第十一章恒定电流的磁场一作业答案

第十一章 恒定电流的磁场（一）
一、选择题
[ B ]1.（基础训练3）有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a ，厚度不计，电流I 在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右
边缘为b 处的P 点(如图)的磁感强度B 的大小为
(A) )(20b a I +πμ
． (B) b b
a a I +πln 20μ．
(C) b b
a b I +πln 20μ． (D) )2(0b a I +πμ． 【提示】在距离P 点为r 处选取一个宽度为dr 的电流（相当于一根无限长的直导线），其电流为I
dI dr a =
，它在P 处产生的磁感应强度为02dI dB r
μπ=，方向垂直纸面朝内；根据B dB =⎰得：B 的方向垂直纸面朝内，B 的大小为000dI B ln 222b a b I I dr a b
r a r a b
μμμπππ++===⎰⎰.
[ D ］2、（基础训练4）如图，两根直导线ab 和cd 沿半径
方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流I 从a 端流入而
从d 端流出，则磁感强度B
沿图中闭合路径L 的积分⎰⋅L
l B d 等于 (A) I 0μ． (B)
I 03
1μ． (C) 4/0I μ． (D) 3/20I μ．
【提示】如图，设两条支路电流分别为I 1和I 2，满足1122I R I R =，其中12R R ，为两条支路的电阻，即有1211212()l l l I I I I s s s ρ
ρρ==-，得：123
I I = 根据安培环路定理，0001L 23
内
L
I
B dl I I μμμ⋅===
∑⎰， [
D ]3、（自测提高1）无限长直圆柱体，半径为R ，沿轴向均匀流有电流．设圆柱体内
( r < R )的磁感应强度为B i ，圆柱体外( r > R )的磁感应强度为B e ，则有 (A) B i 、B e 均与r 成正比． (B) B i 、B e 均与r 成反比． (C) B i 与r 成反比，B e 与r 成正比．
(D) B i 与r 成正比，B e 与r 成反比． 【提示】用安培环路定理，0 2内
L B r I πμ⋅=∑，
可得： 当r<R 时 02
2Ir B R μπ=
； 当 r > R 时 02I
B r
μπ=.
[ C ]4、(自测提高7) 如图11-49，边长为a 的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q 的点电荷。

此正方形以角速度ω 绕AC 轴旋转时，在中心O 点产生的磁感强度大小为B 1；此正方形同样以角速度ω 绕过O 点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O 点产生的磁感应强
度的大小为B 2，则B 1与B 2间的关系为
(A) B 1 = B 2． (B) B 1 = 2B 2．
(C) B 1 = 2
1
B 2． (D) B 1 = B 2 /4．
【提示】等效为圆电流。

设OD=r ，2q I q T ω
π
==
（1）B 和D 处的两个点电荷在转动。

所以00122I I
B r r
μμ=⨯=；
（2）四个点电荷都在转动。

故002242I I
B r r
μμ=⨯=；所以B 1 = 21B 2
[ B ]5、（附录C ：2）有一半径为R 的单匝圆线圈，通以电流I ，若将该导线弯成匝
数为2=N 的平面圆线圈，导线长度不变，并通以同样的电流，则线圈中心的磁感应强度和磁矩分别是原来的：
(A) 4倍和1/8 (B) 4倍和1/2 (C) 2倍和1/4 ． (D) 2倍和1/2
【提示】（1）半径为R 的单匝圆线圈：02I
B R
μ=
；2
m p I R π=⋅
（2）将该导线弯成匝数为2=N 的平面圆线圈，每一个线圈的半径变为R r 2
1=
，则有0024222I I
B N B R r μμ'==⨯=⎛⎫ ⎪
⎝⎭
，()2
21
222m m R p NI r I p ππ⎛⎫'=== ⎪⎝⎭
二、填空题
1、（基础训练11）均匀磁场的磁感强度B
与半径为r 的圆形平面的法
线n
的夹角为α ，今以圆周为边界，作一个半球面S ，S 与圆形平面组成封
闭面如图11-31．则通过S 面的磁通量Φ = 2
cos B r πα- 。

【提示】半球面S 和圆平面一起构成闭合曲面。

根据高斯定理
0B ds ⋅=⎰⎰
合曲面
闭，即
0B ds B ds ⋅+
⋅=⎰⎰
⎰⎰
半球面S
平面
圆，
2cos B ds B ds B R πα∴
⋅=-
⋅=-⎰⎰
⎰⎰
半球面S
平面
圆
2、（基础训练13）如图所示，在无限长直载流导线的右侧有面积为S 1和S 2的两个矩形回路．两个回路与长直载流导线在同一平面，且矩形回路的一边与长直载流导线平行．则通过面积为S 1的矩形回路的磁通量
C
q
D 图11-49
图
11-31
与通过面积为S 2的矩形回路的磁通量之比为
1：1 .
【提示】如图，设矩形回路的一条边长为l ，将矩形回路分割成许多细长条的小面元ds=ldr ，再根据磁通量的定义式进行计算。

