导数的概念及其意义、导数的运算

二、易错易混 3．如图所示为函数 y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么 y＝f(x)， y＝g(x)的图象可能是( )
答案：D 解析：由 y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减， 说明函数 y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除 A， C；又由图象知 y＝f′(x)与 y＝g′(x)的图象在 x＝x0 处相交，说明 y ＝f(x)与 y＝g(x)的图象在 x＝x0 处的切线的斜率相同，故可排除 B，故 选 D.
微点 3 由直线与曲线相切求参数(或参数范围) [例 3] 函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切 线，则实数 a 的取值范围是( ) A．(－∞，－2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
答案：B 解析：函数 f(x)＝ln x＋ax 的图象存在与直线 2x－y＝0 平行的切 线，即 f′(x)＝2 在(0，＋∞)上有解．所以 f′(x)＝1x＋a＝2 在(0，＋ ∞)上有解，则 a＝2－1x.因为 x>0，所以 2－1x<2，所以 a 的取值范围是 (－∞，2).
答案：C 解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝2f′(1)＋1x， ∴f′(1)＝2f′(1)＋1，∴f′(1)＝－1.
2．[选修二·P18 A 组 T6]曲线 y＝1－x＋2 2在点(－1，－1)处的切线 方程为________．
答案：2x－y＋1＝0 解析：∵y′＝x＋222，∴y′|x＝－1＝2.∴所求切线方程为 2x－y＋1 ＝0.
5．复合函数的导数 复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系 为 y′x＝_y_′__u·_u_′__x，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 数的乘积．
【教材提炼】
一、教材改编 1．[选修二·P18 A 组 T5]已知函数 f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则 f′(1)＝ () A．e B．1 C．－1 D．－e
f(x)＝ex f(x)＝ax(a>0，a≠1)
f(x)＝ln x
f(x)＝logax(a>0， a≠1)
导函数
f′(x)＝____0____ f′(x)＝__α_x_α_－_1__ f′(x)＝__c_o_s_x___ f′(x)＝__－__s_in_x__ f′(x)＝____ex____ f′(x)＝__a_x_l_n_a__
类题通法
求参数值时，一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构 造方程组求解.
微点 4 两曲线的公切线 [例 4] 若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝ln x＋2 的切线，也是曲线 y ＝ln(x＋1)的切线，则 b＝________.
答案：1－ln 2 解析：设 y＝kx＋b 与 y＝ln x＋2 和 y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1， ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线方程分别为 y－ln x1－2＝x11(x－x1)， y－ln(x2＋1)＝x2＋1 1(x－x2)，化简得 y＝x11x＋ln x1＋1，y＝x2＋1 1x－x2x＋2 1
4．若曲线 f(x)＝acosx 与曲线 g(x)＝x2＋bx＋1 在交点(0，m)处有 公切线，则 a＋b＝________.
答案：1 解析：依题意得，f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，f′(0)＝g′(0)， 即－asin 0＝2×0＋b，得 b＝0.又 m＝f(0)＝g(0)，即 m＝a＝1，因此 a ＋b＝1.
答案：B 解析：∵f′(x)＝2ex＋(2x－a)ex＝(2x＋2－a)ex，∴f′(1)＝(4－a)e ＝3e，解得 a＝1，即 f(x)＝(2x－1)ex，f(0)＝－1，则 f′(x)＝(2x＋1)ex， ∴f′(0)＝1，∴曲线 y＝f(x)在点 x＝0 处的切线方程为 y＋1＝1×(x－ 0)，即 x－y－1＝0.
第1节 导数的概念及其 意义、导数的运算
【教材回扣】
1．导数与导函数的概念 (1)一般地，函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率是Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0，我们称它为函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数，记作 _f′__(_x_0)_或__y_′__|_x＝_x0 ___，即 f′(x0)＝Δlixm→0 ΔΔyx＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0. (2)如果函数 y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导 数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 y＝f(x)在开区间(a， b)内的导函数．记作 f′(x)或 y′.
y0＝x0ln x0， y0＋1＝1＋ln x0x0，
解得xy00＝ ＝10.，
∴直线 l 的方程为 y＝x－1，即
x－y－1＝0.
类题通法 (1)求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切 线上求解． (2)求曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线方程时，点 P(x0，y0)不一定 是切点.
x′＝cos
x′ex－cos ex2
xex′＝－sin
x＋cos ex
x .
3．f(x)＝x(2 019＋ln x)，若 f′(x0)＝2 020，则 x0＝________.
答案：1 解析：f′(x)＝2 019＋ln x＋x·1x＝2 020＋ln x，由 f′(x0)＝2 020， 得 2 020＋ln x0＝2 020，∴x0＝1.
2．导数的几何意义
函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线的斜率 k，即 k＝f_′__(_x0_)___．
3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数
f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
1 f′(x)＝___x_____
1 f′(x)＝__x_ln__a___
4.导数的运算法则 若 f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝__f_′__(x_)_±_g_′__(x_)____； (2)[f(x)·g(x)]′＝_f_′_(_x_)_g_(x_)_＋__f(_x_)g_′__(_x_) ______； (3)gfxx′＝____f′___x_g__[xg_－_x_f_]2_x_g_′___x__ (g(x)≠0)．
答案：C 解析：由题意知 a＝0，∴y＝fxx2＝x3x－2 x＝x－1x，∴y′＝1＋x12， ∴y′|x＝1＝2，故所求切线方程为 y－0＝2(x－1)，即 y＝2x－2.
