小题之王——构造函数解决抽象函数问题汇总(一题多解)(第二部分).docx

构造函数解抽象函数汇总版(第二部分)2。唤3】

其次，我们先从第二种思路：构造特殊函数来解答这12个例题:

[例1]. (2007陕西卷理科第11题)已知函数/(x)是定义在(0,+oo) ±的非负可导函数，且满足寸(x) + /(x)W(),

对任意正数心b,若a

A. cij\b) < bf(a)B"/⑷ < af(b) C. af(a) < D. bf\b) < f(a) 解法二：(构造具体函数法)

构造函数/(x)=-,此函数满足题意，因为0

X

由不等式的性质同向同正可乘性得af(b) < bf(a)选A

[例3]. (2015新课标II卷理科第12题)设函数f(x)是奇惭数f(gwR)的导函数，/(—1) = 0,当兀>0时,

xf \x) -/(x) < 0，则使得/(%) > 0成立的X的取值范围是

A.(—00,—l)u(0,1)

B. (—1,0)u(l,+00) C・(-oo-l)u(-l,0) D. (0,l)u(l,+oo)

解法二：(构造具体函数法)

构造函数f(x) = x-x3，此函数满足题目的所有条件，/'(兀)=1-3〒, 由/(朗〉0可得兀一卡>0,解得(-oo-l)u(O,!) 选A

[例5] •已知函数/(劝的导函数为广⑴，且3/(兀)+xf\x)> 0 ,贝怀等式(兀一201 b于(兀一201 $ + 8/(-2) > 0

解法二：(构造具体函数法)

构造函数/(x) = 1,此函数满足3/(x) + V'U)>0,

已知(x—20103/(x—2010 + 8/(—2)>0,即为(x—2018’+8>0, 可得兀—2018 >-2,解得兀>2016

故不等式(x-201 /(x—2018 + 8/(-2) > 0 的解集是｛彳兀 > 201 g。

[例6].已知函数夬兀)是定义在R上的偶函数，设函数几Y)的导函数为f\x),若对任意兀〉0都有

2f(x)-xf\x)> 0 成立,则

B. 9/(-2) >4/(3) c. 2/(3) > 3/(-2) D. 3/(-3) < 2/(-2)

A. 4/(-2) >9/(3)

解法二：(构造具体函数法)

构造函数/(x) = 1,此函数满足2/(x)-V*U)>0,满足题意。根据选项选氏

[例7]・已知函数/(兀)是定义在R上的增函数，/(x) + 2>/(x), /(0) = 1,则不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x的

解集为

A. (-oo,0)

B. (0,+oo)

C. (-00,1)

D. (1,+co)

解法三：(取特殊函数法)

构造函数/(x) = ,此函数是定义在R上的增函数，且满足7(x)4-2 >/(x), /(0) = 1,

不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x 即为ln[e x+2]-ln3>x

变形得In [e x +2]>ln + In 3 = ln(3e x)

即e v + 2>3e x从而得e x <\解得x<0 选A

解法四：(取特殊函数法)

构造函数f(x) = 1此函数是定义在R上的增函数，且满足/(x) + 2>f(x),于(0) = 1, 不等式ln[/(x) + 2]-ln3>x 即为ln[e x+2]-ln3>x

变形得\n[e x + 2]> \ne x +ln3 = ln(3『)

即/ + 2>3夕从而得e v < 1 解得xvO 选A

[例8]. /(x)是定义在R上的函数,其导函数为/(%),若广(x)>/(x)-l, /(1) = 201§则不等式

/(劝>201於"+1的解集是

解法三：(构造具体函数法) 构造函数/(兀) = 201&i 此函数满足f(x)> f(x) -1,,兀1) = 2018, 不等式/(%) > 201计+1即为201 > 201计+1

变形得广】〉1

即&日>1二/ 从而得x-\>0 解得x>] 答案(1,4-0)

[例9]・已知函数.心)是定义在R 上的可导函数，且满足对任意xwR 恒成立，e 为自然对数的底数, 则()

解法二：(构造具体函数法)

构造函数/(%) = -!,此函数题意，经过检验

选A

[例10].已知函数/(尢)在R 上可导，其导函数为f\x),且满足/V) + r (x)<0,若a>0,贝9

A.眄f(a) > /(0)

B. f(a) > £丁(0)

C. /(°) < eV(0)

D. e a

f{o) < /(0)

解法二：(常规构造抽象函数法)

构造函数/(x) = 1，此函数题意，经过检验 选D

7T

[例11].定义在(0,牙)上的函数f(x)JXx)是它的导函数，且恒有/(x)

A. V3/(-) > 72/(-)

B./0) < 2/(^) sin 1

4 3

6

解法二：(构造特殊函数法)

/(x) = -1,此函数题意，经过检验

TT

[例12].定义在(0,㊁)上的函数是它的导函数，且有广(x)cosx + /(x)sinx<0, /(O) = 0,则

B.

吟<&怕

C./(ln2)>0

D. /(^) < V2/(^)

6 3 4

J

6

4

A. /(2) > e 2

/(0),/(2017) < 严/(0)

C. /(2) > 幺2/(0),/(2017) > 严7/(o )

B. /(2) < e 2

/(0)J(2017) > 严 7/(o ) D. /(2) < 占(0) J(2017)< 严丁 (0)