高考数学第一轮复习 导数与复数训练题

高考数学第一轮复习 导数与复数训练题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 曲线x y e =在点2
(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
Ａ．294
e
Ｂ．2
2e
Ｃ．2
e
Ｄ．2
2
e
2. 复数
2
1
(1i)+等于
A ．
1i 2
B ．1i 2
-
C ．
12
D ．12
-
3. .若复数
i
i
a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为
A .-6
B .13
C .
3
2
D .13
4. 已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，
()0()0f x g x ''>>，，则0x <时 A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<，
5. 设复数121212z i z bi z =+=+⋅，，若z 为实数，则b=
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．－2
6．已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都
有()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为 A ．3 B ．52 C ．2 D ．3
2
7．2
()f x ax bx c =++的图象开口向上，且顶点在第二象限，则()y f x '=的图象大概是：
B C D
8. 若函数1()ax f x e b
=-的图象在x=0处的切线l 与圆C ： 2
21x y 相离，则P(a ，b)与圆
C 的位置关系是
A ．在圆内
B ．在圆外
C ．在圆上
D ．不能确定
9.对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '≥（）0，则必有
A.f （0）＋f （2）<2 f （1）
B. f （0）＋f （2）≤2 f （1）
C. f （0）＋f （2）≥2 f （1）
D. f （0）＋f （2）>2 f （1） 10.函数x x x f ln 2)(2
-=的单调减区间是 A ．]1,0(
B ．),1[∞+
C ．]1,(--∞及]1,0(
D ．]1,0()0,1[及-
11. 设2
:()e ln 21x
p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
12. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能准确的是
二、填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

13. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1
22
y x =+，则
(1)(1)f f '+=＿＿＿＿．
14. 设()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x >时，()()0f x xf x '+>，且(1)0f =，则不等式()0xf x >的解集为
15.设x 、y 为实数，且i
i y i x 315211-=-+-，则x +y =_________ 16.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,
0)()()()(>'+'x g x f x g x f
且0)2
1(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是___________________=
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。

17.已知()()2cos ln f x x =，求()'1f 的值
18. 设a ≥0，f (x )=x －1－ln 2 x ＋2a ln x （x >0）. （1）令F （x ）＝xf ＇（x ），讨论F （x ）在（0.＋∞）内的单调性并求极值； （2）求证：当x >1时，恒有x >ln 2x －2a ln x ＋1.
19. 已知函数22
21
()()1
ax a f x x x -+=∈+R ，其中a ∈R ． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值．
20. 已知函数()e x
f x kx x =-∈R ，
（1）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围；
（3）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1
2
(1)(2)()(e 2)()n n F F F n n +*
>+∈N ．
21. 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为2r ，短半轴长为r ，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半椭圆的短轴，上底CD 的端点在椭圆上，记2CD x =，梯形面积为S ．
（1）求面积S 以x 为自变量的函数式，并写出其定义域； （2）求面积S 的最大值．
22.设函数()x f 与数列{}n a 满足关系：(1) a 1.>a, 其中a 是方程()x x f =的实根，(2) a n+1=()n a f ( n ∈N + ) ,如果()x f 的导数满足0<()x f
'
<1
（1）证明： a n >a （2）试判断a n 与a n+1的大小，并证明结论。

2007－2008学年度高三第一轮复习训练题
数学（二十）（理科，导数与复数）参考答案
一 D BA B D CCACA B
D
A
二 13. 3 14. （－1，0）∪（1，+∞） 15. 4 16. )2
1,0()21,( --∞
三．17．解：()()()'
12cos ln sin ln f
x x x x =-•
⎡⎤⎣⎦=()1
sin 2ln x x -• ()'10f ∴= 18．解：（1）根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，，
故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，
于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，，
列表如下：
x (02)， 2
(2)+，∞ ()F x ' - 0
+ ()F x
极小值(2)F
故知()F x 在(02)，内是减函数，在(2)+，∞内是增函数，所以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．
（2）证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．
19．（1）解：当1a =时，22()1x f x x =
+，4
(2)5
f =， 又222222
2(1)2222()(1)(1)x x x x f x x x +--'==++·，6
(2)25
f '=-． 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46
(2)525
y x -=--，
即62320x y +-=．
（2）解：222222
2(1)2(21)2()(1)
()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．
因为0a ≠，以下分两种情况讨论．
（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11
x a
=-，2x a =．当x 变化时，()()f x f x '，的变
所以()f x 在区间a ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，
∞，()a +，∞内为减函数，在区间a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，内为增函数．
函数()f x 在11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭，
函数()f x 在21
x a
=处取得极大值()f a ，且()1f a =．
（2）当0a <时，令()0f x '=，得到121
x a x a
==-，，当x 变化时，()()f x f x '，的变化
所以()f x 在区间()a -，∞，1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，+∞内为增函数，在区间1a a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，
内为减函数． 函数()f x 在1x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．
函数()f x 在21
x a
=-
处取得极小值1f a ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
． 20．解：（1）由e k =得()e e x f x x =-，所以()e e x f x '=-．
由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，
， 由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，．
（2）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x f x k k x '=->->≥． 此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．
'
依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，．
综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （3）()()()e e x x F x f x f x -=+-=+，
12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，
11(2)(1)e 2
()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>
+
由此得，21[(1)(2)
()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e 2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+
故1
2
(1)(2)()(e 2)n n F F F n n +*>+∈N ，． 21．解：（1）依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系O xy -（如图），则点C 的横坐标为x ．
点C 的纵坐标y 满足方程22
221(0)4x y y r r
+=≥，
解得)y x r =<<
221
(22)22
S x r r x =+-
222()
x r r x =+-，
其定义域为{}
0x x r <<．
（2）记222()4()()0f x x r r x x r =+-<<，
， 则2()8()(2)f x x r r x '=+-． 令()0f x '=，得1
2
x r =． 因为当02r x <<时，()0f x '>；当2
r
x r <<时，()0f x '<，所以12f r ⎛⎫
⎪⎝⎭
是()f x 的最大值．
所以，当1
2
x r =
时，S 22r
=．
即梯形面积S 2
．
22．证明：(1)当n=1时，由题设知a 1> a 成立。

假设n=k 时, a k > a 成立 (k +
∈N )， 由()x f
'
>0知()x f 增函数，则()()a f a
f k >，
又由已知：()1+=k k a a f ()a f =a ， 于是a k+1> a ，即对n=k+1时也成立， 故 对任意正整数n, a n > a 都成立。

解：(2)令()()x f x x g -=则()()x f
x g '
'
1-=
()1<<x f 0 ' ()0'>x g 故()x g 为增函数 则 当x> a 时,有()()a g x g > 而()()0=-=-=a a a f a a g () x g 0>∴ 即()x f x >
由(1)知a n > a ()1+=>∴
n n n a a f a (+∈N n ) 故 对任意正整数n 都有a n > a n+1。