2.2熵函数的性质
3第二章2-熵的性质
∑ P(a ) = 1
i =1 i
q
•定义自信息的数学期望为平均自信息量H(X)，称为信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 信息熵： 定义自信息的数学期望为平均自信息量 ，称为信息熵
我们用概率矢量 来表示 率分布P(x)： 来表示概 我们用概率矢量P来表示概率分布 ：
4、扩展性 、
lim H q +1 ( p1 , p 2 ,..., p q − ε , ε ) = H q ( p1 , p 2 ,..., p q )
ε →0
因为
ε →0
lim H q +1 ( p1, p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq − ε , ε )
= lim{−∑ pi log pi − ( pq − ε ) log( pq − ε ) − ε log ε }
∑p
i =1
n
i
= 1,
∑q
j =1
m
j
=1
∑∑ p q
i =1 j =1 i
n
m
j
=1
p ( xi y j ) = p ( xi ) p ( y j ) = pi q j
可加性是熵函数的一个重要特性。 可加性是熵函数的一个重要特性。
证明： 证明：
H nm ( p1 q1 , p1 q 2 ,..., p1 q m , p 2 q1 ,..., p n q m )
q −1 i =1
= −∑ pi log pi =H q ( p1 , p2 ,⋅ ⋅ ⋅, pq )
i =1
ε →0 q
lim ε log ε = 0
ε →0
所以， 所以，上式成立
性质说明：信源的取值数增多时， 性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率 很小(接近于零 则信源的熵不变。 接近于零)， 很小 接近于零 ，则信源的熵不变。
《信息论与编码》课件1第2章
如果消息ai已发生，则该消息发生所含有的自信息定 义为
1
1
I (ai ) log P(ai ) log pi
(2.4)
第2章 离散无记忆信源与信息熵
可以很容易地证明, 自信息的定义满足上面提出的四个
(1) 此自信息的定义是根据消息发生的概率建立的一个 工程定义，而不是根据这个消息对人的实际意义而建立的 定义。这一纯粹技术性的定义仅仅抓住了“信息”一词在
(2) 自信息I(ai) 在消息ai发生之前，自信息I(ai)表示ai发生的不确定性; 在消息ai发生以后，自信息I(ai)表示ai所含有的（或提
第2章 离散无记忆信源与信息熵
(3) 在式(2.4)中关于对数的底未作明确规定。这是 因为对数的底仅仅影响到度量的单位，实际中可根据
如果取对数的底为2，则所得信息量的单位为比特 （bit， binary unit），此时logx用lbx
第2章 离散无记忆信源与信息熵
第2章 离散无记忆信源与信息熵
2.1 离散无记忆信源 2.2 自信息和熵 2.3 熵函数的性质 2.4 联合事件的熵及其关系 2.5 连续信源的信息测度 习题2
第2章 离散无记忆信源与信息熵
信息理论的研究对象是以各类信息的获取、表示、 传输和处理为目的的信息系统。图2-1给出了一个典型 的通信系统物理模型。在这样的通信系统中，一个贯 穿始终的、最基本的问题便是信息，即信源输出的是 信息，在系统中传输的是信息，接收者获得的也是信 息。可见，在信息理论的学习和研究中，首先需要对
熵的简单解释-概述说明以及解释
熵的简单解释-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在物理学和信息论中，熵是一种描述系统无序程度或混乱程度的数学量。
它在热力学领域中起源于对能量转化和传递过程的研究，后来被引入到通信和信息处理领域中。
熵的概念最早由克劳修斯·拜依乌斯于19世纪提出，他将熵定义为系统的热力学态的一个函数。
简单来说，熵可以视为衡量能量在系统中的分布方式的一种指标。
当系统的能量均匀分布时，熵较低；而当能量分布不均匀时，熵较高。
在信息论中，熵被引入用来度量信息的不确定性。
这里的熵可以理解为信息的平均信息量或信息量的期望。
当一个事件具有确定性时，它所携带的信息量为0；而当一个事件具有较高的不确定性时，它所携带的信息量较大。
总之，熵是一个关于系统有序性或信息不确定性的度量。
它不仅在物理学和信息论中具有重要意义，还在其他许多学科领域中有着广泛的应用，如统计学、生态学、经济学等。
在接下来的文章中，我们将探讨熵的计算方法以及它在不同领域中的应用。
文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和内容进行简要介绍。
以下是对"文章结构"部分的内容的编写示例："1.2 文章结构本文主要分为引言、正文和结论三个部分来讲解熵的概念和应用。
在引言部分，我们将对整篇文章的主题进行概述，并介绍文章的结构和目的。
正文部分将进一步探讨什么是熵以及熵的计算方法。
结论部分将对文章进行总结，并展示熵的应用领域。
通过这样的结构，读者可以逐步了解熵的概念与计算方法，并了解到熵在现实生活中的实际应用。
接下来，我们将开始正文部分，详细介绍什么是熵及其计算方法。