11
200ln 222a
S S a I Il
B dS ldr r μμππ
Φ=⋅=
=⎰⎰
, 2
2
4002ln 222a
S S a
I Il
B dS ldr r μμππΦ=⋅==⎰⎰.
3、（基础训练17）一质点带有电荷q =8.0×10-10 C ，以速度v =3.0×105 m ·s -
1在半径为
R =6.00×10-3 m 的圆周上，作匀速圆周运动．该带电质点在轨道中心所产生的磁感强度B =
6.67×10-7（T ），该带电质点轨道运动的磁矩p m =_
7.2×10-7（Am 2）．(μ0 =4π×
10-7 H ·m -
1)
【提示】等效为圆电流，002
,;2242
m I
qv
q qv
qvR
I B p IS T R
R
R
μμππ===
=
==
.
4、（基础训练18）将半径为R 的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R )的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i (如上图)，则管轴线磁感强度的大小是0
2ih
R
μπ. 【提示】用补偿法。

,B h I B B -=+柱面圆，其中=0B 柱面圆；宽度为h 的反向电流可视为一根无限长的直导线，电流为（ih ），其磁场大小为0,()
=
2h I ih B R
μπ-，0,()
2h I ih B B R
μπ-∴==
.
5、(自测提高13)一半径为a 的无限长直载流导线，沿轴向均匀地流有电流I ．若作一个半径为R = 5a 、高为l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线
的轴平行且相距3a (如图11-52)．则B
在圆柱侧面S 上的积分 =⎰⎰⋅S
S B
d _0_.
【提示】圆柱的侧面及圆柱的上底面和下底面构成一个闭合曲面，根据高斯定理，穿过该闭合曲面的磁感应通量等于零，即
0B ds B ds B ds B ds ⋅=
⋅+⋅+
⋅=⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
合曲面
面
上底面下底面
闭侧，
而
cos
02
B ds B ds π
⋅=
=⎰⎰
⎰⎰
上底面
上底面
；
cos
02
B ds B ds π
⋅=
=⎰⎰
⎰⎰
下底面
下底面
，
所以0B ds ⋅=⎰⎰面
侧.
6、（自测提高17）如图所示，在宽度为d 的导体薄片上有电流I 沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布．导体外在导
体中线附近处P 点的磁感强度B 的大小为0 2I
d
μ．
【提示】设P 点到薄片的距离为r ，则有r << d ，故可视为无限大平
面电流。

根据安培环路定理，得 001122I
B i d
μμ==
三、计算题
1、（基础训练21）一根无限长导线弯成如图形状，设各线段都在同一平面内(纸面内)，其中第二段是半径为R 的四分之一圆弧，其余为直线．导线中通有电流I ，求图中O 点处的磁感强度．
解：将导线分成1、2、3、4四部份，各部分在O 点产生的磁感强度设为1B 、2B 、3B 、4B ．根据叠加原理，O 点的磁感强度为：
4321B B B B B
+++=
∵ 1B
、4B 均为0，故32B B B +=
02142I B R
μ⎛⎫
=
⎪⎝⎭ 方向垂直纸面朝内； 00
0030I B (cos 45cos135)4Rsin452I R
μμππ=-=（） 方向垂直纸面朝内；
∴ R
I
R
I
B π+
=2800μμ)1
41
(20π
+=
R I μ 方向垂直纸面朝内。

2、（基础训练23）如图所示，半径为R ，线电荷密度为λ (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面垂直的轴以角速度ω 转动，求轴线上任一点的磁感应强度B
的大小及其方向．
解：线圈的总电荷 q=2πR λ ，转动时等效为一个圆电流，电流强度为
λωω
πλπR R T q I ===
/22 代入环形电流在中心轴线上所产生磁场的公式，得
3
3
00223/2
sin 22()I
R B R
y R μμωλθ=
=
+
方向：与电流（即转动方向）成右手螺旋关系，即沿y 轴正向。

P I 俯视图
3、（基础训练25）一无限长的电缆，由一半径为a 的圆柱形导线和一共轴的半径分别为b 、c 的圆筒状导线组成，如图所示。

在两导线中有等值反向的电流I 通过，求：
(1)内导体中任一点(r<a)的磁感应强度； (2)两导体间任一点(a<r<b)的磁感应强度；
(3)外导体中任一点(b<r<c)的磁感应强度； (4)外导体外任一点(r>c)的磁感应强度。

