辖区警务资源的合理配置模型E

数学与统计学院

2011-2012学年第一学期课程论文

《数学建模*》

我们选择的题号是（从A/B/C/D/E中选择一项填写）：E

所属班级（请填写完整的全名）：2009级数学与应用数学（师范类）2班成员(学号/姓名/签名)： 1. 200902114092 杨小涛

2. 200902114064 董璐

3. 200902114088 但伟

4.

日期： 2011 年 12 月30日评阅成绩：

警务资源的合理配置模型

摘要

随着社会的改革和社会经济水的提高，人们对社会治安管理要求也越来越高。辖区警务工作的综合效能决定了一个辖区治安管理的水平。而辖区警务资源的合理配置是高效发挥警务综合效能的重要因素。辖区警务资源是警察用于辖区安全防范的人力和物质资源。传统的警力配置是基于人口的相对比例，同时依据地区治安等级进行数量方面的调整。但经研究并非单纯地增加警察人数和警力物资就可以使社会治安得到好转。如果没有科学的配置警务资源，则不但不会出现社会治安得到好转的情况还会造成国家资源的浪费。所以如何合理分配警务资源使警务资源在工作中发挥最大的效率是一个值得思考的问题。本文将研究讨论在辖区人口和犯罪率一定的情况下辖区警务资源合理利用与费用合理使用的现实问题。为了提高公安机关警务效率，我们深入分析了在人力和财力支持有限的情况下，如何解决当前警力不足的问题。

在假设辖区案件发生率一定和警察出动不受其他因素的影响后，我们通过全面分析影响辖区内各种案件发生率的因素，归纳出这个问题的关键点：只有当巡逻人员的频率越高，出警速度越高时，案件发生率才有可能达到最低。而巡逻频率是由巡逻人数和巡逻速度决定的，巡逻速度化为平均速度才方便计算。所以最后把问题转化为求出最大巡逻平均速度，才能使案件的犯罪发生率最低。

运用线行规划和lingo软件，我们得出，要使在给定条件下犯罪发生率最低，则需买23辆自行车，雇用7名巡辅，其中，3名巡警坐警车巡逻，23名警员骑自行车巡逻，1名警员步行巡逻，共花费资金49700。针对制定一个最佳的经费使用方案和辖区巡视方案，使当辖区内任一处有报警时，警务人员能在5分钟内赶到现场，我们运用作图的思想通过数据分析，逻辑推理，合理拼凑出整个辖区的区域分布图。我们根据警车、自行车与步行的不同速度，划分出三大区域分布图，最终做出一套花费资金最少的方案，需要用3辆警车，21辆自行车，4名辅警，共花费33900元。

【关键词】犯罪发生率线行规划 lingo软件区域分布图

一、问题重述

当前，我国正处在建立和完善社会主义市场经济体系，全面建设小康社会的关键时期，社会的政治、经济的发展举世瞩目，然而，从治安环境建设看：一方面市场经济负面效应所产生的治安问题在不断增多，另一方面市场经济对治安保障的需求也十分旺盛。

现有警务运行机制等方面存在的问题：一方面，随着改革的深入，人财物的大流动给犯罪分子异地作案、快速逃逸提供了条件，犯罪活动日益动态化、暴力化和恶性化，使公安机关侦查破案的时机稍纵即逝。另外，公安机关内部警种设立过多、分工过细，造成警种之间各自为政、互不干涉“内政”。在处理警务时，由于内部指挥系统不畅，不仅出警迟缓，而且常常产生警力交叉重叠现象，警力浪费不说，还在客观上导致推诿扯皮现象的发生，更谈不上形成合力了。传统的勤务管理模式遇到前所未有的挑战。只凭现有的警力完全达不到需求，需要在财力有限情况下进行对警力的补充，并进行警力资源的合理配置。警力资源合理配置的重点问题是要在满足给类需求的情况下，极大地发挥警力作用。