"文章1.3 目的部分的内容:目的：本文的目的是为读者提供一个简单易懂的解释，通过介绍熵的概念和计算方法，使读者对熵有一个基本的了解。
熵是信息理论中一个重要的概念，它可以用于衡量系统的混乱程度和不确定性。
通过解释熵的概念和计算方法，读者可以更好地理解信息论中的相关概念，同时也可以将熵应用到其他领域中。
信息论第二章信息的度量
I(xi yj ) = - log p(xi yj ) = log 60 = 5.907（比特）
（2）在二维联合集X Y上的条件分布概率为 事件提供给甲的信息量为条件自信息量
p(y j
1 xi ) 12
，这一
I(yj︱xi) = -log p(yj︱xi) = log12 = 3.585（比特）
2．1．2 互信息量和条件互信息量
2.联合自信息量
XY
P
(
XY
)
p(a a 11 b b 11 ,) ,,,pa (1 a b 1m bm ,) ,,,pa (a nb n1 b,1) ,,,p a(nb am nbm )
其中 0 p(aibj ) 1(i 1,2,,n; j 1,2,,m)
nm
p(aibj ) 1。
根据概率互换公式p(xi yj) = p(yj︱xi)q(xi)=φ(xi︱yj)ω(yj) 互信息量I(xi ;yj )有多种表达形式:
I(xi;yj)loq(p x g (ix ) iy (jy )j)I(xi)I(yj)I(xiyj) (2-7)
I(xi;yj)lopg (y(yjjx)i)I(yj)I(yj xi)(2-8)
第2章 信息的度量
内容提要：
根据香农对于信息的定义，信息是一个系 统不确定性的度量，尤其在通信系统中， 研究的是信息的处理、传输和存储，所以 对于信息的定量计算是非常重要的。本章 主要从通信系统模型入手，研究离散情况 下各种信息的描述方法及定量计算，讨论 它们的性质和相互关系。
பைடு நூலகம் 2.1 自信息量和互信息量
x
i（i = 1，2，
X q(X)
x1 1
3
x2 1
信息论第2章(2010)
ai 后所获得的信息量。
自信息量的性质：
1）非负性。 2) 单调递减性。 3) 可加性。
I xi ,y j log pxi ,y j
若两个符号x i , y j同时出现，可用联合概率px i , y j 来表示 这时的自信息量为 I y j I xi | y j
例题：二元信源，每个符号发生的概率分别为p(x1)=p，p(x2)=1-p. 试计算信源熵，并画出熵函数H(p)和p的曲线图。
① 等概时（p=0.5)：随机变量具有最大的不确定性
② p=0或1时：随机变量的不确定性消失。
信息熵的物理意义
1）表示了信源输出前，信源的平均不确定性。 2）表示了信源输出后，每个消息或符号所提供的 平均信息量。 3）信息熵反映了变量X的随机性。
平均自信息量H (X ) 表示信源输出消息中的每个符号所含信息量的统计 平均值，其表达式为 q
H ( X ) EI ( xi ) P( xi ) log P( xi )
i 1
式中， E 表示统计平均，
I ( xi ) 表示符号 x i 包含的自信息量。
平均信息量可以表示为：
任何一个物理量的定义都应当符合客观规律和逻辑上 的合理性，信息的度量也不例外。直观经验告诉我们： ① 消息中的信息量与消息发生的概率密切相关：出现消 息出现的可能性越小，则消息携带的信息量就越大。 ② 如果事件发生是必然的（概率为1），则它含有的信息 量应为零。如果一个几乎不可能事件发生了（概率趋 于0），则它含有巨大的信息量。 ③ 如果我们得到不是由一个事件而是由若干个独立事件 构成的消息，那么我们得到的信息量就是若干个独立 事件的信息量的总和。
② 联合信源中平均每个符号对所包含的信息量？
熵的知识点总结高中
熵的知识点总结高中一、热力学中的熵1. 热力学第二定律熵的概念最早出现在热力学中。
热力学第二定律是熵的基本原理，它告诉我们自然界中的某些现象是不可逆的。
热力学第二定律有很多等价的表述，最常见的一种是开尔文表述，即“不可能从单一热源吸热，使之全部变为有用功而不引起其他变化”。
这个表述告诉我们，热能不可能完全转化为机械功而不产生其他变化，也就是说，热能可以转化为机械功的过程是有限的。
克劳修斯不等式和普朗克不等式是热力学第二定律的数学表述，它们告诉我们能量转化的方向和限度。
热力学第二定律的基本原理是熵增原理，即在孤立系统中，熵不会减少，而只会增加或保持不变。
2. 熵的定义熵最早是由克劳修斯提出的，他将熵定义为热力学不可逆过程的度量。
克劳修斯熵增原理告诉我们，孤立系统中熵不会减少，而只能增加或保持不变。
后来开尔文和普朗克将熵的定义进一步推广，将其定义为系统的混乱程度或者无序程度。
这个定义很容易理解，例如一个有序的晶体结构的系统，其熵很低；一个无序的气体系统，其熵很高。
熵的定义强调了系统的有序和无序之间的关系，也体现了熵是热力学不可逆性的度量这一基本概念。
3. 熵的性质熵有许多重要的性质，它们是热力学第二定律的基础。
熵是广延量，即与系统的大小成比例；熵是状态函数，即与系统的路径无关；熵是可加的，即复合系统的熵等于各个子系统的熵之和。
这些性质保证了熵在热力学中的重要地位，也是热力学第二定律的数学基础。
4. 熵的应用熵在热力学中有许多重要的应用。
