1 抽象函数定义域高中数学高考

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抽象函数定义域课件高一上学期数学人教A版必修一

TITLE
函数定义域
• 一：函数的概念
一般的，设 , 是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个 ,按照某种对应关系，再集合中都有唯
一确定的数y和它对应，那么就称 : → 为从集合 A到集合的一个函数，记作 = , A .其中，叫做自
变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函
的定义域为（）
A. 1，4
B. 0，5
C. 0,20
. 1，9
3)
总结抽象函数定义域
记住两句话：1.定义域只指x的范围
2.括号内整体范围相等
走好两步骤：1.求整体
2.利用整体求得所求函数的定义域即x的范围
A. − ∞,
答案：c
0
B. −∞,
0
−
的定义域为（）
2 2 − 3 − 2
1
1
C. − ∞, − 2 ∪ − 2 ,
0
1
D. − 2 ,
0
• 总结：常见函数的定义域
• （1）为整式型函数时，定义域为R，但需注意函数 = 0 中的不为0；
• （2）出现分式时分母不为零，所以当为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的集合
• （3）偶次根式的被开方数非负，所以当为二次根式型函数时，定义域为使被开方数非负的实数的集合
• （4）如果函数是由一些简单函数通过四则运算构成的，那么他们的定义域时各个简单函数定义域的交集。
抽象函数的定义域
抽象函数：没有具体解析是的函数
抽象函数定义域的方法和技巧：
记住两句话：1.定义域只指x的范围
2.括号内整体范围相等

天津高考抽象函数知识点

天津高考抽象函数知识点抽象函数是天津高考中的一个重要知识点，作为数学的一个基础概念，它对于学生的数学思维和问题解决能力有着深远的影响。

本文将从抽象函数的定义、性质以及在高考中的应用等方面进行论述和分析。

一、抽象函数的定义抽象函数是指一种将输入映射为输出的数学关系，它的具体定义可通过函数表达式、图像、数据等形式来表示。

在数学中，抽象函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

抽象函数的定义域、值域以及各种性质是对应学习者所要掌握的基本内容。

二、抽象函数的性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域是指函数的输入值的集合，而值域则是函数输出值的集合。

在考试中，学生需要根据具体问题对抽象函数的定义域和值域进行判断和求解，注意排除不存在的值。

2. 奇偶性：抽象函数的奇偶性是指函数在自变量变为负数时是否保持不变。

对于奇函数，有f(-x)=-f(x)，即绕原点对称；对于偶函数，有f(-x)=f(x)，即轴对称。

3. 单调性：抽象函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增减而增减的性质。

单调函数可以分为递增和递减两种，可以通过导数的正负性来判断函数的单调性。

4. 极值与最值：抽象函数的极值是指函数在定义域内取得的局部最大值或最小值，最值则是函数在整个定义域内取得的最大值和最小值。

为求得函数的极值和最值，需利用函数的导数和二次函数的特性进行分析。

三、抽象函数在高考中的应用1. 函数组成：抽象函数可以通过一系列的函数组成，从而形成新的函数。

高考中许多关于函数的复合、迭代以及函数方程的题目都需要运用抽象函数的概念和性质来解决。

2. 函数图像：抽象函数的图像可以通过绘制函数曲线来表示，其中包括函数的关键点、拐点、渐近线等信息。

在高考中，图像分析是一个重要的解题方法，学生需要根据图像的特点来解答相关问题。

3. 函数方程的解：抽象函数也常常用于求解函数方程。

通过对函数的定义域、值域等性质的分析，可以得到函数方程的解集及其特点。

高考中常考的抽象函数问题的分类解析

抽象函数问题的分类解析抽象函数，是指没有给出具体的函数解析式或图象，只给出函数满足的一部分性质或运算法的函数。

它具有抽象性、综合性和技巧性等特点，是中学数学中的一个难点，学生对解决抽象函数问题困难较大。

本文以近几年高考中常考的抽象函数问题为例进行归类解析，以飨读者。

1.抽象函数的定义域、值域问题例1.函数()y f x =的定义域为(,1]-∞，则函数(12)y f x =-的定义域是__________。

解析：例2.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()1F x f x =+的值域为___________。