假设某个派出所现有警车3辆，警员30人，其中巡警20人巡防辅助人员可自主聘用，每位聘用人员月薪400元；新巡逻自行车可自主购买，一辆700元。在辖区内巡逻时警车时速40公里/小时，车上必有一名巡警和三名以下的巡防辅助人员；巡逻自行车（限1人骑乘）时速20公里/小时；步行巡逻时速10公里/小时。所里每年有下拨的警务经费5万元，全部用于聘人和购自行车。辖区平面图见图C-1，图中：边长为400米的小正方形为街区，A11-H17为各街区左上角街道交叉点位置编号，直线代表街道；C11至C17为商业街；H11至H17北边紧靠大山；D13 为派出所所在地；C16是银行所在地；F12和F16分别为学校和工厂的大门所在位置。请你制定一个最佳的经费使用方案和辖区巡视方案：

问题1：怎样使得辖区内的各种案件发生率最低；

问题2：当辖区内任一处有报警时，警务人员要在5分钟内赶到现场，至少需要经费多少元？

图C-1 辖区平面图

说明：线代表街道，边长为400米；C11至C17为商业街；H11至H17紧靠大山；

D13 为派出所所在地；C16是银行所在地。

二、问题背景

市场经济体制的建立，必然要求生产关系与之相适应，作为上层建筑的国家政权和执政党地位必须从多方面改革，才能与此相适应。市场经济使社会总财富和个人财富急剧增长，保护个人财富和生命不受侵害的群体意愿比以往任何时候都强烈。市场经济活动使社会各方联系越来越紧密。而在上层建筑改革时期，政治上不稳定的因素大量增多，急需良好的治安环境来作保障，以用于维护国家政权的稳定和执政党地位的巩固。

任何一起刑事、治安案件或治安灾害事故都是对公共安全的一个重大威胁。要求在生产经营过程中建立一种防爆炸、防诈骗、防贪贿、防盗窃、防抢劫、防经济纠纷、防火灾事故等全新的治安机制。直接影响社会稳定的治安管理和警务运行机制，加强治安管理，维护良好的社会秩调节社会关系的需求。市场经济的发展，导致各种社会关系发生了重大变化，由此各种关系之间发生了一轮又一轮新的矛盾。理顺这些关系，解决这些矛盾用传统的政治手段、文化手段、行政手段已不能完全奏效，呼唤着治安手段的介入，用治安手段理顺和解决其他手段替代不了的社会关系和矛盾。所有这些，都要求我们要改革现有的司法体制，特别秩序。

现有警务运行机制等方面存在的问题：一方面，随着改革的深入，人财物的大流动给犯罪分子异地作案、快速逃逸提供了条件，犯罪活动日益动态化、暴力化和恶性化，使公安机关侦查破案的时机稍纵即逝。另一方面，公安机关内部警种设立过多、分工过细，造成警种之间各自为政、互不干涉“内政”。在处理警务时，由于内部指挥系统不畅，不仅出警迟缓，而且常常产生警力交叉重叠现象，警力浪费不说，还在客观上导致推诿扯皮现象的发生，更谈不上形成合力了。传统的勤务管理模式遇到前所未有的挑战。从目前情况看，尚存在以下几个突出问题：一是警力不足，警力比约为1：1750，低于全国平均水平1：1360。二是警员素质较低。一方面是正规法律科班出身少，另一方面工作任务重，培训计划未落实，特别是适应新形势需要的培训没落实，警员素质的提高达不到时代发展的要求。三是警力资源配置不合理，首先是机构设置上小而不全，每个机构都有专人，占用很多警力，其次是体制上，沿用旧的体制，分地方公安、企业公安和林业公安等等，各隶属不同的主管部门，公安局对警务掌握、使用和管理职权不清。最后是科学管理上缺乏统一的、高效的管理体制，造成有限的警力资源浪费。对此进行改革警务制度、挖掘警力资源、合配置警力。

