2.3矢量场的通量及散度资料
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矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量与散度(中文)
当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一 定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭 合面的通量一定为负。
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
矢量场的通量及散度
f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
矢量场的通量和散度
dl =
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
2.3 散度
(即规定了正反面的曲面 . )
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
求在单位时间内流向S 正面的流量 .
v
n
n
用元素法 .
ds
在单位时间内流经面积元素 dS 的流量元素 0 d (v n ) d S v dS
0 其中 dS n d S 为有向面积元素 .
v dS
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
Flux and Divergence of Vector Field
主要内容
1. 通量 2. 散度 教材：第2章 第3节
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
1
《场论初步》
§2.3
矢量场的通量及散度
一、通量
不可压缩流体流速为 v (不变) ,
平面 上有洞面积为 s ,
> 0 (有正源) < 0 (有负源) = 0 (无源) 闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合 曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系, 用来描 述空间某一范围内场的发散或会聚具有局域性质，不 能反映空间一点的情况.
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
7
《场论初步》
例1 已知矢量场 r xi yj zk ，求由内向外穿过
单位法向量为 n (指向正侧 ) .
n
v
s
在单位时间内从 s 中流过的流体的体积 (流量)
s v cos v n s
(1)
2014年3月20日星期四
华北科技学院基础部
2
《场论初步》
§2.3
2.3矢量场的通量及散度资料
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
c2
对于有限大面积s，可将其按如图方 式进行分割，对每一小面积元有
c
A dl ＝
( A) dS
s
斯托克斯定理给出了闭合线积分与 面积分的关系，反映了曲面边界上 的矢量场与曲面中旋度源的关系
得证！
四、矢量场旋度的重要性质
( A) 0
证：
Ay Ax Az Ay Ax Az ( ( ( A x ) y )z ) y z z x x y A Ay A A Ay A A ( z ) ( x z ) ( x ) x y z y z x z x y
s
A ( r ) dS
矢量场散度的定义与计算
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
第8讲矢量场的通量及散度2
S
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
通量和散度之间的关系，即穿过封闭曲面
通量，等于 S 所围的区域 重积分。
S
的
上的散度在 上的三
推论2：若在封闭曲面
S
S 内处处有 divA 0 ，则
A dS 0
若封闭曲面内无源，则通量为零。
1.散度
推论3：若在矢量场
A 内的某些点（或区域上）
有 divA 0 或 divA 不存在，而在其它点上都 有 divA 0 ，则穿过包围这些点（或区域）的任
r x r y r z , , x r y r z r
x y z 1 1 div(ra ) a x a y a x (a x x a y y a x z ) (a r ) r r r r r
1.散度 例：已知 求 div(ra) 。
通量在直角坐标系中表示为，
l
A dl
n l
A n dl
l
( Pdy Qdx)
2.平面矢量场的通量和散度
格林定理（Green）：设函数 有界闭域
P( x, y) 和 Q( x, y)在
D上有一阶连续偏导数，D的边界 l
y
是
逐段光滑的，则有
Q P ( Pdy Qdx) ( )dxdy x y D l
在任一点 M ( x, y, z) 处的散度为：
P Q R divA x y z
由该定理可以得到以下几个重要的推论。 推论1：高斯定理可以写成矢量形式
A dS divAdV
S
1.散度
A dS divAdV
《矢量分析与场论》
第8讲 矢量场的通量及散度（2）
矢量场的通量及散度.