例如在热力学循环中，熵是评价热机效率的重要参量；在相变中，熵是评价相变过程的重要参量；在化学反应中，熵变是评价反应条件的重要参量。
这些应用都表明了熵在热力学中的重要地位，也反映了熵在自然界中普遍存在的事实。
二、统计物理中的熵1. 统计物理的基本原理统计物理是热力学的微观基础，它描述了宏观系统的宏观性质是如何由微观粒子的微观运动产生的。
统计物理的基本原理是玻尔兹曼分布和吉布斯分布，它们告诉我们：在平衡态下，系统的微观状态是服从一定的分布律的，而这个分布律是由系统的宏观性质决定的。
2.2熵函数的性质
2.2 熵函数的性质熵函数•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：–用H(x)表示随机变量x 的熵；–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0•说明：–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
),...,,(),,...,,(lim 212110q q q q p p p H p p p H =−+→εεε),,,(log 211q q qi i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}log )log()(log {lim 110εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立),,,,(lim 2110εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为5、可加性()()(/)()()(/)(|)(|)(/)H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)log ()()(/)()(/):()()(/)(/)1i j i i j j i ijiji i j i j yp x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明22()()log ()()log [()(/)]i j i j iji j i j i ijH XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑同理=+H XY Z H X Z H Y XZ(|)(|)(/)复习链式法则()()()|H X Y HX HYX=+()()()()()()121213*********...//.../.../...n n n ni i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑复习熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )对称性非负性极值性连续性扩展性可加性()()()()()()()()()1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n nn n n n n n m nn i i x m i im i Xm q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )证明：222(/)((/)()log (/)()/)(/)()log ()log ()i j i j ijj ji j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥⎣⎦⎡⎤≤−⎢⎥⎣⎦=∑∑∑∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?\1211/81/825/81/8x y ()()/j H X y H X 与大小比较?定义概率矢量满足仅K-1个分量独立。
熵的定义
在统计力学中, 系统混乱度用一定宏观状态对应的微观 状态总数 Ω (亦称热力学概率)来表征, 并用下式来定义熵: 玻耳兹曼关系式 S = k ln Ω 熵的本质: 系统的微观状态数越多, 热力学概率越大, 系统越 混乱, 熵就越大. 动画“熵的统计意义”
6
熵的பைடு நூலகம்谈
• T.Clausius 于1854年提出熵(entropie)的概念, 我国物理学 家胡刚复教授于1923年根据热温商之意首次把entropie译 为“熵”. A.Einstein曾把熵理论在科学中的地位概述为“熵 理论对于整个科学来说是第一法则”. C.P.Snow在其“两种 文化与科学革命”一书中写道: “一位对热力学一无所知的 人文学者和一位对莎士比亚一无所知的科学家同样糟糕”. • 熵定律确立不久, J.C.Maxwell就对此提出一个有名的悖论, 试图证明一个隔离系统会自动由热平衡状态变为不平衡.
8
熵的物理意义
系统的状态函数熵是量度系统混乱度的函数. 隔离系统内的一切可能发生的变化均朝熵增大的方 向进行, 也就是朝系统混乱度增大的方向进行.
• 子弹撞击钢板的瞬间, 子弹 的有序运动能量转变为热量, 使温度升高, 即微观的无序 热运动增强. 此过程不可能 逆向发生. • 结构高度有序 • 高锰酸钾溶于水, 的晶体溶于水, 系统混乱度增加. 系统的混乱程 度大大增加了.