解析：令()t f x =，则132t ≤≤，由函数1()1g t t =+在区间1[,3]2上是减函数，则13()22g =，1(3)4g =，所以]23,41[)(的值域为x F 。

2.抽象函数的函数值问题例3.函数()y f x =的定义域为R +，若()()()f x y f x f y +=+，(8)3f =，则(2)f =___。

解析：(8)(4)(4)2(4)4(2)3f f f f f =+===，所以3(2)4f =。

例 4.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，(1)2f =，则(3)f -=___。

解析：令0x y ==，得(0)0f =；令1x y ==，得(2)2(1)26f f =+=；令2,1x y ==，得(3)(2)(1)412f f f =++=；令3,3x y ==-，得0(33)(3)(3)18f f f =-=+--=12(3)18f +--，所以(3)6f -=。

3.抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性问题例5.设()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，满足()()()f xy f x f y =+，(3)1f =，解不等式()(8)2f x f x +-≤。

新课标人教A版高中数学必修一第一章《抽象函数求定义域》(共16张PPT)

1 2.已知f ( x )的定义域为， 2， 2 则y f ( x )的定义域为 0,4
2
练习
已知f (2 x 1)的定义域 1, 5, 求f (2 5 x)的定义域
(题型三) :已知f g x 的定义域, 求f n x 的定义域
解：由题意知:
练习1：若函数f(x)的定义域为[1，4]，则 [-1,2] 函数f(x+2)的定义域为______.
(题型二) :已知f gx 的定义域, 求f ( x)的定义域
例3 : 已知f 2 x 1的定义域(1,5],求f ( x )的定义域
解：由题意知:
1 x 5
3 2 x 1 9
关键武器
关键武器
Test Points Collating
1. 理解函数的定义域----自变量的取值范围。 x的取值范围
（不一定一样）
.2.
f
的作用范围是一样。
括号里的表达式无论是什么，他们的取值范围一定是一样的
f ( x) x1 x1
y f (2 x 1) x2 2 x2 1
y f (2x 1)
题型(一) :已知f ( x)的定义域, 求f [ g( x)]的定义域
例1.若f ( x )的定义域是 [0,2], 求f (2 x 1)的定义域
： : 由题意知: 解
0 2x 1 2
1 3 x 2 2 1
3 故f ( 2 x 1)的定义域是{ x x } 2 2
1 x 5
3 2 x 1 9
3 2 5 x 9 7 x 1 5
7 f 2 5 x 的定义域是[ ,1) 5
练习若函数y=f(x+1)的定义域为[-2，3]，则 A y=f(2x-1)的定义域是（）。 A、[0，5/2]

