高考核心素养提升之九 数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用

高考核心素养提升之九
数学运算、数学抽象——等差(比)数列性质的应用
1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的一种素养.本系列数学运算主要表现为：理解数列问题；掌握数列运算法则；探究运算思路；求得运算结果.通过对数列性质的学习，发展数学运算能力，促进数学思维发展.
2.数学抽象是指能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则，能够在特例的基础上归纳形成简单的数学命题，能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法，体会其中的数学思想.
类型1 等差数列两个性质的应用 在等差数列{a n }中，S n 为{a n }的前n 项和： (1)S 2n －1＝(2n －1)a n ；
(2)设{a n }的项数为2n ，公差为d ，则S 偶－S 奇＝nd .
【例1】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，
则m ＝________.
(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.
解析 (1)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.
又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，
显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.
代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.
(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .
由已知条件，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎨⎧S 偶＝192，
S 奇＝162.
又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－162
6
＝5. 答案 (1)10 (2)5
类型2 等比数列两个性质的应用
在等比数列{a n }中，(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a n ·a m ＝a p ·a q ；(2)
当公比q ≠－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).
【例2】 (1)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A.6 B.5 C.4 D.3 (2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )
A.18
B.－18
C.578
D.558
解析 (1)数列{lg a n }的前8项和S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.
(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18，所以a 7＋a 8＋a 9＝18. 答案 (1)C (2)A
类型3 等比数列前n 项和S n 相关结论的活用
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . 若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .
(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m (q 为公比).
【例3】 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.
(2)已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬
⎫
1a n 的前5项和为________.
解析 (1)由题意，得⎩⎨⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎨⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，
所以q ＝
S 偶S 奇＝－160
－80
＝2. (2)设等比数列{a n }的公比q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.
所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1，公比为1
2的等比数列，其前5项和为
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫125
1－12
＝3116. 答案 (1)2 (2)31
16
分层训练题
A 级 基础巩固
一、选择题
1.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4，则公比q 等于( ) A.－12
B.－2
C.2
D.12
2.(2019·马鞍山质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A.2
B.4
C.92
D.6
3.(2020·深圳一模)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ，则a
b ＝( ) A.－3
B.－1
C.1
D.3
4.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则S n ＝a 21－a 22＋a 23－a 24＋…＋a 22n －1－a 2
2n 等于
( ) A.1
3(2n －1) B.1
5(1－24n ) C.1
3
(4n －1)
D.1
3
(1－2n ) 5.(2020·湘赣十四校联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( ) A.6里 B.12里 C.24里 D.96里
二、填空题
6.等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3，2a 2成等差数列，则a 13＋a 14a 14＋a 15＝
________.
7.若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2
b 2
＝________.
8.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，已知a 2a 4＝16，S 3＝28，则当a 1a 2…a n 最大时，n 的值为________.
三、解答题
9.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)记S n为{a n}的前n项和.若S m＝63，求m.
10.(2020·陕西省级名校联考)已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n－2a n＝n－4.
(1)证明：{S n－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{S n}的前n项和T n.
B级能力提升
11.(2020·东北三省四校联考)已知数列{a n}为正项等比数列，a2＝2，a3＝2a1，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝()
A.(2＋2)[1－(2)n]
B.(2＋2)[(2)n－1]
C.2(2n－1)
D.2(1－2n)
12.已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4＝a3，则使得T n>1的n的最小值为()
A.4
B.5
C.6
D.7
13.(2020·华大新高考联盟质检)设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3a11＝2a25，且S4＋S12＝λS8，则λ＝______.
14.(开放题)(2020·山东模考)在①b1＋b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由.
设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，________，b1＝a5，b2＝3，b5＝－81，是否存在k，使得S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
C级创新猜想
15.(新背景题)(2019·宁德质检)某市利用第十六届省运会的契机，鼓励全民健身，从2018年7月起向全市投放A，B两种型号的健身器材.已知7月份投放A型健身器材300台，B型健身器材64台，计划从8月起，A型健身器材每月的投放量
均为a 台，B 型健身器材每月的投放量比上一月多50%，若12月底该市A ，B 两种健身器材投放总量不少于2 000台，则a 的最小值为( ) A.243
B.172
C.122
D.74
答案解析
1.解析 由题意知q 3＝a 5a 2
＝18，即q ＝1
2.
答案 D
2.解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2
＝0，解得
a 4＝2.
