高考数学一轮复习 第十八章 第2讲 极坐标与参数方程课件 文
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程 第二课时 参数方程
第二课时 参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为(2cos π3，4sin π3)，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝2 3.2.(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25C.45D.65答案 D解析 由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________. 答案 3解析 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， 所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)， 若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析 圆的参数方程消去θ，得 (x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2，1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切. ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.5.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________. 答案 ±1515解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2，0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.6.(易错题)设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx 的最大值为________.答案 33解析 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx 表示的是圆上的点和原点连线的斜率， 设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题， 即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以y x 的最大值为33.考点一 参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |D.⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析 对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ； 对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ； 对于D ，x ＝1－cos 2t1＋cos 2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2.把下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)). 解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2). 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2，1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4，1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解 (1)由题意知⊙C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 则⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y －1＝k (x －4)，即kx －y ＋1－4k ＝0，所以|2k －1＋1－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，则这两条切线方程分别为y ＝33x －433＋1，y ＝－33x ＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1，ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1.感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出. 考点二 参数方程的应用例 1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P (3，3)，曲线C 1和C 2相交于A ，B 两个不同的点，求||P A |－|PB ||的值.解(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t的参数t 消去得曲线C 1的普通方程为x 2－y 24＝1.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴ρcos θ－3ρsin θ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 2的直角坐标方程为x －3y ＝0. (2)由题意得点P (3，3)在曲线C 2上，曲线C 2的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ′，y ＝3＋12t ′(t ′为参数)，将上述参数方程代入x 2－y 24＝1得11t ′2＋443t ′＋4×29＝0，① Δ>0，设t ′1，t ′2为方程①的两根， 则t ′1＋t ′2＝－43，t ′1t ′2＝4×2911，∴(|P A |－|PB |)2＝(|P A |＋|PB |)2－4|P A ||PB |＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝6411，∴||P A |－|PB ||＝81111.感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t ∈R ，t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，△ABD 的面积为1＋3，求α的值. 解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入，得半圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴y ＝ρsin θ＝2sin 2θ∈(1，2]，x ＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)， ∴半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1(1<y ≤2).由sin φ＝y －1∈(0，1]，cos φ＝x ∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)， ∴半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝x tan α－2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)由题意可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α，0，B (0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义， 结合已知条件，可得φ＝2α， 所以D (cos 2α，1＋sin 2α). 则点D 到直线AB 的距离d ＝|tan α·cos 2α－（1＋sin 2α）－2|1＋tan 2α＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α| ＝sin α＋3cos α， 又|AB |＝（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α2＝2sin α.