解：设磁感应强度的方向与内导线的电流成右手螺旋关系。

用安培环路定理
I 内L L
B dl μ⋅=∑⎰求解，满足： 0
2I 内
L B r πμ=∑，其中r
为场点到轴线的距离。

(1) 2
0022
: 2,2Ir
I r a B r r B a a μπμπππ⎛⎫<⋅=∴=
⎪⎝⎭
(2) 0: 2a r b B r I πμ≤<⋅=， 02I
B r
μπ∴=
(3)22
022
: 2 ()()I b r c B r I r b c b πμππ⎛⎫≤<⋅=-- ⎪-⎝⎭
，()()22
0222 I c r B r c b μπ-∴=- (4) 0: 200B 0r c B r πμ≥⋅=⨯=∴=，
4、（自测提高26）在一半径R = 1.0cm 的无限长半圆筒形金属薄片中，沿长度方向有横截面上均匀分布的电流I = 5.0 A 通过，试求圆柱轴线任一点的的磁感应强度
（72
0410/N A μπ-=⨯）．
解：如图建立坐标系。

无限长半圆筒形载流金属薄片可看作许多平行的无限长载流直导线组成。

宽为d l 的无限长窄条直导线中的电流为 l R I I d d π=
θd R R I π=θd π
=I 它在O 点产生的磁感应强度为
R I B π=
2d d 0μθμd 20
π
⋅π=
I
R ，方向如图所示。

d sin x B dB θ=-02sin d 2I
R μθθ=-π
d c o s y B d B θ=02c o s d 2I
R μθθ=π
积分得： π0200
sin d 2π
π==-⎰⎰x x I
B dB R μθθ ππ=0
20cos 2θ
μR I R
I
2
0π-
=μ
π
02
00
cos d 2π
πy y I
B dB R
μθθ==
⎰
⎰π
π=
02
s i n 2θμR = 0
所以，O 点的磁感应强度为i i R
I j B i B B y x
52
01037.6-⨯-=π-=+=μ （T ）
四、附加题
1、（辅导书p179例题11-6）在半径为a 的无限长金属圆柱体内挖去一半径为)(a b b <
的
无限长柱体,两柱体轴线平行，轴间距为)]([b a d d -<.空心导体沿轴向通有电流I 并沿截面均匀分布。

（1）求腔内两柱体轴线连线上任一点的磁感应强度B （2）证明腔内磁场是均匀磁场。

解：用填补法。

空心导体电流密
度的大小为()
22
I
j a b π=-，方向垂直纸面朝外。

（1）如图（b ）所示。

空心导体电流在腔内轴线上任一M 点产生的磁场B ，可看成是完整柱体电流产生的磁场（用1B 表示）与在空腔处存在一
个电流密度相同、电流方向相反的柱体电流产生的磁场（用2B 表示）的矢量叠加。

即：
12B B B =+
根据安培环路定理：()
2102B r j r πμπ=⋅，r 为O 、M 间的距离， 得 012
jr
B μ=
，方向如图（b ）所示；
同理， 02()
2
j d r B μ-=，方向与1B 相同。

故：B 的大小1202
B B B jd
μ=+=，方向与1B 、2B 的方向相同。

（2）如图 (c)所示，在空腔内任取一点N ，空心导体电流在N 点产生磁场的磁感应强度用N B 表示。

依据填补法，12N B B B =+ 根据安培环路定理：012
jr B μ=，方向与电流满足右手螺旋关系，如图 (c)所示。

同理：022
jr B μ'
=
，方向如图 (c)所示。

考虑电流j 的方向、矢径r 、/
r 的方向以及1B 、2B 的方向之间的关系，可以将 1B 、
2B
写为：
r j B ⨯=2
01μ
(b) (c)
1B
22
B j r μ=-
⨯/
所以，空心导体电流在N 点产生的磁感应强度为
(')'2
2
2
2
B B B j r j j j d
μμμμ=+=
⨯+-
⨯=
⨯=
⨯12r OO
可见腔内磁感应强度大小为0
2
B jd μ=，方向只与/OO 连线有关（与'OO 连线垂直）
，与N 点在腔内的位置无关，即空腔内的场是均匀磁场。

2、（自测提高28）用安培环路定理证明：图中所示的不带边缘效应的均匀磁场不可能存在。

证：用反证法。

假设存在图中那样不带边缘效应的均匀磁场，并设磁感强度的大小为B ．
作矩形有向闭合环路如图所示，其ab 边在磁场内，其上各点的磁感强度为B ，cd 边在磁场外，其上各点的磁感强度为零。

由于环路所围的面积没有任何电流穿过，因而根据安培环路定理有：
0d ==⎰⋅ab B l B L
因 0≠ab ．所以 B = 0，这不符合原来的假设。

故这样的磁场不可能存在。