熵的定义
先证明任意可逆循环的热温商之和也为零. 整个折线循环的总热温商(等于各个小 卡诺循环的热温商相加)为零. 当折线取得 无限多时, 就无限趋近于曲线循环. 故
δQ R δQ R ∫ T =∑ T =0
2 p a
b 1 V • 任意可逆循环的分割
再将循环分成途径a(1→2)和b(2→1), 有
热力学熵函数的探讨
热力学熵函数的探讨热力学熵函数（thermodynamicentropyfunction）是一种用来描述物质的混乱程度的函数，它与物质的原子排列密切相关。
这种混乱程度的函数定义为：热力学熵S等于内能U与温度T的乘积，即S = UT。
热力学熵函数描述了物质系统中不可逆变化的总量，因此它也被称为“不可逆熵”。
二、热力学熵函数的形式和性质热力学熵函数有多种形式，其中最常用的是微分熵，也就是指热力学熵对温度表示为导数的形式，即S = U(dT/T)。
这种函数表示热力学熵的变化随着温度的变化而变化。
另外，热力学熵函数也可以表示为熵函数曲线，即热力学熵随着温度的变化而变化的曲线。
此外，热力学熵函数有三个重要的性质：第一，热力学熵是常数；第二，热力学熵函数可用来表示物质体系的混乱程度；第三，热力学熵函数可用来计算物质体系的热力学熵。
三、热力学熵函数的应用热力学熵函数在物理学和化学学科中有许多应用。
在化学领域，它可以用来表示物质的化学活动，以及物质的热反应和化学反应等热化学反应。
在物理学领域，它用来表示热力作用和自由能变化以及温度变化。
此外，热力学熵函数还可以用来计算物质体系的热量，以及物质开释或吸收热量的情况。
四、热力学熵函数与熵定律熵定律是物理学里最重要的定律之一，也是物质体系最基本的物理规律。
熵定律规定，任何系统的物理熵总是在逐步增大，直到达到最大的平衡状态，这种状态被称为熵的最大化状态。
与熵定律相关的概念就是热力学熵函数。
它可以被用来说明熵定律的作用，表明物质体系的熵增加是一个不可逆过程，并且物质体系的熵一直在增加，直到物质体系的总熵达到最大值，这就是熵的最大化。
五、结论热力学熵函数是一种用来描述物质的混乱程度的函数，它与物质的原子排列密切相关。
它可以用来表示物质体系的混乱程度，以及物质开释或吸收热量的情况，还可以计算物质体系的热量。
热力学熵函数与熵定律有着密切联系，它们联系着物质体系的熵是不可逆的，并且物质体系的总熵一直在增加，最终达到最大值。
信息熵的基本性质
pi pij log pi
pi pij log pij
i 1 j 1
i 1 j 1
nm
n
m
( pij ) pi log pi pi pij log pij
i1 j 1
i 1
j 1
n
n
m
pi log pi pi ( pij log pij )
电子信息工程学院
H ( p1, p2,, pq ) H ( p2, p3,, pq , p1) H ( pq , p1,, pq1)
电子信息工程学院
信息论
2.3 信息熵的基本性质
该性质表明：熵只与随机变量的总体结构有关，即与信源的总
体的统计特性有关。
X / 6
a3 1/ 2
,
Y P
a1 1/ 6
a2 1/ 2
a3 1/ 3
,
Z P
b1 1/ 3
b2 1/ 2
b3 1/ 6
差别：信源X与Y同一消息的概率不同，X与Z的具体信息不同，但 它们的信息熵相同，表示三个信源总的统计特性相同，它们的信 息数和总体结构是相同的。即：
该性质是非常明显的，因为随机变量X的所有取值的概率 分布满足0 pi 时 1，熵是正值的，只有当随机变量是确知量 时，其熵等于零。
这种非负性对于离散信源而言是正确的，但对于连续信源 来说这一性质就不一定存在。以后可以看到，在差熵的概 念下，可能出现负值。
电子信息工程学院
信息论
2.3 信息熵的基本性质
pi log
pi
0
。而其余分量
pi
0(i
j), lim p j 0
熵知识点总结
熵知识点总结一、熵的概念1.1 熵的起源熵最初是由克劳德·香农在其著名的《通信的数学理论》中提出的，用于描述信息的不确定性度量。
这一概念的提出对于信息论的发展起到了非常重要的作用。
1.2 熵的概念与性质熵是一种描述系统混乱程度或者随机性的指标，通常用H来表示。
在信息论中，熵被定义为一个系统中所包含的信息量的度量。
熵的性质包括：（1）熵是一个对数量，通常以比特或者纳特为单位。
（2）熵是非负的，即H≥0，当且仅当系统完全确定时，熵为0。
（3）熵的增加表示系统的不确定性增加，而熵的减少表示系统的不确定性减少。
1.3 熵的应用熵的概念在信息论、热力学、统计力学、化学、生物学等多个领域都有着重要的应用。
在信息论中，熵用来度量信息的不确定性；在热力学中，熵用来描述系统的混乱程度；在统计力学中，熵被用来描述系统的微观状态数目；在化学中，熵则被用来描述化学反应的进行方向和速率；在生物学中，熵被用来描述生物系统的稳态和动态平衡。
二、热力学熵2.1 热力学熵的概念热力学熵最早由克劳修斯在19世纪初提出，他将熵定义为系统的一种状态函数，用来描绘系统的混乱程度和不可逆性。