∴△ABD 的面积S ＝12·|AB |·d ＝1＋3tan α＝1＋3， ∴tan α＝ 3.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.考点三 参数方程与极坐标方程的综合应用例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin kt (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标. 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟提升 在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝t 2－2t (t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. (1)当t 1＝1，t 2＝3时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；(2)当a ＝1时，若t 1＋t 2＝2＋3，直线MN 被曲线D 截得的弦长为3，求直线MN 的方程.解 (1)因为t 1＝1，t 2＝3， 所以M (－1，－1)，N (1，3). 所以直线MN 的方程为y ＝2x ＋1. 因为ρ＝2a sin θ，所以ρ2＝2aρsin θ， 又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线D 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点(0，a )，所以a ＝1.(2)由题意可知k MN ＝（t 21－2t 1）－（t 22－2t 2）（t 1－2）－（t 2－2）＝（t 1－t 2）（t 1＋t 2－2）t 1－t 2＝3，曲线D 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，设直线MN 的方程为y ＝3x ＋m ，圆心D 到直线MN 的距离为d ，则d ＝|m －1|2， 因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以m ＝0或m ＝2，所以直线MN 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋2.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线.(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，所以x ∈[－1，0]，y ∈[0，1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0，0≤y ≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1，0)，点M 为C 上的动点，点P 满足AP→＝2AM →，写出点P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点.解 (1)根据ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝22x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，则AP→＝(x －1，y )，AM →＝(x ′－1，y ′). 因为AP →＝2AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（x ′－1），y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －12＋1，y ′＝y 2. 因为点M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2， 即(x －3＋2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2＋2cos α，y ＝2sin α(其中α为参数，α∈[0，2π)). 所以|CC 1|＝3－22，⊙C 1的半径r 1＝2，又⊙C 的半径r ＝2，所以|CC 1|＜r 1－r ，所以C 与C 1没有公共点.3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且|PM |·|PN |＝103，求l 的参数方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，2y ＝t －1t ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋2＋1t 2－t 2＋2－1t 2＝4， ∴x 2－(2y )2＝4，即x 2－4y 2＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4. 即曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.(2)设l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入x 2－4y 2＝4整理得(cos 2α－4sin 2α)t 2＋6t cos α＋5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝5cos 2α－4sin 2α， 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5cos 2α－4sin 2α＝103.解得cos α＝±22， ∵0<α<π2，∴cos α＝22，∴α＝π4.故l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数). 4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）(t 为参数).在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与曲线C 1交于点A ，B ，M (－2，2)，求1|MA |－1|MB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝t 14－t －14，12y ＝t 14＋t －14， 两式平方相减得12y 2－2x 2＝4，即y 28－x 22＝1.又y ＝2(t 14＋t －14)≥22(t >0)， ∴曲线C 1的普通方程为y 28－x 22＝1(y ≥22).曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y －x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2)设曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数).代入曲线C 1的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t ′2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t ′2＝8，即3t ′2－202t ′＋40＝0.Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2023，t 1t 2＝403，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|t 1|－1|t 2|＝||t 2|－|t 1|||t 1|·|t 2|＝|t 1－t 2||t 1|·|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1|·|t 2|＝853403＝55，∴1|MA |－1|MB |＝55或－55.5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋sin φ－2cos φ，y ＝cos φ＋2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.