三、模型假设

1.案件发生率高低主要由巡查频率和出警速度有关。

2.不考虑以前就拥有的旧自行车和其他车辆。

3.假设每一起案例发生概率恒定，并相互独立。

4.乘警车、自行车和步行巡逻速度保持恒定，不受拐弯、缺油或其他意外故障影响。

5.双休日节假日巡逻人员照常上班。

6.巡逻人员一次可以单独处理一起突发案件。

7.巡逻人员在处理一起案件时又同时接到另一处报警，视为两起案例。

8.不考虑警车和自行车的维修费用和油费。

9.巡逻人员以所在位置为出发点，处理其巡逻区域内的案件。

10.巡逻人员在巡逻区域内来回巡逻。

11.不考虑巡逻人员下班与交办问题。

12.每个巡逻人员都能忠于职守，按时巡逻。

四、符号说明

符号符号说明

F-----------------------------------------------------------------辖区内案件发生率

f-----------------------------------------------------------------巡警巡查频率

v-----------------------------------------------------------------出警速度

v'-----------------------------------------------------------------巡查人员平均速度

t------------------------------------------------------------------巡查时间

x1----------------------------------------------------------------用于巡逻的警车数

x2----------------------------------------------------------------骑自行车巡逻人数

x3----------------------------------------------------------------步行的巡逻人数

x4----------------------------------------------------------------巡防辅助人员数

x5----------------------------------------------------------------乘警车巡逻人数

S1----------------------------------------------------------------警车5分钟行驶的路程

S2----------------------------------------------------------------骑单车5分钟行驶的路程

S3----------------------------------------------------------------步行5分钟行驶的路程

P（n）----------------------------------------------------------案件发生的概率

F’-----------------------------------------------------------------最大路程

五、问题分析

1、问题一分析：

通过对问题的分析，我们现在的目的就是要使案件发生率变到最低。而案件发生率的高低与巡警巡查率和出警的速度有关。当案件发生后，巡警要在最短的时间以最快的速度赶到案发地点。意思就是说要让案件发生率变低就得加大巡查频率和加快出警速度。

1.1那么又要如何才能使案件的发生率变的最低呢？

为使巡查频率最大，出警速度最快，那么就必须要有足够的警力人员。现在由于资金又是有限的，从而问题就发生了一定的转化。我们将问题转化为在有限的资金下又要能满足以上的条件。现在唯一可以使整体速度提升的量只有自行车的数量。关键是在于在只有5万元资金的限制条件下，如何分配使用这些资金使得各种案件的发生率变到最低，需要寻求配置巡警人员和自行车的最佳方案，也就是最佳经费使用方案。

我们已经知道了案件的发生率与巡查频率和出警速度成反比，从而得出以下大致函数图象：(如下图所示)

2、问题二分析：

问题二需要考虑的是当辖区内任意一处或多出发生案件时，警务人员都必须得在5分钟内赶到案发现场，这也是对出警速度的限制条件之一。所以说现在我们的考虑的就是在有限的资金下需要购买多少自行车，聘请多少辅助警力人员，以及如何安排警力才能满足任意一处有案件发生警务人员都能在5分钟内赶到现场的条件。

为了得到有效合理的方案，我们进行了一个假设。假设各处案件的发生是独立的，任意一处发生一起案件的概率为0.5。当有两处同时发生案件的概率就为0.5*0.5=0.25，同时发生三起案件的概率就为0.5*0.5*0.5=0.125，同时有四处发生案件时的概率为0.5*0.5*0.5*0.5=0.0625。显然，在辖区内发生四起案件属于一个小概率事件了。所以我们现在重点是考虑发生三起及以下的情况。要让警务人员在五分钟内赶到案发现场，首先得计算出警务人员在五分钟内所能到达的距离，也就是说五分钟内能行驶的路程是多少。在前面我们已经知道了警车、自行车以及人步行的速度分别为40公里每小时、20公里每小时、10公里每小时。