热力学熵的概念是热力学中一个非常重要的概念，它被广泛应用于热力学系统的描述和分析。
2.2 热力学熵的性质热力学熵的性质包括：（1）熵是一个状态函数，与系统的路径无关。
（2）熵增加原理：孤立系统的熵不会减少，如果系统经历一个不可逆过程，系统的总熵将增加。
（3）熵的增加反映了系统的不可逆过程和混乱程度的增加。
2.3 热力学熵的应用热力学熵在热力学系统的分析中有着重要的应用，它可以用来描述系统的混乱程度和不可逆性，从而揭示系统的运行规律和性质。
同时，熵还被用来描述系统的稳定性和平衡状态，是热力学研究中不可或缺的重要概念。
三、信息熵3.1 信息熵的概念信息熵是信息论中一个重要的概念，它被用来度量信息的不确定性和随机性。
信息熵最初由克劳德·香农在其著名的《通信的数学理论》中提出，用来描述信息的不确定性度量。
热力学中的熵与热力学第二定律知识点总结
热力学中的熵与热力学第二定律知识点总结熵与热力学第二定律知识点总结热力学是研究物质热平衡和能量转化关系的科学，而熵与热力学第二定律是热力学中的两个重要概念。
在本文中，我们将对熵的概念和性质以及热力学第二定律进行总结。
1. 熵的概念和性质熵是描述系统无序程度的物理量，是热力学中的基本概念。
熵的定义为：$$S = -k\sum_{i} p_i\ln(p_i)$$其中，$k$为玻尔兹曼常数，$p_i$为系统处于第$i$个微观状态的概率。
熵具有以下性质：1. 熵是一个状态函数，与系统的路径无关。
2. 熵的增加符合热力学第二定律。
3. 等概率原理：在封闭系统中，处于平衡态的系统最有可能处于熵最大的状态。
2. 热力学第二定律热力学第二定律是热力学中的核心定律，它用来描述自然界中不可逆过程的规律性。
以下是热力学第二定律的几种表述和内容：1. 克劳修斯表述：不可能从单一热源吸热使之完全变成其他形式的功而不引起其他变化。
2. 开尔文表述：不可能从一个循环过程中只吸热、不放热得到功。
3. 玻尔兹曼表述：在孤立系统中，熵不会减少，而只能增加或保持不变。
热力学第二定律的含义：1. 不可逆性：存在一些过程，无法实现倒转。
2. 熵增原理：封闭系统的熵只能增加或保持不变。
3. 热力学箭头：自然界中的过程具有一定的方向性，体现为熵的增加。
3. 熵与热力学第二定律的应用熵与热力学第二定律有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 工程热力学：在工程领域中，熵是评估能量转换效率和工作性能的重要指标。
例如在汽车发动机、蒸汽轮机等能量转换装置中，通过最大化系统的熵生成率来提高能量利用率。
2. 热机效率：根据热力学第二定律，在热机中无法将所有的吸热能量完全转化为有用的功。
根据卡诺定理，工作在两个恒温热源之间的理想卡诺循环的效率最高，即为卡诺效率。
3. 热力学中的化学反应：熵变可以用于衡量化学反应的自发进行性。
当反应的熵增大于零时，反应是自发进行的；反之，则是非自发的。
《状态函数-熵》课件
熵与焓的关系
焓是热力学中描述系统能量的参数，包括内能和压力势能。 熵和焓都是状态函数，它们之间存在一定的关系。在等温、 等压过程中，焓的变化等于热量加上压力势能的变化。
熵的演化方程的意义
熵的演化方程揭示了系统内部无序程度的变化与热量转移和温度变化之间的联系。当系 统吸收热量时，如果温度升高，则系统的熵会增加；反之，如果系统放出热量时，温度
降低，则系统的熵会减少。
熵的变化规律
熵的单调性
在封闭系统中，如果没有外界的热量交换，系统的熵总是自发地 增加，即向着更加无序的方向演化。
02
在热传导过程中，熵增原理指出热量总是自发地从高温处流向
低温处，直至达到热平衡状态。
熵与热力学第二定律
03
熵增原理是热力学第二定律的核心内容，它揭示了能量转换过
程中不可避免地会产生热量损失和效率降低的现象。
熵在信息论中的应用
信息熵
信息熵用于度量信息的不确定性 或随机性，是信息论中的基本概
念。
熵与数据压缩
在开放系统中，系统的熵可以减少，但总体的熵会增加。
熵的广延性
对于由多个相同子系统组成的系统，其总熵等于各子系统熵的总和。
熵的广延性适用于微观态数目相同的子系统组成的系统。
01
熵的应用
熵在热力的状态，是判断系统是否达到
热平衡的重要依据。
熵与热传导
随着时间的推移，系统微观粒子状态 会发生变化，导致熵发生变化。
01
熵的性质
熵的物理性质
1 2
熵是状态函数
熵只与系统的状态有关，与达到该状态的过程无 关。
热力学物理-熵函数表达式(PPT)
δQi (∑ )i < 0 i =1 Ti
n
四、克劳修斯不等式
设有一个循环， → 为不可逆过程 过程， → 为 设有一个循环，A→B为不可逆过程， B→A为 可逆过程 整个循环为不可逆循环。 过程， 可逆过程，整个循环为不可逆循环。 则有
A
A δQ δQ (∑ )i + ( ∑ )r < 0 A T B T B
δQr dS = T
第五节 熵函数表达式
p
V
一、熵的引出
根据热力学第一定律和卡诺循环