(1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，ρ∈R 分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于P 点，若|AB |＝3|OA |，求|OP |的值.解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝sin φ－2cos φ，①y ＝cos φ＋2sin φ，②①2＋②2得(x －3)2＋y 2＝5，即x 2＋y 2－6x ＋4＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，ρcos θ＋2＝0得ρ2＋16＝0，此方程无解. 所以C 1，C 2相离.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，θ＝α得ρ2－6ρcos α＋4＝0， 因为直线θ＝α与曲线C 1有两个交点A ，B ，所以Δ＝36cos 2α－16>0，得cos α>23.设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝6cos α>0，③ρ1ρ2＝4，④因为|AB |＝3|OA |，所以|OB |＝4|OA |，即ρ2＝4ρ1，⑤由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝56，满足Δ>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos α＋2＝0，θ＝α得ρ＝－2cos α＝－125， 所以|OP |＝|ρ|＝125.6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(0<r <2，α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r ＝2，求曲线C 1的极坐标方程，并求曲线C 1与C 2交点的直角坐标；(2)已知曲线C 2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 1与C 2交于不同的四点A ，B ，C ，D ，求矩形ABCD 面积的最大值.解 (1)∵r ＝2，∴x 2＋y 2＝2，又x 2＋y 2＝ρ2，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝4cos 2θ，ρ＝2，cos 2θ＝12⇒cos θ＝±32， 当cos θ＝32时，sin θ＝±12，当cos θ＝－32时，sin θ＝±12，分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，可得四个交点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22. (2)由(1)知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r ，ρ2＝4cos 2θ得cos 2θ＝r 24. ∵曲线C 2关于原点和坐标轴对称， ∴S 矩形ABCD ＝4|r cos θ||r sin θ| ＝4r 2|cos θsin θ|＝2r 2|sin 2θ| ＝2r 21－cos 22θ＝2r 21－r 416 ＝12r 216－r 4＝12r 4（16－r 4） ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫r 4＋16－r 422＝4. 当且仅当r 4＝16－r 4，即r 2＝22时等号成立. 故矩形ABCD 面积的最大值为4.。
【高考风向标】高考数学一轮复习 第十八章 第2讲 极坐标与参数方程课件 理
B．x
2
12 1 ＋y＋2 ＝4
12 2 1 D.x－2 ＋y ＝4
x＝1＋2t， 3．若直线的参数方程为 y＝2－3t
(t 为参数)，则直线的斜
2 ______. 2
考点1
例 1：①(2011 的圆心的距离为( A ．2 C. π2 1＋ 9
极坐标与直角坐标的相互转化
π 年安徽)在极坐标系中，点2，3到圆
ρ＝2cosθ
) B. π2 4＋ 9
D. 3
π π π 解析： 极坐标2，3化为直角坐标为2cos3，2sin3， 即(1，
(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：
x＝ρcosθ， y＝ρsinθ， ①柱坐标化为直角坐标公式：_________________ ； z＝z x＝rsinφcosθ， y＝rsinφsinθ， ②球坐标化为直角坐标公式：__________________. z＝rcosφ
为参数)．
x＝x0＋at， b (5)过点 P(x0， y0)， 斜率为a的直线的参数方程为 y＝y0＋bt
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为
x＝x0＋tcosα， y＝y0＋tsinα ________________ ，此时|t|表示参数
2．参数方程
x a r cos , ( 为参数) 2 2 2 y b r sin (1)圆(x－a) ＋(y－b) ＝r 的参数方程为 __________________ ，
参数θ的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度．
x a cos , x y (2)椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程为__________________ y b sin
高考一轮复习理科数学课件极坐标方程与参数方程的综合应用
03
利用参数方程可以方便地解决直线与圆、圆与圆之间的位置关
系、交点坐标等问题。
复杂曲线在参数方程下绘制技巧
极坐标与参数方程的转换
对于某些复杂曲线，如螺旋线、摆线等，使用极坐标或参数方程表示更为方便。
利用计算机软件绘制参数曲线
利用数学软件或绘图软件，可以方便地绘制出各种参数曲线，有助于直观理解曲线的形状 和性质。
通过图形分析，可以更容易地 找到解题的突破口和思路。
在画图时，应注意准确性和规 范性，避免因为图形不清晰或 不准确而导致解题错误。
善于归纳总结，形成自己解题思路
在解题过程中，应及时总结归纳 同类问题的解题方法和思路。
通过归纳总结，可以形成自己的 解题思路和解题技巧，提高解题
效率。
同时，也应注意将归纳总结的结 果应用到实际解题中，以检验其
极坐标与直角坐标互化公式
x=ρcosθ，y=ρsinθ；ρ²=x²+y²，tanθ=y/x。
3
极坐标方程性质
如对称性、周期性等，可用于简化计算和解题过 程。
直线、圆在极坐标系下表示方法
直线在极坐标系下表示
通过直角坐标方程转化为极坐标方程 ，或利用极坐标与直角坐标互化公式 直接得出。
圆在极坐标系下表示
对于难以直接求解的极坐标方程，可将其 转换为直角坐标方程后进行求解。
求出解后，需结合实际问题背景进行检验， 确保解的合理性和正确性。
03
参数方程及其应用
参数方程表示形式及性质
01
一般形式
参数方程通常由两个函数式组成，分别表示x和y与参数t的关系，即
$x=f(t), y=g(t)$。
02
几何意义
参数方程在几何上表示一个点随着参数t的变化而在平面上移动的轨迹
极坐标和参数方程ppt课件
x5cos352,
y5sin3523.
极坐标和参数方程
于 是 得 点 M 的 直 角 坐 标 为 5 2,523 .我 们 也 可 以 把 点 M 的
直 角 坐 标 化 为 极 坐 标 ,由 公 式 101变 化 可 得 :
2 x2 y2
tan y x 0
例6 作出下列极坐标方程的图像.
(1) aa0; (2) .
2
解 (1)对于方程 a a 0,
可以看出,当取任何值时, 的
取值都是a,因此方程的图像是 以 极 点 O为 圆 心 , a为 半 径 的 圆
图 10-8 ;
a
x
O
a
a,0
图 1 0 8 例 6 题 ( 1 ) a a 0 的 图 像
设M1,是极坐标系中任意一点图1010,M3,
是M1,关于极点的对称点;M4,是M1,关于极
轴的对称点;M2 ,是 M1,关于直线2的
M2,
2
M1,
对称点.
x
O
M3,
M4,
极坐标和参数图方程10-10 极坐标系中的对称关系
由 以 上 点 的 对 称 关 系 , 可 得 到 曲 线 f 的 对 称 关 系 见
开点,又当 增大时, 也随之
增大, 每转一圈增加2,
CB
也相应增加2a. 依照表103可
••
D•
•A
作出曲线如图1015所示,图中
O
x
虚线表示 为负值时的曲线.
