曲线积分与曲面积分习题答案.pdf

(1) (2x y 2z) dS，其中 为平面 x y z 1在第一卦限的部分；
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr
0
81 ， 2
(
3
1
1x
1) dx
0 0 (1
dy x y)2
1 dy 0 (1 y)2
1y
dz
0
1 dx 0 (1 x)2
1x
dz
0
11 1
11 y
( 3 1) ( 01
x
)dx 2
2
0 (1
y) 2dy
33 ( 3 1)ln 2
2
解：
， 其中
1
2
3
4
:z
1
1x
y, Dxy : x
y
1, dS
3dxdy ，
:x
y
Q x
x2 (x2
y2 y2 )2
，
(x, y)
(0,0) 。 作 足 够 小 的 圆 周
l : x2 y2 r 2 ,取逆时针方向，记 L 与 l 围成的闭区域为 D ，由 Green 公
ydx xdy
? 式，得 Ll
x2
y2
0 ，故
ydx xdy
蜒L x2 y2
ydx xdy l x2 y2
2 r 2 sin2 r 2 cos2
3
4 dS 2
3
第十一章 综合练习题
1．填空题：
x2 (1) 已知 L 为椭圆
y2
1 ，其周长为 a ，则
(2xy 3x2
4 y2 )ds
43
L
12a
；
(2) 已 知 L 为 直 线 x 1 上 从 点 (1,2) 到 点 (1,3) 的 直 线 段 ， 则
z
3x2 y2dxdy
3x2 y2dxdy
a6
D
8
解：取 为平 面 z 0 的 上侧被 围成的部分 ，
r n
( 1 , 1 , 1 ) 。 由 Stokes 公式，得
333
的单位 法向量
cos
cos
cos
1
1
1
3
3
3
原式 =
x
2
2
yz
y
2
2
zx
dS z
2
2
xy
x
2
2
yz
y
2
2
zx
dS z
2
2
xy
4 (x y z)dS
0
0
(2) zdS ，其中 为 z 1 ( x2 y 2 ) ( z 1) 的部分； 2
解： Dxy {( x, y) | x2 y2 2} {( r , ) | 0 r 2,0
2 }，
dS 1 x2 y2 dxdy
原式
12 (x
2 D xy
2
2
2
y ) 1 x y dxdy
12 d
20
2 [( r 2 1) 1] 1 r 2 dr 2 20
；
解： P
ex (1 2cos y), Q
2
x
e
sin
y，
P
x
2e sin y
y
Q， x
故积分与路径无关，取 A( ,0) 经 x 轴到点 O (0,0) 的一条路径， 从而
原式 = ex (1 2cos y) dx 2ex sin ydy
AO
0exdx e 1 。
*3 ．设函数 f (u) 具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线
其中 D 为 x 2 y 2 9 。
(2) (ey y)dx (xey 2y)dy ，其中 L 为以 O(0,0), A(1,2) 及 B (1,0) 为
L
顶点的三角形负向边界；
解：由 Green 公式，得
?(ey y)dx ( xey 2y)dy
L
(ey ey 1)dxdy dxdy 1。
D
D
*(3)
L ，有
f (xy)( ydx xdy) 0 .
L
证明： P y
Q f ( xy) xyf (xy) ，记 L 围成的闭区域为 D, 由 Green x
? 公式，得 f ( xy)( ydx xdy) L
0dxdy 0 .
D
(2) 面密度 ( x, y, z) 3 的光滑曲面 的质量 M
3 dS
.
2．计算下列对面积的曲面积分：
0
r2
d
ydx xdy
?
l
r2
2
2．计算下列对坐标的曲线积分：
ex (1 2 cos y)dx 2ex sin ydy ，其中 L 为曲线 y
L
sin x 上由点
A( ,0) 到点 O(0,0) 的一段弧；
第四节 对面积的曲面积分
1．填空题：
(1) 设 为球面 x2 y 2 z2 1 ，则 dS
4
x2 ydx xy2dy
L
15 2 34 cos4 d 40
( y2 x2 )dxdy
D
15 34 3
4
42
x2 ydx xy2dy
uuur BA
5 36 2 64
2 d 6cos r 3 dr 0
0
3cos
ydx *(4) L x 2
xdy y2
，其中
L
为正向圆周
x2
( y 1) 2
4.
P
解：因 为
3
[(1 20
3/2
r 2)
1 r 2 ]dr 2
2 (6 3 1)
15
23
2
r 1 r dr
0
*(3)
dS
，其中
(1 x y) 2
为x
y
z 1, x
0, y
0, z
0 围成四面
体的整个边界 .
原式
dS (1 x y)2
1
2
3
4
3dxdy
dydz
dxdz
dxdy
Dxy (1 x y)2 Dyz (1 y) 2 Dzx (1 x)2 Dxy (1 x y)2
2
0, Dyz : y
z
1, dS
dzdy，
:y
3
0, Dzx : x
z 1,dS
dxdz，
:z
4
0, Dxy : x
y
1, dS
dxdy 。
第七节 Stokes公式 * 环流量与旋度
(2) ( y 2 z2 )dx (z2 x 2) dy ( x2 y 2 )dz ， 为平面 x y z 1 在第一卦限部分三角形的边界，从 x 轴正向看去是逆时针方向；