警车5分钟行驶的路程为：

S1=v*t=1/12×40=3.33 公里（对应可以走8条街道）

自行车5分钟行驶的路程为：

S2=v*t=1/12×20=1.667 公里（对应可以走4条街道）

人步行5分钟行驶的路程为：

S3=v*t=1/12×10=0.833公里（对应可以走2条街道）

现在我们将问题进一步的转化，将问题转化为在距离案发现场5分钟的形成范围之内都有警务人员巡逻。由于警车、自行车、步行在5分钟内所行驶的路程不相同，就对此进行了分类。但是即便是分类，也有多种方案，那么哪一种方案才是满足条件的最佳方案呢？

我们现在必须得通过计算出那种方案用时最短且又能保证巡逻的效率达到最高。由题意已经知道了每个小区域是小正方形且边长为400米。我们假设了以下一个公式：

单元格的巡逻时间=总巡逻路程∕速度通过公式将警车、自行车、人步行5分钟内所能巡查的范围进行了计算和分析。（1）警车五分钟内的巡逻范围可以是：

4×4区域 3×5区域

2×6区域1×7区域

自行车五分钟内可以跑的区域为：

1×3区域 2×2区域

表2（方案、路程、时间）

由表中的数据知，其中2×2区域跑的范围最大。

步行5分钟内可以到达的区域：

1×1区域

表3（方案、路程、时间）

经过上面的分析和证明，我们将整个辖区分成若干个小的区域，将其分给一个或者一个以上的巡警，要求是在承包的区域内，如果在任意时间任意地点发生案件都能在5分钟内赶到，同时要保证巡逻的效率最高。

我们通过计算单元格时间最小值来保证巡逻效率的最大得出结论。警车不论巡逻路线与它的效率无关，而自行车的巡逻路线中选取最优2×2巡逻方案，步行取2×1路线方案。

经过计算，我们得到整个辖区可以根据警车的巡逻范围分为三大区域，如下图所示：

区域分布图

注：设粉红色线围成的区域为1区，蓝色线围成的区域为2区，绿色线围成的区域为3区。

这样分，一是保证一辆警车能够在5分钟内到达所负责区域的每一条街道（每辆警车一个区域）；而是考虑商业街、银行、山区的重点防御。

六、模型建立

1.问题一的模型：

巡查频率越大，出警的速度越快，案件发生率越低。

∵f

F 1∝且v F 1∝,求),(v f F 的最小值。

∴v

f F *∝1 ∵)(321x x x f ++∝，v v '∝

))(/()(321332211'x x x t x t v x t v x t v v ++**+**+**=

=)/()(321332211x x x x v x v x v ++*+*+*

x x x f 321++= ∴x v x v x v v f F 3

3221111*+*+*=*∝ 求),(v f F 的最小值，转化为求)max(332211v v x v x v *+*+*即：

求)(332211'x v x v x v F *+*+*=的最大值

根据题意，该问题可用以下线性规划模型来描述：

以下为简化模型

目标函数：

x v F i i i ∑-=3

1' 约束条件为：

???????????>≤≤≤∑∑∑---05

1

5

15

1

x b x r b x q b x p i i c i i i b i i i a i i

六、模型求解

1、由于聘请一位警力辅助人员一年花费是400*12=4800元

目标函数：

x x x F 321'

102040max *+*+*=

???????????<≥≥≤-++=≤+x x x x x x x x x x x x t s 1

51

5112354420320500004800700. 用lingo 软件（程序见附录）可得结果：可得X 1为3，X 2为23.92727，X 3为0，X 4为6.927273，X 5为3，因为X 1,X 2,X 3,X 4,X 5均为整数，所以X 2=23，X 4=7时取得最大值，最终可得需聘请7名警力辅助人员，购买23辆自行车，可使辖区内案件发生率最低。