极坐标和参数方程
图10-15 等速螺线
例10 如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由CDE和ABC两段 曲线组成.C为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心O与C点 的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求: CDE段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm; 当从动杆接触到轮廓线上点E时,由于弹簧的作用从动杆就向 左移动到A,开始与凸轮的ABC段相接触,从动杆接触ABC段时 不动,试求凸轮的轮廓线ABC段和CDE段的极坐标方程.
高考专题复习--极坐标与参数方程(极品课件系列).ppt
x y
t t
1, t 1 t
(t为参数)
相交于
A、B
两点．求线段
AB
的
长．
3 ．（ 2008
年
广东
实验
中
学）
求
直
线
x y
1 1
4t 3t
（ t为参数）被曲线 2 cos( ) 所截的弦长
4
4.已知圆的极坐标方程为 2cos ，求该圆的圆 心到直线 sin 2 cos 1 的距离
到直线距离为 2，|PQ|的最小值为 2－1＝1
1．直接求解
例 1．在极坐标系中，过圆 =6cos 的圆心，且垂
直于极轴的直线的极坐标方程
分析：把极坐标方程化为普通方程求出直线， 再得到极坐标方程。
例 2．（08 广东卷理 13）已知曲线 C1，C2 的极坐标
方 程 分 别 为 cos 3 ，
五、考点预测
1．（江苏省启东中学 2009）在极坐标系中，从极点 O
作直线与另一直线 l : cos 4 相交于点 M，在 OM
上取一点 P，使 OM OP 12． （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设 R 为 l 上任意一点，
试求 RP 的最小值
2．过点 P（－3，0）且倾斜角为 30°的直线和曲线
L
的参数方程为
x＝t＋3 y＝3－t
，（参数
t
R
），
圆
Ｃ
的
参
数
方
程
为
x＝2cos y＝2sin＋2
（
参
数
0，2 ），则圆Ｃ的圆心坐标为
，圆心
到直线 L 的距离为
。
例 9．（2008 江苏卷）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(x，y) 是 椭 圆 x2 y2 1 上 的 一 个 动 点 ， 求
2015高考总复习数学(文)课件：18.2 极坐标与参数方程
5cosθ， π (θ 是参数， 0≤θ≤2) 5sinθ
2 x＝1－ 2 t， 和 C2： (t 是参数)， 它们的交点坐标为________． y＝－ 2t 2 解析：C1：x2＋y2＝5(0≤x≤ 5)，C2：y＝x－1，
2cosθ， (θ 是参数)，它们的交点坐标为________． 2sinθ
解析：C1：y2＝x(y>0)，C2：x2＋y2＝2，得交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)
(2)(2013 年湖南)在平面直角坐标系 xOy 中， 若 (t 为参数)过椭圆
x＝3cos φ， C： y＝2sin φ
3 )，则点M的极坐标为
π D.2，2kπ＋3(k∈Z)
2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( D )
12 2 1 A.x＋2 ＋y ＝4
B．x
2
12 1 ＋y＋2 ＝4
C．x
2
12 1 ＋y－2 ＝4
12 2 1 D.x－2 ＋y ＝4
x＋y＝1， y－x＝1， π 1， . 2
π 答案：1，2
x＝0， 解得 y＝1，
则 交 点 为 (0,1) ， 对 应 的 极 坐 标 为
(2)曲线C的极坐标方程 ρ＝2cosθ，直角坐标系中的点 M的 坐 标 为 (0,2) ， P 为 曲线 C 上 任 意 一 点 ， 则 |MP| 的最 小 值 是 ________． 解析：由题设知：曲线C的直角坐标方程是x2＋y2＝2x，
第2讲
极坐标与参数方程
考纲要求 1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况． 2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理 解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位 置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比 较这些图形在极坐标和平面直角坐标系中的方 程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系 的意义． 4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的 位置的方法，并与空间直角坐标系表示点的位置 的方法相比较，了解它们的区别． 5．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适 当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
高考数学总复习 第十八章 第2讲 极坐标与参数方程配套课件 文
答案： 5－1
第十一页，共26页。
【方法与技巧】极坐标与直角坐标的相互转化，一定要记住两 点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ，②ρ2＝x2＋y2即可.直角坐 标方程化为极坐标方程比较容易，只需将公式x＝ρ·cosθ，y＝ ρ·sinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程 则相对困难一些.解此类问题，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的 形式，进行整体代换，其中(qízhōng)方程两边同时乘以ρ及方程 两边平方是常用的变形方法.