(2)[2020·山东潍坊阶段性监测]已知 f(x)为偶函数，当 x<0 时，f(x) ＝ln－x x，则曲线 y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是________．
4．[2020·山东省实验中学第一次诊断性考试]设 f(x)＝aex＋bln x， 且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，则 a＋b＝________.
答案：1
解
析
：
f′(x)
＝
aFra Baidu bibliotekx
＋
b x
，
∴
f′1＝ae＋b＝e f′－1＝ae－1－b＝1e
，解得
a＝1， b＝0，
∴a＋b＝1.
类题通法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简， 然后求导，尽量避免不必要的商的求导法则，这样可以减少运算量， 提高运算速度减少差错． (2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时可进行换元.
＋ln(x2＋1)，依题意，xl1n1＝x1x＋2＋11＝1，－x2x＋2 1＋lnx2＋1，
解得 x1＝12，
从而 b＝ln x1＋1＝1－ln 2.
类题通法 根据直线与曲线相切设切点，列方程组，从而可求解.
【跟踪训练】 1．已知函数 f(x)＝(2x－a)ex，且 f′(1)＝3e，则曲线 y＝f(x)在 x ＝0 处的切线方程为( ) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x－3y＋1＝0 D．x＋3y＋1＝0
答案：y＝－x＋1 解析：当 x>0 时，则－x<0，∴f(－x)＝l－n xx，又 f(－x)＝f(x)，∴f(x) ＝l－n xx(x>0)．∴f′(x)＝－1－xl2n x，∴f′(1)＝－1，∴所求切线方程为 y＝－x＋1.
类题通法 曲线在点 P(x0，f(x0))处的切线方程是 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).
答案：C 解析：由题意可知 y′＝2cos x－sin x，则 y′|x＝π＝－2.所以曲线 y ＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为 y＋1＝－2(x－π)，即 2x ＋y＋1－2π＝0，故选 C.
6．[2019·全国Ⅰ卷]曲线 y＝3(x2＋x)ex 在点(0,0)处的切线方程为 ________．
微点 2 未知切点求切线方程 [例 2] 已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝f(x)相切，则直线 l 的方程为________．
答案：x－y－1＝0
解析：∵点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，∴设切点为(x0，y0)，
又∵f′(x)＝1＋ln x，∴直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.∴由
答案：y＝3x 解析：∵y′＝3(x2＋3x＋1)ex，∴曲线在点(0,0)处的切线斜率 k＝ y′|x＝0＝3，∴曲线在点(0,0)处的切线方程为 y＝3x.
题型一 导数的运算[自主练透]
1．[多选题]下列求导运算正确的是( )
A．ln1x′＝x C．(xcos x)′＝cos x－xsin x
B．(x2ex)′＝x(x＋2)ex D.x－1x′＝1－x12
答案：BC
解析：A 项ln1x′＝－ln12x·(ln x)′＝－xln12x； D 项x－1x′＝1＋x12.
2．已知 f(x)＝coesx x，则 f′(x)＝________.
答案：－sin
x＋cos ex
x
解析：f′(x)＝coesx
3．直线 y＝kx＋1 与曲线 y＝x3＋ax＋b 相切于点 A(1,3)，则 2a＋b 的值等于( )
A．2 B．－1 C．1 D．－2
答案：C
解 析 ： 依 题 意 知 ， y′ ＝ 3x2 ＋ a ， 则 133×＋1a2＋＋ba＝＝3k，， k＋1＝3，
解得
ab＝ ＝－3，1， k＝2，
所以 2a＋b＝1，故选 C.
2．已知函数 f(x)＝xln x，若直线 l 过点(0，－1)，并且与曲线 y＝ f(x)相切，则直线 l 的方程为( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0
答案：B 解析：因为点(0，－1)不在曲线 y＝f(x)上，所以设切点坐标为(x0， y0)，又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以yy00＝ ＋x10＝lnx10＋，ln x0x0， 解得xy00＝ ＝10， . 所以切点坐标为(1,0)，所以 f′(1)＝1＋ln 1＝1，所以直线 l 的方程为 y＝x－1，即 x－y－1＝0，故选 B.
题型二 导数的几何意义[微点探究] 微点 1 已知切点求切线方程 [例 1] (1)[2020·山东新高考质量测评联盟联考]设函数 f(x)＝x3＋
ax2＋(a－1)x，(a∈R)为奇函数，则曲线 y＝fxx2在点(1,0)处的切线方程 为( )
A．y＝－2x＋2 B．y＝－x＋1 C．y＝2x－2 D．y＝x－1
4．设 f(x)＝ln(3－2x)＋cos 2x，则 f′(0)＝________.
答案：－23 解析：因为 f′(x)＝－3－22x－2sin 2x，所以 f′(0)＝－23.
三、走进高考 5．[2019·全国Ⅱ卷]曲线 y＝2sin x＋cos x 在点(π，－1)处的切线方 程为( ) A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0