§5-3 z变换的基本性质

R1 z R2
《Signals & Systems》
《信号与系统》
ZT 例如： u (n)
大连海事大学信息科学技术学院
z z 1
z 1
1 1 z 1 u ( n) 1 1 z z 1 z 1
ZT
z 1
e
jn
z u (n) z e j
z m 1 z 1
m
则 x(n-m)=u(n-m)，其z变换等于
z 1 z m z ] 则 x(n+m)=u(n+m)，其z变换等于 z [ z 1 1 z 1 z 1
这应该与想象的结果一致：u(n)左移后的单边z变换不变。
《Signals & Systems》
《信号与系统》
m n0
m 1
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
以上结果也可以解释为：当序列右移时，相对于原序列在求单 边z变换时增加了m个样值信息，所以其表示式应该在原序列单边z 变换的基础上，加上这m个样值的信息。序列左移与前所述相同。
在利用单边z变换求解差分方程时，输入序列往往设定为n=0时 刻作用于系统的，因此输入序列被看成是因果序列。输出序列不仅 有零状态分量，还有零输入分量，因此输出序列被看成是非因果序 列。 例如：差分方程与输入序列x(n)及y(-1)如下，试求输出序列y(n)的z 变换。
m n0
m 1
以上结果可以这样解释：当序列右移时，相对于原序列在求单 边z变换时没有增加，也没有减少任何样值信息，所以其表示式与 双边z变换的表达式相同。而当序列左移时，相对于原序列在求单 边z变换时，减少了样值信息，因此应该减去这些样值对应的信息。
z 例如：x(n)=u(n)，其z变换等于 z 1
m
n m
x ( n) z n ]
ii、左移： x(n+m) ，与因果序列单边z变换的表达式一样。
x(n m) x(n m) z
ZT n0 n
x(k ) z
k m

( k m)
z
m
n m
x ( n) z

n
z [ X ( z ) x ( n) z n ]
a A1 ab
A2
b ab
1 (a n1 b n1 )u (n) ab
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
八、初值与终值定理
z变换的初值定理，是对单边z变换而言的。即设序列及其单边 z变换为
ZT x(n) X ( z )
z R1
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
三、z域微分性
设序列及其z变换 z域微分性是
ZT x(n) X ( z ) d ZT nx(n) z X ( z ) dz
z域微分性由z变换的定义式很容易证明。可以证明
ZT n k x(n) z
ZT x(n) X ( z ) ZT x(n m) z m X ( z )
1
Re{z}
从上可以看出，序列位移后其z变换除增加了原点或无穷远处 的极点外，收敛域不发生变化。 例如： δ(n)的z变换等于1， 其收敛域为整个z平面；δ(n-m)的z变换 等于z-m，收敛域是除去原点外的z平面。 双边z变换的位移性，不管是左移还是右移，其性质的表示式 是一样的。
大连海事大学信息科学技术学院
⑵ 非因果序列：x(n)可能是有始的，也可能是双边的。
i、右移：x(n-m)
x(n m) x(n m) z
ZT n0 n

1
k m
x(k ) z

(k m)
z
m
n m
x ( n) z n

z [ X ( z)
max( R11, R21 ) z min( R12 , R22 )
序列组合后，其z变换的收敛域一般会变小。
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
1 n 1 n 例如： x(n) [( ) ( ) ]u (n) 2 3
其z变换 其中
X ( z)
m0
n
m0
a
n
m
b
m
1 (ab1 ) n 1 bn u ( n) 1 1 ab
b n 1 a n 1 a n 1 b n 1 u ( n) u ( n) ba ab
z z Az Az X ( z) X1 ( z) X 2 ( z) 1 2 za zb za zb X ( z) 1 az bz ( ) ab za zb x ( n)
ZT
ZT
z 1
e
jn
z z* * u (n) [ * ] j z e j z e
z 1
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
六、时域扩展
设序列及其z变换 则有当
ZT x(n) X ( z )
R1 z R2
X1 ( z) X ( z k )
则有初值定理
x(0) lim X ( z )
z
z变换的终值定理，是对序列是因果的，且其终值存在。于是 有
x( ) lim ( z 1) X ( z )
z 1
例如：
ZT x(n) u (n) X ( z )
z z 1
x( ) lim z 1
z 1
于是
n
x ( n) z n