dU = 0 − W = ( Q1 − Q2 )
－W Q2 + Q1 T2 - T1 h= = = Q2 Q2 T2
即
Q1 T1 =Q2 T2
Q1 Q2 + =0 T1 T2
Q 定义： 定义： T
热温商
结论：卡诺循环中 过程的热温商之和等于零。 结论：卡诺循环中，过程的热温商之和等于零。 循环
δQ )≥0 ∆S A → B − ( ∑ A T
B
四、克劳修斯不等式
δQ )≥0 ∆S A → B − ( ∑ A T
B
δQ 是实际过程的热效应，T是环境温度。若是不可逆过 是实际过程的热效应， 是环境温度。若是不可逆过 不可逆 可逆过程用 过程用“ 这时系统温度T与 程，用“>”号；可逆过程用“=”号，这时系统温度 与 环境相同。 环境相同。 一不可逆过程的热温商
三、不可逆过程的热温商
在不同温度的两热源之间，若有一不可逆热机， 在不同温度的两热源之间，若有一不可逆热机，则根 据卡诺定理可知， 据卡诺定理可知，不可逆热机效率ηi小于可逆热机效 率ηr ． ηi < ηr
－W Q2 + Q1 T2 − T1 ηi = = < = ηr Q2 Q2 T2
状态函数--熵知识讲解
（4）纯物质相变过程熵变 平衡条件下的相变即为可逆相变 可逆气液相变：温度等于指定压力下的沸点或蒸汽压 力等于该温下液体的饱和蒸汽压 可逆气固相变：蒸汽压力等于该温下固体的饱和蒸汽压 可逆固液相变：温度等于指定压力下固体的熔点
可逆相变的共同特征：
T,p
若， Wf 0 那么由 相到 相的可逆相变，其摩尔相变热就是 摩尔相变焓，
热力学宏观量熵和微观量混乱度的这种联系，奠定了 统计热力学的基础。
显然，熵可替代混乱度表征自发过程的方向和限度：
（1）熵增大方向，就是自发方向。熵减小过程不会自 动发生。
（2）熵最大时，就是自发过程的终止时，即自发过程
的极限。 熵判据：
自发 S孤 S2 S1 0终止
在隔离体系中，自发变化总是朝熵增加的方向进行。
•
n2,o1,o2
n1
•
n1
n2,o1,o2
4
（1，3）
•
n2
n1,o1,o2
•
o1
n1,n2,o2
•
o2
n1,n2,o1
比较表中数据明显可见： （1）自发过程的方向就是混乱度增大的方向，混乱度
减小过程不会自动发生
（2）混乱度最大时，即达到自发过程的极限 （3）混乱度最大对应均匀分布，即最混乱、最无序分布
即，等温定容且不作非体积功的封闭系统的自发变化，
总是朝 A 值减小的方向进行，直至 dA0
(2) Gibbs自由能 G
限定压力不变当有，
W t W f p e d V W f d pV
代入， Wt d(UTS ) 有：
W f d U T d p S d V U T p S d V H T
(dA )T,reWt,max
熵的性质和算法
平均互信息的定义
事件之间的互信息
互信息的性质
而事件的互信息I(x;y)可正、可负、可为零。
H(X,Y)=H(Y)+H(X|Y) H(X|Y)=H(X,Y)-H(Y)
X的不确定性
知道Y后， X还存在的不确定性
条件互信息
联合互信息
条件熵
“小”条件熵
“大”条件 熵
因为p(x,y)=p(y)p(x|y)
2.1.4 熵的性质
熵的7条性质
对称性
熵的可加性
随机变量取值集合划分为K个子集，每个子 集出现的概率pk,k=1,2,…,K 对每个子集作进一步划分，例如第k个子集 划分成mk个单元，使其中每个小单元出现 的概率为
k?对每个子集作进一步划分例如第k个子集划分成mk个单元使其中每个小单元出现的概率为?于是整个取值范围被划分成个小单元?这时熵的可加性可以表示成条件少条件多215凸函数概率矢量是凸集合上凸下凸严格上凸严格下凸上凸下凸严格上凸凸严格下凸凸凸函数的性质凸函数的条件极值和无条件极值方程可能无解或者解不满足非负性条件216随机变量间的平均互信息事件之间的互信息平均互信息的定义事件之间的互信息互信息的性质而事件的互信息ix
于是整个取值范围被划分成 个小单元
这时熵的可加性可以表示成
条件多
条件少
2.1.5 凸函数
概率矢量是凸集合
上凸 下凸 严格上凸 严格下凸
上凸 下凸
<
严格上 凸 严格下 凸
>
凸函数的性质
凸函数的条件极值和无条件极值
方程可能无解，或者解不满足非负性条件
2.1.6 随机变间的平均互信息
熵的性质和算法范文
熵的性质和算法范文熵（Entropy）是信息论中的概念，用来表示信息的不确定性或者随机性。
熵可以用于衡量一个系统的混乱程度或者无序程度。
在信息理论中，熵一般用H(X)来表示。
熵的性质：1.熵是非负的。
根据熵的定义，它表示的是信息的不确定性，因此它的取值范围是大于等于0的。
2.当且仅当随机变量X是确定性变量时，熵为0。
确定性变量是指只能取一个值的变量，所以它的熵为0，因为已经没有不确定性了。
3.熵的值取决于概率分布。
对于一个随机变量X的概率分布，其熵值的大小是由概率分布决定的。
当概率分布更均匀时，熵的值会增大。
计算熵的算法：计算熵的方法有多种，下面介绍两种常用的算法。