解析：将点 ρcosθ＝4，xy＝ ＝tt23 转换成普通方程为 x＝4，y ＝x32(x≥0)，两交点的坐标分别为 A(4,8)，B(4，－8)，则|AB|＝ 16.
答案(dá àn)： 16
第二十一页，共26页。
【方法(fāngfǎ)与技巧】(1)同直角坐标一样，由于建系的不同，曲 线的极坐标方程(fāngchéng)和参数方程(fāngchéng)也会不同.
数)．
x＝x0＋at，
(5)过点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为__y_＝__y_0＋__b_t__
(t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为 x＝x0＋tcosα， _y_＝__y_0_＋__ts_i_n_α_，_此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，y)到定点 M0(x0，
第2讲 极坐标与参数(cānshù)方程
第一页，共26页。
考纲要求
考情风向标
1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸 缩变换作用下平面图形的变化情况．
极坐标与参数方程课件——高三数学一轮复习
t为参数
，代
入(y－2)2－x2＝1，得 7t2＋12t－5＝0.
12
5
∴t1＋t2＝－ 7 ，t1t2＝－ 7 .
2
∴|AB|＝|t1－t2|＝ （t1＋t2）2－4t1t2＝ 7 71. (2)P 点直角坐标为(－2，2)，线段 AB 中点对应的参数值为t1＋2 t2，
二、破解难点：参数方程与普通方程的互化 ． 三、廓清疑点：参数方程的应用．
<2>（1）曲线的参数方程与普通方程的互化、极坐 标方程与直角坐标方程互化需注意等价性．
（2）参数思想、转化思想 ． （3）类比已有知识，注重新旧知识的整合与循
环上升．
当堂检测：
1.极坐标方程 ρ＝sinθ＋cosθ 表示的曲线是( A )
M0(x0,y0)
O
M0M te
x
13
· 知识点y 回顾： B
· A
M（x，y）
·· M0（x0，y0）
x y
x0 y0
t cos t sin
(t是 参 数 ）
O
x
设A,B为直线上任意两点，它们所对应的参
数值分别为t1,t2.
（1）|AB|＝t1 t 2
（2）若M是AB的中点，M对应的参数
3
.
（Ⅰ）求直线 l 在相应直角坐标系下的参数方程;
（Ⅱ）设 l 与曲线 C 相交于两点 A、B ，
①求点 P 到 A、B 两点的距离之积；② A、B 之间的距离。
1 P的直角坐标 1,1
l的参数方程
x
1
1 2
y=1+
3
2
t t
t为参数
2 C的直角坐标方程
极坐标与参数方程(优质课ppt课件
若点 M0 是线段 AB 的中点，则 tA+tB=0，反之亦然。
2.圆x2+y2=r2(r>0)的参数方程:
x
y
r r
cos sin
( 为参数)
3.圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程:
x
y
a b
r r
cos sin
(为 sin
，(t
为参数)
说明： 一、 参数 t 的有关性质 对于上述直线 l 的参数方程，设 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为 tA、tB，则
1．A、B 两点之间的距离为 | AB || t A tB | ，
特别地，A、B 两点到点 M0 的距离分别为|tA|、|tB|。
4
N,求△C2MN 的面积
你都掌握 了吗？
本节课你都学习的什么？
1. 极坐标、参数方程的解 题思路
2.极坐标、参数方程的规 范书写步骤
作业
请打开资料
好好学习 天天向上
再见！
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
y
ρ2 = x2 + y2，tanθ= x(x≠0)
高考真题演练
例 1：(2013 全国 1 文科)23.选修 4—4：坐标系与参数
方程
已
知
曲
线
C1
的参数方程为
x y
4 5
5 5
cos t, sin t
（
t
为参数
），以坐标
原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin 。
4.椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的参数方程为: a2 b2
极坐标与参数方程PPT课件
（2）求直线 l 上到椭圆 C 的中心距离为 5
的点的坐标. 思 路：直线上每个点对应一个参数，求出
这个参数即可．
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过程解析
解 （ 1） 因 P 为 椭 圆 x2 y2 1 上 任 意 点 ， 故 可 设 4
P(2cosq ,sinq ) ,其中q R ． 依题意，直线 l 的普通
4
基础知识
一般地, 若( r , q )是点M的极坐标．极坐标系中
点M的极坐标有无数个，统一表示为：
( r , q + 2kp ) (k ∈ Z )或(－r , q+(2k+1)p ) ( k ∈ Z ).