div(cA) cdivA div( A B) div( A B) div( A) divA grad A
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
《矢量分析与场论》知识点归纳
⎢⎢a
y
⎥ ⎥
=
⎢⎢sinθ
sin
ϕ
⎢⎣az ⎥⎦ ⎢⎣ cosθ
cosθ cosϕ cosθ sinϕ
− sinθ
− sinϕ cosϕ
− sinϕ cosϕ
0
0⎤⎡aρ ⎤
0⎥⎥
⎢⎢aϕ
⎥ ⎥
1⎥⎦⎢⎣az ⎥⎦
（1-2-10）
如果矢量 A 是在圆柱坐标系给定的，根据式（1-2-10）
可以变换成直角坐标系的表达式，反之，若矢量 A 是在直角坐标系给定的，则根据式（1-2-9）
可以变换成圆柱坐标系的表达式。
P 沿 ρ 、ϕ 和 z 方向的长度增量分别为
⎤ ⎥ ⎥
=
⎡sinθ ⎢⎢cosθ
cosϕ cosϕ
⎢⎣aϕ ⎥⎦ ⎢⎣ − sinϕ
sinθ sinϕ cosθ sinϕ
cosϕ
cosθ ⎤⎡ax ⎤
−
sin
θ
⎥ ⎥
⎢⎢a
y
⎥ ⎥
0 ⎥⎦⎢⎣az ⎥⎦
同样，将上式求逆即可得到由球坐标变换到直角坐标的关系式
（1-2-23）
⎡ax ⎤ ⎡sinθ cosϕ
矢量分析与场论
实数域内任一代数即一个只有大小的量称之为标量，而一个既有大小又有方向特性的量 称之为矢量。无论是标量还是矢量，一旦被赋予物理单位，则成为一个具有物理意义的量即 所谓的物理量。物理量数值的无穷集合称为场。如果这个物理量是标量，就称其为标量场； 如果物理量是矢量就称这个场为矢量场。场的一个重要属性是它占有一个空间，而且在该空 间域内，除有限个点或表面外它是处处连续的。如果场中各处物理量不随时间变化，则称该 场为静态场，不然，则称为动态场或时变场。
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
2.3矢量场的通量与散度
选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面. 选定了侧的双侧曲面称为定向曲面或有向曲面. 定向曲面 表示选定了某个侧的定向曲面， 用∑表示选定了某个侧的定向曲面，则选定其相 反侧的定向曲面用∑－表示. 反侧的定向曲面用 －表示 注意： 是不同的曲面. 注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑
n
∑－
n
1.通量 1.通量
实例: 流向曲面一侧的流量. 实例: 流向曲面一侧的流量. 设 A(x, y, z) = ( P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))表示流体的 流速场， 为场中的一片定向曲面 为场中的一片定向曲面， 流速场，∑为场中的一片定向曲面，欲求单位时间内 流体由曲面负侧经曲面∑流向正侧的流量。 流体由曲面负侧经曲面 流向正侧的流量。 流向正侧的流量 ①分割 把曲面Σ细分成小块 ∆ S 1 , ∆ S 2 , ⋯ , ∆ S n . 把曲面Σ z ∆ S k , 在其 nk Ak 任取一典型的微元 ∆Sk Mk ( xk , yk , zk ) M k ( x k , yk , z k ) ∈ ∆ S k , 上任取一点 曲面Σ 设其面积也记成 ∆ S k , 曲面 Σ • 在点M k 处的单位法向量
n0 (Mk ) = {cos(n, x),cos(n, y),cos(n, z)}
x o
y
单位时间流经曲面微元 ∆ S k 的流量 ∆Φ k 可近似地 看做一细柱体， 看做一细柱体，底面为 ∆ S k ，高为 A( M k ) ⋅ n 0 ( M k ), 故 ∆Φ k = A( M k ) ⋅ n 0 ( M k )∆ S k , ② 求和 单位时间流 的流量： 的流量 经Σ的流量：
1 Φ = ∫∫ A⋅ dS µ(Ω) µ(Ω) ∑
矢量场的通量及散度
y
y
SS11
SS2 2
S4S4
/2
a
a
oo ad
d
dz
b
b
en ds xx
z
S3
S5
z
S3
S5
所以
F d s1
/2
[a
2sincos
(
b
2zdz)]d
s1
0
0
a 2b2
/2
sincosd
a2b2
sin 2
/2 a 2b 2
0
2
0
2
不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同 于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的， 它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中 闭合路径的积分不为零。
物理上的场 (无论是矢量场，还是标量场）都是相应的源作用的结果。 矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果肯定与闭合曲面内有无产生矢量场 的源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源为通量源。矢量场对闭合曲 面的通量与闭合曲面内的通量源之间存在某种确定的关系。
3、 矢量场的散度
散度的定义
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通量与体积之比
解 在S1面上有圆的参数方程：
x = acos ， y = asin S1上的F 写成 F= azsinex+ azcos ey+ a2zsincos ez
因
ds1=addz en
则 F‧ds1=[ a2zsin（ex‧en）+a2zcos（ey‧en） + a3zsincos（ez‧en）] ddz = 2a2zsin cos ddz
)
Fx
复变函数第四版-第二章_2.3 矢量场的通量及散度
D dS V lim
Ω M
Φ e V
lim
Q V