1.通过概率分布计算熵：首先，我们需要知道随机变量X的概率分布，即X取每个值的概率。
假设X的概率分布是P(X=x)，其中x表示X可能取到的一些值。
熵的计算公式为：H(X) = - Σ P(X=x) * log2(P(X=x))其中，Σ表示求和运算，P(X=x)表示X取到x的概率，log2表示以2为底的对数运算。
举个例子，假设一个随机变量X的可能取到的值是{A,B,C}，对应的概率分布为{0.4,0.3,0.3}，那么计算熵的公式为：H(X) = - (0.4 * log2(0.4) + 0.3 * log2(0.3) + 0.3 *log2(0.3))2.通过样本计算熵的估计值：在实际应用中，我们可能没有完整的随机变量的概率分布，而只有一些样本数据。
此时，可以通过样本计算熵的估计值。
假设我们有n个样本数据，其中X的每个值出现的次数分别为n1, n2, ..., nk，那么对应的概率估计值可以计算为P(X=x) = ni/n。
熵的估计值可以通过上述公式计算得到。
熵的应用：熵在信息论中有着广泛的应用，它可以用来衡量信息的不确定性，因此可以在数据压缩、数据传输等方面进行优化。
较高的熵意味着较高的信息量，因此在数据压缩中，我们可以尽量减少冗余信息，以减小熵值。
熵的介绍
1 熵概念的产生约150年前，科学家在发现热力学第一定律(能量守恒定律)之后不久，又在研究热机效率的理论时发现，在卡诺热机完成一个循环时，它不仅遵守能量守恒定律，而且工作物质吸收的热量Q 与当时的绝对温度T (T= t+273.16℃, t 为摄氏温标)的比值之和∑(Q/T)为零（Q, T 均不为零）。
鉴于以上物理量有这一特性，1865年德国科学家克劳修斯就把可逆过程中工质吸收的热量Q 与绝对温度T 之比值称为Entropy (即熵)。
从此，一个新概念伴随着热力学第二定律就在欧洲诞生了，Entropy 很快在热力学和统计力学领域内占据了重要地位。
1923年德国科学家普朗克来我国讲学用时，在我国字典里还找不到与之对应的汉字，胡刚复教授翻译时就在商字的上加了个火字(表示与热有关)来代表Entropy ，从而在我国的汉字库里出现了“熵”字。
11978年改革开放以后，钱三强率领我国科学家访问欧洲，带回了红极一时的耗散结构理论(比利时科学家普里高津((LPrigogine)创立，并因此获得物理诺贝尔奖)，此理论对热力学问题、熵概念和热寂论多有涉及。
从此以后，“熵”成为我国学术界的热门议题，各领域的学者也就“熵”概念与熵原理发表了意见。
1987年上海译文出版社出版了美国学者里夫金(J.Rifkin)和霍华德2(THoward)著的书《Entropy, A New World View))(《熵，一种新的世界观》)，于是熵这个概念在中国大地上流行起来，大学教授、改革家、哲学家以及许多学者就“熵”概念和理论发表的见解也多了起来，从此熵在我国开始了广泛的研究。
1986年新疆气象研究所的张学文建议各行业都设法把熵概念和熵原理引入到自己的领域，提出了组织跨学科研究熵的想法，并在1987年组织召开了第一届“熵与交叉科学研讨会”，该研讨会每2年开一次，一直延续至今。
国内对熵概念和熵理论的深入研究，极大的推动了熵在气象学、信息科学、股票投资、管理决策以及基础理论等各个领域的拓展，活跃了我国的科学与社会思想。
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2.2 熵函数的性质
熵函数
•H(P)是概率矢量P 的函数，称为熵函数。
•表示方法：
–用H(x)表示随机变量x 的熵；
–用H(P)或H(p 1, p 2 , …, p q )表示概率矢量为P = (p 1, p 2, …, p q )的q 个符号信源的熵。
–若当q =2 时，因为p 1+p 2 = 1, 所以将两个符号的熵函数写成H(p 1)或H(p 2)。
•熵函数H(P)是一种特殊函数，具有以下性质。
2、确定性：H(1,0)=H(1,0,0)=H(1,0,0…,0)=0•性质说明：这个信源是一个确知信源，其熵等于零。
3、非负性：H(P) ≥0
•说明：
–这种非负性合适于离散信源的熵，对连续信源
来说这一性质并不存在。
以后可看到在相对熵
的概念下，可能出现负值。
非负性体现信息是非负的。
4、扩展性
•性质说明：信源的取值数增多时，若这些取值对应的概率很小(接近于零)，则信源的熵不变。
)
,...,,(),,...,,(lim 212110
q q q q p p p H p p p H =−+→εεε)
,,,(log 211
q q q
i i i p p p H p p ⋅⋅⋅=−=∑=}
log )log()(log {lim 11
0εεεεε∑−=→−−−−−=q i q q i i p p p p 所以，上式成立
)
,,,,(lim 2110
εεε−⋅⋅⋅+→q q p p p H 因为
5、可加性
()()(/)()()(/)
(|)(|)(/)