高一抽象函数的所有知识点

高一抽象函数的所有知识点抽象函数是数学中重要的概念之一，在高中数学中也占据了重要地位。

本文将详细介绍高一阶段抽象函数的所有知识点，包括定义、性质和应用等方面。

一、抽象函数的定义抽象函数是一种用数学语言表示的一般规律或映射关系。

一般来说，抽象函数由定义域、值域和映射关系三个部分组成。

定义域是函数的自变量所在的集合，值域是函数的因变量可能取值的范围，映射关系则决定了自变量和因变量之间的对应关系。

二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数的定义域和值域是函数的基本特征。

定义域可以是实数集、自然数集、整数集等不同集合，而值域可以根据实际问题的需要而变化。

2. 奇偶性：抽象函数可以分为奇函数和偶函数两类。

当函数满足f(-x) = -f(x)时，被称为奇函数；当函数满足f(-x) = f(x)时，被称为偶函数。

3. 单调性：抽象函数的单调性指函数图象上的点按照自变量的增大而增大或减小。

函数的单调性可分为增函数和减函数两种情况。

4. 周期性：一些抽象函数具有周期性，即在一定范围内函数值呈现出循环出现的现象。

周期函数常用正弦函数和余弦函数来表示。

5. 对称性：对称性是指函数图象在某一直线或坐标轴上关于某一点对称。

常见的对称有关于x轴对称、y轴对称和关于原点对称等。

三、抽象函数的应用1. 函数求值：抽象函数可以用来求函数在特定自变量取值下的因变量取值。

通过函数的映射关系，我们可以根据给定的自变量值，求出相应的函数值。

2. 函数图象绘制：抽象函数的图象可以通过将自变量的取值范围映射到函数的值域中，绘制出对应的函数图象。

函数图象的绘制有助于观察函数的性质和规律。

3. 函数的应用问题：抽象函数在实际问题中有广泛的应用。

通过将实际问题转化为数学语言，我们可以利用抽象函数来解决实际问题，如数学建模、物理问题等。

四、抽象函数的注意事项1. 定义域的确定：在使用抽象函数时，需要明确函数的定义域。

合理确定定义域可以保证函数的映射关系是可行的。

高三抽象函数专题

让家成为孩子钟爱的课堂页1（通用版）高三抽象函数专题（提高篇）抽象函数是高中数学的一个难点，也是其他省市近几年来高考的热点。

主要考点为解析式和性质分析。

抽象函数只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象，其概念抽象，性质隐而不显。

故技巧性很强，学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。

一、定义域——整体换元法。

例1、：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

答案：),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x的范围等同。

二、值域：让家成为孩子钟爱的课堂页2例2、函数f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则f =答案：12三、解析式（可解性）：1、对称性：——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。

结论1：设函数f (x)的定义域为R，且f (a+x )=f (b-x )，则函数f (x )的图象关于直线2ba x +=对称；特别地，当f (a+x )=f (a-x )时，f(x)的图象关于x=a 对称（自身对称）。

结论2：对于定义在R 上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线2ab x -=对称（相互对称）。

例3、设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（）。

A、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称让家成为孩子钟爱的课堂页3答案：D练习1：已知函数y =f (x )满足f (x +2)=f (2-x )；若方程f (x )=0有三个不同的实根，则这三个根的和为______。

答案：62、周期性：——充分理解与运用相关的抽象式是关键。

专题01 函数定义域问题

【答案】定义域为，值域为，描述见解析.
【解析】
【分析】
根据题目中实际情境，时间t为定义域，炮弹距地面的高度h为值域，h（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为 .
【详解】定义域为，值域为，
对于数集中的任一个数t，
在数集中都有唯一确定的数与之对应.
【点睛】本题考查函数的定义域、值域以及函数的定义，需要对函数概念及三要素的灵活掌握，属于基础题.
方法一直接法
万能模板
内容
使用场景
函数的解析式已知的情况下
解题模板
第一步找出使函数所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
（1）分式中分母不为0；
（2）偶次方根中被开方数非负；
（3）的底数不为零；
（4）对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
（5）正切函数的定义域为 .
第二步列出不等式（组）；
【答案】D
【解析】
【分析】
求使函数有意义的x的取值范围即可.
【详解】要使函数有意义，只需，解得，
即函数定义域为或 .
故选：D.
22. 设函数的定义域为，函数的值域为，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得，由指数函数的性质得，再根据集合交集运算求解即可.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出两个函数的定义域，接着求出两个集合的交集即可.
【详解】函数的定义域为，即，
函数的定义域为，则，
所以，
故选：C.
例2】3. 函数的定义域为（）
A. B.
C. D.
【答案】A