又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4. 答案 B
3.解析 ∵等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1＋b ， ∴a 1＝S 1＝a ＋b ，a 2＝S 2－S 1＝3a ＋b －a －b ＝2a ， a 3＝S 3－S 2＝9a ＋b －3a －b ＝6a ，
∵等比数列{a n }中，a 22＝a 1a 3，
∴(2a )2＝(a ＋b )×6a ，解得a
b ＝－3. 答案 A
4.解析 在数列{a n }中，由a n ＋1＝2a n ，a 1＝1，得a n ＋1
a n ＝2，
所以{a n }是等比数列，所以a n ＝2n －1，
则S n ＝a 21－a 22＋a 23－a 24＋…＋a 22n －1－a 2
2n
＝1－4＋16－64＋…＋42n －2－42n －1 ＝1－（－4）2n 1－（－4）＝15(1－42n )＝15(1－24n ). 答案 B
5.解析 由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则q ＝1
2，依题意有a 1（1－q 6）1－q
＝378，解得a 1＝
192，则a 6＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫
125
＝6，最后一天走了6里，故选A.
答案 A
6.解析 设数列{a n }的公比为q .由题意得a 1＋2a 2＝a 3， 则a 1(1＋2q )＝a 1q 2，q 2－2q －1＝0，所以q ＝1＋2(舍负). 则
a 13＋a 14a 14＋a 15＝1
q
＝2－1.
答案
2－1
7.解析 {a n }为等差数列，a 1＝－1，a 4＝8＝a 1＋3d ＝－1＋3d ，∴d ＝3，∴a 2＝a 1＋d ＝－1＋3＝2.{b n }为等比数列，b 1＝－1，b 4＝8＝b 1·q 3＝－q 3，∴q ＝－2，∴b 2＝b 1·q ＝2，则a 2b 2
＝2
2＝1.
答案 1
8.解析 由数列{a n }是各项为正数的等比数列，且a 2a 4＝16，可得a 3＝4.又S 3＝a 3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q 2＋1q ＋1＝28，所以1q 2＋1q ＋1＝7，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋3＝0，解得q ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫
q ＝－13舍去，故a n ＝a 3q n －3＝25－n ，则a 1a 2…a n ＝24×23×…×25－n ＝2（9－n ）n
2
，所以当
（9－n ）n
2取得最大值时，a 1a 2…a n 取得最大值，此时整数n ＝4或5. 答案 4或5
9.解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1. (2)若a n ＝(－2)
n －1
，则S n ＝1－（－2）n
3
.
由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解. 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.
10.(1)证明 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)， 所以S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，
则S n ＝2S n －1－n ＋4(n ≥2)，
所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2](n ≥2)， 又由题意知a 1－2a 1＝－3， 所以a 1＝3，则S 1－1＋2＝4，
所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，
于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4（1－2n ）1－2
＋n （n ＋1）2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82.
11.解析 由{a n }为正项等比数列，且a 2＝2，a 3＝2a 1，可得a 1＝1，公比q ＝2，所以数列{a n a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2（1－2n ）
1－2＝2(2n －1).故选C. 答案 C
12.解析 ∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 2a 4＝a 3，∴a 2
3＝a 3，∴a 3
＝1.又∵q >1，∴a 1<a 2<1，a n >1(n >3)，∴T n >T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1<1，T 2＝a 1·a 2<1，
T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2<1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1<1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6
＝a 6>1，故n 的最小值为6. 答案 C
13.解析 ∵数列{a n }是等比数列，a 3a 11＝2a 25，
∴a 27＝2a 25，∴q 4＝2，
∵S 4＋S 12＝λS 8，∴a 1（1－q 4）1－q ＋a 1（1－q 12）1－q ＝λa 1（1－q 8）1－q ，
∴1－q 4＋1－q 12＝λ(1－q 8)， 将q 4＝2代入计算可得λ＝8
3. 答案 83
14.解 ∵等比数列{b n }中b 2＝3，b 5＝－81，
∴b n＝－(－3)n－1，b1＝－1，∴a5＝b1＝－1.
若S k>S k＋1，则只需S k>S k＋a k＋1，
即a k＋1<0，同理，若S k＋1<S k＋2，
则只需S k＋1<S k＋1＋a k＋2，即a k＋2>0.
若选①：b1＋b3＝a2时，a2＝－1－9＝－10，
∴a n＝3n－16.
当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2成立.若选②：a4＝b4＝27，∵a5＝－1，
∴{a n}为递减数列，故不存在a k＋1<0，a k＋2>0，
即不存在k，使得S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2成立.
若选③：S5＝－25，S5＝5（a1＋a5）
2＝5a3＝－25，
∴a3＝－5.∴a n＝2n－11.
当k＝4时，a5<0，a6>0，S k>S k＋1，且S k＋1<S k＋2成立.
15.解析将每个月的投放量列表如下：
则有64×(1.5＋1.52＋1.53＋1.54＋1.55)＋64＋300＋5a≥2 000，解得a≥74，所以a的最小值为74，故选D.
答案D。