一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标
适合方程f (r ,q ) = 0 ；反之，极坐标适合方程f (r ,q )
化简，得 ρ2－4ρcos(θ－ π )－1=0， 3
此即为所求的圆 C 的方程.
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回顾反思
（1）基本思路：( 求曲线的极坐标方程 ) ① 直接法； ② 转化为直角坐标．
（2）思想方法：化归转化思想． （3）思维误区：在极坐标系中应用直角坐标系
中的结论．
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回顾反思
它的一个参数方程为
x y
x0 y0
t cosq，（t t sinq
为参数）.
若圆的一般方程为 ( x a)2 ( y b)2 r2 ，
它的一个参数方程为
x y
a b
r r
cosq，（q sinq
为参数）.
若椭圆的方程为
【师说系列】届高考数学一轮复习讲义课件：选修-坐标系与参数方程(共46张PPT)
因为△OMN 为正三角形，
ρ＝ρ1
ρ1＝ρ，
所以θ＝θ1＋π3 ⇒θ1＝θ－π3，
代入①得 ρ2－2ρ0ρcos(θ－π3)＋ρ20－r2＝0， 这就是点 N 的轨迹方程． 点评 对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更
加简单．本题涉及角度、长度，选用极坐标系则更易将已知的几何
Hale Waihona Puke 条件转化为数量关系.4．圆的极坐标方程
选修4－4 坐标系(1与)参圆数方心程 为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的极坐标方程为：ρ2－
选选修修44－－442ρ坐坐·标标ρ0系系c与与o参参s(数数θ方方－程程 θ0)＋ρ20－r2＝0.特别地，以极点为圆心，半径为 r 的圆的
选选修修44－－44极坐坐坐标标系系标与与参参方数数程方方程程为：ρ＝r；
xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数) 其中参数 t 是以定点 P(x0，y0)为起点，M(x，y)为终点的有向线
段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论： 设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA 和 tB，
则 AB＝|tB－tA|＝ tB＋tA2－4tA·tB，线段 AB 的中点所对应的参数值 等于tA＋2 tB.
解析 以左焦点 F1 为极点，长轴所在直线为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为
ρ＝1－eepcosθ＝3－
2
1， 2cosθ
设∠F2F1M＝ α，
则 MN＝3－2 12cosα＋3－2
1 2cosπ＋α
＝9－
6 8cos2α.
又 MN＝2，∴9－86cos2α＝2，
解得 sinα＝12， ∴∠F2F1M＝30°或 150°.
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考点1 极坐标与直角坐标的相互转化
例 1：①(2011 年安徽)在极坐标系中，点2，π3到圆 ρ＝2cosθ
的圆心的距离为( )
A．2
B. 4＋π92
C. 1＋π92
D. 3
解析：极坐标2，3π化为直角坐标为2cosπ3，2sinπ3，即(1， 3)． 圆的极坐标方程 ρ＝2cosθ 可化为 ρ2＝2ρcosθ，化为直角坐标 方程为 x2＋y2＝2x， 即(x－1)2＋y2＝1.所以圆心坐标为(1,0)． 则由两点间距离公式 d＝ 1－12＋ 3－02＝ 3.故选 D.
答案：x2＋y2－4x－2y＝0
本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐 标的相互转化，一定要记住两点：①x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ；②ρ2 ＝x2＋y2，tanθ＝yx.即可．直角坐标化为极坐标方程比较容易，只 是将公式 x＝ρ·cosθ，y＝ρ·sinθ 直接代入并化简即可；而极坐标方 程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题，构造形如 ρcosθ，ρsinθ，ρ2 的形式，进行整体代换，其中方程两边同时乘以 ρ 及方程两边平方是常用的变形方法．
5
5 .
答案：1，2
Hale Waihona Puke 55常见的消参数法有：代入消元(抛物线的参数方 程)、加减消元(直线的参数方程)、平方后再加减消元(圆、椭圆的 参数方程)等．经常使用的公式有sin2α＋cos2α＝1.在将曲线的参数 方程化为普通方程的过程中一定要注意参数的范围，确保普通方 程与参数方程等价．
x＝ρcosθ， ρ2＝x2＋y2， 转化公式为：_y_＝__ρ_si_n_θ_，_____ta_n_θ_＝__yx_，__x≠0.