高考高频考点1函数的定义域

第1讲函数的定义域知识与方法1.具体函数定义域（1）偶次方根：设n0x ≥；（2）分式：10x x⇒≠；（3）对数：log 0a x x ⇒>；（4）正切：tan 2x x k ππ⇒≠+()k ∈Z ；（5）零次方：00x x ⇒≠.2.复合函数定义域：整体思想，例如，()222log 56560x x x x −+⇒−+>. 抽象函数定义域（1）函数定义域指的是自变量x 的范围；（2）同一对应法则f ，括号内的范围相同.例如，若函数()y f x =的定义域为(),a b ，则函数()()y f g x =的定义域由不等式()a g x b <<来解.提醒：函数的定义域是自变量x 的取值集合，故一定要写成集合或区间的形式.题组一1.（2022·北京·11·★）函数()1f x x=+的定义域是______.【答案】()(],00,1−∞【解析】0,110x x x ≠⎧⇒≤⎨−≥⎩且0x ≠.2（2020·北京·11·★）函数()1ln 1f x x x =++的定义域是______.【答案】{}0x x > 【解析】()10,100x x f x x x +≠≠−⎧⎧⇒⇒⎨⎨>>⎩⎩的定义域为{}0x x >【提炼】①分母不为0；②真数大于0；③定义域写成区间或集合.3.（★★）函数()2f x =的定义域为______.【答案】[)3,+∞【解析】()2210,1310,1,32log 10x x x x x x x x ⎧−−≥≤≥⎧⎪⎪−>⇒>⇒≥⎨⎨⎪⎪≠−≠⎩⎩或.4.（★）函数y ______.【答案】[]1,7−【解析】()()2276067017017x x x x x x x +−≥⇒−−≤⇒+−≤⇒−≤≤⇒定义域为[]1,7−.【提炼】①偶次根号下“非负”；②定义域写成“区间”或“集合”. 5.（★）函数()f x =______. 【答案】[)2,+∞ 【解析】22log 1log 2x x ≥=⎧⎨>⎩()2x f x ⇒≥⇒的定义域为[)2,+∞.【提炼】①偶次根号下非负；②真数大于0. 6.（★）函数()f x 的定义域为（）A.(]3,0−B.(]3,1−C.()(],33,0−∞−−D.()(],33,1−∞−−【答案】A【解析】(]00,120,212,3,03303x x x x x x x ≤⎧⎧−≥≤=⎧⇒⇒⇒∈−⎨⎨⎨>−+>>−⎩⎩⎩. 7.（★★）函数()f x =）A.10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B.()2,+∞C.()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D.[)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()222log 10log 1x x −>⇒<−或2221log 1log log 2x x >⇔<或221log log 202x x >⇒<<或2x >.所以定义域为()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【提炼】解对数不等式，记住三个字“化同底”，把两端都化成同底数的对数，再利用对数函数的单调性便可快速解出. 8.（★★）函数()256lg 3x x f x x −+=−的定义域为（）A.()2,3B.(]2,4C.()(]2,33,4D.()(]1,33,6−【答案】C【解析】()()()(]240,44,23560,0,x 2,33,433303x x x x x x x x x x ⎧−≥−≤≤⎧⎪⎪−−−+⎪⎪>⇒>⇒∈⎨⎨−−⎪⎪⎪−≠⎪≠⎩⎩9.（★★）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A.y x = B.lg y x = C.2x y =D.y =【答案】D 【解析】()lg 100xx x =>⇒函数lg 10x y =可化为y x =()0x >，即函数lg 10x y =的定义域和值域都是()0,+∞.A 项，y x =的定义域和值域均为R ，不合题意；B 项，lg y x =的定义域为()0,+∞，值域为R ，不合题意；C 项，2x y =的定义域为R ，值域为()0,+∞，不合题意；D项，y =()0,+∞，符合题意.【提炼】log a N a N =.10.（★★）下列函数中，与函数y = ）A.1sin y x= B.ln x y x=C.x y xe =D.sin x y x=【答案】D 【解析】【解析】y ={}0x x ≠.A 项，sin 0x x k π≠⇒≠，k ∈Z ，故1sin y x=的定义域为{},x x k k π≠∈Z ，故A 项错误；B 项，0,ln 0x xy x x >⎧⇒=⎨≠⎩的定义域为()0,+∞，故B 项错误；C 项，x y xe =的定义域为R ，故C 项错误；D 项，sin xy x=的定义域为{}0x x ≠，故D 项正确.题组二11.（★）已知函数()f x 的定义域为()1,0−，则函数()21f x +的定义域为（） A.()1,1− B .11,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭ C.()1,0− D.1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】()f x 的定义域为()11,0121012x x −⇒−<+<⇒−<<−⇒函数()21f x +的定义域为11,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭.【提炼】①定义域指x 的取值范围；②()f 括号内整体的范围始终不变.12.（★★）若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()21f xg x x =−的定义域是（）A.[]0,1B.[)0,1C.[)(]0,11,4D.()0,1【答案】B【解析】()f x 的定义域为[]0,2⇒在函数()()21f xg x x =−中，()022,0110x x g x x ≤≤⎧⇒≤<⇒⎨−≠⎩的定义域是[0,1).【提炼】①定义域指x 的取值范围；②f()括号内整体的范围始终不变；③分母不为0.题组三13.（★★）若函数f (x )=R ，则实数a 的取值范围是_______.【答案】[0,1]【解析】函数f (x )的定义域为R ⇒2x2−2ax +a−1≥0在R 上恒成立⇒2x 2−2ax +a ≥1=20在R 上恒成立⇒x 2−2ax +a ≥0在R 上恒成立⇒∆=4a 2−4a ≤0⇒0≤a ≤1. 【提炼】一元二次不等式在R 上恒成立这类问题只需考虑判别式就可以了。