1 n n 1 n n ( ) z ( ) z n0 2 n0 3

1 n n z 1 ( 2 ) z 1 收敛域 z 2 n0 z 2 1 1 n n z ( 3 ) z 1 收敛域 z 3 n0 z 3 所以 z z 1 X ( z) 1 1 收敛域 z z z 2 2 3
X ( z ) x ( n) z n
n0
z R1
i、右移：x(n-m)=x(n-m)u(n-m)
x(n m) x(n m) z
ZT n m n
x( k ) z
k 0

( k m)
z
m
x ( n) z n
n0

z m X (z )
d d { z X ( z )} dz dz
K次相同运算
记作
ZT n k x(n) ( z
d k ) { X ( z )} dz
ZT 例如： u (n)
z z 1
z ( z 1) 2
z 1 z d z ] nu(n) z [ ] z[ 2 ( z 1) dz z 1
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
2、单边z变换的位移性：
单边z变换的位移性，在序列是因果的与非因果，左移还是右移 时，其表示式是不同的。 单边z变换的定义式是： X ( z ) x(n) z n
n0
⑴ 因果序列：x(n)=x(n)u(n)
y(n) 0.9 y(n 1) x(n)
1
x(n) u(n)
y(1) 1
1
解：对方程两边同求单边z变换
z Y ( z )(1 0.9 z ) 0.9 Y ( z ) 0.9 z [Y ( z ) y(1) z ] X ( z ) z 1 z2 0.9 z z 0.9 Y ( z) 1 ( z 1)( z 0.9) ( z 0.9) ( z 1)(1 0.9 z ) (1 0.9 z 1 )
收敛域 z 1
z 1 1 z 1
收敛域在整个z平面。
如果，序列各部分z变换的和，有零极点相抵消的情况，序列z 变换的收敛域可能增大。
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
二、位移性
z变换的位移性相当于拉氏变换的时域微分性，特别是单边z变 j Im{z} 换的位移性，主要应用于差分方程的求解。 1、双边z变换的位移性： 设序列及其z变换 序列移位后的z变换
《Signals & Systems》
R11R21 z R12 R22
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
例如：已知序列及其z变换
ZT x1 (n) a nu (n)
z za
za zb
n
z x2 (n) b u (n) zb
n ZT
x(n) x1 (n) x2 (n) a mb n m b
1、时域卷积定理
ZT x1 (n) x2 (n) • 1 ( z ) X 2 ( z ) X
max( R11, R21 ) z min( R12 , R22 )
2、z域卷积定理
1 ZT x1 (n) x2 (n) • X 1 () X 2 ( z1 )1d 2j C1 1 • X 1 ( z1 ) X 2 ( )1d 2j C2
n
3 2 1
0 1 2 3 4 5
n
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
七、卷积定理
设序列及其z变换
ZT x1 (n) X 1 ( z ) ZT x2 (n) X 2 ( z )
R11 z R12
R21 z R22
x(0) lim
z 1 z z 1
《Signals & Systems》
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
ii、左移：x(n+m)=x(n+m)u(n+m)
x(n m) x(n m) z
ZT n0 n
x(k ) z
k m

( k m)
z
m
n m
x ( n) z n

z [ X ( z ) x ( n) z n ]
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
§5-3
一、线性
Z变换的基本性质
设有z变换对
ZT x1 (n) X 1 ( z ) ZT x2 (n) X 2 ( z )
R11 z R12
R21 z R22
则有
ZT x(n) C1 x1 (n) C2 x2 (n) X ( z ) C1 X 1 ( z ) C2 X 2 ( z )
ZT
《Signals & Systems》
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
四、z域尺度变换
设序列及其z变换 则有
ZT x(n) X ( z )
R1 z R2
R1 a 1 z R2
ZT a n x(n) X (a 1 z )
ZT 例如： u (n)
《Signals & Systems》

j Im{z}
1 3
1 2
Re{z}
《信号与系统》
大连海事大学信息科学技术学院
例如：
(n) u(n) u(n 1)
z z 1 1 z 1
j Im{z}
其中u(n)的z变换
收敛域 z 1
1
Re{z}
其中u(n-1)的z变换
而δ(n)的z变换
R1 x1 (n) k 0 n ki
x(n)
3
x1 (n)
3
2 1 1
2
n x( ) n 2i , i为整数 x1 (n) 2 0 n 2i
3 2 1
0 1 2 3 4 5
z z 1
z 1
z a 1 z a u (n) 1 za a z 1
n ZT
za
五、反褶与共轭
设序列及其z变换
ZT x(n) X ( z )
R1 z R2
R1 z 1 R2
则有
ZT x( n) X ( z 1 )
ZT x* (n) X * ( z * )