材料最省
页脚内容5。