高三抽象函数知识点汇总

高三抽象函数知识点汇总抽象函数是高中数学中的一个重要概念，通过抽象函数，我们可以对复杂的数学问题进行简化和形象化的表达。

本文将对高三抽象函数的知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。

一、抽象函数的定义抽象函数是指用一个变量表示一个数集上的元素，而不指定具体的数，它可以将一个数集中的每个数与表示它的数代表进行对应。

简单地说，抽象函数就是用一个符号或字母表示一个数。

二、抽象函数的性质1. 定义域和值域：抽象函数通常有一个定义域和一个值域。

定义域是指所有符合函数定义的输入值的集合，值域是指所有可能的输出值的集合。

2. 函数图像：抽象函数可以通过绘制函数图像来直观地表示函数的特点和性质。

函数图像是定义域和值域上的点的集合，可以用直角坐标系来表示。

3. 函数关系：抽象函数描述了输入和输出之间的关系。

输入是定义域上的元素，输出是对应的数代表，函数关系可以用映射关系符号“→”表示。

4. 函数符号：抽象函数可以用各种符号来表示，常用的包括f(x)、g(x)等。

符号本身没有具体的数值，只是用来表示函数的一种形式。

三、抽象函数的运算1. 求和与差：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的和记作f(x)+g(x)，差记作f(x)-g(x)。