(2)柱坐标、球坐标与直角坐标的互化公式：
xy＝＝ρρcsionsθθ，， ①柱坐标化为直角坐标公式：__z_＝__z____________；
xy＝＝rrssiinnφφcsionsθθ，， ②球坐标化为直角坐标公式：___z＝__r_c_o_s_φ_________.
第2讲 极坐标与参数方程
考纲要求
考纲研读
1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用
下平面图形的变化情况．
从近几年的高
2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标 考来看，本部
系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行坐标和 分重点考查直
直角坐标的互化．
线和圆的极坐
3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点 标方程，以及 或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标和平 极坐标与直角 面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适 坐标的互化；
【互动探究】
1．极坐标方程分别为ρ＝2cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心 5 距为_2___.
考点2 参数方程与普通方程的相互转化
例 2 ： (2011 年 广 东 ) 已 知 两 曲 线 参 数 方 程 分 别 为
x＝ 5cosθ， y＝sinθ
(0≤θ<π)和x＝54t2， y＝t
(t∈R)，它们的交点坐标为
2．参数方程 (1)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2
的参数方程为_xy___ab___rr_cs_ion_s__, (__为__参__数，)
参数θ的几何意义是圆上的点绕圆心旋转的角度．
x a cos, (2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的参数方程为_____y___b_s_in________ (为参数)．
答案：D
②(2011 年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ， 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则改曲线的 直角坐标方程为______________________．
解析：根据已知 ρ＝2sinθ＋4cosθ＝2·ρy＋4ρx，化简可得：ρ2＝ 2y＋4x＝x2＋y2.所以解析式为：x2＋y2－4x－2y＝0
3．若直线的参数方程为xy＝ ＝12＋ －23tt， (t 为参数)，则直线的斜
率为( D )
2 A.3
B．－23
3 C.2
D．－32
4．已知直线 l 经过点 P(1,1)，倾斜角 α＝π6，直线 l 的参数方
程为__yx_＝＝__11_＋＋__21_2t3_t_，____(_t_为__参__数__)_．
x a sec, (3)双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的参数方程为___y___b_t_an______ (为参数)．
x＝2pt2， (4)抛物线 y2＝2px(p>0)的参数方程为__y_＝__2_p_t___(t 为参数)． (5)过点 P(x0，y0)，斜率为ba的直线的参数方程为xy＝ ＝xy00＋ ＋abtt， (t 为参数)；过点 P(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为 x＝x0＋tcosα， __y_＝__y_0＋__t_s_in_α_____，此时|t|表示参数 t 对应的点 M(x，y)到定点 M0(x0，y0)的距离．
___________．
解析：yx＝＝sin5θcosθ， 表示椭圆x52＋y2＝1(－ 5<x≤ 5且 0≤y
≤1).x＝54t2， y＝t
表示抛物线 y2＝45x.
x52＋y2＝1(－ 5<x≤ 5且0≤y≤1) y2＝45x
⇒ x2＋4x－5＝0⇒ x＝1 或 x＝－5(舍去)．
又因为
0≤y≤1，所以它们的交点坐标为1，2
当坐标系的意义．
参数方程侧重
4．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，于直线、圆及 并与空间直角坐标系表示点的位置的方法相比较，了解它们 椭圆参数方程
的区别．
与普通方程的
5．了解参数方程，了解参数的意义；能选择适当的参数写 互化.
出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.
1．坐标系 (1)点的极坐标与直角坐标的相互转化公式，当极坐标系中的 极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与 x 轴的正半轴重合，两 种坐标系中取相同的长度单位时，点的极坐标与直角坐标的相互
1．点 M 的直角坐标是(－1， 3)，则点 M 的极坐标为( C )
A.2，3π
B.2，－π3
C.2，23π
D.2，2kπ＋π3(k∈Z)
2．极坐标方程 ρ＝cosθ 化为直角坐标方程为( D )
A.x＋122＋y2＝14 C．x2＋y－122＝14
B．x2＋y＋122＝14 D.x－122＋y2＝14