高考核心素养提升之九 数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用

高考核心素养提升之九

数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用

1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题；掌握数列运算法则；探究运算思路；求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.

2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.

类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；

(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .

【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，

则m ＝________.

(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.

解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.

又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，

显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.

代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.

(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .

由已知条件，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192，

S 奇＝162.

又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－162

6

＝5. 答案 (1)10 (2)5

类型2 等比数列两个性质的应用

在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)

当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).

【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )

A.18

B.－18

C.578

D.558

解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.

(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 (1)C (2)A

类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用

(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .

(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).

【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.

(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬

⎫

1a n 的前5项和为________.

解析 (1)由题意，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，

所以q ＝

S 偶S 奇＝－160

－80

＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.

所以数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1，公比为1

2的等比数列，其前5项和为

1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125

1－12

＝3116. 答案 (1)2 (2)31

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分层训练题

A 级 基础巩固

一、选择题

1.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1

4，则公比q 等于( ) A.－12

B.－2

C.2

D.12

2.(2019·马鞍山质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2

B.4

C.92

D.6

3.(2020·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a

b ＝( ) A.－3

B.－1

C.1

D.3

4.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则S n ＝a 21－a 22＋a 23－a 24＋…＋a 22n －1－a 2

2n 等于

( ) A.1

3(2n －1) B.1

5(1－24n ) C.1

3

(4n －1)

D.1

3

(1－2n ) 5.(2020·湘赣十四校联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.96里

二、填空题

6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1

2a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝

________.

7.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2

b 2

＝________.

8.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________.