2. 数乘：给定一个抽象函数f(x)和一个实数k，它们的数乘记作k⋅f(x)。

3. 复合函数：给定两个抽象函数f(x)和g(x)，它们的复合函数记作f(g(x))，表示先计算g(x)，再将结果作为输入计算f(x)。

4. 逆函数：给定一个抽象函数f(x)，如果存在一个抽象函数g(x)，使得f(g(x))=x，那么g(x)称为f(x)的逆函数，记作f^(-1)(x)。

四、抽象函数的应用1. 函数关系的建立：通过抽象函数，可以建立输入和输出之间的关系，帮助我们描述和解决实际问题。

2. 函数的图像分析：通过函数图像，可以了解函数的单调性、极限、对称性等性质，进而推导出其他相关结论。

高考抽象函数知识点

高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。

抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。

了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。

本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。

一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。

常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。

其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。

抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。

同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。

2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。

3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。

二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。

1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。

根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。

2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。

将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。

3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。

抽象函数新高考知识点总结

抽象函数新高考知识点总结随着新高考政策的出台，高中数学教学内容也发生了一些变化。

抽象函数作为高中数学的一个重要知识点，也成为了新高考的考查内容之一。

在本文中，我们将对抽象函数的相关知识进行总结和归纳，以帮助学生更好地掌握和理解这一知识点。

1. 抽象函数的概念和特点抽象函数是数学中的一个重要概念，它是指由一对非空的数集到另一个数集的对应关系。

与一般的函数不同，抽象函数不具体给出函数的具体形式，而是以一种抽象的方式描述函数的性质和特点。

抽象函数具有以下几个特点：（1）没有具体的函数表达式，只给出函数的定义域和值域的关系。

（2）函数的定义域和值域可以是数集、集合、图形、样本等任何形式。

（3）抽象函数体现了一种普遍性和一般性的思维方式，适用于各类数学问题的求解。

2. 抽象函数的表示方法抽象函数可以用文字描述、图形表示、集合表示等多种方式表示。

（1）文字描述：通过文字描述来表达函数的性质和特点，例如“函数f是定义在实数集上的奇函数”。

（2）图形表示：通过图形来表示函数的定义域、值域、性质等。

例如，通过画出函数图像来表示函数的变化规律。

（3）集合表示：通过集合的方式表示函数的定义域和值域。

例如，用集合的形式来表示一组数据的函数关系。

3. 抽象函数的应用抽象函数在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍一些常见的应用情境。

（1）数列和数表的抽象函数表示：对于给定的数列和数表，可以通过抽象函数的方式来表示其数值规律，以便于研究和推导。

（2）函数关系的抽象函数表示：对于一些复杂的函数关系，通过抽象函数的方式可以简化问题，提取出函数的主要特征，从而更好地理解和研究函数关系。

（3）样本数据的抽象函数表示：对于一组观测数据，通过抽象函数的方式可以描述数据之间的联系和规律，进而用于统计分析和预测。

4. 抽象函数的思维方法抽象函数作为一种普遍性的思维方法，在数学问题的解决中起着重要的作用。

了解和掌握抽象函数的思维方法，可以帮助学生提高数学问题的解决能力。

高考数学重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型(解析版)(全国通用)(老师专用)(新高考专用)

重难点第6讲抽象函数及其性质8大题型——每天30分钟7天掌握抽象函数及其性质8大题型问题【命题趋势】抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解；2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性.二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f .三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式.四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

高中数学抽象函数

抽象函数我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y ＝f (x )表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图像集于一身，是考查函数的良好载体.一、抽象函数的函数值例1 (1)设函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (xy )＝f (x )＋f (y )，若f (8)＝3，则f (2)＝____.答案 12解析因为f (8)＝3，所以f (2×4)＝f (2)＋f (4)＝f (2)＋f (2×2)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3f (2)＝3，所以f (2)＝1.因为f (2)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)＝2f (2)，所以2f (2)＝1，所以f (2)＝12. (2)设函数f (x )的定义域为R ，对于任意实数x 1，x 2，都有f (x 1)＋f (x 2)＝2f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22f ⎝⎛⎭⎫x 1－x 22，f (π)＝－1，则f (0)＝____.答案 1解析令x 1＝x 2＝π，则f (π)＋f (π)＝2f (π)f (0)，∴f (0)＝1.二、抽象函数的定义域例2 (1)(2019·皖南八校模拟)已知函数f (x )＝ln (－x －x 2)，则函数f (2x ＋1)的定义域为____.答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－12 解析由题意知，－x －x 2>0，∴－1<x <0，即f (x )的定义域为(－1,0).∴－1<2x ＋1<0，则－1<x <－12. (2)若函数f (2x )的定义域是[－1,1]，则f (log 2x )的定义域为____.答案 [2，4]解析对于函数y ＝f (2x )，－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x ≤2.则对于函数y ＝f (log 2x )，2－1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4.故y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4].。

高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析

高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得：解得或，所以选C.【考点】函数定义域2.（5分）（2011•广东）函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣1，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，+∞）【答案】C【解析】根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；故选C．点评：本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可．3.定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;(2)求证：指数函数的短距小于1;(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2，若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？【答案】（1）短距为，长距不存在，短距为，长距为5；（2）证明见解析；（3）.【解析】本题属于新定义概念，问题的实质是求函数图象上的点到原点的距离的最大值和最小值（如有的话）,正面讨论时我们把距离表示为的函数.（1）对，（当且仅当时等号成立），因此存在短距为，不存在长距，对，，，即有最大值也有最小值，因此短距和长距都有；（2）对函数，，由于，因此短距不大于1，令，则有，故当时，存在使得，当时，存在使得，即证；（3）记，按题意条件，则有不等式对恒成立，这类不等式恒成立求参数取值范围问题，我们可采取分离参数法，转化为求函数的最值，按分别讨论，由此可求得的范围.（1）设（当且仅当取得等号）+2分短距为，长距不存在。