2、分析

由于我们采用的是承包制度，所以只需要保证1、2、3区内任意时间任意地点发生案件在5分钟内得到处理的就符合题意。由于案件的发生具有随机性，我们不能保证某个区内发生的案件数量，所以我们将对每一个区同时发生1、2、3…件案件分析和解决。

（1）当辖区内只有一起案件发生时，经分析，可以将7*6的区域用警车分成三个小的区域。在5分钟之内警车可以跑完8个街区，有7*1，4*4，2*6，3*5四种路线的走法。大区域分成的3个小区域，可以保证在任何一个街区只有一个案件发生时，在区域的警车可以在事发后按时到达案发现场。所以不需要购买自行车，也不需要招聘巡防辅助员，只靠20名巡警和3辆警车就能处理。

（2）辖区内有两起案件同时发生时：假设在上述三个区域中有第二个案件发生，此时，警车就不能同时处理，只能靠巡警或辅警骑自行车或步行处理。而通过计算可知，一辆自行车的花费是700元，聘用一名警力辅助人员一年的支出是4800元。而另外自行车的速度是人步行2倍，计算自行车与警员步行可知在花费相同情况下，自行车 （M/700*2）与 人步行（M/4800）相比较自行车大致是人的14倍，聘用一个警力辅助人员骑自行车，效果最佳花费也最大，此选择骑自行车更省钱。

通过计算可知：一辆警车5min 之内可以跑完8个街区，有7*1，6*2，5*3，4*4 等巡逻方式，为了节省资源，最大限地调动警车的巡逻范围，则应尽量选取5*3，4*4这些巡逻办法。

一辆自行车5min 之内可以跑完4个街区，可以有2*2，3*1的走法，而为了节省人力，2*2的方法更可取，因此，应更多的选择巡警按2*2的形式巡逻。7*6的区域可以分为9个2*2的小区块和2个1*3的小区块。

通过上述方式可以保证任意一个区域有两个案件发时，可以同时处理。而此时需 要增加自行车11辆，3辆警车，警车为按照发生案件时的布局，自行车按照下图琐事布局，不需要增加巡辅，共计花费11*700=7700元。而要使警车发挥最大效果，则需使用4*4和5*3的方案，可得4*4的巡防两次，5*3的一次，剩下的有自行车巡逻，尽量用2*2布局，巡逻方式及路线如下图所示：

区域分布图1

注：图中红、蓝、黄框表示警车巡逻范围，黑色小方框表示一辆自行车在所在单元格巡逻的范围。

即：4*4（巡防两次），下边5*3（1次）,右边两个2*2（均两次），下边3个2*2(一次)，还有两个3*1（1次），绿色区域3*1（1次）。

此时，所需自行车数为10辆。花费为10*700=7000元。

考虑到商业街内，警车不易出入，我们将警车往下安排，即让自行车在商业街巡逻更为合理。而且银行那边比较危险，如果让骑车的过去，显得太不给罪犯面子，让警车在那边防范，更具有震撼作用，让自行车在学校周围防范，也不至于让孩子受到惊吓。（3）当一个小区内有3起案件同时发生时，因为题目所求为花费最少的情况满足条件，则让警车发挥其最大效果，让3 辆警车在4*4 的小区域当中巡逻，而其它区域，用自行车布局通 5个2*2 的小区域和2个 1*3 的小区域划分。使每个区域巡防三次。

使整个区域任何三地发生案件都能同时处理，巡防路线如下图所示，

区域分布图2

其中整个红色 4*4 区域由三辆警车巡逻，五个 2*2和两个1*3两区域各由三辆自行车巡逻有车辆均按街道路线在自己范围内自由所巡逻。共需21辆自行车，花费14700 元，