Ω M
=
(3 .1 3)
其中ρ 为电荷分布的体密度。
（3）散度运算的基本公式。 1 ) div ( cA ) =c div A （c 为常数）
2) div ( A ± B ) = div A ± div B
3 ) div ( uA ) =u div A + A⋅grad u （u 为数性函数）
在磁感应强度矢量B 分布的磁场中，穿过曲面S 的磁通量
Φm =
B
s
n
dS
B d S
s
(3 .5)
第二章 场论
5
（1）通量的定义：设有矢量场A (M) ，沿其中某一方向曲面S
的曲面积分
Φ =
A
s
n
dS
A d S
s
(3 .6 )
叫做矢量场A (M) 向正侧穿过曲面S 的通量。
第二章 场论
11
例2.在点电荷q 所产生的电场中，任何一点M 处的电位移矢量为
D = q 4 r
2
r
0
其中r 是点电荷q 到点M 的距离，r°是从点电荷q 指向点M 的 单位矢量。设S 为以点电荷为中心，R 为半径的球面，求从内 穿出S的电通量 Φe。 解：如图（2 − 15），在球面S 上恒有r = R，且法矢n 与r°的 方向一致。所以
(3 .1 4 )
叫做矢量场A (M) 沿法矢n 的方向穿 过曲线l 的通量（图 2 − 17）
第二章 场论
15
当 ΔΩ 缩向M 点时，M﹡就趋于点M 。所以
d ivA = P x Q y R z
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
2第1章1,2,3散度旋度(st)2013.5.2
1785年 库仑（C.A.Coulomb，法国）静电力实验—— 电场对静止电荷的作用力。
[2] 磁感应强度（magnetic field induction）B
(1) 洛仑兹力 dF dq v B
定义 B
dF max
dqv
T, Wb/m
• dF 洛仑兹力 • dF v • dF 方向，由 v B 决定
R. C. S. A B | A || B | cos Ax Bx Ay By Az Bz
应用1：力做功 W F dl
环量
应用2: B dS
S
L
I J ds
S
应用3：判定两个矢量是否垂直（正交） 通量
lim散度度量矢量场通量源的大小和分布矢量场的散度为一标量该处线是连续的该点有发出通量线的源矢量散度值与所选坐标系无关但若以该矢量的分量表示该矢量的散度时则数学表达式将因坐标系不同而互异divlimlim称为高斯定理的微分形式div将穿出各个面的通量相加后除以长方体的体积基本思想4矢量场的散度直角坐标系下的表达式不失一般性令包围p点的微体积v为一直平行六面体如图示divlimdivlim5矢量场散度的算子deloperator表述cartesiancoordinates将积分取极限的运算转化成矢量的微分运算水流沿平行于水管轴线方向流动0无涡旋运动流体做涡旋运动0有产生涡旋的源例
矢量加减法
A B
y
Ay A
A B B
B
A B
A
A B
Ax
x
A B A ( B)
1.2.2 矢量代数 (Vector Algebra)
面元和矢量的通量闭合曲面通量的物理意义
z
O Ax Ay Az y divA(r ) y x y z x x ˆ ˆ ˆ ˆx Ay e ˆy Az e ˆz ) A(r ) ex ey ez ( Ax e y z x
A(r )
ˆx e ˆy e ˆz ) ( e x y z
2
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
6、矢量的运算——例题
03~04
ˆx 4e ˆy 3e ˆz A 6e ˆx 3e ˆy 3e ˆz B 2e 求 A B, A B, A B, A B; A , B ,
3
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
7、标量场与矢量场
23
20
第一章 矢量分析
3、散度定理(高斯定理)
03~04
三、矢量的通量—散度
V
A(r )dV
s
A(r ) dS
该公式表明了区域V 中场 A(r ) 与边界S上的场 A(r )之间 的关系。
从散度定义，可以得到
A(r ) lim
s
A(r ) dS V
V
d lim V V dV
4
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
8、等值面与力线
03~04
研究场的特性的场图表示方法。 等值面：用于标量场，为空间内标量值相等点集合形 成的曲面。等值线
Φ(r ) 常数
5
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
8、等值面与力线
等值面例
03~04
6
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
8、等值面与力线
03~04
O Ax Ay Az y divA(r ) y x y z x x ˆ ˆ ˆ ˆx Ay e ˆy Az e ˆz ) A(r ) ex ey ez ( Ax e y z x
A(r )
ˆx e ˆy e ˆz ) ( e x y z
2
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
6、矢量的运算——例题
03~04
ˆx 4e ˆy 3e ˆz A 6e ˆx 3e ˆy 3e ˆz B 2e 求 A B, A B, A B, A B; A , B ,
3
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
7、标量场与矢量场
23
20
第一章 矢量分析
3、散度定理(高斯定理)
03~04
三、矢量的通量—散度
V
A(r )dV
s
A(r ) dS
该公式表明了区域V 中场 A(r ) 与边界S上的场 A(r )之间 的关系。
从散度定义，可以得到
A(r ) lim
s