+4分（2）设 +6分+8分短距为，长距为5。

+9分（3）设函数的短距不小于2即对于始终成立：+10分当时：对于始终成立 +12分当时：取即可知显然不成立 +13分当时：对于始终成立 +15分综上 +16分【考点】新定义概念，函数的最大值与最小值，不等式恒成立问题.4.下列函数中，与函数的值域相同的函数为（）A．.B．.C．.D．.【答案】B【解析】函数的值域为R，而，只有，所以选B.【考点】函数值域5.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【答案】（1）y＝＋，定义域（2）32个【解析】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．6.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.7.已知函数是奇函数，则函数的定义域为【答案】【解析】本题定义域不确定，不要用奇函数的必要条件来求参数，而就根据奇函数的定义有，即，化简得恒成立，所以，则.由，解得.【考点】奇函数的定义与函数的定义域.8.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>19.若函数y＝f(x)的定义域是[0，2]，求函数g(x)＝的定义域．【答案】[0，1)【解析】由得0≤x<1，即定义域是[0，1)．10.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是________．【答案】∪(2，＋∞)【解析】由题意f(x)＝＝下面分段求值域，再取并集．11.设函数的定义域为,值域为,则=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的定义域是，值域是,所以.【考点】函数的定义域与值域.12.函数f(x)＝＋的定义域为()．A．(－3,0]B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪(－3,0]D．(－∞，－3)∪(－3,1]【答案】A【解析】由题意，解得－3＜x≤0.13.函数f(x)＝e x sin x在区间上的值域为 ()．【答案】A＝【解析】f′(x)＝e x(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0.∴f(x)在上是单调增函数，∴f(x)minf(0)＝0，f(x)＝f＝.max14.函数y＝的定义域是 ( )．A．[－，－1)∪(1，]B．(－，－1)∪(1，)C．[－2，－1)∪(1,2]D．(－2，－1)∪(1,2)【答案】A【解析】∵⇔⇔⇔⇔－≤x＜－1或1＜x≤.∴y＝的定义域为[－，－1)∪(1，]．15.下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是A．B．C．D．【答案】D【解析】，且【考点】函数的奇偶性和值域.16.函数的定义域为．【答案】【解析】由对数的真数为正知，两边取自然对数得，因为，所以，或由指数函数的图象可知，所以函数的定义域为.【考点】指数函数和对数函数的性质.17.函数（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，即，所以函数的定义域为，所以正确答案为C.【考点】对数函数的定义域18.函数的定义域是_____________．【答案】【解析】函数的定义域是使函数式有意义的自变量的集合，求定义域时要注意基本初等函数的定义域．【考点】函数的定义域．19.函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知函数的定义域为..又有函数在上递增，所以函数在区间上是递减的.故选C.本小题主要是考查复合函数的单调性同增异减.另外要关注定义域的范围.这也是本题的关键.【考点】1.函数的定义域.2.复合函数的单调性.20.函数的定义域是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】由，得原函数的定义域为.【考点】函数的定义域.21.已知函数，定义域为，则函数的定义域为_______.【答案】【解析】由题意，解得，故的定义域为.【考点】1.抽象函数的定义域.22.函数的定义域为 .【答案】（0，]【解析】由且得：.【考点】函数定义域的求法23.某同学为研究函数(0≤x≤1)的性质，构造了两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP＝x，则AP＋PF＝f(x)．请你参考这些信息，推知函数f(x)的极值点是________；函数f(x)的值域是 __ __．【答案】；【解析】由图易知当点P从C点移动到B点的过程中时，AP＋PF＝f(x)先减小后增大，根据两点间直线最短的原理，当AP与PF在一条直线上时，即点P位于BC中点时，f(x)最小.所以易知时，；时，.所以是函数f(x)的极值点.且为极小值点.易知；又，所以.所以函数f(x)的值域是.【考点】函数的极值、函数的值域24.下列函数中，既是奇函数又在定义域上单调递增的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数在定义域上是增函数，不是奇函数；函数在定义域上是减函数；函数，在定义域上既是奇函数又是增函数；函数在定义域上不具有单调性. 故选C.【考点】函数的定义域，函数，，，的奇偶性、单调性.25.函数y＝的定义域是( )A．B．C．D．【答案】D．【解析】由得，故选D．【考点】函数的定义域．26.函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】 B【解析】由，得，所以选B.【考点】函数的定义域.27.已知函数，则________.【答案】【解析】，．【考点】分段函数求值，考查学生的基本运算能力．28.已知函数，且．（1）求实数的值；（2）解不等式．【答案】(1) ;(2)【解析】(1)首先判断出的范围，带入相应的函数解析式即可求出值；（2）根据（1）问中的值先分段求出的范围后再求并集即可.试题解析：（1）∵，∴，由得，解得 .(2) 由得：当时解得；当时解得，故的解集为 .【考点】1.分段函数；2.解不等式组.29.已知函数的值域为，则的取值范围是．【答案】【解析】函数，令，解得显然当时；当时，所以.【考点】二次函数的值域.30.符号表示不超过的最大整数,例如,,定义函数,给出下列四个命题：(1)函数的定义域为,值域为;(2)方程有无数个解;(3)函数是周期函数;(4)函数是增函数.其中正确命题的个数有（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】函数的定义域是,值域是,所以①错；②，③正确；当时，；当时，，所以不是增函数，所以④错.【考点】1.考查信息题的分析问题解决问题的能力；2.函数的定义域、值域、单调性、周期性.31.对于任意实数，表示不超过的最大整数，如.定义在上的函数，若，则中所有元素的和为（）A．65B．63C．58D．55【答案】C【解析】当时：，当时：，同理可得：时：；时：；时：；时：；时：；时：；时：，所以中所有元素的和为.【考点】1.取整函数；2.函数的值域.32.设函数的图像在处取得极值4.(1)求函数的单调区间；(2)对于函数，若存在两个不等正数，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.【答案】（1）递增区间是和，递减区间是；（2）不存在.【解析】（1）求导，利用极值点的坐标列出方程组，解出，确定函数解析式，再求导，求单调区间；（2）先假设存在“正保值区间”，通过已知条件验证是否符合题意，排除不符合题意得情况.试题解析：（1）， 1分依题意则有：，即解得 v 3分∴.令，由解得或，v 5分所以函数的递增区间是和，递减区间是 6分（2）设函数的“正保值区间”是，因为，故极值点不在区间上；①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点； 8分②若在上单调递增，即或，则，即，解得或不符合要求； 10分③若在上单调减，即1<s<t<3，则，两式相减并除得：，①两式相除可得，即，整理并除以得：，②由①、②可得，即是方程的两根，即存在，不合要求. 12分综上可得不存在满足条件的s、t，即函数不存在“正保值区间”。