H X Y H X H Y X H X Y H Y H X Y H X Y Z H X Z H Y X Z =+=+=+统计独立信源X 和Y 的联合信源的熵等于信源X 和Y 各自的熵之和。
H(XY) = H(X)+ H(Y)
可加性是熵函数的一个重要特性，正因具有可加性，才使熵函数的形式是唯一的。
222()log ()()log (/)
log ()()(/)
()(/):()()(/)
(/)1
i j i i j j i i
j
i
j
i i j i j y
p x y q x p x y p y x q x p x y H Y X H X H Y X p xy q x p y x p y x =−−⎡⎤
=−+⎢⎥⎣⎦=+==∑∑∑∑∑∑∑利用可加性证明
22()()log ()
()log [()(/)]
i j i j i
j
i j i j i i
j
H XY p x y p x y p x y q x p y x =−=−∑∑∑∑
同理
=+
H XY Z H X Z H Y XZ
(|)(|)(/)
复习
链式法则
()()
()|H X Y H
X H
Y
X
=+
()()()()()
()
121213*********
...//.../.../...n n n n
i i i H X X X H X H X X H X X X H X X X X H X X X X −−==++++=∑
复习
熵函数的性质H(p 1,p 2,…, p n )
对称性非负性极值性连续性扩展性可加性
()
()()
()()()()()()
1222122211111211122112221,,...,,...,,...,,,.,,...,,,..,,,...,||n n
n n n n n n m n
n i i x m i im i X
m q H q p q p q p H q q q q H p p p H XY H X H Y X p q q q p q p H X q x H q x p Y q p =∈=+=+=+∑∑
定理：1. H(X/Y ) ≤H (X )
2. H (XY ) ≤H (X )+H (Y )
证明：
222(/)((/)()log (/)
()/)(/)()log ()log ()
i j i j i
j
j j
i j i j i j i j j i i p x y p x y p H X Y p x y p x y p y p y H p x X x y =−⎡⎤=−⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
≤−⎢⎥
⎣⎦=∑
∑
∑
∑∑∑()()/j H X y H X 与大小比较?
\1
211/81/82
5/81/8
x y ()()/j H X y H X 与大小比较?
定义概率矢量满足
仅K-1个分量独立。
引理概率矢量的全体构成的区域是凸集。
凸函数概念及性质
()
12,,...,K αααα=
()101,1,1.
K
i i i i K αα=≤≤≤≤=∑
满足就称f 为R 上的上凸函数。
,R αβ∈
,01
θ≤≤()()()()()
11f f f θαθβθαθβ
+−≤+−
定义上凸函数定义在凸集R 上的函
数f ，若对所有凸函数概念及性质
性质1
上凸，则下凸。
性质2若上凸，则上凸。
性质3 (Jensen 不等式) f 为R 上的上凸函数，则
凸函数概念及性质
()f α
()f α−
()()()1
2
,,...,L
f f f ααα
()(),0l l l c f c α>∑ ()(),E f f E αα≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()11n
n
i i i i i i p f f p αα==⎛⎞≤⎜⎟⎝⎠
∑∑
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()
100100012200200021120121211111f x f x f x x x f x f x x x f x f x f x x x f x f x x x f x f x f x f x f x f x x θθθθθθθθθθ′′≤+−=+−−′′≤+−=+−−+−≤+−≤+−给第一式乘加第二式乘得
参考文献：张筑生《数学分析新讲》
()012
1x x x θθ=+−
•香农证明，当函数满足上述三个条件时，其形式唯一，如下所示：
)
,,,(21N p p p f ∑∑
==−=>=−=K k k
k K
k k
k K p p P H C p p C p p p f 1
1
21log )(,0log ),,,(此即熵
常数
其中
作业2.9 2.13 2.14 2.29
小结
（本节内容见课本21-25，39-41页）
•熵函数性质
非负可加极值上凸
•凸函数定义
•H(X/Y) ≤H(X)
•H(XY) ≤H(X)+H(Y)
•Jensen不等式。