A(r ) dS V
V
d lim V V dV
4
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
8、等值面与力线
03~04
研究场的特性的场图表示方法。 等值面：用于标量场，为空间内标量值相等点集合形 成的曲面。等值线
Φ(r ) 常数
5
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
8、等值面与力线
等值面例
03~04
6
第一章 矢量分析
二、矢量分析基础
8、等值面与力线
03~04
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l
A(r ) dl
l
A(r ) cos (r )dl
3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动； 反之，则矢量场存在涡漩运动。 反映矢量场漩涡源分 布情况。
二、矢量的旋度
法线方向与曲线绕 向成右手螺旋法则
1. 环流面密度 在场矢量 A(r ) 空间中，围绕空间某点M取一面元S，其 边界曲线为C，面元法线方向为 ，当面元面积无限缩小 ˆ n
旋度
ˆ S S n
A
矢量场除了有散度源外，还有另一种源—旋度源。
P
空间中，取一有向闭合路
L
环流的计算
径L，则称 A(r ) 沿L积分的结果称为矢量 A(r ) 沿L的环流。即：
2)
l
A( r ) dl
环量; 该环量表示绕线旋转趋势的大小； 矢量场的涡旋是由某种“力”（涡旋 源）引起的。
讨论：1）线元矢量 dl 的定义；
2）散度的定义 3）散度的计算 4）高斯定理 思考题
1、通量和散度的意义各是什么？ 2、高斯定理的意义是什么？其积分面的方向是如何规定的？ 3、如果矢量场对于某区域封闭面S的通量为零，那么矢量场在该区域 中的散度处处为零吗？为什么？
第三节 矢量场的环流
一、矢量的环流 环流的定义：
在场矢量
A(r )
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
2.3
矢量场的通量及散度
一、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小； 矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；
二、矢量场的通量 1、定义
若矢量场 A(r ) 分布于空间中，在空间中存 在任意曲面S，则定义：
S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面S 的通量。 若S 为闭合曲面
V
s
F (r ) dS
式中：S为包围体积V的闭合面 得证！
例题一：( 例1.2.3 书 pp.6)
已知空间中矢量场分布满足 矢量场在空间中的散度源分布。
分析：
A(r ) r ，求
该矢量场的场量等于其空间位置矢量值 意位置，r 是变量。 在直角坐标系下： r xex yey zez
2）直角坐标系中通量的表达式：
令A(r )=P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
则 A(r ) ds P dydz Q dxdz R dxdy
S S S S
三、矢量场的散度
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
四、散度定理（矢量场的高斯定理）
高斯定理在数学上表示体积分与面积分的转换关系，反 映了体积表面上的矢量场与体积内的矢量场源的关系。
V
F (r )dV中场 F (r ) 与边界S上的场 F (r ) 之间的关系。
散度定理的证明
从散度定义，可以得到：
F (r ) lim
s
F (r ) dS V
V
d lim V V dV
由于 F 是通量源密度， 即穿过包围单位体积的闭合面的 通量，对 F 体积分后，为穿 出闭合面S的通量
式中：S为包围V的闭合面
则在一定体积V内的总的通量为：
F (r )dV
1、散度的定义 在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA( r ) lim
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
( divF (r ) 0 正源)
divF (r ) 0负源)
( divF (r ) 0无源）
讨论：在矢量场中， 1）若 divA(r ) 0，则该矢量场称为有源场，为源密度； 2）若 divA(r ) 0 处处成立，则该矢量场称为无源场。
r
。在空间任
er zez 在球面坐标系下： r rer
在圆柱坐标系下： r
例题二： 已知：R ex ( x x' ) ey ( y y' ) ez ( z z ' ) ，
R R
R 求：矢量 D 3 在R0处的散度。 R
小结
1）矢量场的通量
通量的定义 封闭曲面通量的意义
时，可定义A(r ) 在点M处沿 n ˆ 方向的环量面密度 rotn A
rotn A lim
c
A dl
s 0
s
环量密度
ˆ 方向的漩涡源密度； rotn A 表示矢量场 A(r )在点M处沿 n
ˆ S S n
M
C
A
取不同的路径，其 环量密度不同。
讨论
环量密度是面上的函数，表示环量在面上的分布。 环量密度的面积分就等于面边界闭合回路的环量。 某面上各点的环量密度与该面的取向有关。 不同的方向，环量密度不同。 一定存在一个方向，其环量密度比其它方向的大。
s
A ( r ) dS
矢量场的通量
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
2、讨论
1）面元 dS 定义； dS nds
直角坐标系中：dS ds cos(n, x)i ds cos(n, y) j ds cos(n, z)k dydzi dxdzj dxdyk