高三抽象函数知识点

高三抽象函数知识点抽象函数是高中数学中的一个重要概念，它是函数概念的一种推广和扩展。

通过对抽象函数的学习和理解，不仅可以帮助学生更好地掌握函数的性质和变化规律，还可以为解决实际问题提供一种有效的数学工具。

本文将从定义、性质、图像及应用等方面介绍高三抽象函数的相关知识点。

一、定义抽象函数是指由一个自变量的集合A到一个因变量的集合B的映射关系。

这里的集合A和集合B可以是实数集、复数集、整数集等。

抽象函数可以用符号表示，如f(x)、g(x)等，其中x为自变量。

二、性质1. 定义域与值域：抽象函数的定义域即自变量的取值范围，可以是一个集合或一个区间。

而值域则表示抽象函数在给定定义域内所有可能的输出值所组成的集合或区间。

2. 单调性：抽象函数可能是递增的、递减的，也可能存在局部最值点。

通过对函数的微分或导数进行研究，可以确定函数的单调性。

3. 零点与极值点：抽象函数在定义域内可能存在零点，即使得f(x) = 0的自变量x的取值。

极值点是指函数在一段区间内的最大值或最小值，可以通过求导和求二阶导数的方法来判断。

4. 对称性：抽象函数可能具有对称性，如奇函数和偶函数。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)，可以通过对函数的变换来验证其对称性。

三、图像抽象函数的图像可以通过将自变量的取值代入函数中得到。

可以使用计算器或数学软件绘制抽象函数的图像，以便更直观地观察函数的性质和特点。

图像可以展示函数的增减性、零点、极值点等信息，有助于学生理解和记忆。

四、应用抽象函数广泛应用于数学和实际问题中。

在代数中，可以通过抽象函数来描述两个数的关系，如线性函数、二次函数等。

在几何中，抽象函数可以用来表示曲线、图形的方程，帮助解决与图形相关的问题。

在实际问题中，抽象函数可以用来建模，通过函数的性质和变化规律分析问题，求解最优解。

总结高三抽象函数是数学中重要的知识点，掌握好抽象函数的定义、性质和应用，对学生提高数学水平和解决问题具有重要的意义。