又人员数共为24 ，所以还需雇佣4名辅警，则花费4800*4=19200元，则共计花费33900元。如果按照两起案件同时发生时的最优解，需要再在整个区域之上增加一层自行车覆盖。在这种情况之下需要21辆自行车，与前面方法所花经费相同，也是33900元。（4）因为同一区发生4件案件时的概率是P(4)=1∕24=0.0625，发生几率比较小。所以同一区发生4件及4件以上的就不考虑了。

七、模型评价

●模型的优点：

1.模型进行了周到详细的分析与案件发生率有关的各种因素，引入“最大巡查速度

‘的概念，利用了专业的数学软件lingo求解，科学合理。

2.在模型中美个巡警都划分了明确的巡查范围，职责明确，便于熟悉环境及与任命

百姓的交流。

3.在模型中巡警全部运用自行车，国内各大机构研究表明，自行车警方便快捷，可

以更好的深入群众中且机动性较强。

4.为确保安全，模型中尽可能提高应对案件发生能力。他们假定了再一个自行车巡

查区域同时发生三起案件时这种小概率事件，也都能在5分钟内处理，可万无一失。

5.模型中对银行、学校、商业街、山区重点区域加强了巡逻；通过事件的合理协调，

使其巡逻周期最小，确保安全。还预留了3名巡警，以备协调全局和增援之用。

6.本文建立的模型都比较简单，对数学知识的要求不高，通俗易懂。

●模型缺点：

由于时间有限，模型忽略了现实中很多实际情况，比如在考虑问题时以白天工作为基础，未考虑到夜间，每辆警车上只配备一名巡警等。

八、模型的改进与推广

（一）模型的改进

1.在模型中，根据题目要求，我们只对在保证案件发生率最低的情况下，使资金得

到最优化的使用进行了研究。在得到最优化的聘用人员数和购买自行车数后，为对如何具体安排这些资源进行分析。实际上，不同的安排会不有不同案件发生率，若给出具体的巡逻方案更好。

2.在模型中，按照题意，重点考虑的是节假日等人员流动频繁，易发生案件的时期，

给出了只是巡逻人员在工作期间能够5分钟达到案发地点。事实上，每个巡逻人员最大工作时间以上午8点到晚上8点为例，也不过12个小时。不能确保在24小时内的5分钟出警要求。所以，应该把巡逻人员分成2到三个班次，实行分班巡逻，这样更符合现实。

（二）模型的推广

该模型是一个对有限的资源进行优化配置的模型，在实际生活中能得到广泛的应用。例如校园内的保安人员对校园安全的巡逻地点和巡视路线规划，物流公司货物配送送路线设计等。本模型还可以用于城镇规划，计算机网络通信，邮递员送邮件问题，交通运输等众多领域。

九、参考文献

[1] 盛骤，谢式千，概率论与数理统计，北京：高等教育出版社，2003

[2] 姜启源，数学模型（第二版），北京：高等教育出版社，1992

[3]北京市统计局.北京市2006年国民经济和社会发展统计公报[Z].2007-1-24.

[4]上海市统计局.上海市2006年国民经济和社会发展统计公报

[Z].2007-2-07.2011-7-9

[5]姜启源谢金星叶俊编数学模型（第三版）北京高等教育出版社2003年8月红绿灯下的交通流

附录：

1.用lingo软件编写的求解最优解的程序：

max=40*x1+20*x2+10*x3;

700*x2+4800*x4<=50000;

x4=x5+x2+x3-20;

x1>=0;

x1<=3;

x5-x1<3*x1;

x5>=x1;

运行结果：

Global optimal solution found.

Objective value: 598.5455 Infeasibilities: 0.000000 Total solver iterations: 3

Variable Value Reduced Cost

X1 3.000000 0.000000

X2 23.92727 0.000000

X3 0.000000 7.454545

X4 6.927273 0.000000

X5 3.000000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 598.5455 1.000000

2 0.000000 0.3636364E-02

3 0.000000 -17.45455

4 3.000000 0.000000

5 0.000000 22.54545

6 9.000000 0.000000

7 0.000000 -17.45450